第07讲 三角形中的边角关系（6大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪科版2024）

第07讲 三角形中的边角关系（6大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 三角形的分类 典型例题二 构成三角形的条件 典型例题三 确定第三边的取值范围 典型例题四 等腰三角形的定义 典型例题五 与平行线有关的三角形内角和问题 典型例题六 与角平分线有关的三角形内角和问题 典型例题七 与三角形的高有关的计算问题 典型例题八 利用网格求三角形面积 典型例题九 三角形角平分线的定义 典型例题十 根据三角形中线求长度 典型例题十一 根据三角形中线求面积 典型例题十二 三角形折叠中的角度问题 典型例题十三 三角形内角和定理的应用 典型例题十四 三角形三边关系的应用 知识点01 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，中，与的夹角是 ，的对边是 ，，的公共边是 ．    知识点02 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·课后作业） 的三角形叫做直角三角形，记作 ． 知识点03 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即时训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【即时训练】 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ． 知识点04 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·贵州六盘水·期中）在中，已知，且一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若等腰三角形两边的长分别为5和6，则其周长为 ． 知识点05 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      （1）的高线是 ； （2）是三角形 的角平分线． 知识点06 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，是的三条中线，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，若是的中线，，则 ． 【典型例题一 三角形的分类】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【例2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 【例4】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 1． （24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积．              2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【典型例题二 构成三角形的条件】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 【例2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【例4】（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 1．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）已知是等腰三角形，若的周长为27，其中两条边长分别是a和 ，求底边的长． 2．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形． (1)若其两边长分别为2和3，求的周长； (2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求的腰长． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【典型例题三 确定第三边的取值范围】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期末）若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（    ） A．4 B．5 C．8 D．13 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，的值可能是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【例3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知三角形的两边长分别是3和7，如果第三边长为x（x是整数），则x最大为 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）． 1．（24-25七年级下·广东河源·期中）已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 3．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【典型例题四 等腰三角形的定义】 【例1】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）若一个等腰三角形的两边分别为2和4，则它的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【例2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【例3】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）等腰三角形两条边长为和，则周长为 ． 【例4】（2025·四川内江·模拟预测）如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第2022个黄金三角形的周长 1．（24-25七年级下·上海·期末）在中， (1)若，，求的度数； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D是边上的一点，连接，交于点F，交于点G，且，求证：．      【典型例题五 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，是三角形的角平分线，过点作交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 【例4】（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 1．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图所示，在三角形中，，，平分，，求和的度数．    2．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交的延长线于点Q，且，对说明理由． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    【典型例题六 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（2025·湖北荆州·模拟预测）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·四川南充·模拟预测）如图，中，平分，．，．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【例3】 （24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，平分．若，，则的度数为 ． 【例4】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 °；如图2，作外角、的平分线交于点，则、之间的数量关系为 ． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． (1)若，，如图，试说明； (2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 【典型例题七 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ． 【例3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为27，，求的长． 【例4】 （24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，已知，则 ．（比较两个三角形面积的大小，填“>”、“<”或“=”） 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 【典型例题八 利用网格求三角形面积】 【例1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图三角形顶点坐标分别是、、，那么它的面积等于 ． 【例3】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形三个顶点的位置如图所示．现将三角形向右平移6个单位，在向下平移2个单位得到三角形． (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·天津静海·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，的面积为___________ (2)在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形； (3)在图2中，请在直线上找一点，使得的周长最小． 4．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，直角坐标系中，的顶点坐标都在网格点上，其中点C的坐标为， (1)写出点，的坐标（______），（______）； (2)将中A平移到坐标原点，得到，则，，的三个顶点坐标分别是（______），（______），（______）； (3)计算的面积． 【典型例题九 三角形角平分线的定义】 【例1】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 【例3】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，作的角平分线； (3)在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 1．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，在中，，，的平分线交于点，过点作交于点，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点，则 ． 3．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，E是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积． 【典型例题十 根据三角形中线求长度】 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，将锐角按照下列折纸的示意图（其中是点C的对应点）进行折叠，其中线段一定是的中线的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 【例3】（2025·广东·模拟预测）如图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且，，的周长为，求的周长． 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．③④ D．②③④ 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，是边上的高，平分，F是边上的中点． (1)若，的面积为20，求的长． (2)若，求的度数． 4．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 【典型例题十一 根据三角形中线求面积】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【例3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（2025·广东珠海·模拟预测）如图，的中线，相交于点F，点M，N分别是，的中点，连接MN，已知的面积为4，则的面积为 ． 3．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【典型例题十二 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿着翻折，若，求的度数． 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【典型例题十三 三角形内角和定理的应用】 【例1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【例2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在中，，，则的度数为 ． 【例3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F．试判断与的位置关系，请说明理由． 1．（四川省达州市经开区2024--2025学年下学期期末考试八年级数学试卷）如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则的度数为（   ） A．9° B．10° C．15° D．20° 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，；，D是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与的边垂直时，的度数是 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. 【典型例题十四 三角形三边关系的应用】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）在中，已知，是边上的中点．连结，将的周长分为和两部分，边的长度为 ． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）某天，所有文具聚在一起开了个茶话会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明理由． 1．（24-25八年级上·江西抚州·期中）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．4 B．5 C．4或6 D．6 2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知a，b，c为的三条边， (1)若，，的周长是小于17的奇数，求c的长． (2)若为等腰三角形，且a，b满足，求的周长． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 1．（2025·河北保定·模拟预测）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 2．（2025九年级·湖北随州·学业考试）如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西南昌·模拟预测）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，是的中线，点分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）在中，若，则这个三角形按角分类是 三角形． 7．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 8．（2025·青海·模拟预测）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，则∠CDB＝ 度． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在ABC中，D是AB上的一点，且AD＝2BD，E是BC的中点，CD、AE相交于点F．若EFC的面积为1，则ABC的面积为 ． 11．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 12．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）已知：如图，钝角，    (1)请你画出边上的高、边上的高； (2)若此三角形，，求的取值范围． 13．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，AD是的高，BE平分交AD于点E．若．求的度数． 14．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为边上的中线． (1)若的面积为4，则的面积为______； (2)若，比的周长多2，则______． 15．（23-24八年级上·甘肃平凉·期中）问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点． 研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由； 猜想：________； 理由： 研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 三角形中的边角关系（6大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 三角形的分类 典型例题二 构成三角形的条件 典型例题三 确定第三边的取值范围 典型例题四 等腰三角形的定义 典型例题五 与平行线有关的三角形内角和问题 典型例题六 与角平分线有关的三角形内角和问题 典型例题七 与三角形的高有关的计算问题 典型例题八 利用网格求三角形面积 典型例题九 三角形角平分线的定义 典型例题十 根据三角形中线求长度 典型例题十一 根据三角形中线求面积 典型例题十二 三角形折叠中的角度问题 典型例题十三 三角形内角和定理的应用 典型例题十四 三角形三边关系的应用 知识点01 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 【即时训练】 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，中，与的夹角是 ，的对边是 ，，的公共边是 ．    【答案】 【分析】根据图形即可解答． 【详解】解：与的夹角是，的对边是，，的公共边是， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了三角形的相关概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 知识点02 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·课后作业） 的三角形叫做直角三角形，记作 ． 【答案】 有一个角是 【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是的三角形叫做直角三角形，记作，进行作答即可． 【详解】解：有一个角是的三角形叫做直角三角形，记作； 故答案为：有一个角是， 【点睛】本题考查直角三角形的定义．熟练掌握有一个角是的三角形叫做直角三角形，是解题的关键． 知识点03 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即时训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得，，再根据三角形内角和定理得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：是的一条角平分线， ， 又， ． 故答案为：． 知识点04 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·贵州六盘水·期中）在中，已知，且一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形；根据题意可知只能是顶角，再结合等腰三角形的底角等于得出答案． 【详解】解：根据等腰三角形的两个底角相等，可知只能是顶角， 所以这个等腰三角形的底角． 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若等腰三角形两边的长分别为5和6，则其周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形性质，由等腰三角形两边的长分别为5和6，分两种情况讨论求解即可得到答案．熟记等腰三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当等腰三角形的腰长为时，其周长为； 当等腰三角形的腰长为时，其周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为或， 故答案为：或． 知识点05 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的高的定义容易得出结论． 本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的高的定义是关键． 【详解】解：由三角形高的定义可知， 在中，于C， ∴是中边上的高． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      （1）的高线是 ； （2）是三角形 的角平分线． 【答案】 【分析】根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，分别判断即可． 【详解】解：∵于点H， ∴的高线是； ∵， ∴是三角形的角平分线， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、高线，关键是掌握相应的定义． 知识点06 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，是的三条中线，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形中线的定义，掌握中线的定义是解题的关键．三角形一边上中线将这条边分成相等的两部分，根据，，是的三条中线可得，，，据此判断． 【详解】解：，，是的三条中线， ，，． ， 综上可知：B、C、D说法正确，不符合题意，A符合题意． 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，若是的中线，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，根据三角形的中线的概念计算即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴ 故答案为：5． 【典型例题一 三角形的分类】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角单脚的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D 【例2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 【答案】 等腰 锐角 直角 【分析】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形按边或按角分类是解题的关键． 根据三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形解答即可． 【详解】解：三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形； 按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 故答案为：等腰；锐角；直角．（空2与空3答案可互换）． 【例4】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据已知条件和三角形内角和定理求出这个三角形三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形的分类，三角形的面积，根据题意设、、的度数分别为 、、，根据三角形内角和定理得出 、 ，则 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设、、的度数分别为 、、，    由三角形内角和定理可得： 解得 所以 、 ，                 所以是等腰直角三角形，, 则 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格结构作出图形并回答问题； （2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答． 【详解】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示， 即为所求； （2）解：是等腰三角形，是钝角三角形． 【典型例题二 构成三角形的条件】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较小的两条线段之和是否大于最长的线段即可． 【详解】解：A，，满足条件，能组成三角形； B，，不满足条件，不能组成三角形； C，，不满足条件，不能组成三角形； D，，不满足条件，不能组成三角形； 故选A． 【例2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，构成三角形的条件，根据全等三角形的判定定理即可判断A、B、C，根据构成三角形的条件即可判断D． 【详解】解：A、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意 B、由可以证明三角形全等，能确定三角形的形状和大小，符合题意； C、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意 D、由不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，根据题意列举出所有的情况，找出能组成三角形的结果，进而根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：所有情况有：；；；，共种， 其中能组成三角形的情况有种， ∴任取三条线段能组成三角形的概率是， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 1．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）已知是等腰三角形，若的周长为27，其中两条边长分别是a和 ，求底边的长． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，分边长为a的边是腰和底两种情况，分别先根据三角形的三边关系判断，再运用等腰三角形的定义列式求解即可；掌握分类讨论思想和三角形的三边关系是解答本题的关键． 【详解】解:当腰长为a时,底边为,此时 ，不满足三角形三边条件，舍去； 当腰长为 时，底边为a ，由题意得，解得 此时三边长分别为5，11，11，符合题意，则底边长为 5． 2．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形． (1)若其两边长分别为2和3，求的周长； (2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求的腰长． 【答案】(1)的周长为8或7 (2)这个等腰三角形的腰长为12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线. （1）分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可． （2）已知给出的9和18两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时， ∵， ∴该等腰三角形成立， ∴此时这个等腰三角形的周长为； 当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时， ∵， ∴该等腰三角形成立， ∴此时这个等腰三角形的周长为． 综上可知这个等腰三角形的周长为7或8． （2）设三角形的腰为x，如图： 是等腰三角形，，是边上的中线， ∴ 则有、或、， 分下面两种情况： 当，即， ∴， 此时，即， ∴三边长分别为6，6，15， ∵，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； 当，即， ∴， 此时，即， ∴三边长分别为12，12，3． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为12． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不可以，理由见解析． 【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长； （2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可． 【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米 ∴第二条边长为米， 由题意可知：第三条边长为米； （2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米 ∵ ∴此时不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7米． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键． 【典型例题三 确定第三边的取值范围】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期末）若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（    ） A．4 B．5 C．8 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了三边关系，根据三角形三边关系定理，第三边应大于两边之差且小于两边之和，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形的两边长分别为4和9， ∴，即 观察四个选项，唯有C选项的8满足； 故选：C 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，的值可能是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系得到，，再取公共部分即可． 【详解】解：∵两边长分别为8，9， ∴此时． 又∵两边长分别为5，18， ∴此时． ∵x的取值范围为：， ∴x的值可能是14． 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知三角形的两边长分别是3和7，如果第三边长为x（x是整数），则x最大为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，如果第三边长为， ∴， ∴， ∵是整数， ∴最大整数为． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；连接，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴A、B间的距离可以是5、6、7等等； 故答案为：5（答案不唯一）． 1．（24-25七年级下·广东河源·期中）已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】、、、或 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为偶数， ∴第三边是，，，， 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 3．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【典型例题四 等腰三角形的定义】 【例1】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）若一个等腰三角形的两边分别为2和4，则它的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系应用，根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：2为腰或4为腰。利用三角形三边关系判断是否成立，进而计算周长． 【详解】解：当2为腰时，三边为2、2、4，此时，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去， 当4为腰时，三边为4、4、2。此时，满足三边关系，故周长为， 因此，该等腰三角形的周长为10， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）等腰三角形两条边长为和，则周长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，分别求出对应情况下等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或． 故答案为：或． 【例4】（2025·四川内江·模拟预测）如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第2022个黄金三角形的周长 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割、图形变化的规律及等腰三角形的性质．根据题意，依次表示出黄金三角形的周长，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个黄金三角形的周长为：； 第2个黄金三角形的周长为：； 第3个黄金三角形的周长为：； …， 所以第n个黄金三角形的周长为（n为正整数）． 当时， 第2022个黄金三角形的周长为． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·上海·期末）在中， (1)若，，求的度数； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键． （1）根据三角形的内角和定理先求出，然后计算的度数即可 （2）分①，②，③，三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，则， 当时，； 当时，， 综上所述，的度数为或或． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义；由等腰三角形的定义作图即可． （1）按等腰三角形的定义作图即可； （2）按等腰三角形的定义作图即可； （3）按等腰三角形的定义作图即可； 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：如图， 为所求作． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D是边上的一点，连接，交于点F，交于点G，且，求证：．      【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定和全等三角形的性质．根据“”证明，再根据全等三角形的性质得出，再利用直角三角形的余角关系即可得证． 【详解】证明：在和中，， ∴， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴． 【典型例题五 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，是三角形的角平分线，过点作交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质，由，则，再由角平分线的定义可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图所示，在三角形中，，，平分，，求和的度数．    【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质即可得出，根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：在三角形中，，， ， ， ． 平分， ． ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交的延长线于点Q，且，对说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理和外角性质： （1），得到，进而得到，即可得出结论； （2）由三角形的外角性质求出的度数，由得到，由角平分线得到，由三角形的内角和定理得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点P作，由平行线定理可得，根据平行线的性质可得，，即，即可求解； （2）如图，与相交于点N，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理和平角的定义，利用等量代换可得，即可得证； （3）如图，与相交于点O，由对顶角相等和三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得由（2）可得，，进行等量代换即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴；    （2），理由如下： 如图，与相交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；    （3）如图，与相交于点O， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴．    【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、平行线性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【典型例题六 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（2025·湖北荆州·模拟预测）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 平分， ． 故选：B． 【例2】（2025·四川南充·模拟预测）如图，中，平分，．，．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线的三角形内角和性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平分，得，根据，则，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得， 故选：D 【例3】 （24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，平分．若，，则的度数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的定义，先求解，，，再进一步求解即可. 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线性质． 由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 【详解】解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴， 同理可得， 即， ∴， ∴，即． ∴ 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 分别求出，，再找到可以去掉的式子即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵的平分线与的平分线的交于点， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 即． 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 °；如图2，作外角、的平分线交于点，则、之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题． 由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的定义可得出，，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出； 由三角形内角和定理可求出，进而得出．再根据角平分线的定义得出，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴． ∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴． ∵，分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． (1)若，，如图，试说明； (2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论；作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ， ，， ； （2）平分，平分， ，， ； ， ； 作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， 同理， ． 故答案为： 【典型例题七 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积公式，掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短可得当时，线段最短，再由面积法求解即可． 【详解】解：如图，当时，线段最短， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为27，，求的长． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、线段的中点定义、三角形的面积，理解角平分线和中点定义是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （2）解：∵D是的中点，， ∴， ∵，的面积为27， ∴， 解得． 【例4】 （24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，已知，则 ．（比较两个三角形面积的大小，填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线间的距离等知识点，掌握平行线间的距离相等成为解题的关键． 根据图形可知，再说明和同底等高，所以和面积相等从而得到和的关系． 【详解】解：由图易有：， ∵， ∴和同底等高， ∴， ∴． 故答案为：=． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2)点到的距离为48 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理来判定直角三角形，以及灵活运用三角形面积公式求解高（点到直线的距离）是解题的关键． （1）计算和的值，通过比较两者是否相等，依据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，进而确定与是否垂直． （2）过点作于，利用三角形面积的两种不同表示方法（和），建立等式求解的长度，即点到的距离． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 是直角三角形， ； （2）解：连接，过作于， 的面积， ， 解得：，即点到的距离为48． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题考查平面直角坐标系中长方形的坐标特征与点的运动，以及三角形面积计算，解题关键是利用长方形性质确定点坐标，结合路程分析点位置，进而求解． （1）利用长方形对边相等的性质，由、，直接得出点坐标；根据点移动速度和时间算出移动路程，结合长方形边长，确定时在上的位置，从而得到坐标 ． （2）根据移动时间和速度算出时移动路程，对比长方形各边长度和，确定在上，求出长度，再以为底、为高，用三角形面积公式算出面积 ． 【详解】（1）∵四边形是长方形，，，长方形对边相等， ∴点坐标为 ． ∵点速度是每秒个单位长度， ∴点P移动时，移动的路程是个单位． 长方形中，，，点从出发沿移动，长，，即点在上且距离点个单位， 所以坐标为 ． 故答案为：，； （2）解：如图 ∵点移动， ∴移动路程为个单位． 长方形周长为，，， ∴点在上， ∴， ． 【典型例题八 利用网格求三角形面积】 【例1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要查了平行线间的距离．根据平行线间的距离解答，即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：满足条件的点D有，共4个． 故选：A 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图三角形顶点坐标分别是、、，那么它的面积等于 ． 【答案】20 【分析】此题主要考查了坐标与图形性质，结合图形求解是解题关键． 根据网格及坐标系求解三角形的面积即可． 【详解】解：三角形的面积为：， 故答案为：20． 【例3】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形三个顶点的位置如图所示．现将三角形向右平移6个单位，在向下平移2个单位得到三角形． (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)7 【分析】本题考查图形的平移和利用割补法求三角形面积．平移时要注意每个顶点的移动规律，求面积时割补法是常用方法，通过将不规则图形转化为规则图形的面积差来计算． （1）根据平移的性质，将三角形的每个顶点向右平移个单位，再向下平移个单位，然后连接各顶点得到三角形； （2）利用割补法，用梯形面积减去周围两个个直角三角形的面积来计算三角形的面积． 【详解】（1）解：平移后的三角形如图； （2）解：． 三角形的面积为7． 1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式是解题的关键． 先求出三角形的面积，然后用概率公式计算． 【详解】解：正方形面积， 三角形的面积 ， 则落在内部的概率是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·天津静海·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /90度 2 【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，勾股定理与勾股定理逆定理的应用． （1）先利用勾股定理求出，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案． （2）利用等面积法求解即可． 【详解】解：（1）由勾股定理可得： ，，， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， 故答案为： （2）∵， ∴， ∴ 故答案为：2 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，的面积为___________ (2)在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形； (3)在图2中，请在直线上找一点，使得的周长最小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图－轴对称变换，网格中的面积计算，无刻度直尺作图，轴对称－最短路径问题，掌握轴对称图形的性质，线段垂直平分线的判定方法是解题的关键． （1）利用割补法计算的面积； （2）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，顺次连接即可； （3）作点关于直线的对称点，连接交直线于，于是得到结论． 【详解】（1）解： （2）如图，即为所求； （3）如图所示，点即为所求． 4．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，直角坐标系中，的顶点坐标都在网格点上，其中点C的坐标为， (1)写出点，的坐标（______），（______）； (2)将中A平移到坐标原点，得到，则，，的三个顶点坐标分别是（______），（______），（______）； (3)计算的面积． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据直角坐标系即可作答； （2）根据平移方式，将横坐标减2，纵坐标加1，即可求解． （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：根据坐标系可得， 故答案为：，． （2）解：将A平移到坐标原点，平移方式为：向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴，， 故答案为：，，． （3）解： 【典型例题九 三角形角平分线的定义】 【例1】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案． 【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 【例3】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，作的角平分线； (3)在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了格点作图，三线合一性质，三角形角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取中点E，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （2）连接，取中点F，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （3）取中点H，连接与交于点M，连接并延长交于点G，由三角形角平分线交于一点可得即为的角平分线； 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； 1．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，在中，，，的平分线交于点，过点作交于点，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查角平分线性质、等腰三角形判定以及相似三角形的判定与性质，解题关键是利用角的等量关系得出，再借助相似三角形对应边成比例列方程求解的长度． 利用角平分线和平行线性质推出，得，再判定，根据相似三角形对应边成比例列出即可解答． 【详解】平分， ， ， ， ， ． ， ， ，即， 解得． 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质，根据平行四边形的性质可知，，，根据角平分线的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，根据等角对等边可知，根据线段之间的关系可以求出的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意可直接得出四边形是平行四边形，结合，即得出平行四边形是矩形； （2）由角平分线的定义，得出，结合平行线的性质得出，即得出，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵平分， ∴． ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，E是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)60 【分析】此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，以关键是掌握角平分线的性质和判定定理． （1）过点E作于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，证明，再根据角平分线的判定可得平分； （2）根据角平分线的性质可得，可求，再利用梯形的面积公式可得答案． 【详解】（1）证明：过点E作于点F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 在和中， ， ， ，即平分； （2）解：，平分， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【典型例题十 根据三角形中线求长度】 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，将锐角按照下列折纸的示意图（其中是点C的对应点）进行折叠，其中线段一定是的中线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线、高线，折叠问题，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，由此即可判断，关键是掌握三角形的中线的定义，折叠的性质． 【详解】解：A、由折叠的性质得到，因此一定是的中线，故A符合题意； B、由折叠的性质得到，因此不是的中线，故B不符合题意； C、由折叠的性质得到，因此是的角平分线，不一定是的中线，故C不符合题意； D、如图，由折叠的性质得到，但和不一定相等，因此不一定是的中线，故D不符合题意； 故选：A． 【例2】（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、中线，根据三角形面积公式列关于的方程并求解，再由中点的定义计算的长即可．掌握三角形面积计算公式和中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴ 故答案为：6． 【例3】（2025·广东·模拟预测）如图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且，，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、尺规作角、三角形中线的定义以及三角形周长的计算．解题的关键在于理解相似三角形判定中角的关系用于尺规作图；利用三角形中线定义得到线段相等关系，进而通过已知三角形周长求出相关线段和，从而得出所求三角形的周长． （1）本题要求用尺规作图找出使的点．根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．在中，已有是和的公共角，所以只需作出 ，就能满足相似条件，点即为所求，且尺规作图方法不唯一． （2）已知是边上的中线，根据三角形中线的定义，可得．已知的周长为，，可先求出的值，再利用，将的值求出，最后加上的长度，就能得出的周长． 【详解】（1）解：如图，作，则点即为所求．（作法不唯一） （2）解：为边上的中线， ． 的周长为16，， ， ∴， ，即的周长为17． 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据是的高，，得到，结合分别是的角平分线，平分，得到，从而确定，判断①正确；利用全等三角形判定推出，得到，再利用全等三角形判定推出，判断②正确；利用全等三角形的性质可得，结合，等量代换可得，判断③正确；延长交于点，通过证明得到，得到，再说明，得出，判断④错误，即可得出结论． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵分别是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的高，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 延长交于点，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴综上所述，正确的结论是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线、中线和高、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，是边上的高，平分，F是边上的中点． (1)若，的面积为20，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先根据三角形的面积公式以及已知条件求得，再根据三角形中线的定义即可解答； （2）根据三角形的高、三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，即；再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和的定理即可解答． 【详解】（1）解：是边上的高，，的面积为20， ， ． 是边上的中点， ． （2）解：是边上的高，， ． ，且， ， 平分， ． ． 4．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差 ， 故答案为：； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． 【典型例题十一 根据三角形中线求面积】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，连接，，，根据三角形的中线平分面积求出，同理得到，，分割法求出的面积即可． 【详解】如图，连接，，， 点，，分别是线段，，的中点， ，， ， 同理，，， ， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)7.5． 【分析】（1）根据题意可知，再根据SAS即可证明，即可解答． （2）根据题意得出，，再由三角形全等得到，即可解答． 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：，的面积等于5， ． ，，， ． ， ， ， ． 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 2．（2025·广东珠海·模拟预测）如图，的中线，相交于点F，点M，N分别是，的中点，连接MN，已知的面积为4，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的性质，能够准确地找到所求图形面积与已知图形面积之间的联系是快速解决本题的关键．先根据，是的中线，得出点F为的重心，，，得出，，然后根据三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，进行解答即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，是的中线， ∴点F为的重心，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得∶， 故阴影部分的面积为． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 【典型例题十二 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，由三角形内角和定理可求出的度数，进而由折叠的性质得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了与三角形内角和有关的折叠问题，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则，进而可得，由平角的定义可得，再由平行线的性质得到，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿着翻折，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和定理，根据折叠的性质，平角的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴； 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质， 熟练利用勾股定理列方程． 根据翻折的性质得到得，， 即可得 设， 则， 可得即可得到结果． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴， ， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 设， 则， ， 解得 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 【典型例题十三 三角形内角和定理的应用】 【例1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理进行判断求解． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，则是直角三角形； ②∵，， ∴，则是直角三角形； ③，即，则是直角三角形； ④，， ∴， ∴，故是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在中，，，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：70． 【例3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F．试判断与的位置关系，请说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查旋转性质、三角形内角和定理、对顶角相等、垂直定义等知识，先由旋转性质得到得到，，结合三角形内角和定理及对顶角相等确定，即可得到，从而得到与的位置关系．熟记旋转性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 理由如下： 证明：将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ，， ， ， 即． 1．（四川省达州市经开区2024--2025学年下学期期末考试八年级数学试卷）如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则的度数为（   ） A．9° B．10° C．15° D．20° 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形内角和、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出和，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角度数为：， 正方形的每个内角度数为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，；，D是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与的边垂直时，的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分当点在线段上时，当点D在线段延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当点在线段上且时，如图， 由折叠可知：， ∴， 由折叠可知：， ∵， ∴； 当点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ∴； 当点在线段延长线上且时，如图所示， 同理可得； 当点在线段延长线上且时，如图所示， ∴， ∵， ∴； ∴由折叠的性质可得； 综上所述，当与的边垂直时，的度数是或或． 故答案为：或或． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. 【答案】(1) (2)见解析 (3)（Ⅰ）；（Ⅱ）或或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质； （1）延长交于点G，根据（1）延长交于点G，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）连接连接交于点H，即可得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可； （3）分四种情况作图，根据三角形的内角和和外角解答即可. 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵， ∴， 又∵∠AEF=∠F， ∴， ∴； （2）证明：连接交于点H， 根据三角形的内角和定理可得， 又∵， ∴， ∴； （3）（Ⅰ）延长交于点M， 则， 又∵， ∴， ∴； （Ⅱ）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ①如图，当，在和内部时， 根据三角形的内角和定理得，即， 解得； ②如图，当在的外部，在内部时，连接并延长到点N， 根据三角形的外角可得， 即， 解得：； ③当在的内部，在外部时， 由②可得； ④当，在和外部时， 由①得，即， 解得：； 【典型例题十四 三角形三边关系的应用】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）在中，已知，是边上的中点．连结，将的周长分为和两部分，边的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握有关等腰三角形边的分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键．先根据题意画出示意图，然后再利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系求得三角形三边的长即可． 【详解】解：如图， 设， ∵是中线， ∴， ∵将的周长分为和两部分， 若，则， 即， 解得：， 此时，， ，能构成三角形，符合题意； 若 即， 解得：，， 此时，， ，能构成三角形，符合题意； 综上所述，或． 故答案为：或． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）某天，所有文具聚在一起开了个茶话会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明理由． 【答案】不合理，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．由题意得圆规先生的两腿与它所画的圆的一条半径组成一个三角形，根据三角形三边关系定理得，，即，而，从而判断即可． 【详解】解：不合理，理由：由题意得圆规先生的两腿与它所画的圆的一条半径组成一个三角形，设所画的圆的一条半径为，根据三角形三边关系定理得，即，，，即圆规先生不能画出半径为的圆． 1．（24-25八年级上·江西抚州·期中）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．4 B．5 C．4或6 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， 当时，为等腰三角形，可以构成三角形； 若时，为等腰三角形，不可以组成三角形， 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知a，b，c为的三条边， (1)若，，的周长是小于17的奇数，求c的长． (2)若为等腰三角形，且a，b满足，求的周长． 【答案】(1)或 (2)7或8 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，因式分解的应用，非负数的性质，熟知构成三角形的条件是解题的关键． （1）三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出c的范围，再根据周长是小于17的奇数进一步确定c的范围以及c是偶数，据此可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则由非负数的性质可求出a、b的值，再分腰长为a何腰长为b两种情况，结合构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵a，b，c为的三条边， ∴， ∵，， ∴， ∵的周长是小于17的奇数， ∴， ∴， ∴， ∴且c是偶数， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为7或8． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为21 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，根据是偶数得； （2）根据是的中线得，根据的周长为13和即可求解． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， 即， 是偶数， ； （2）解：的周长为13， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 的周长． 1．（2025·河北保定·模拟预测）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】从题中可知，只能看到一个角是钝角． 所以这个三角形为钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的分类的灵活应用． 2．（2025九年级·湖北随州·学业考试）如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质，先求出∠4的度数，再利用三角形外角与内角的关系求出∠3． 【详解】∵a∥b， ∴∠1＋∠4＝180°, ∴∠4＝180°−60°＝120°, ∵∠4＝∠3＋∠2， ∴∠3＝∠4−∠2 ＝120°−40° ＝80°, 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理．掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解决本题的关键． 3．（2025·江西南昌·模拟预测）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照选项依次分析即可求解． 【详解】解：A．去掉，如图： 图中共有6个三角形，该项不符合题意； B．去掉，如图： 图中共有4个三角形，该项不符合题意； C．去掉，如图： 图中共有7个三角形，该项符合题意； D．去掉，如图： 图中共有9个三角形，该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形计数，掌握三角形的定义是解题的关键． 4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，是的中线，点分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行解答即可． 【详解】∵点F是CE的中点，的面积为 ∴ ∵点E是BD的中点 ∴ ∴ 故答案为：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键． 根据等高的三角形推出，，推出，可得，依此类推可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ，， ，， ， ， 同理可得：， ， 同理可得：， 依此类推：． 故选：D． 6．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）在中，若，则这个三角形按角分类是 三角形． 【答案】直角 【分析】计算出三角形的最大角的度数，判断即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 7．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，掌握构造三角形全等，三角形三边数量关系是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，则，可证，得到，在中，运用三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，则， ∵是的边上的中线， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为： ． 8．（2025·青海·模拟预测）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，则∠CDB＝ 度． 【答案】60° 【分析】根据角平分线的定义求出∠CBD的值，再由直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC＝30°， ∴∠BDC＝90°﹣∠CBD＝60°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及直角三角形的两个锐角互余的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解答本题的关键． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为，， ∴的最小值为， 故答案为：16． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在ABC中，D是AB上的一点，且AD＝2BD，E是BC的中点，CD、AE相交于点F．若EFC的面积为1，则ABC的面积为 ． 【答案】10． 【分析】连接BF，如图，根据三角形面积公式，利用AE为中线得S△ABE＝S△ACE，S△BEF＝S△CEF＝1，所以S△ABF＝S△ACF，设BDF的面积为S，则ADF的面积为2S，ACF的面积为3S，利用S△ADC＝2S△BCD得到2S+3S＝2（S+1+1），然后求得S后计算ABC的面积即可． 【详解】解：如图，连接BF， ∵AE为中线， ∴S△ABE＝S△ACE，S△BEF＝S△CEF＝1， ∴S△ABF＝S△ACF， 设BDF的面积为S，则ADF的面积为2S，ACF的面积为3S， ∵S△ADC＝2S△BCD， ∴2S+3S＝2（S+1+1）， 解得S＝， ∴ABC的面积＝2S+3S+S+1+1＝6S+2＝6×+2＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题是三角形的面积问题，考查了三角形面积与底和高的关系，做好本题要知道以下内容：①两个同高的三角形的面积的比等于对应底的比；②三角形的中线将三角形分成了两个面积相等的三角形，作出正确的辅助线以及熟练掌握相关知识是解决本题的关键． 11．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 【答案】(1)不能，理由见详解 (2)不能，理由见详解 (3)能，理由见详解 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （2）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （3）先得，根据，满足两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （2）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （3）解：能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度满足两边之和大于第三边， 故能组成三角形． 12．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）已知：如图，钝角，    (1)请你画出边上的高、边上的高； (2)若此三角形，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义进行作图即可； （2）根据三角形三边之间的关系即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：、即为所求； （2）解：∵，， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形高的定义，以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 13．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，AD是的高，BE平分交AD于点E．若．求的度数． 【答案】∠BAC＝50° 【分析】由已知条件可得∠ADB＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余及角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求出∠BAC即可． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵， ∴∠EBD＝90°－62°＝28°， ∵BE平分∠ABC交AD于E， ∴∠ABC＝2∠EBD＝56°， ∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－56°－74°＝50°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义与三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解决问题的关键． 14．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为边上的中线． (1)若的面积为4，则的面积为______； (2)若，比的周长多2，则______． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了三角形中线的应用，掌握相关结论是解题关键． （1）设边上的高为，根据、、即可求解； （2）根据、即可求解 【详解】（1）解：∵为边上的中线． ∴ 设边上的高为 ∴ ∵ ∴ 故答案为：2 （2）解： ∵为边上的中线． ∴ ∴ ∴ 故答案为：6 15．（23-24八年级上·甘肃平凉·期中）问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点． 研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由； 猜想：________； 理由： 研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________． 【答案】（）；（）；（），见解析；（） 【分析】（）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论； （）连接，根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论； （）根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论； （）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨即可得到答案； 本题考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的外角的性质与四边形的内角和定理是解题的关键． 【详解】研究（）：根据折叠的性质可知， ∴， 故答案为：； 研究（）：连接， 则， ∴； 故答案为：； 研究（）：猜想： 理由：由图形的折叠性质可知 ， ∵ ∴， 得 ∴ 研究（）：由根据折叠的性质可知 ，， ∴ 即， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$