精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年下学期七年级期末考试数学试题

重庆一中初2027届2024-2025学年度七下期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小． 比较四个实数的大小，先区分正负，负数小于正数；再比较两个负数的大小，绝对值大的负数更小，据此判断即可． 【详解】解：，且， ， 即最小的数是； 故选：D． 2. 下列四个交通标志中，不属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称的定义，掌握轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A：二次根式加法需同类项合并，与非同类，无法直接相加，故该选项不符合题意； B：根据二次根式乘法法则，，正确结果为：，故该选项不符合题意； C：同类二次根式系数相加，，故该选项符合题意； D：计算得，，则，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 太阳东升西落 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 明天要下雨 D. 某天最高气温为 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A. 太阳东升西落，是必然事件，本选项符合题意； B. 抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意； C. 明天要下雨，是随机事件，本选项不符合题意； D. 某天最高气温为，是不可能事件，本选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了邻补角性质，平行线性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用． 根据邻补角性质，得到，再利用两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】解：， ，如图： ， ； 故选：A． 6. 周末，小明与同学相约在图书馆看书，小明从家匀速步行出发，走了一段时间后，小明发现时间有点来不及，所以小明准备乘坐一辆出租车前往图书馆，在原地等待一段时间后，小明坐上了出租车，准时到达了图书馆．小明距离家的路程与时间的关系大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据题意识别函数图象，注意画图象时的分段情况是解题的关键． 根据题意分三段分析判断即可． 【详解】解：小明与同学相约在图书馆看书，小明从家匀速步行出发，因此S随时间t的增长而增长， 等了几分钟后坐上了出租车，因此时间在增加，S不增长， 坐上了出租车，出租车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，且速度比步行时快， 因此S又随时间t的增长而增长． 故选：D． 7. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的大小估算．根据题意，先化简，再对化简后的式子进行估算即可． 【详解】解：原式为，展开得：， ， ， ， 即估计的值应在6和7之间； 故选C． 8. 下列说法中，错误的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到直线的距离 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对顶角、全等三角形的判定、点到直线的距离、平行公理．正确把握相关定义是解题关键． 根据相关知识逐一分析各选项的正确性，找出错误的说法即可． 【详解】解：A. 对顶角的定义是两个角有一个公共顶点且两边互为反向延长线，根据几何定理，对顶角相等，故A正确，不符合题意． B. 全等三角形的判定法指出三边对应相等的两个三角形全等，故B正确，不符合题意． C. 点到直线的距离定义为该点到直线的垂线段长度，描述符合定义，故C正确，不符合题意． D. 平行公理中，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．若点在直线上，则无法作平行线．选项未限定“直线外一点”，表述不严谨，故D错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、D，连接，、，的周长为16，则的周长为（ ） A. B. 22 C. D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理．根据线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为16，可得，再由直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点E、D， ∴，， ∵的周长为16， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B 10. 若，则的值为（ ） A. 90 B. 91 C. 93 D. 95 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 11. 如图，在中，点D是边上一点，，连接，点E是边上一点，，连接，与交于点F，若，则四边形的面积是（ ） A. B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，二元一次方程组，解题的关键是引进未知数，根据面积之间的关系建立等式求解． 连接，根据题意设，则，，设，则，，利用，建立二元一次方程组求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， 设，则，， ， 设，则，， ， 可得， 解得， 则四边形的面积为； 故选：B． 12. 如图，已知为等边三角形，点为中点，点在的平分线上，点在上，分别连接，，和，已知，过点作，且，连接，在上截取一点，使得，连接， ，延长至点使得，下面结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出是等腰直角三角形，进而证明是的角平分线，即可判断①；设等边三角形的边长为，分别求得，即可判断②；以为斜边作等腰直角三角形，连接，延长交于点，得出是等腰直角三角形，三角形是等腰直角三角形，证明，，进而分别求得，计算，而，即可判断③，证明得出即，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为等边三角形，点为中点， ∴，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴点到的距离相等， 又∵点在的平分线上， ∴点到的距离相等， ∴点到的距离相等，即是的角平分线， ∵， ∴， ∴，故①正确； 设等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接，延长交于点， ∵ ∴在的垂直平分线上， 又∵到的距离为，到的距离等于 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，故③错误， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴即，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，角平分线的性质，分母有理化，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 64的算术平方根是______． 【答案】8 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 14. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 15. 某工厂生产某种产品，在生产过程中，研究发现生产产品的数量n（件）和消耗原材料的质量m（千克）两个变量之间存在一定关系，以下是记录的部分数据表．若生产该产品的数量n为30件，则此时生产该产品消耗原材料的质量m为______千克． n（件） 5 10 15 20 m（千克） 8 13 18 23 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．先求得m关于n的函数关系式为，再计算当时，m的值即可求解． 【详解】解：由表格知，生产产品的数量n（件）和消耗原材料的质量m（千克）两个变量之间存在一次函数关系， 设m关于n的函数关系式为， 将和代入得， 解得， ∴n关于m的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴若生产该产品的数量n为30件，则此时生产该产品消耗原材料的质量m为33千克． 故答案为：33． 16. 如图，在正方形中，点E、F分别为的中点，连接，以为直径在正方形内作圆，现向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖（飞镖落在正方形内任意位置的可能性相等），则飞镖落在阴影部分的概率为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．观察图形知，然后根据几何概率的意义求解． 【详解】解：观察图形知， ∴飞镖落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 17. 已知，则代数式的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值．设，，则，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：设，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.如图，过作于，记的交点为，可得，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于，记的交点为， ∵是边上的高，在左侧作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 19. 如图，在正方形中，E是边上一点，，，G是边上一点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，使点E的对应点F落在的延长线上，连接，交于点H，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求解，，证明，可得，，，可得，结合对折可得：，，由对折可设，则，再进一步的计算即可. 【详解】解：∵在正方形中，E是边上一点，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 结合对折可得：，， 由对折可设，则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的计算是解本题的关键. 20. 对于一个四位自然数M，其各数位上的数字互不相等，若其千位数字与十位数字之和的平方减去百位数字与个位数字之和的平方，结果能被7整除，那么称这个四位数为“幸运数”．例：四位数6325，满足能被7整除，则6325是“幸运数”．那么最小的“幸运数”是_____；若一个“幸运数”，记，当、均为整数时，满足条件的M的最大值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的运算，分类讨论，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解“幸运数”的定义，以及“最小的”这个条件，先固定位上的数字为1，百位上的数字为0，十位的数字为，个位数字为，再验算，得出是“幸运数”．且是最小的“幸运数”，然后根据题意得能被7整除，即能被7整除，或能被7整除，再进行逐个情况讨论，根据，且、均为整数，进行分析验算，即可作答． 【详解】解：依题意，这个“幸运数”是一个四位数，且要求最小的， 故千位上的数字为1，百位上的数字为0，十位的数字为， 则个位数字为 ∵其千位数字与十位数字之和的平方减去百位数字与个位数字之和的平方，结果能被7整除， ∴ ∵能被7整除， 则是“幸运数”．且是最小的“幸运数”； 依题意，一个“幸运数” ∴能被7整除， 即能被7整除， ∴能被7整除，或能被7整除， ∵，且， ∴或或或， ∵要求M的最大值， ∴， ∴或或， ∴或或， ∵是整数，且每个数字不能重复 ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴以上的都是 ∴（舍去）， 当时， 则， ∴， 此时，且为正整数，都不能使得整数， 当时， 则， ∴（舍去）， 当能被7整除， 则， ∴， 即或或， 当时， ∴， ∴， ∵是整数，且每个数字不能重复， ∴此时； 则， ∴， 此时（舍去）； ∴此时； 则， ∴， 此时（舍去）； ∴此时； 则， ∴（每个数字不重复，舍去）， ∴此时； 则， ∴， 此时（舍去）； ∴此时； 则， ∴（舍去）； 当时， ∴， ∴， ∴， ∵是整数，且每个数字不能重复 ∴此时； 则， ∴（舍去）， ∴此时； 则， ∴（舍去）， ∴此时； 则， ∴（舍去）， ∴此时； 则， ∴， 此时， ∴满足条件的M的有； ∴此时； 则， ∴， 此时（舍去）， ∴此时； 则 ∴， 此时（舍去）， ∴此时； 则， ∴（每个数字不重复，舍去）， 当此时； 则， ∴（每个数字不重复，舍去） 当，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，则， 此时舍去； ∴当时，则， ∴， 此时， 则（舍去）， ∴当时，则， ∴， 此时， 则（舍去）， ∴满足条件的M的最大值为 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，21-27题每小题10分，28题12分，共82分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，乘方，负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简乘方，负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，再运算加减，即可作答． （2）先去分母再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 22. 如图，在中，是的角平分线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、G、F，连接．（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）问的条件下，求证：． 证明：是的角平分线， ① 垂直平分， 即，， ② ， ∴③ ， ④ ， ， 在和中， ∴， ∴． 【答案】（1）作图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据基本作图—作已知线段的垂直平分线作出图形即可； （2）根据证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 解：如图，作图如下： 【小问2详解】 证明：是的角平分线， ①， 垂直平分， 即，， ②， ∴③， ④， ， 在和中， ∴， ∴． 23. 先化简，再求值： ，其中m、n满足 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，算术平方根的非负性，先运算中括号内，再合并同类项，然后运算多项式除以单项式，得，结合，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， 解得， 则． 24. 某校社团的同学在“最美重庆”宣传活动日中，为了解学生对重庆人文地理的熟悉情况，随机抽查了七年级部分学生并对他们进行了测试，对测试数据进行整理、描述、分析，并把统计结果分成五组，其中A组表示“”，B组表示“”，C组表示“”，D组表示“”，E组表示“”本次测试采用100分制，60分及以上为合格，80分及以上为优秀，x表示学生的成绩），最后绘制成如图1和图2两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： （1）本次调查活动抽取的样本容量是 ， ，A组类扇形所对的圆心角度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校七年级学生有1500人，请估计测试成绩为优秀的学生有多少人． 【答案】（1）80，25， （2）见解析 （3）该校测试成绩为优秀的学生的约有525人. 【解析】 【分析】（1）由B组16人，占比，可得样本容量，由E组20人和样本容量可求得的值，再利用A组占比乘以可得圆心角的度数； （2）先求解C组人数，再补全图形即可； （3）利用总人数乘以C类的占比从而可得答案. 【小问1详解】 解：由B组16人，占比，可得： 样本容量为：； ，则； 扇形统计图中A组所对的圆心角是 故答案为：80，25，； 【小问2详解】 解：C类的人数有：人， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：该校七年级学生有1500人，则该校测试成绩为优秀的学生的有： 人， 答：该校测试成绩为优秀的学生的约有525人. 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形某部分的圆心角的大小，利用样本估计总体，掌握条形图与扇形图的互相关联的关系是解本题的关键. 25. 如图，在中，点D为上一点，连接，且，点C为外一点，连接，，，． （1）求证： （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，则，根据三角形外角性质以及角的和差，得出，因为，所以，即可作答． （2）先得出，结合全等三角形的性质得，，结合三角形内角和性质得，则，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，两个等腰、，满足， ， ，它们有公共点A，将绕点A进行旋转． （1）如图1，当点D在边上，点E与点B重合时，若，求的度数； （2）当旋转到如图2的位置时，连接、，延长交于点M，若此时有，求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，证明，求解，可得，结合，再进一步求解即可； （2）如图，作，延长，使，连接,,，，设，证明，，再证明，可得，，可得，三点共线，证明，进一步可得结论. 【小问1详解】 解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作，延长，使，连接,,，， 设， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，则 ∴，，则， ∴，而， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，三点共线， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 27. 如图，已知动点P沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从B→C→D→E→F→G→H→A的路径移动，开始以每秒匀速运动，一段时间后速度变为每秒匀速运动，b秒后恢复原速，相应的三角形的面积关于动点P运动的时间的关系图象如图2．若，，根据图象信息回答下列问题： （1）请求出 ， ， ； （2）当的面积等于，求点P运动的时间t； （3）当点P从B点出发时，有一动点Q同时从点B出发，以每秒的速度沿B→C→D→E的路径运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．求时，直接写出点P运动的时间t． 【答案】（1）6，4，8 （2）或 （3）和 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，一元一次方程，函数图像和动点问题的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）通过分析图像可以得到当时，动点在点，当时，动点在点，当时，动点在点，根据三角形面积公式可求得，然后分析可得3秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动，秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动，然后即可求得，； （2）根据图象可得：当的面积等于，存在两种情况，动点分别在线段和线段上，且动点速度都是每秒匀速运动，然后分别列一元一次方程方程即可求解； （3）先求得点到达终点时间，然后在分情况列式作答，即可求解； 【小问1详解】 解：由题可得，当点P运动到线段、线段和线段，三角形的面积不变， ∴当时，动点在点，当时，动点在点，当时，动点在点， 当动点在上时，三角形的面积为， 即， 解得：， ∴， 由题可得：3秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动，秒到秒间，动点速度为每秒匀速运动， 即， ∴， 解得：， 故答案为：6，4，8； 【小问2详解】 解：根据图象可得：当的面积等于，存在两种情况，动点分别在线段和线段上，且动点速度都是每秒匀速运动， ，解得：， 线段：， 线段：， ∴当的面积等于时，点P运动的时间或； 【小问3详解】 解：， ∴当时，点到达终点，即点和点同时停止运动， 由图像可得：当时，动点P速度为每秒匀速运动，当时，动点P速度为每秒匀速运动，当时，动点P速度为每秒匀速运动， 当点P在线段上时，，， 当点P在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 分情况讨论 ①当点在线段上时，点P也在线段上时，由， 即，解得：（符合），当时，，或，均不符合，当点在线段上时，点P在线段上时，，（符合）或（不符合）， 故当点在线段上时，存在2种情况和； ②当点在线段上时，当点P在线段上时，由，由于，故不存在； ③当点在线段上时，当点P在线段上时，由， 即，（不符合）或（不符合）； 综上所述： 当时，存在2种情况，点P运动的时间和； 28. 如图，在中，，设，点E是平面内一点，连接． （1）如图1，，点E在线段上，，若，求的面积； （2）如图2，，点E为外一点，连接、，且．点F，点G都在上，连接和，满足，延长至点D，连接，，使，若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，点E是的中点，点F和点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，且，取得最小值时，等于，若将绕点E顺时针转得线段，连接，交于点G，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于D，利用特殊角的直角三角形三边关系和勾股定理求出，再求的面积； （2）延长至点H，使得，连接，先证明，接着证明为等边三角形，推出，再证明，得，所以； （3）过点A作的平行线，使得，连接，交于点H，证明，推出，说明当三点共线时，有最小值，为的长，再证明，推出，然后设，求出的三边长；在上截取，延长，交于点，作点E关于的对称点，连接，交于点，证明，推出为一定角，说明点D在上运动，当三点共线时，取得最小值时，然后利用等面积法求出的长，的公共高，最后在中利用等面积法求值； 【小问1详解】 过点E作于D，则，如图1所示： ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ，， ， ． 【小问2详解】 ，理由如下： 延长至点H，使得，连接，如图2所示： ，， ， 又， ， ， 又， 为等边三角形， ，即， ， 记， ， ，， ，， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， ， 又， ． 【小问3详解】 过点A作的平行线，使得，连接，交于点H，如图3所示： ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，有最小值，为的长， ， ，， 又∵， ， ， ，E为的中点， ，， 设，则，， ， ，， 在上截取，延长，与交于点，作点E关于的对称点， 连接，交于点，如图4所示： 由题知，，， ， 又， ， 又， ， 为一定角， ∵点是定点， 点D在定直线上运动， 又点E和关于对称， ， ， 当三点共线时，取得最小值时，如图5所示： ， ， ， 又点E和关于对称， ，， 在中，由等面积法得， ，， 在图5中，过点A作，交延长线于点I，过点E作，交于点K，则，， 又， ， ， ， ，， ， ， 在中，由等面积法得， ， 在中，由等面积法得，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，线段和的最小值问题，三角形全等的判定和性质，二次根式，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等面积法求三角形的高等，灵活运用所学知识，通过作辅助线求线段和的最小值，数学结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2027届2024-2025学年度七下期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列四个交通标志中，不属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 太阳东升西落 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 明天要下雨 D. 某天最高气温为 5. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 周末，小明与同学相约在图书馆看书，小明从家匀速步行出发，走了一段时间后，小明发现时间有点来不及，所以小明准备乘坐一辆出租车前往图书馆，在原地等待一段时间后，小明坐上了出租车，准时到达了图书馆．小明距离家的路程与时间的关系大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 下列说法中，错误的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到直线的距离 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 9. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、D，连接，、，的周长为16，则的周长为（ ） A. B. 22 C. D. 26 10. 若，则的值为（ ） A. 90 B. 91 C. 93 D. 95 11. 如图，在中，点D是边上一点，，连接，点E是边上一点，，连接，与交于点F，若，则四边形的面积是（ ） A. B. C. 7 D. 8 12. 如图，已知为等边三角形，点为中点，点在的平分线上，点在上，分别连接，，和，已知，过点作，且，连接，在上截取一点，使得，连接， ，延长至点使得，下面结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 64的算术平方根是______． 14. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 15. 某工厂生产某种产品，在生产过程中，研究发现生产产品的数量n（件）和消耗原材料的质量m（千克）两个变量之间存在一定关系，以下是记录的部分数据表．若生产该产品的数量n为30件，则此时生产该产品消耗原材料的质量m为______千克． n（件） 5 10 15 20 m（千克） 8 13 18 23 16. 如图，在正方形中，点E、F分别为的中点，连接，以为直径在正方形内作圆，现向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖（飞镖落在正方形内任意位置的可能性相等），则飞镖落在阴影部分的概率为______ 17. 已知，则代数式的值为_____． 18. 如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则_____． 19. 如图，在正方形中，E是边上一点，，，G是边上一点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，使点E的对应点F落在的延长线上，连接，交于点H，则的长为_______． 20. 对于一个四位自然数M，其各数位上的数字互不相等，若其千位数字与十位数字之和的平方减去百位数字与个位数字之和的平方，结果能被7整除，那么称这个四位数为“幸运数”．例：四位数6325，满足能被7整除，则6325是“幸运数”．那么最小的“幸运数”是_____；若一个“幸运数”，记，当、均为整数时，满足条件的M的最大值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，21-27题每小题10分，28题12分，共82分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 21. 计算： （1） （2） 22. 如图，在中，是的角平分线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、G、F，连接．（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）问的条件下，求证：． 证明：是的角平分线， ① 垂直平分， 即，， ② ， ∴③ ， ④ ， ， 在和中， ∴， ∴． 23. 先化简，再求值： ，其中m、n满足 24. 某校社团的同学在“最美重庆”宣传活动日中，为了解学生对重庆人文地理的熟悉情况，随机抽查了七年级部分学生并对他们进行了测试，对测试数据进行整理、描述、分析，并把统计结果分成五组，其中A组表示“”，B组表示“”，C组表示“”，D组表示“”，E组表示“”本次测试采用100分制，60分及以上为合格，80分及以上为优秀，x表示学生的成绩），最后绘制成如图1和图2两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： （1）本次调查活动抽取的样本容量是 ， ，A组类扇形所对的圆心角度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校七年级学生有1500人，请估计测试成绩为优秀的学生有多少人． 25. 如图，在中，点D为上一点，连接，且，点C为外一点，连接，，，． （1）求证： （2）若，，求的度数． 26. 如图，两个等腰、，满足， ， ，它们有公共点A，将绕点A进行旋转． （1）如图1，当点D在边上，点E与点B重合时，若，求的度数； （2）当旋转到如图2的位置时，连接、，延长交于点M，若此时有，求证： 27. 如图，已知动点P沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从B→C→D→E→F→G→H→A的路径移动，开始以每秒匀速运动，一段时间后速度变为每秒匀速运动，b秒后恢复原速，相应的三角形的面积关于动点P运动的时间的关系图象如图2．若，，根据图象信息回答下列问题： （1）请求出 ， ， ； （2）当的面积等于，求点P运动的时间t； （3）当点P从B点出发时，有一动点Q同时从点B出发，以每秒的速度沿B→C→D→E的路径运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．求时，直接写出点P运动的时间t． 28. 如图，在中，，设，点E是平面内一点，连接． （1）如图1，，点E在线段上，，若，求的面积； （2）如图2，，点E为外一点，连接、，且．点F，点G都在上，连接和，满足，延长至点D，连接，，使，若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，点E是的中点，点F和点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，且，取得最小值时，等于，若将绕点E顺时针转得线段，连接，交于点G，当取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $