精品解析：重庆南开中学2024-2025学年 下学期期末考试七年级数学试题

重庆南开中学2024-2025学年度下学期期末考试七年级 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方、同底数幂的除法法则逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【分析】解：，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3. 掷一枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ） A. 点数小于1 B. 点数为3 C. 点数大于6 D. 点数小于7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，根据随机事件的定义，逐一分析各选项的可能性即可得出答案． 【详解】解：A．点数小于1：骰子最小点数为1，此事件不可能发生，属于不可能事件． B．点数为3：骰子可能掷出3，也可能不掷出3，结果具有不确定性，属于随机事件． C．点数大于6：骰子最大点数为6，此事件不可能发生，属于不可能事件． D．点数小于7：骰子点数范围是，此事件必然发生，属于必然事件． 故选：B． 4. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的应用．根据平方差公式，．题目中符合该公式结构，其中为相同项，为相反项．代入公式求解即可． 【详解】解： 因此，计算结果为， 故选：D 5. 下列说法错误的是（ ） A. 同位角相等 B. 三角形的三条角平分线交于一点 C. 有两个角互余的三角形是直角三角形 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的性质等知识，根据平行线的性质、三角形的性质及平面几何基本定理逐一分析选项． 【详解】解：A．同位角相等的前提是两直线平行，若未指明两直线平行，同位角不一定相等，故此说法错误． B． 三角形的三条角平分线必定交于一点（内心），正确． C． 两个角互余和为，第三个角必为，故为直角三角形，正确． D．平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确． 故选：A． 6. 如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果． 【详解】解：A、当时，；故A不符合题意； B、当时，；故B不符合题意； C、当时，；故C符合题意； D、∵，则， ∵，则， ∴；故D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用． 7. 将一含角的直角三角板按如图方式摆放，若直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，三角板中的角度计算，点C作，则，由平行线的性质得出，即可求出，由三角板中的角度可得出，再根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：点C作，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，然后根据等量关系“甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等”和“两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两”即可列出方程组． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意可得：． 故选C． 9. 如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，由平分，平分，则，，通过三角形内角和定理可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为： ； 需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 11. 已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、完全平方公式的变形应用、解一元一次方程等知识点，熟练进行整式的运算是解题的关键． ①将代入得到关于x的方程求解判断即可；②先将展开，然后根据完全平方公式的特点即可解答；将代入可得，然后整理并将代入求值即可判定③． 【详解】解：①将代入得：，解得：，故①错误． ②将展开为：， 若为完全平方式，则：，解得：，故②正确； ③∵， ∴，即 ∴ ，故③正确． 综上，②③正确，正确个数为2． 故选：C． 12. 如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点O，连接，，，延长交于点D，于点E，交于点G．若，，则的长为 （ ） A. B. 12 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，，，，则可得出，，，设，，由三角形外角的定义和性质可得出，，由三角形内角和定理得出，证明，则得出，过点A作与点N，由等腰三角形三线合一的性质得出，再得出，即可得出，，再结合已知条件可得出答案． 【详解】解：∵，垂直平分，， ∴，，，， ∴，，， 设，， ∵是的一个内角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 则， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点A作与点N， 则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的综合问题，三角形内角和定理以及外角的定义和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 计算：_______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 2025年6月，《Nature》报道中国科学家研究成果：通过亚晶格重构提升光子雪崩非线性，成功使得直径27nm（相当于0.000000027m）的纳米颗粒的光学非线性阶数从40跃升至156，为低成本超分辨成像奠定关键技术基础．将数据0.000000027用科学记数法可表示为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000000027用科学记数法可表示为． 故答案为：． 15. 已知等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分是腰长和底边长两种情况讨论，再利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形周长的定义列式计算即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当是腰长时，三边分别为、、， 此时该三角形的周长为：， ②是底边长时，三边分别为、、， ∵， 此时不能构成三角形； 综上所述，这个等腰三角形的周长为． 故答案为：． 16. 如图，平分，，若，则的度数是_______ 【答案】##132度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据角平分线的定义求得，由等边对等角求得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，先根据完全平方公式将所求式子变形，再整体代入计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 18. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相，激发了公众对机器人技术的研究热情．机器人爱好者小南同学通过查阅资料了解到，某一型号机器人的零件在生产时，因设备启动、参数校准等因素，通常存在“首小时低效期”与“稳定高效期”的生产特点．其零件生产时间与生产数量y（个）的具体数据如下表所示，则y与x的关系式为_______不必写出x的取值范围）． 零件生产时间 1 2 3 4 ．．． 生产数量y（个） 18 48 78 108 ··· 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数解析式，通过表格数据可得零件生产时间没增加1小时，则生产数量就增加30个，据此可得，即可得出答案． 【详解】解：通过表格数据可得零件生产时间没增加1小时，则生产数量就增加30个， 则， 则y与x的关系式为． 故答案为：． 19. 如图，在中，，D是上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点B落在点处，连接，若，且平分，则的度数为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的定义、等边对等角、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，由等边对等角结合三角形内角和定理计算可得，最后再由平角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据方程组的解法得出，再根据得到，求出a的值即可． 【详解】解：， 得，， ∴， 又， ， ． 故答案为：． 21. 如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为_______ 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连结，设，根据线段垂直平分线的性质可逐步求得，，，再计算，即可求得答案． 【详解】解：连结， 设，则，， 垂直平分， ，， ，， ， ， 的周长为． 故答案为：32． 22. 如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，几何概率，先证明，得到，根据，，易求，设，则，进而求出，令，则，求出，进而求出，即可解答． 【详解】解：∵为三角形纸板的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 23. 某云计算公司在重庆建立了一个大型数据处理中心．某天早上8点，数据中心有4800个初始任务在等待处理，且不断有新任务到达数据中心，假设每分钟新到达的任务数量恒定，每台传统服务器每分钟处理的任务数量恒定．数据中心共有10台传统服务器，若开放8台传统服务器，则需要40分钟处理完所有任务（包括初始任务和新到达任务，下同）；若传统服务器全部开放，则需要24分钟处理完所有任务．为减少用户等待时间，现准备将部分传统服务器进行升级，升级后的服务器处理速度比传统服务器提升．若将服务器全部开启，其他条件保持不变，想要15分钟处理完所有任务，则需要升级传统服务器_________台． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用， 设每分钟新到达的任务数量为x个，每台传统服务器每分钟处理的任务数量为y个，根据开放8台传统服务器，则需要40分钟处理完所有任务（包括初始任务和新到达任务，下同）；传统服务器全部开放，则需要24分钟处理完所有任务建立方程组求出x、y的值，再设需要升级传统服务器m台，根据15分钟处理完所有任务建立方程求解即可． 【详解】解：设每分钟新到达的任务数量为x个，每台传统服务器每分钟处理的任务数量为y个， 由题意得，， 解得， 设需要升级传统服务器m台， 由题意得，， 解得， ∴需要升级传统服务器5台， 故答案为：5． 24. 如图，在中，，，D，E 分别为边上的点，且，连接，于点G，交于点F，交于点H，交于点P，连接．若平分，下列结论：①；②； ③；④；⑤，其中正确结论的序号是_______ 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】如图，记的交点为，证明，，结合，，可得，故②符合题意； 过作交的延长线于，则，证明，，可得，，，故①符合题意；过作于，证明，可得，可得，故③符合题意；证明，可得，故④符合题意；证明，可得，在上取点，使，证明为等边三角形，可得，可得，故⑤符合题意. 【详解】解：如图，记的交点为, ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； 过作交的延长线于，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故①符合题意； 过作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在上取点，使， 而，， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意； 故答案为：①②③④⑤ 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、计算题：（本大题共3个小题，25题8分，26题8分，27题8分，共24分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是幂的运算，零次幂，负整数指数幂的含义； （1）先计算乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，除法运算，再合并同类项即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 26. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 整理得 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 27. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练的进行整式的乘法与除法运算是解本题的关键．先计算括号内的整式的乘法运算，再进行多项式除以单项式，得到化简后的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 四、解答题：（本大题共6个小题，28题-31题每题8分，32题10分，33题12分，共54分）解答时给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 28. 学习了轴对称图形后，小南对等腰三角形底边上的高的垂直平分线进行了研究．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：作等腰三角形底边上的高的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在中，，，垂直平分． 求证：是等腰三角形． ∵， ∴平分， ∴ ① ∵垂直平分， ∴， ② ∴， ∴， 在和中， ∵， ③ ， ∴， ∴ ④ ∴是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由三线合一定理可得平分，则，由线段垂直平分线的性质得到，，则可证明，进而证明，再证明，得到，则可证明是等腰三角形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ∵， ∴平分， ∴ ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 29. 南开中学在“数学文化节”期间开展了学生喜爱的游园活动．为了解学生对“魔方”、“24点”、“智力环”、“数独”这四项游戏的喜爱程度，随机对m名学生进行了统计调查（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．“魔方”、“24点”、“智力环”、“数独”这四项游戏分别记作A，B，C，D． 根据图中信息，解答下列问题： （1） ， ，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C项游戏对应的扇形圆心角 度； （3）从喜爱D项游戏的4名学生（3名男生1名女生）中随机选取1人接受访谈，则恰好选中一名男生的概率为 ； （4）若此次游园活动共有1000人参加，请你估计喜欢C项游戏的有多少人？ 【答案】（1），，见解析 （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、求扇形统计图圆心角度数、根据概率公式求概率、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由组的人数和所占比例求出的值，求出组所占的比例即可得出的值，求出组的人数即可补全条形统计图； （2）用乘以组的人数所占的比例即可得解； （3）根据概率公式计算即可得解； （4）用乘以组的人数所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ，故， 组的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，C项游戏对应的扇形圆心角为度； 【小问3详解】 解：从喜爱D项游戏的4名学生（3名男生1名女生）中随机选取1人接受访谈，则恰好选中一名男生的概率为； 【小问4详解】 解：（人）， 故喜欢C项游戏的有人． 30. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：在与中， ， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 31. 已知A，B两地在一条笔直的道路上．甲、乙两人同时出发，甲从A地出发匀速前往B地，乙从B 地出发匀速前往A地，乙到达A地后立即原速返回B地（甲、乙两人到达B地后均停止运动）．甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）AB两地相距 米，甲的速度为 米／分钟，乙的速度为 米／分钟； （2） ， ； （3）在运动过程中，当两人相距100米时，请直接写出x的值． 【答案】（1），， （2）， （3）两人相距米时，的值为或或 【解析】 【分析】本题考查函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用． （1）由知，，两地相距米，利用速度路程时间结合图象即可得到甲的速度和乙的速度； （2）根据图象数据即可解答； （3）分三种情况：当两人相遇前，当两人相遇后，当甲到地，乙返回距地米时，分别解方程可得答案． 【小问1详解】 解：由知，，两地相距米， 由图象可得，甲用分钟到达地， 甲的速度为（米/分钟）， 乙用分钟回到地， 乙的速度为（米/分钟）， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：如图， 点表示乙到达地， ， 此时甲所走路程是（米）， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：当两人相遇前，， 解得； 当两人相遇后，， 解得：， 当甲到地，乙返回距地米时，， 解得； 综上所述，当两人相距米时，的值为或或． 32. 列方程或方程组解应用题： 某玩具店为促销呆萌熊猫和奇幻精灵这两种玩具，在儿童节期间推出限时优惠活动．下表列出了楠楠和凯凯的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）： 呆萌熊猫数量 奇幻精灵数量 付款金额 楠楠 2 3 135 凯凯 3 2 115 （1）根据上表，求呆萌熊猫和奇幻精灵的限时优惠单价： （2）为进一步提升销量，该玩具店准备将两种玩具混合打包成盲盒销售，盲盒分为A，B两种，两种盲盒里的玩具均为15个，其中A盲盒包含m（）个呆萌熊猫，其余为奇幻精灵；B盲盒包含n（）个奇幻精灵，其余为呆萌熊猫．盲盒包装成本可忽略不计，盲盒内玩具的销售单价仍然按限时优惠单价计算．若A盲盒销量为7盒，B盲盒销量为6盒，两种盲盒的销售总额为5725元，求满足条件的整数m，的所有可能取值． 【答案】（1）呆萌熊猫的限时优惠单价为元，奇幻精灵的限时优惠单价为元 （2）满足条件的整数m，的所有可能取值为，或， 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确得出方程组是解此题的关键． （1）设呆萌熊猫的限时优惠单价为元，奇幻精灵的限时优惠单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设呆萌熊猫的限时优惠单价为元，奇幻精灵的限时优惠单价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴呆萌熊猫的限时优惠单价为元，奇幻精灵的限时优惠单价为元； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 整理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、为整数，， ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时， 故满足条件的整数m，的所有可能取值为，或，． 33. 在中，的角平分线交于点D，点E在延长线上． （1）如图1，若，交延长线于点F，延长交于点G，求证：； （2）如图2，连接，过点A作，交延长线于点，于点N，若，，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，当时，连接，交于点K，点P，Q分别是，边上的动点，且，连接，，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，，从而得出，由等角对等边可得，证明得出，即可得证； （2）连接，作于，证明，得出，，设，则，，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，即可推出，由等腰三角形的性质可得，即可得证； （3）作于，作于，由（2）可得，，求出，由等边对等角可得，计算可得，推出，设，则，，求出 ，作射线使得，在射线上截取点，使得，连接交于，证明，得出，推出，当点、、在同一直线上时，的值最小，为，证明，得出，推出，结合勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图：连接，作于， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作于，作于， ， 由（2）可得：，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 作射线使得，在射线上截取点，使得，连接交于， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点、、在同一直线上时，的值最小，为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学2024-2025学年度下学期期末考试七年级 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 掷一枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ） A. 点数小于1 B. 点数为3 C. 点数大于6 D. 点数小于7 4. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 同位角相等 B. 三角形的三条角平分线交于一点 C. 有两个角互余的三角形是直角三角形 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6. 如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一含角的直角三角板按如图方式摆放，若直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11. 已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点O，连接，，，延长交于点D，于点E，交于点G．若，，则的长为 （ ） A. B. 12 C. D. 16 二、填空题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 计算：_______ 14. 2025年6月，《Nature》报道中国科学家研究成果：通过亚晶格重构提升光子雪崩非线性，成功使得直径27nm（相当于0.000000027m）的纳米颗粒的光学非线性阶数从40跃升至156，为低成本超分辨成像奠定关键技术基础．将数据0.000000027用科学记数法可表示为_______ 15. 已知等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为______． 16. 如图，平分，，若，则的度数是_______ 17. 已知，则的值为_______． 18. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相，激发了公众对机器人技术的研究热情．机器人爱好者小南同学通过查阅资料了解到，某一型号机器人的零件在生产时，因设备启动、参数校准等因素，通常存在“首小时低效期”与“稳定高效期”的生产特点．其零件生产时间与生产数量y（个）的具体数据如下表所示，则y与x的关系式为_______不必写出x的取值范围）． 零件生产时间 1 2 3 4 ．．． 生产数量y（个） 18 48 78 108 ··· 19. 如图，在中，，D是上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点B落在点处，连接，若，且平分，则的度数为_________ 20. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则_________ 21. 如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为_______ 22. 如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______ 23. 某云计算公司在重庆建立了一个大型数据处理中心．某天早上8点，数据中心有4800个初始任务在等待处理，且不断有新任务到达数据中心，假设每分钟新到达的任务数量恒定，每台传统服务器每分钟处理的任务数量恒定．数据中心共有10台传统服务器，若开放8台传统服务器，则需要40分钟处理完所有任务（包括初始任务和新到达任务，下同）；若传统服务器全部开放，则需要24分钟处理完所有任务．为减少用户等待时间，现准备将部分传统服务器进行升级，升级后的服务器处理速度比传统服务器提升．若将服务器全部开启，其他条件保持不变，想要15分钟处理完所有任务，则需要升级传统服务器_________台． 24. 如图，在中，，，D，E 分别为边上的点，且，连接，于点G，交于点F，交于点H，交于点P，连接．若平分，下列结论：①；②； ③；④；⑤，其中正确结论的序号是_______ 三、计算题：（本大题共3个小题，25题8分，26题8分，27题8分，共24分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 计算： （1） （2） 26. 解下列方程组： （1） （2） 27. 先化简，再求值：，其中，． 四、解答题：（本大题共6个小题，28题-31题每题8分，32题10分，33题12分，共54分）解答时给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 28. 学习了轴对称图形后，小南对等腰三角形底边上的高的垂直平分线进行了研究．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：作等腰三角形底边上的高的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在中，，，垂直平分． 求证：是等腰三角形． ∵， ∴平分， ∴ ① ∵垂直平分， ∴， ② ∴， ∴， 在和中， ∵， ③ ， ∴， ∴ ④ ∴是等腰三角形． 29. 南开中学在“数学文化节”期间开展了学生喜爱的游园活动．为了解学生对“魔方”、“24点”、“智力环”、“数独”这四项游戏的喜爱程度，随机对m名学生进行了统计调查（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．“魔方”、“24点”、“智力环”、“数独”这四项游戏分别记作A，B，C，D． 根据图中信息，解答下列问题： （1） ， ，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C项游戏对应的扇形圆心角 度； （3）从喜爱D项游戏的4名学生（3名男生1名女生）中随机选取1人接受访谈，则恰好选中一名男生的概率为 ； （4）若此次游园活动共有1000人参加，请你估计喜欢C项游戏的有多少人？ 30. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 31. 已知A，B两地在一条笔直的道路上．甲、乙两人同时出发，甲从A地出发匀速前往B地，乙从B 地出发匀速前往A地，乙到达A地后立即原速返回B地（甲、乙两人到达B地后均停止运动）．甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）AB两地相距 米，甲的速度为 米／分钟，乙的速度为 米／分钟； （2） ， ； （3）在运动过程中，当两人相距100米时，请直接写出x的值． 32. 列方程或方程组解应用题： 某玩具店为促销呆萌熊猫和奇幻精灵这两种玩具，在儿童节期间推出限时优惠活动．下表列出了楠楠和凯凯的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）： 呆萌熊猫数量 奇幻精灵数量 付款金额 楠楠 2 3 135 凯凯 3 2 115 （1）根据上表，求呆萌熊猫和奇幻精灵的限时优惠单价： （2）为进一步提升销量，该玩具店准备将两种玩具混合打包成盲盒销售，盲盒分为A，B两种，两种盲盒里的玩具均为15个，其中A盲盒包含m（）个呆萌熊猫，其余为奇幻精灵；B盲盒包含n（）个奇幻精灵，其余为呆萌熊猫．盲盒包装成本可忽略不计，盲盒内玩具的销售单价仍然按限时优惠单价计算．若A盲盒销量为7盒，B盲盒销量为6盒，两种盲盒的销售总额为5725元，求满足条件的整数m，的所有可能取值． 33. 在中，的角平分线交于点D，点E在延长线上． （1）如图1，若，交延长线于点F，延长交于点G，求证：； （2）如图2，连接，过点A作，交延长线于点，于点N，若，，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，当时，连接，交于点K，点P，Q分别是，边上的动点，且，连接，，当取最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $