17 空间直线、平面的垂直-2024-2025学年高一数学暑假作业

2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 17 空间直线、平面的垂直 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线，m，n与平面，，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项. 【详解】A.若若，，则的位置关系不确定，包含平行，相交，或异面，故A错误； B. 若，，则，故B正确； C. 若，，则或平行，相交，或，故C错误； D. 若，，，则，，或与相交，故D错误. 故选：B 2．（24-25高一下·安徽亳州·期末）设a，b，c是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（    ） A．若c⊥α，且c⊥β，则 B．若b⊂α，且b⊥β，则α⊥β C．若b⊂α，且c是a在α内的射影，b⊥c，则a⊥b D．若b⊂α，且 ，则 【答案】D 【分析】由面面平行的推论可判断A，根据面面垂直的判定即可判断B；利用三垂线定理可判断C，由直线与平面平行，直线与平面内的直线可以平行或异面，即可判断D. 【详解】对于A，同一直线垂直于两个平面，则这两平面平面，故A正确； 对于B，面面垂直定理，一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直， 即b⊂α，且b⊥β，则α⊥β，故B正确； 对于C，由线面垂直判定定理和性质定理可知，b⊂α，且c是a在α内的射影，b⊥c，则a⊥b，故C正确； 对于D，直线平行平面，直线与平面内的直线可以平行也可以异面，故D错误； 3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据空间中各要素的位置关系，充分与必要条件的概念，即可求解． 【解答】因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足， 所以若，时，则，又，所以，即充分性成立； 若，，，则或，则或m与n相交或异面，即必要性不成立，所以“”是““的充分非必要条件． 故选：B． 4．（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求. 【详解】取、的中点、，连接、、，则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则，，得，， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：A. 5．（24-25高一下·福建宁德·期末）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由异面直线夹角的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：如图：连接，    由正方体的性质可得：，在矩形中，显然不成立， 所以不成立，故错误； 对于B：    如图取中点，连接，由正方体的结构特点，结合，可得平面，又平面，所以，在正方形中，因为，所以，又为平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以，故B正确； 对于C：    如图，取的中点，连接，在正方体中可知：， 所以为平行四边形，所以，在正方形中，可知， 所以不成立，即不成立，故C错误， 对于D：    如图，取的中点，连接，由中位线可知，又在正方体中可知：，所以，设正方体的棱长为2，可得：，则，所以不成立，即不成立，故D错误. 故选：B. 6．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）在正三棱柱中，，且二面角是，则三棱柱体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点H，连接，利用线面垂直的判定和性质及二面角的定义得是二面角的平面角，进而求得，再由棱柱的体积公式求体积. 【详解】取中点H，连接，因为面在面内，所以．又在面内，则面，又在面内，所以，是二面角的平面角，，则，所以三棱柱的体积为. 故选：A.    7．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】D 【分析】连接，，根据线面平行的判定定理判断A，利用三角形的中位线和平行关系判断B，根据线面垂直的判断定理和性质定理判断C，根据面面垂直的性质定理判断D. 【详解】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以，又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且，所以四边形是平行四边形，，又因为平面，平面，所以平面，A正确；由和为中点可知， 假设平面平面，又平面，平面平面， 则平面，因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：D. 8．（2025高一下·山东聊城·阶段练习）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【详解】取的中点，连接，因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则，因为，， 所以，，因平面， 则为直线与圆锥底面所成角，即，则在中，，故，所以，， 因为，故，即二面角的大小为.故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知直线，和平面，，且，，则下列四个选项中正确的有（   ） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为60°，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 【答案】BC 【分析】A选项，当时，过可以作无数个平面与垂直，故A错误；B选项，推出与不垂直，所以过可作唯一平面与垂直，故B正确；CD选项，或，所以过可作唯一平面与垂直，故C正确；D选项可举出反例. 【详解】对于A项，，，当时，因为，所以，则过可以作无数个平面与垂直，故A错误； 对于B项，因为m与所成角为60°，，所以与不垂直，所以与不垂直， 所以过可作唯一平面与垂直，故B正确； 对于C，D项，由，，，得与的关系是或，所以过可作唯一平面与垂直，故C项正确； 当时，过的平面与相交或重合，故D项错误. 故选：BC. 10．（24-25高一下·河北廊坊·阶段练习）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】由题意易得，进而可证平面判断A；若平面，可得，可判断B；由平面，可判断C；由已知可得平面，进而可判断D. 【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面，所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则，又，，平面，所以平面，又平面，所以，这与为圆的直径矛盾，故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面，又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面，所以，又，，又平面，所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点到直线的距离为定值 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【分析】根据到的距离为定值即可求解A，根据可得即可求解B,根据到直线的距离等于到的距离即可求解C，根据面面垂直即可求解D. 【详解】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，所以，即，故B正确； 对于C，到直线的距离等于到的距离，由于为边长为的等边三角形， 故到的距离为，因此到直线的距离为定值，故C正确； 对于D，易知在该正方体中，平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故二面角的大小为，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025高一·安徽合肥·阶段练习）如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）. 【答案】 【分析】当时，根据线面垂直的判定定理得平面，则. 【详解】连接， 由直四棱柱可得平面，因为平面，故，当时，因为，故平面， 而平面，故.故答案为：. 13．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．    【答案】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得结论. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为点在底面的投影为的外心，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接， 则，所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 14．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）如图，在棱长为4的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，过点F作与DE垂直的平面，则截正方体所得截面的周长为 ． 【答案】 【分析】先取的中点G，连接EG，GD，过点F作GD的垂线，与相交于点M，根据线面垂直的性质得到；再连接，过点M作的垂线，交CD于点H，根据线面垂直的性质得到，从而根据线线垂直的性质得到平面就是平面，最后即可求得其周长． 【详解】如图，取的中点G，连接EG，GD，过点F作GD的垂线，与相交于点M， 即，，且，平面EGD，则平面EGD， 又平面EGD，所以，且，所以． 连接，过点M作的垂线，交CD于点H，因为，,且，平面，则平面，又平面EGD，所以， 又，平面，所以平面，所以平面就是平面，且，所以，，即所得截面的周长为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高一下·重庆长寿·期末）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明即可； （2）易知点到平面的距离等于点到平面的距离，即为. 【详解】（1）证明：因平面，平面，则， 又，故，又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面，所以平面. （2）因为矩形，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 由已知条件平面，即点到平面的距离等于. 在中，,故。 16．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由平面得出，再结合应用线面垂直判定定理证明； （2）由正方形得，根据勾股定理可证，即可证明平面，从而证明． 【详解】（1） 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）∵面是正方形， ， ， 又因为，且平面，平面，所以平面， 平面. 17．（24-25高一下·福建厦门·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面⊥平面PCD，底面为正方形，点E，F分别为AD，PC的中点.    (1)求证：； (2)求证：平面PBE； (3)若，，请判断平面PAD与平面ABCD是否垂直？若垂直，请证明：若不垂直，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)不垂直，理由见解析 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到； （2）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，所以平面； （3）假设平面PAD与平面ABCD垂直，得到⊥平面，所以⊥，但根据条件与不垂直，故假设不成立，两平面不垂直. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面⊥平面PCD，交线为，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）取的中点，连接， 因为F为PC的中点.，所以且，又点E为的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以且，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面；    （3）不垂直，理由如下： 假设平面PAD与平面ABCD垂直，交线为， 因为四边形为正方形，所以⊥，平面， 所以⊥平面，因为平面，所以⊥， 但，，所以为等腰三角形，为锐角， 假设不成立，故平面PAD与平面ABCD不垂直. 18．（24-25高一下·海南·阶段练习）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，记平面AEF与平面ABCD的交线为l． (1)求证：. (2)求证：平面平面; (3)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过线面平行的性质定理进行转化求解即可； （2）通过图形关系证明，，然后得到线面垂直，再证明面面垂直即可； （3）首先通过几何图形关系得到为二面角的平面角，，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. （2）连接交于点，连接， 因为为菱形，所以，为中点，因为，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （3）因为为菱形，，，所以，，，又因为为菱形，所以， 因为，，所以， 所以，所以，即， 又因为，平面，，所以平面， 又由（1）知，所以平面，平面，故， 又，则所以即为二面角的平面角， 在直角中，，所以，故二面角的大小为 19．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥． (1)若，求证：平面平面； (2)若在平面上的射影恰好在上，求二面角的余弦值； (3)若，且二面角为直二面角，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再结合面面垂直判定定理证明即可； （2）过点作的垂线交于点，交于点，先根据二面角定义得出为二面角所成的平面角，再结合边长计算余弦值； （3）过点作的垂线交于点，先应用面面垂直性质定理得出平面，应用等体积方法计算点到平面距离即可. 【详解】（1），所以在三棱锥中有：， 又平面平面，，平面， 平面，平面平面是正方形； （2）过点作的垂线交于点，交于点， 翻折后仍有，，又因为， 且平面，平面，所以平面， 所以为二面角所成的平面角， 由题意得平面，所以， 因为直角三角形中，角为直角，时为斜边中点， 所以,所以, ，所以， 又因为，所以， ，所以，所以， 即二面角平面角的余弦值为； （3）当时，, 由三角形内角平分线逆定理可知平分,又∵,∴. 过点作的垂线交于点，连接,则为等腰直角三角形， 斜边,∴， 所以， 由题意平面平面，平面平面，， 平面，所以平面，又∵平面，所以， ∴，∴, ∴,∴， ∵，点满足，∴, 又∵, ∴, 综上，三棱锥的高,底面积, 三棱锥的底面积， 设点到平面的距离为,即为三棱锥的的高，∵， ∴,即,解得. ∴点到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 17 空间直线、平面的垂直 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线，m，n与平面，，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 2．（24-25高一下·安徽亳州·期末）设a，b，c是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（    ） A．若c⊥α，且c⊥β，则 B．若b⊂α，且b⊥β，则α⊥β C．若b⊂α，且c是a在α内的射影，b⊥c，则a⊥b D．若b⊂α，且 ，则 3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建宁德·期末）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）在正三棱柱中，，且二面角是，则三棱柱体积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C． D．平面平面 8．（2025高一下·山东聊城·阶段练习）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知直线，和平面，，且，，则下列四个选项中正确的有（   ） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为60°，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 10．（24-25高一下·河北廊坊·阶段练习）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 11．如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点到直线的距离为定值 D．二面角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025高一·安徽合肥·阶段练习）如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）. 【答案】 13．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．    14．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）如图，在棱长为4的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，过点F作与DE垂直的平面，则截正方体所得截面的周长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高一下·重庆长寿·期末）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 16．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 17．（24-25高一下·福建厦门·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面⊥平面PCD，底面为正方形，点E，F分别为AD，PC的中点.    (1)求证：； (2)求证：平面PBE； (3)若，，请判断平面PAD与平面ABCD是否垂直？若垂直，请证明：若不垂直，说明理由. 18．（24-25高一下·海南·阶段练习）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，记平面AEF与平面ABCD的交线为l． (1)求证：. (2)求证：平面平面; (3)求二面角的大小． 19．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥． (1)若，求证：平面平面； (2)若在平面上的射影恰好在上，求二面角的余弦值； (3)若，且二面角为直二面角，求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$