第08讲 命题与证明（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪科版2024）

第08讲 命题与证明（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断是否是命题 典型例题二 写出命题的题设与结论 典型例题三 判断命题真假 典型例题四 举例说明假（真）命题 典型例题五 写出命题的逆命题 典型例题六 举反例 典型例题七 判断是否为互逆命题 典型例题八 写出一个命题的已知、求证及证明过程 典型例题九 以几何与代数为背景的推理与论证 典型例题十 三角形内角和定理的证明 典型例题十一 三角形的外角的定义及性质 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 【即时训练】 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【即时训练】 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）命题“如果或，那么”的逆命题是 ． 知识点02 命题 ①命题：判断一件事情的语句叫作命题. ②真命题与假命题：正确的命题叫作真命题,错误的命题叫作假命题. ③命题的写法： 数学命题通常由条件、结论两部分组成,命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.用“如果”开始的部分是条件,用“那么”开始的部分是结论. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）能说明命题“若，则．”是假命题的一个反例可以是（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 ，结论是 ． 知识点03 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，将按由小到大的顺序可以排列为 ． 【典型例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 【例2】（24-25八年级上·山东东营·期中）下列句子中是命题的是（   ） ①三个角对应相等的两个三角形全等； ②负数都小于0； ③过直线l外一点作l的平行线； ④如果，，那么． A．①②④ B．②③④ C．①② D．②④ 【例3】（24-25八年级上·广东清远·期末）命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题是 （填序号）． 1．（24-25八年级上·浙江·期末）给出条件：①两条直线相交成直角；②两条直线互相垂直；③一条直线是另一直线的垂线，并且能否以上述任何一个为条件得出另外两个为内容的结论，正确的是（   ） A．能 B．不能 C．有的能有的不能 D．无法确定 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）举出一些学过的定义的例子． 3．（24-25八年级上·江西九江·期末）命题“若，则．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 4．（24-25八年级上·江西上饶·期中）有下列语句：①作直线的垂线；②相等的角是对顶角；③是无理数吗？④两直线平行，内错角相等． (1)以上语句中，属于命题的有：__________，真命题是__________，假命题是__________（填序号）； (2)把真命题改写为“如果……那么……”的形式：__________．其中，题设是__________，结论是__________． 【典型例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【例4】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)若，则； (2)如果，垂足为O，那么； (3)如果，那么； (4)两直线平行，同位角相等． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知直线、，连接，，点、分别在、上，连接．现有以下选项：①；②；③． (1)请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题； (2)判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例． 【典型例题三 判断命题真假】 【例1】（24-25八年级上·重庆开州·期末）下列各命题中，真命题是（　　） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角互补 C．如果，那么 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【例2】（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【例4】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列命题是真命题的是 ．（填序号） （1）四边形内角和为； （2）对顶角相等； （3）如果，那么； （4）两个锐角之和一定是锐角； （5）如果，那么； （6）垂直于同一直线的两条直线互相平行． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么． 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【典型例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为(    ) A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）为说明“对于任何实数，”是假命题，举一个反例，的值可以是 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）判断命题“若，则的真假，并证明． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题． (1)若，则． (2)如果，那么． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【典型例题五 写出命题的逆命题】 【例1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）下面命题中，其逆命题是真命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．矩形的四个角都是直角 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．正方形是对角线互相垂直且相等的四边形 【例2】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【例4】（2025八年级上·全国·专题练习）命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是 ，是 命题（填“真”或“假”）． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）命题“如果，那么”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)这个逆命题是真命题吗？请证明． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 3．（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图所示，D，E分别是的边，上的点， (1)若D，E分别是，的中点，则四边形的面积与的面积之比为________． (2)若，且，求证：是的中位线． (3)判断命题“若D是的中点，且，则是的中位线”的真假，并说明理由． 【典型例题六 举反例】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知命题“如果，那么”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）下列选项中可以用作证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·北京·期中）能够说明命题“如果，那么”是假命题的一组反例是： ， ． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）证明“如果，那么”是假命题，可以取 ．（填一种即可） 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 2．（24-25八年级上·全国·期中）阅读下面材料： 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角． 请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例） 3．（24-25八年级·全国·课后作业）甲、乙、丙三名同学中有一名做了一件好事，李老师问他们：“谁做了好事？”他们调皮地说了下面的几句话： 甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．” 乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．” 丙说：“我没有做这件事，也不知谁做的这件事．” 当李老师追问时，他们承认上面每人讲的话中都有一句真话，一句假话． 根据这些条件，你能分析出到底是谁做了好事吗？ 【典型例题七 判断是否为互逆命题】 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【例2】（2025·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题． (1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等； (2)等腰三角形的两个底角相等． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 【典型例题八 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）命题是由 和 两部分组成. （2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项. 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）从命题的 出发，根据 ，用“因为，所以”的形式一步一步推出命题的 ，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明． 1．（24-25八年级上·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【典型例题九 以几何与代数为背景的推理与论证】 【例1】（24-25九年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，现有四位同学有如下理解： 甲：当时，选择这本书； 乙：只有当时，才不能选择这本书； 丙：当，，全是1时，选择这本书； 丁：当时，不选择这本书． 其中理解错误的同学是 ． 【例4】（24-25八年级·全国·课后作业）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 2．（24-25八年级·全国·课后作业）当，时，有； 当，时，有； 当，时，有； 当，时，有． 得出结论：、为任何数时，． 这个结论正确吗？ 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【典型例题十 三角形内角和定理的证明】 【例1】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东佛山·模拟预测）如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（    ）    A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【例3】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 【例4】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为 ． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 2．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 【典型例题十一 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（安徽省宣城市2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷）如图，的度数为(    ) A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例3】（陕西省陕西多校期末检测2024-2025学年八年级上学期7月期末数学试题）如图，在等腰中，，点D，E分别为，边上一点，连接，，且，，，则的度数为 ． 【例4】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是 ． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，，，，．连接，点D恰好在上． (1)求证：； (2)求的度数． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”． 解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，点O在内，且到三边的距离相等，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（    ） A． B． C． D．125° 3．（24-25八年级上·广西河池·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画线段 B．用量角器画 C．同位角相等吗？ D．两直线平行，内错角相等 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（    ） A． B． C．0 D．0.5 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）某校学生会文艺部换届选举，经初选、复选后，共有 甲、乙、丙三人进入最后的竞选．最后决定利用投票方式对三人进行选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，全校设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已开完所有选票，剩下第四投票箱尚未开箱，结果如表所示（单位：票） 下列判断正确的是（  ） A．甲可能当选 B．乙可能当选 C．丙一定当选 D．甲、乙、丙三人都可能当选 6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式 7．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 8．（24-25八年级上·重庆黔江·期末）如图，在中，若，于点，则 ． 9．（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）． 10．（24-25八年级上·北京·阶段练习）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟． 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）用反证法证明：如果，那么． 12．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是菱形．（画出图形，写出已知、求证，并证明） 13．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，垂足为，，． (1)求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 14．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图1，为直角三角形，．的两顶点B，C分别在直角边，上，且P点在内． (1)若，则______度，______度； (2)如图2，连接，若，试说明平分； (3)请判断点P是否满足平分且平分，并说明理由． 15．（2025·山东潍坊·模拟预测）【问题提出】 甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始石子总数为n，探究先手或后手必胜的策略． 【问题探究】 （1）基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，填写下表并总结规律： 石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 先手是否有必胜的策略 是 是 否 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （2）扩展情形分析：若每次最多取3颗（）． 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略． 当时，先手第一次取______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 【问题解决】 当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择______（先手或后手），你的必胜策略是什么？ 【问题拓展】 若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取______颗以确保必胜． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 命题与证明（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断是否是命题 典型例题二 写出命题的题设与结论 典型例题三 判断命题真假 典型例题四 举例说明假（真）命题 典型例题五 写出命题的逆命题 典型例题六 举反例 典型例题七 判断是否为互逆命题 典型例题八 写出一个命题的已知、求证及证明过程 典型例题九 以几何与代数为背景的推理与论证 典型例题十 三角形内角和定理的证明 典型例题十一 三角形的外角的定义及性质 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 【即时训练】 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）命题“如果或，那么”的逆命题是 ． 【答案】如果，那么或 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换命题的题设和结论之后即可写出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果或，那么”的逆命题是：如果，那么或． 故答案为：如果，那么或． 知识点02 命题 ①命题：判断一件事情的语句叫作命题. ②真命题与假命题：正确的命题叫作真命题,错误的命题叫作假命题. ③命题的写法： 数学命题通常由条件、结论两部分组成,命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.用“如果”开始的部分是条件,用“那么”开始的部分是结论. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）能说明命题“若，则．”是假命题的一个反例可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了命题，说明命题“若，则”是假命题，找到满足但的例子即可． 【详解】A、，，满足，且，结论成立，不符合题意； B、，，不满足，不符合题意； C、 ，，满足，但，结论不成立，符合题意； D、 ，，不满足，不符合题意； 故选：C． 【即时训练】 2．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 ，结论是 ． 【答案】 两个数的绝对值相等 这两个数互为相反数 【分析】本题考查命题的改写，将命题改写成如果，那么的性质，如果后面是条件，那么后面是结论，作答即可． 【详解】解：原命题可写为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数， ∴命题的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数， 故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数． 知识点03 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，将按由小到大的顺序可以排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角是解题的关键； 根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， 同理， ∴； 故答案为：． 【典型例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A.“延长线段”是作法，而非陈述事实，无法判断真假，不是命题； B.“两点之间，线段最短”是陈述句，符合几何公理，为真命题； C.“同位角相等”是陈述句，在特定条件下可判断真假（如平行线中为真，否则为假），属于命题； D.“如果，那么”是条件陈述句，结论虽假（x可为），但仍可判断真假，属于命题， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·山东东营·期中）下列句子中是命题的是（   ） ①三个角对应相等的两个三角形全等； ②负数都小于0； ③过直线l外一点作l的平行线； ④如果，，那么． A．①②④ B．②③④ C．①② D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查命题的定义，表示对一件事情进行判断的语句叫命题，关键是能根据命题的定义对每一项进行判断．根据命题的定义即表示对一件事情进行判断的语句叫命题，分别对每一项是否是命题进行判断即可． 【详解】解：①“三个角对应相等的两个三角形全等”是陈述句，是命题； ②“负数都小于0”是陈述句，负数定义为小于0的数，是命题； ③“过直线l外一点作l的平行线”是祈使句，描述动作而非陈述事实，不是命题； ④“如果，，那么”是条件陈述句，是命题； 命题为①②④， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·广东清远·期末）命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据邻补角互补，对顶角相等的性质，线段的性质对各小题分析判断后即可求解． 【详解】解：①邻补角互补，正确； ②对顶角相等，正确； ③被截线不平行则同旁内角不互补，故本小题错误； ④两点之间线段最短，是线段的性质，正确； 正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，是对基础知识的综合考查，熟记概念与性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江·期末）给出条件：①两条直线相交成直角；②两条直线互相垂直；③一条直线是另一直线的垂线，并且能否以上述任何一个为条件得出另外两个为内容的结论，正确的是（   ） A．能 B．不能 C．有的能有的不能 D．无法确定 【答案】A 【详解】试题解析：①作为条件，②③为结论正确；②作为条件，①③为结论正确； ③作为条件，①②为结论正确． 故选A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）举出一些学过的定义的例子． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是定义的含义．分别举出已经学习过的角的定义，三角形的定义即可． 【详解】解：角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角； 三角形的定义：三条线段首尾顺次相连组成的图形叫三角形． 3．（24-25八年级上·江西九江·期末）命题“若，则．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】写出该命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：命题“若，则．”的逆命题是若a＞b，则， 例如：当a=3，b=-2时错误，为假命题， 故答案为假． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是交换命题的题设写出该命题的逆命题． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期中）有下列语句：①作直线的垂线；②相等的角是对顶角；③是无理数吗？④两直线平行，内错角相等． (1)以上语句中，属于命题的有：__________，真命题是__________，假命题是__________（填序号）； (2)把真命题改写为“如果……那么……”的形式：__________．其中，题设是__________，结论是__________． 【答案】(1)②④；④；②； (2)见解析 【分析】本题考查了命题的判断及改写，真假命题的判定，掌握命题的判定和改写方法是关键． （1）根据命题的定义：能够判断其真假的陈述句被称为命题；真假命题的定义依次判断即可； （2）根据真命题的改写形式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：①作直线的垂线，不是命题； ②相等的角是对顶角，是命题；相等的角不一定是对顶角，是假命题； ③是无理数吗？，不是命题； ④两直线平行，内错角相等，是命题；是真命题； 故答案为：②④；④；②； （2）④两直线平行，内错角相等改写为“如果……那么……”的形式： 如果两条直线平行，那么内错角相等； 题设是两条直线平行，结论是内错角相等． 【典型例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与逆命题的关系，正确判定命题的真假成为解题的关键． 根据命题与逆命题的关系逐项分析即可解答． 【详解】解：A． 命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此命题一定有逆命题，正确，符合题意； B． 定理的逆命题不一定为真，即不一定有逆定理，例如“全等三角形对应角相等”的逆命题“对应角相等的三角形全等”不成立，故错误，不符合题意； C． 真命题的逆命题不一定是真命题．例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”为假，错误，不符合题意； D． 假命题的逆命题不一定是真命题．例如“若两个角相等，则它们是对顶角”是假命题，其逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真；但若原命题为“若今天下雨，则地湿”，其逆命题“若地湿，则今天下雨”可能为假，故错误，不符合题意． 故选A． 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ， （两直线平行，同旁内角互补） ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 【例4】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 【分析】本题考查了把命题改成“如果…，那么…”形式及逆命题的定义，关键是要找到什么是条件什么是结论．本命题是判断一个三角形是等边三角形，所以“如果”后面的是三角形具备的条件，那么后面的是“等边三角形”这一结论 【详解】解：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形， 则逆命题是：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等． 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 【答案】(1)如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等； (2)如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形． 【分析】本题考查了改写命题.将命题改写成 “如果……，那么……” 形式，关键是准确区分命题的条件和结论，使改写后的语句逻辑清晰、表意明确． “如果” 后面接的是命题的条件，“那么” 后面接的是命题的结论．对于 (1)，条件是两个三角形全等，结论是对应角相等；对于 (2)，条件是等腰三角形有一个角为，结论是该三角形是等边三角形． 【详解】（1）将全等三角形的对应角相等改写成“如果……，那么……” 的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等； （2）将有一个角等于的等腰三角形是等边三角形改写成“如果……，那么……” 的形式：如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)若，则； (2)如果，垂足为O，那么； (3)如果，那么； (4)两直线平行，同位角相等． 【答案】(1)条件：，结论： (2)条件：，垂足为O，条件： (3)条件：，结论： (4)条件：两直线平行，结论：同位角相等 【分析】本题主要考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 按照“若p，则q”形式的命题中p叫做命题的题设，q叫做命题的结论，找出下列命题中的“p”和“q”即可． 【详解】（1）解：题设：， 结论：； （2）解：题设：，垂足为O， 结论：； （3）解：题设：， 结论：； （4）解：题设：两直线平行， 结论：同位角相等． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知直线、，连接，，点、分别在、上，连接．现有以下选项：①；②；③． (1)请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题； (2)判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例． 【答案】(1)如果，，那么 (2)真命题，见解析 【分析】（1）根据命题书写格式，按照“如果…那么…”的形式写出即可； （2）利用平行线的判定定理证明即可． 本题考查了命题的书写格式，平行线的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，①；②为条件，③是结论， 故命题写作：如果，，那么． （2）证明：该命题为真命题，理由如下： ， ， ， ， ， ． 【典型例题三 判断命题真假】 【例1】（24-25八年级上·重庆开州·期末）下列各命题中，真命题是（　　） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角互补 C．如果，那么 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查命题真假的判定，逐一分析各选项是否符合几何基本定理或代数方程解的情况，判断其是否为真命题． 【详解】解：A、对顶角相等：根据几何定理，两条直线相交形成的对顶角必相等，故A为真命题； B、平行线性质中，同位角应相等而非互补（互补指和为），故B错误； C、如果，则：方程的解为或，结论不全面，故C错误； D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行：平行公理中，需明确为“直线外一点”，若点在已知直线上，则无法作平行线，故D表述不严谨，错误； 综上，只有A为真命题， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握对顶角相等及平行线判定的一般方法．根据对顶角、邻补角定义及平行线、垂线的性质逐项判断，即可求解． 【详解】A． 对顶角相等，符合几何性质，是真命题； B． 邻补角需满足“有公共边、另一边互为反向延长线且和为”．仅有公共边和互补不一定是邻补角（如不相邻的互补角），故为假命题； C． 同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，是真命题； D． 同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，符合平行线判定，是真命题． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了命题的逆命题、判断命题真假，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先写出命题的逆命题，再判定命题真假即可得出答案． 【详解】解：命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是“如果，那么互为相反数．”， 所以原命题的逆命题是真命题． 故答案为：真． 【例4】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列命题是真命题的是 ．（填序号） （1）四边形内角和为； （2）对顶角相等； （3）如果，那么； （4）两个锐角之和一定是锐角； （5）如果，那么； （6）垂直于同一直线的两条直线互相平行． 【答案】（1）（2） 【分析】此题考查了真假命题，四边形内角和，对顶角相等，解一元一次方程，两个锐角之和，不等式和平行的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．根据四边形内角和，对顶角相等，解一元一次方程，两个锐角之和，不等式的性质和平行线的判定逐项判断即可． 【详解】（1）四边形内角和为，正确，是真命题； （2）对顶角相等，正确，是真命题； （3）如果， 去分母得， 解得，故原说法错误，是假命题； （4）两个锐角之和不一定是锐角，是假命题； （5）如果，那么，故原说法错误，是假命题； （6）同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，故原说法错误，是假命题． 故答案为：（1）（2）． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，举反例，正确理解题意是解题的关键． （1）直角是90度的角，则直角都相等，据此可得答案； （2）当时，满足，当不满足，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵直角是90度的角， ∴直角都相等，原命题是真命题； （2）解；如果，那么，这是一个假命题， 例如当时，满足，当不满足，故原命题是假命题． 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ，， ， ， ， ， ， ； 选择①③为题设，②为结论， ，， ， ， ， ∴， ， ； 选择②③为题设，①为结论， ， ， ， ， ， ， 又， ． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒① (2)选择命题1：①②⇒③，证明见解析；选择命题2：②③⇒①，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三个条件写出真命题即可； （2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，即可得到，进而求出即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角的定义得到，进而得到,然后根据三角形的内角和定理得到即可证明结论． 【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①． （2）选择命题1：①②⇒③． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 选取命题2：②③⇒①． 证明: ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【典型例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了举反例说明命题是假命题，要说明命题“如果|，那么”是假命题，找到满足但的例子． 【详解】解：A：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例． B：，．计算得，，满足，但，符合反例要求． C：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例． D：，．计算得，，不满足，不符合条件． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断和实数的性质，把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例，熟知实数的性质，能正确举出反例是解本题的关键． 【详解】、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 故选：． 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）为说明“对于任何实数，”是假命题，举一个反例，的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了举例说明假命题、不等式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意，举一个反例，说明“对于任何实数，”是假命题即可解答． 【详解】解：当时，，则， 当时，不成立， 为说明“对于任何实数，”是假命题，举一个反例，的值可以是1（答案不唯一，言之成理即可）． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）． 【答案】－2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，， 说明命题“对于任何实数，”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）判断命题“若，则的真假，并证明． 【答案】假命题，见解析 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：假命题． 取，此时，但， 所以命题的结论不成立． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题． (1)若，则． (2)如果，那么． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查假命题的判断，注意只要举出一个反例则就可以说明命题是假命题． （1）由时，求解即可； （2）由时，求解即可． 【详解】（1）当时，， ∴x不一定等于 ∴命题为假命题； （2）当时， ∴此时 ∴命题为假命题． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么 (2)假命题，见解析． 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 【典型例题五 写出命题的逆命题】 【例1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）下面命题中，其逆命题是真命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．矩形的四个角都是直角 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．正方形是对角线互相垂直且相等的四边形 【答案】B 【分析】本题考查了判断一个命题的逆命题真假，正方形的判定定理，全等三角形的判定定理，矩形的判定定理，实数的性质，把原命题的结论和条件互换，写出对应的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：A、原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，这是一个假命题，不符合题意； B、原命题的逆命题为四个角都是直角的四边形是矩形，这是一个真命题，符合题意； C、原命题的逆命题为绝对值相等的两个实数相等，这是一个假命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，这是一个假命题（对角线互相垂直的等腰梯形也符合），不符合题意； 故选： B． 【例2】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可． 【详解】解：（1）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； （2）全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； （3）如果，那么的逆命题是若，则，是假命题； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题； 因此以上命题的逆命题是真命题的有1个； 故选：A． 【例3】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【答案】如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 【分析】找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【详解】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”， 所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”． 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 【例4】（2025八年级上·全国·专题练习）命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是 ，是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 和为0的两个数互为相反数 真 【分析】本题考查了原命题与逆命题、判定命题真假等知识点，判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而利用真假命题判断即可． 【详解】解：命题“互为相反数的两个数的和为0”的题设是“两个数互为相反数”，结论是“和为0”，故其逆命题是：和为0的两个数互为相反数，逆命题是真命题； 故答案为：和为0的两个数互为相反数，真． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）命题“如果，那么”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)这个逆命题是真命题吗？请证明． 【答案】(1)如果，那么， (2)这个命题的逆命题是假命题，证明见解析 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，判断一个命题是真命题还是假命题． （1）逆命题就是题设和结论互换，可得逆命题是若，则， （2）举反列判断命题真假即可． 【详解】（1）解：命题“如果，那么” 逆命题是“若，则”， （2）解：∵当时，也有，， 如：，，，，而， ∴“若，则”的结论不成立， ∴逆命题是假命题． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1)真命题，证明见解析 (2)逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，此命题是假命题；举例见解析 【分析】本题主要考查命题真假的判断和逆命题的知识，解题的关键是熟知课本中有关的定义和性质定理； （1）判断命题，需要分析由题设是否能推出结论，若为真，然后证明即可； （2）先写出逆命题，再按照由题设是否能推出结论进行判断，在举出反例即可． 【详解】（1）解：真命题，证明如下： 设这两个三角形分别为，， 的底为a，高为h，的底为，高为， ∴， ∵，， ∴， 故命题为真命题； （2）解：逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形， 此命题是假命题； 举例：若的底为2，高为6，的底为3，高为4，此时，，面积相等，但不是等底等高的另两个三角形， 故逆命题为假命题． 3．（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图所示，D，E分别是的边，上的点， (1)若D，E分别是，的中点，则四边形的面积与的面积之比为________． (2)若，且，求证：是的中位线． (3)判断命题“若D是的中点，且，则是的中位线”的真假，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)假命题，证明见解析 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先判断为的中位线，则，于是可判断，则根据相似三角形的性质可得四边形的面积与的面积之比； （2）利用得到，根据相似三角形的性质得到，从而可判断为的中位线； （3）由于 ，但公共不是两组对应边的夹角，所以和不一定相似，则点E不一定为的中点，于是可判断不一定是的中位线，所以原命题为假命题． 【详解】（1）解：∵D，E分别是，的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积与的面积之比为； （2）∵， ∴， ∴， ∴D，E分别是，的中点， ∴为的中位线； （3）命题为假命题． 理由如下： ∵D是中点， ∴ ， ∵， ∴， 而公共∠A不是两组对应边的夹角， ∴和不一定相似， ∴点E不一定为的中点， ∴不一定是的中位线， 所以原命题为假命题． 【典型例题六 举反例】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知命题“如果，那么”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．选取的a的值不满足“如果，那么”的即可． 【详解】解：选项A：时，，且，满足结论，不能作为反例； 选项B：时，，不满足，无法验证命题，不能作为反例； 选项C：时，，不满足条件，不能作为反例； 选项D：时，，满足条件，但，结论不成立，符合反例要求； 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）下列选项中可以用作证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：， ∵，但是， ∴A正确； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 【例3】（24-25八年级上·北京·期中）能够说明命题“如果，那么”是假命题的一组反例是： ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：能够说明命题“如果，那么”是假命题的一组反例是：，， 故答案为：，（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）证明“如果，那么”是假命题，可以取 ．（填一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 举出反例说明它是假命题即可． 【详解】解：证明“如果，那么”是假命题，可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 【答案】(1)真命题； (2)假命题，反例见解析. 【分析】本题考查了判断命题的真假. （1）直接判断即可； （2）举出反例即可. 【详解】（1）解：两个钝角的和大于平角，是真命题； （2）解：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，反例如下： 如图，两条不平行直线被第三条直线所截，同位角不相等. 2．（24-25八年级上·全国·期中）阅读下面材料： 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角． 请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例） 【答案】详见解析 【分析】举反例时，画出两个互补且不是同旁内角的角即可． 【详解】解：如图， ∠1+∠2＝180°； 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握举反例的方法．说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 3．（24-25八年级·全国·课后作业）甲、乙、丙三名同学中有一名做了一件好事，李老师问他们：“谁做了好事？”他们调皮地说了下面的几句话： 甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．” 乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．” 丙说：“我没有做这件事，也不知谁做的这件事．” 当李老师追问时，他们承认上面每人讲的话中都有一句真话，一句假话． 根据这些条件，你能分析出到底是谁做了好事吗？ 【答案】乙 【分析】利用已知分别分析每句话正确或错误从而推导出正确答案． 【详解】解：当甲说的没有做这件事错误，则乙也没有做这件事就正确，即甲做了好事； 则乙说的没有做这件事就正确，故丙也没有做这件事就错误，即丙做了好事，与甲做了好事冲突；当甲说的没有做这件事正确，则乙也没有做这件事就错误；则乙说的没有做这件事就错误，故丙也没有做这件事就正确；则丙说没有做这件事正确，也不知道谁做了这件事错误. 综上所述：做好事的是乙． 故答案为乙 【点睛】本题主要考查了推理与论证，正确理解题意是解题关键． 【典型例题七 判断是否为互逆命题】 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【例2】（2025·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】运用不等式的基本性质即可判断①的原命题和逆命题是否正确； 运用不等式的基本性质先判断出②的原命题是否正确，再判断逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是否正确；运用直角三角形的性质判断③的原命题正确与否，再判断逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”正确与否，问题即可解答. 【详解】①：原命题“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命题；逆命题“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命题. ②：原命题“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命题；逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命题，可能还存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情况. ③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形. 故只有①的原命题与其逆命题都是真命题. 故选A. 【点睛】本题考查判断原命题与逆命题正确与否的问题，首先判断原命题的条件及结论，将其对调即可写出其逆命题是解题的关键. 【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题． (1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等； (2)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题． (2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题． 【详解】试题分析：交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题． 试题解析：（1）“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题， （2）等腰三角形的两个底角相等的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，该命题为真命题． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明； （1）根据上面的推理过程得出结论即可； （2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题． 【详解】解：∵，（已知） ∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等）， ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）， ∴∠EMN=∠AMN， ∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义）， ∴∠EMN=∠FNM（等量代换） ∴，（内错角相等两直线平行）． 故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行． （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行； 故答案为：内错；平行． （2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行． 【典型例题八 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）命题是由 和 两部分组成. （2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项. 【答案】 题设 结论 已知 已知事项 【分析】根据命题的定义可得：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项. 【详解】根据命题的定义可得： （1）命题是由题设和结论两部分组成. （2）命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 故答案是：题设,结论, 已知,已知事项. 【点睛】考查了命题的定义的理解：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项. 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）从命题的 出发，根据 ，用“因为，所以”的形式一步一步推出命题的 ，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明． 【答案】 条件 一些已知的事实、真命题 结论 【分析】本题考查了证明的定义，根据证明的定义即可得出答案，掌握证明的定义是解题的关键． 【详解】解：从命题的条件出发，根据一些已知的事实、真命题，用“因为，所以”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明， 故答案为：条件；一些已知的事实、真命题；结论． 1．（24-25八年级上·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 【典型例题九 以几何与代数为背景的推理与论证】 【例1】（24-25九年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【答案】A 【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案． 【详解】解：号杯子左侧出口比右侧高， 水先从左侧流出，进入3号杯子， 杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭 水最终会先灌满3号杯子， 故选：A． 【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可． 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解． 【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场， ∵日本队得6分， ∴日本队胜2场，负1场， ∵西班牙队得4分， ∴西班牙队胜1场，平1场，负1场， ∵德国队得4分， ∴德国队胜1场，平1场，负1场， ∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场， ∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平， ∴斯达黎加队胜1场，负2场， ∴哥斯达黎加的积分是3分． 故选：D 【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，现有四位同学有如下理解： 甲：当时，选择这本书； 乙：只有当时，才不能选择这本书； 丙：当，，全是1时，选择这本书； 丁：当时，不选择这本书． 其中理解错误的同学是 ． 【答案】乙 【分析】根据题意的值要么为1，要么为0，当关键词出现在书中时，元素，否则（i，j为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可． 【详解】解：根据题意的值要么为1，要么为0， 甲：∵， ∴，，， ∴关键词“，，”同时出现在书中， ∴选择这本书，故甲表述正确； 乙：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书， ∴当或或时，不能选择这本书，故乙的说法错误； 丙：∵当，，全是1时，，，， ∴关键词“，，”同时出现在书中， ∴选择这本书，故丙表述正确； 丁：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书，故丁表述正确； 综上分析可知，说法错误的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键． 【例4】（24-25八年级·全国·课后作业）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 【答案】 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论． 【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形； 结合后两个图可以看出：d代表圆； 因此a代表线段，c代表三角形， 所以图形的连接方式为：. 故答案为. 【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 2．（24-25八年级·全国·课后作业）当，时，有； 当，时，有； 当，时，有； 当，时，有． 得出结论：、为任何数时，． 这个结论正确吗？ 【答案】不正确． 【分析】根据题意设特殊值即可证明结论错误. 【详解】不正确．当时，． 【点睛】本题考查了演绎证明，通过取特殊值证明结论是否正确是常用的解题方法，需要掌握. 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【答案】(1)7 (2)14 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 【典型例题十 三角形内角和定理的证明】 【例1】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及全等三角形的判定，先观察图形，运用三角形内角和算出，则，即运用证明图中的两个三角形是全等三角形，即可作答． 【详解】解：依题意， 则，， 即得出两组角分别相等，夹边相等， 故两个三角形是全等三角形， 故选：B 【例2】（2025·广东佛山·模拟预测）如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（    ）    A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得两直线平行，内错角相等，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 【例4】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内角和性质，含30度的直角三角形，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，，运用三角形内角和性质算出，最后根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，由平行线的性质可得，再根据，通过等量代换可得． 【详解】解：过点A作． ， （两直线平行，内错角相等）． （平角定义）， ． 2．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 3．（2024·山东潍坊·模拟预测）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． (1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 【答案】(1)、、是的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质： （1）在外部，以为一边，作．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可； （2）过点A作，根据平行线的性质°，由此证明即可． 【详解】（1）解：已知：如图，、、是的三个内角． 求证：． 证明：如图，作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（两直线平行，同位角相等）． 因为，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（等量代换）． （2）证明：如图，过点A作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． （两直线平行，同旁内角互补）． 即． ∴． 【典型例题十一 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（安徽省宣城市2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷）如图，的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和定理，根据，进而根据四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得到，则，由平角的定义可得，则，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵和的外角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例3】（陕西省陕西多校期末检测2024-2025学年八年级上学期7月期末数学试题）如图，在等腰中，，点D，E分别为，边上一点，连接，，且，，，则的度数为 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由等边对等角得到，求出，则由等边对等角和三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等边对等角，由等边三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可推出，则，由等边对等角可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数． 【答案】16°. 【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD，由三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，于是得到∠C=2∠B，根据三角形的内角和得到∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，根据得到结论． 试题解析：∵AD=BD， ∴∠B=∠BAD， ∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠C=2∠B， ∵∠BAC=57°， ∴∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°， ∴∠ADC=∠C=82°， ∴∠DAC=16°． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，，，，．连接，点D恰好在上． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形外角性质． （1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：∵，，， ， ． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”． 解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①50；②85；③ 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意过点A，D作射线，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由（1）得：，即可得出答案；②由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案；③由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点A，D作射线， 由三角形外角的性质得：， ∵， ∴； （2）解：①由（1）得：， ∵，， ∴； 故答案为：50 ②由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，点O在内，且到三边的距离相等，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 先由三角形的内角和定理求出，又点O在内，且到三边的距离相等可知平分，平分，然后可得，最后由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（    ） A． B． C． D．125° 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质求得，即可求解． 【详解】解，如图， 由题意知：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 3．（24-25八年级上·广西河池·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画线段 B．用量角器画 C．同位角相等吗？ D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义即可求解． 【详解】解：根据命题是对某个问题作出判断，可知ABC不是命题， 两直线平行，内错角相等，是命题，D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（    ） A． B． C．0 D．0.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了假命题，反例， 要判断命题“如果，那么”是假命题，即满足当时，． 【详解】解：当时，满足，，不满足， 所以是反例． 则A符合题意； 当时，满足，， 可得结论成立，不是反例． 则B不符合题意； 当时，满足，， 可得结论成立，不是反例． 则C不符合题意； 当时，满足，， 可得结论成立，不是反例． 则D不符合题意． 故选：A． 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）某校学生会文艺部换届选举，经初选、复选后，共有 甲、乙、丙三人进入最后的竞选．最后决定利用投票方式对三人进行选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，全校设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已开完所有选票，剩下第四投票箱尚未开箱，结果如表所示（单位：票） 下列判断正确的是（  ） A．甲可能当选 B．乙可能当选 C．丙一定当选 D．甲、乙、丙三人都可能当选 【答案】A 【详解】解：（1）由图表可得：甲得票数为：200+286+97=583，乙得票数为：211+85+41=337，丙得票数为：147+244+205=596； 596﹣583=13，即丙目前领先甲13票，所以第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选； 596﹣337=259＞250，若第四投票所250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选．故选A． 点睛：本题主要考查了推理与论证，正确利用表格中数据分析得票情况是解题的关键． 6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 7．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：第一步应先假设， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·重庆黔江·期末）如图，在中，若，于点，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：20． 9．（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 故答案为： 10．（24-25八年级上·北京·阶段练习）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟． 【答案】 7 12 【分析】本题考查了推理论证，实际问题的方案设计，事件的统筹安排，有理数的混合运算，尽可能让①和②在同一时段进行时解此题的关键． （1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，由此计算即可得解； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，画出流程图，结合流程图即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，为（分钟）， 故答案为：7； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图： ， 由流程图可得，将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟， 故答案为：12． 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）用反证法证明：如果，那么． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 根据题意，假设结论的反面，即可得出答案． 【详解】证明：假设， ， ．这与已知条件矛盾， ∴假设不成立， ∴如果，那么成立． 12．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是菱形．（画出图形，写出已知、求证，并证明） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，三角形中位线定理，先根据题意画图图形，写出已知和求证，根据三角形中位线定理可得，再由可得，据此可证明结论． 【详解】已知：如图所示，在四边形中，对角线，分别是的中点， 求证：四边形是菱形， 证明：∵分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 13．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，垂足为，，． (1)求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵若是的平分线， ∴ 在中， ∴ 14．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图1，为直角三角形，．的两顶点B，C分别在直角边，上，且P点在内． (1)若，则______度，______度； (2)如图2，连接，若，试说明平分； (3)请判断点P是否满足平分且平分，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)不能满足平分且平分 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为是解题关键． （1）连接并延长到点G，利用三角形内角和定理，三角形的外角和定理，角的和证明即可． （2）连接并延长交点G，根据结论（1），结合角的平分线定义解答即可． （3）根据平分且平分，则，故，故，不满足三角形内角和定理，解答即可． 【详解】（1）连接并延长交点G， 根据题意，得， ∵， ∴． ∵，， ∴，， 故答案为：140,50． （2）解：连接并延长交点G， 根据题意，得， ∵， ∴． ∵，, ∴， ∴， ∴， 故平分． （3）解：不能满足平分且平分． 若平分且平分， 则， 故， 故， 不满足三角形内角和定理， 故不能满足平分且平分． 15．（2025·山东潍坊·模拟预测）【问题提出】 甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始石子总数为n，探究先手或后手必胜的策略． 【问题探究】 （1）基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，填写下表并总结规律： 石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 先手是否有必胜的策略 是 是 否 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （2）扩展情形分析：若每次最多取3颗（）． 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略． 当时，先手第一次取______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 【问题解决】 当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择______（先手或后手），你的必胜策略是什么？ 【问题拓展】 若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取______颗以确保必胜． 【答案】 问题探究：（1）是，是，否，是，；（2），；（3） 问题解决：先手，具体策略为先手第一次取颗，后面每次都与后手和为，则先手必胜； 问题拓展： 【分析】本题考查逻辑推理，以及找规律，解题的关键在于根据基础情形逐步扩展到一般情况． 问题探究：（1）分析涉及表格每个数字是否先手有必胜的策略，找到规律即可． （2）利用（1）中规律求解即可； （3）利用（1）和（2）中规律求解即可； 问题解决：利用（3）的结论求解即可． 问题拓展：先手第一次取完后，留下是的倍数即可先手必胜． 【详解】解：问题探究：（1）当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜； 当时，先手取2颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜； 当时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，即可后手必胜； 当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜； ∴填写下表并总结规律： 石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 故答案为：是，是，否，是，； （2）当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略． 当时，先手第一次取1颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 故答案为：，； （3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，则后手必胜，即后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 故答案为：； 问题解决：∵， ∴选择先手可以必胜，具体策略为先手第一次取颗，后面每次都与后手和为，则先手必胜． 故答案为：先手； 问题拓展：若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取颗，后面不管后手怎么取都可以保证先手获胜． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$