精品解析：2025年河南省安阳市第五中学九年级下学期中考数学模拟试卷

2025年安阳五中中考数学模拟试题 考试时间：100分钟； 总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得点P到原点的距离大于2，再由点P在原点右侧即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，点P到原点的距离大于数1到原点的距离的2倍， ∴数轴上点表示的数要小于， ∴四个数中，只有符合题意， 故选：A． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：4500000000=4.5×109， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从组合体正上方看到的平面图形即可得到答案． 【详解】解：由题意得组合体的俯视图是： ， 故选：D． 【点睛】此题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 4. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可. 【详解】解：由可得 A、当，时，满足，但是，不满足，选项错误，不符合题意； B、由不等式的性质可得，，选项错误，不符合题意； C、由不等式的性质可得，，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5. 为了帮助本市一名患病的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表： 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数（单位：人） 2 4 5 3 1 关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是（ ） A. 众数是100 B. 平均数是37 C. 极差是20 D. 中位数是20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查极差，众数，平均数，中位数；根据众数和中位数、极差及加权平均数的定义求解即可．解题的关键是掌握众数和中位数、极差及平均数的定义． 【详解】解：这组数据的众数是20，平均数为，极差为，中位数是20， 故选：D． 6. 将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过A)，若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理等，如图，根据平行线的性质可得，根据对顶角相等可得，再利用三角形内角和为180度即可求解． 【详解】解：如右图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 7. 我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（ ） A. 60 平方步 B. 90 平方步 C. 120 平方步 D. 240 平方步 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，即进行计算即可． 【详解】由题意可知，扇形的弧长为30步，扇形所在的圆直径为16步， 所以扇形的面积为（平方步）， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的前提． 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的垂线，垂足为点B，点C在y轴上，且则k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，便可求得结果． 【详解】解：连接，如图， 轴， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于点，连接，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，连接， ， ∴为的中点， ，为的中点， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得：，即 ， 解得， 故选： B． 10. 如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了30度角的性质，三角函数． 先求出，判断出运动时间为时，P在上，再求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当点P在上运动时，作交于D，作交于E， 当时，， ∵， ∴， ∵当，时， ∴， ∴， ∵ ∴点先到达点， 由图像可知，， ， ， 当时，，， 此时， 如图，作交于F， ∵ ∴， ∴的值是， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 请举反例说明命题“若，则“”是假命题，反例可举：____________ 【答案】，（答案不唯一）． 【解析】 【分析】当a为正数或0，b为负数时，命题不成立，据此举例即可． 【详解】当，时， ，但， 故命题“若，则“”是假命题． 故答案为：，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查举反例说明命题错误，举出一个符合命题条件，但是结论错误的例子即为反例． 12. 已知代数式，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，把代数式变形为，再把已知代入计算即可求解，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知与是的两条直径，首尾顺次连接点，，，得到四边形．若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到四边形是矩形，求得图中阴影部分的面积，根据等腰三角形的性质得到，由圆周角定理得到，于是得到阴影区域的面积，再根据圆的面积和概率公式即可求得结论． 【详解】解：与是的两条直径， ， 四边形是矩形， 与的面积的和与的面积的和， 图中阴影部分的面积， ， ， ， 图中阴影部分的面积， 针尖落在阴影区域内的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 14. 如图是由五个边长为1的小正方形拼成的图形，点P是其中四个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM＝AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】如图， 经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM＝PB， ∴PM＝AB， ∵PM＝＝， ∴AB＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，为上的动点，是所在平面内一动点，且满足，若为的中点，则的最小值是______，的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当点P在的内部时，作的外接圆，设圆心为O，在优弧上取一点E，连接，由圆周角定理和圆内接四边形的性质可得，则，求出；作点D关于的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，则当四点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的值，证明，过点O作于T，则，解直角三角形得到，，由勾股定理可得，则的最小值为；当点与点A重合时，此时有最大值，解直角三角形得到，则；当点点与点A重合时，点P越靠近B时，的值越大，则，此时；当点P在外部时，作点D关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，则；同理可得，则；据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点P在的内部时， 作的外接圆，设圆心为O，在优弧上取一点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，为的中点， ∴； 如图所示，作点D关于的对称点，连接、， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当四点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的值， ∵， ∴； 如图所示，过点O作于T，则， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴的最小值为； 当点与点A重合时，此时有最大值， 在中，， ∴； 当点点与点A重合时，点P越靠近B时，的值越大， ∴， ∴此时； 如图所示，当点P在外部时，作点D关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴； 同理可得， ∴； 综上所述，； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三．解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （）计算： （）解二元一次方程组：． 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】（）根据绝对值的性质、立方根的定义、负整数指数分别化简，再合并即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； 本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）方程组化简得，， ①②，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为． 17. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础．某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查．并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占______，所对应的圆心角度数为______； （3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？ （4）根据以上问卷调查结果，在课外教学中如何分配教师可以更好地辅导学生？谈谈你的建议． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）， （3）名 （4）由统计图可知，选择无人机和人工智能的学生比较多，应该多分配教师去教学人工智能和无人机． 【解析】 【分析】（）求出选择“人工智能”的学生人数即可补全条形统计图； （）用选择“创客”的学生数除以调查总人数即可求出其百分比，再用乘以其百分比即可求出所对应的圆心角度数； （）求出样本中选择“航模”课程的百分比，再乘以八年级总人数即可求解； （4）言之有理即可． 本题考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，弄清扇形统计图和条形统计图之间的数据关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：选择“人工智能”的学生有名； 【小问2详解】 解：， ∴选择“创客”课程的学生占， ∵， ∴扇形统计图中选择“创客”课程的学生部分所对的圆心角的度数为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：名， ∴估计选择“航模”课程的学生有名． 【小问4详解】 略 18. 如图，在中，，，为线段上一点，以为圆心、为半径的圆与相切于点． （1）请用圆规和无刻度的直尺在圆上找一点，使得点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （2）连接，判断是否是等边三角形？如果是，请证明，并计算的面积；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则，点即为所求． 理由：连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 解：是是等边三角形． 证明：连接，设与相交于点， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则，点即为所求； （）连接，设与相交于点，由切线的性质可得，即得，进而得到，即可得，即可由得到是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理计算出的面积即可； 本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 图是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆．已知，，．如图，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，过点作，交的延长线于点，交于点，可得，，，由可设，，由勾股定理得，即得，得到，，进而求出，最后利用勾股定理求出即可求解，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，交于点， 则，，， 在中，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：此时可伸缩支撑杆的长度为． 20. 学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1) 甲30元/本，乙20元/本 (2) 14本甲、26本乙，最少费用为940元 【解析】 【详解】（1）设乙种图书的单价为x元/本，则甲种图书的单价为1.5x元/本， 根据题意得：， 解得：x=20， 经检验，x=20是原方程的根，且符合题意， ∴1.5x=30， 答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为20元/本； （2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书（40﹣m）本， 根据题意得：m≥（40﹣m）， 解得：m≥， 设购书费用为y元，则y=30m+20（40﹣m）=10m+800， ∵10＞0， ∴y随m的增大而增大， ∵m为整数， ∴当m=14时，y取最小值，最小值=10×14+800=940， 答：购买14本甲种图书、26本乙种图书费用最少，最少费用为940元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用等，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键． 21. 小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； （3）冰箱的一个运行周期时长为______分钟； （4）当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）； （3）36 （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式，再逐一验证即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想，当时，y与x的函数为一次函数，当时，y与x的函数为反比例函数， 当时，设y与x的函数表达式为， 把代入函数解析式得： ，解得：， ∴当时，设y与x的函数表达式为； 当时，y与x的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，y与x的函数表达式为； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； 【小问4详解】 解：当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，总共为124分钟， ∵， ∴124分钟冰箱运行3个周期零16分钟， 当时，， ∴冰箱内的温度是， 故答案为：． 22. 我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表 达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图1)，可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨， 的交点(单位：分米)，点为抛物线的顶 点，点，在抛物线上，， 关于轴对称．分米，点．设抛物线 表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点，，求以 为直径的圆的周长． 【答案】（1）抛物线解析式为： ； （2）以直径的圆的周长为分米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． （）待定系数法求出抛物线解析式即可； （）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标，根据抛物线的对称性计算出点坐标，利用横坐标之差计算线段长，再由圆周长公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， 把和代入 ， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线 解析式为 ， 将 坐标代入得，， 解得：， ∴直线 解析式为： ， 联立函数解析式， 解得：，或 ∴点坐标为； ∵抛物线的对称轴是轴， ∴点的坐标为， ∴（分米）， ∴直径 的圆的周长为：（分米）． 23. 如图①，在四边形中，，，，点在边上，，点是边上一动点．以为斜边作，若点在四边形的边上，则称点是线段的“勾股点”． （1）如图①，连接，的度数是______；线段的中点到的距离是______． （2）如图②，当时，求的长度． （3）是否存在点，使线段恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出的长度或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）且或 【解析】 【分析】（）过点作交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明，可得，，利用锐角三角函数可得，解直角三角形可得，即得，再由四边形是矩形得，最后根据可求出，即可求解； （）过点作交的延长线于点，证明，利用相似三角形的性质解答即可求解； （）由题意画出图形，根据圆周角定理及直角三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：如图①，过点作交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的中点到的距离是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点，则， ∵点是线段的“勾股点” ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）可得，，， ∵， ∴，, ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（）可得，， ①如图，以为直径的圆经过点时，此时线段恰好有三个“勾股点”， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，线段有一个“勾股点”， ∴当且时，线段恰好有两个“勾股点”； ②如图，当以为直径的圆经过点和时，此时线段恰好有两个“勾股点”， 此时； 综上，当且或时，线段恰好有两个“勾股点”． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形相似的判断和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握三角形相似的判定和性质及锐角三角函数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安阳五中中考数学模拟试题 考试时间：100分钟； 总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了帮助本市一名患病的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表： 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数（单位：人） 2 4 5 3 1 关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是（ ） A. 众数是100 B. 平均数是37 C. 极差是20 D. 中位数是20 6. 将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过A)，若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（ ） A. 60 平方步 B. 90 平方步 C. 120 平方步 D. 240 平方步 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的垂线，垂足为点B，点C在y轴上，且则k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 9. 如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（ ） A. B. C. 12 D. 10. 如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 请举反例说明命题“若，则“”是假命题，反例可举：____________ 12. 已知代数式，则代数式的值是______． 13. 如图，已知与是的两条直径，首尾顺次连接点，，，得到四边形．若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 14. 如图是由五个边长为1的小正方形拼成的图形，点P是其中四个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度为_____． 15. 如图，在中，，，，为上的动点，是所在平面内一动点，且满足，若为的中点，则的最小值是______，的取值范围是______． 三．解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （）计算： （）解二元一次方程组：． 17. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础．某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查．并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占______，所对应的圆心角度数为______； （3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？ （4）根据以上问卷调查结果，在课外教学中如何分配教师可以更好地辅导学生？谈谈你的建议． 18. 如图，在中，，，为线段上一点，以为圆心、为半径的圆与相切于点． （1）请用圆规和无刻度的直尺在圆上找一点，使得点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （2）连接，判断是否是等边三角形？如果是，请证明，并计算的面积；如果不是，请说明理由． 19. 图是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆．已知，，．如图，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 20. 学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？ 21. 小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； （3）冰箱的一个运行周期时长为______分钟； （4）当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 22. 我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表 达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图1)，可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨， 的交点(单位：分米)，点为抛物线的顶 点，点，在抛物线上，， 关于轴对称．分米，点．设抛物线 表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点，，求以 为直径的圆的周长． 23. 如图①，在四边形中，，，，点在边上，，点是边上一动点．以为斜边作，若点在四边形的边上，则称点是线段的“勾股点”． （1）如图①，连接，的度数是______；线段的中点到的距离是______． （2）如图②，当时，求的长度． （3）是否存在点，使线段恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出的长度或取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $