第04讲 一次函数的图像与性质（5大知识点+18大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪科版2024）

第04讲 一次函数的图像与性质（5知识点+18大典例+变式训练+过关检测） 题型一 一次函数的识别 题型二 正比例函数的定义 题型三 正比例函数的图象与性质 题型四 根据一次函数的定义求参数 题型五 求一次函数自变量或函数值 题型六 根据一次函数增减性求参数 题型七 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型八 比较一次函数值的大小 题型九 列一次函数解析式并求值 题型十 判断一次函数的图象 题型十一 画一次函数图象 题型十二 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十三 已知函数经过的象限求参数范围 题型十四 求一次函数解析式 题型十五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十六 一次函数图象平移问题 题型十七 与一次函数有关的规律探究问题 题型十八 与一次函数有关的最值问题 知识点01 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·重庆·期末）一次函数一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，将和分别代入解析式中，结合选项，即可求解． 【详解】解：当时，，则一次函数的图象经过点，故该选项A正确，符合题意，B ，C不符合题意.； 当时，，则一次函数的图象经过点，故选项D不符合题意 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）一次函数中，当时， ． 【答案】1 【分析】本题主要考查求函数值，把代入计算即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：1． 知识点02 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）下列各点在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，判断点是否在正比例函数图象上，只需验证点的坐标是否满足函数解析式即可． 【详解】解：A、当时，，则点不在正比例函数的图象上，不符合题意； B、当时，，则点在正比例函数的图象上，符合题意； C、当时，，则点不在正比例函数的图象上，不符合题意； D、当时，，则点不在正比例函数的图象上，不符合题意； 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在正比例函数中，如果随自变量的增大而减小，那么正比例函数的图象在第 象限． 【答案】一、三 【分析】先根据正比例函数的增减性判断出的符号，进而可得出结论． 【详解】解：∵   在正比例函数中，随自变量的增大而减小， ∴   ，∴   ， ∴   正比例函数的图象在一、三象限． 故答案为：一、三． 【点睛】本题考查正比例函数的性质和图象，熟练掌握正比例函数性质和图象与其解析式的对应关系是解题关键． 知识点03 正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）在正比例函数中，随着的增大而减小，则的值可以是（   ） A．3 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数的性质，当比例系数时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；题目中要求随的增大而减小，因此必须为负数，据此判断即可得答案. 【详解】∵正比例函数    中，随的增大而减小， ∴， ∴四个选项中，的值可以是， 故选：B . 【即时训练】 2．（24-25八年级上·重庆大足·期末）若 与 成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为y＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键． 由正比例函数的定义可设，把，，代入即可求出k，进而得到y与x之间的函数表达式即可． 【详解】解：∵ 与 成正比例， ∴设， ∵当 时， ， ∴， 解得 ， ∴，即， 故答案为：． 知识点04 正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正比例函数的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数（k、b为常数，）的图象为直线，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的减小而减小；当，图象与y轴的正半轴相交；当，图象过原点；当，图象与y轴的负半轴相交． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，A点的对应点在直线上，则点B与其对应点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查坐标与平移，正比例函数的图象，根据平移得到的纵坐标为，代入，求出的值，进而求出A点与对应点点的距离，即为B与其对应点间的距离． 【详解】解：由平移，可知：轴，A点与对应点点的距离等于B与其对应点间的距离， ∵， ∴的纵坐标为， ∴当时，则：， ∴， ∴点B与其对应点间的距离为； 故答案为：4． 知识点05 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）下列3个函数：①；②；③，随着的增大，的变化情况相同的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与正比例函数的性质，对于一次函数（k为常数，）和正比例函数，当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：在中，随着的增大，增大， 在中，随着的增大，减小， 在中，随着的增大，增大， ∴随着的增大，的变化情况相同的是①③， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）已知正比例函数，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的有关性质． 根据正比例函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：正比例函数过二、四象限 则， 解得（舍去）或 故答案为： 【典型例题一 一次函数的识别】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）下列函数中，是的一次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数．需逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】解：A.，其中，，符合一次函数的定义． B.，x的次数为2，不符合一次函数的形式． C.，即，x的次数为，不符合一次函数中x次数为1的要求． D.，可视为，其中，不满足的条件，属于常函数而非一次函数． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·四川达州·期中）下列函数：① y = -2x + 1；②；③ ；④ y =6x；⑤y = 2x2 + 1，其中y是x的一次函数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】直接根据一次函数的概念进行解答即可． 【详解】解：符合函数都是一次函数， ∴①③④都是一次函数，②⑤不符合一次函数的解析式，故不是一次函数； ∴y是x的一次函数有3个； 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数的概念，熟练掌握一次函数的概念是解题的关键． 【例3】（23-24八年级上·广西贵港·期末）写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一次函数中：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：一次函数一个系数为3，常数项不为0． ∴即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级上·广东茂名·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中一定是一次函数的有 ．（只是填写序号） 【答案】②③⑤ 【分析】根据一次函数的定义条件解答即可． 【详解】解：①y＝kx当k＝0时原式不是一次函数； ②是一次函数； ③由于＝x，则是一次函数； ④y＝x2＋1自变量次数不为1，故不是一次函数； ⑤y＝22−x是一次函数． 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 1．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 【答案】A 【分析】根据可得，则与成一次函数，再根据正方形的面积公式可得，则S与x满足的函数关系是二次函数关系． 【详解】解：由题意得：、 ， ∴与，与满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）给出下列五个命题： ①32、42、52是一组勾股数； ②y=3x是正比例函数，但不是一次函数； ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④无论x为何值，一定都是二次根式； ⑤一组数据的中位数有且只有一个，但众数可能不止一个； 其中正确的是 （写出所有正确命题的序号） 【答案】⑤ 【详解】试题分析：3,4,5是一组勾股数，但32、42、52不是一组勾股数，所以①错误；因为y=3x是正比例函数，也是一次函数，所以②错误；因为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以③错误；因为当x≥0时，是二次根式，所以④错误；为一组数据的中位数有且只有一个，但众数可能不止一个，所以⑤正确．故答案为⑤． 考点：命题与定理． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的相关函数为 ． (2)已知点A(a，-6)在该一次函数的相关函数的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的相关函数的最大值和最小值； (4)已知直线与轴垂直(为垂足的纵坐标)，当直线与该一次函数的相关函数的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)a=-1 (3)最大值为4；最小值为-8 (4) 【分析】（1）根据相关函数的定义直接写出 （2）根据点的坐标特征结合函数图像判断点在上，代入求解即可 （3）根据相关函数的增减性结合x的范围求得最值 （4）结合函数图像判断求解 【详解】（1）解：根据相关函数的定义得： 故答案为： （2）解：如图， 由点A(a，-6)的纵坐标为-6知： 点A在上 ∴-6=2a-4 解得：a=-1 故答案为：-1 （3）解：如图 当时，在上y随x的增大而增大， 当x=-2时，y=-2×2-4=-8， 所以在上的最小值为-8 同理：在上y随x的增大而减小 所以的最大值为4 综上：该相关函数的最大值为4，最小值为-8 （4）解：由题意画出图像如下： 图中两条虚线y=4、y=-4刚好是直线与该一次函数的相关函数的图像相交的临界情况， 由图像易知，当直线与该一次函数的相关函数的图像只有一个交点时: 故b的范围是： 【点睛】本题考查了一次函数的图像及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图像是解题关键．注意数形结合思想的运用． 【典型例题二 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）下列函数中，是正比例函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足：①自变量的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量. 【详解】解：选项A：，自变量的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义； 选项B：，可写为，自变量的次数为，且分母含，属于反比例函数，不符合定义； 选项C：，展开为，含常数项，属于一次函数但非正比例函数； 选项D：，即，满足的形式（），无其他项，符合正比例函数的定义； 综上，正确答案为D； 故选：D 【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列关系式中，表示是关于的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义条件：是常数且，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A、不是正比例函数，故本选项不符合题意； B、不是表示是的正比例函数，故本选项不符合题意； C、是表示是的正比例函数，故本选项符合题意； D、，未明确是否为非零常数，若为变量或零，则不符合正比例函数的定义，因此不严谨，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·河北保定·期中）若与成正比例，则y是x的 函数． 【答案】一次或正比例 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据题意可设，将其整理后根据一次函数的定义即可求得答案． 【详解】解：与成正比例， 设， 整理得：， 即， 则是的一次函数或正比例函数， 故答案为：一次或正比例． 【例4】（2025·天津河东·模拟预测）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．由函数平移的规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴正比例函数是， 由“上加下减”的原则可知，将正比例函数的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据题意求出正比例函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：将代入， 解得， ， 将代入， 解得． 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东·阶段练习）已知，与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 由与成正比例，与成正比例，可设出两个比例系数不同的正比例函数，再将其代入到中，就得到了关于的解析式，最后将两个点代入解析式，求解系数即可得出结果． 【详解】解：与成正比例，与成正比例， ，， ， 当时，；当时，， ， 解得，， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的表达式； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，解正比例函数图象的性质，熟练掌握正比例函数的图象性质是解题的关键； （1）把点的坐标代入即可计算． （2）根据正比例函数图象的性质，得，解不等式即可求得k的取值范围； 【详解】（1）解： 点在的图象上， ，             解得，             正比例函数的表达式为． （2）（2）的图象经过第二、四象限， ，             ． 【典型例题三 正比例函数的图象与性质】 【例1】（24-25八年级上·山东德州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象经过原点 B．随的增大而减小 C．点在函数的图象上 D．图象经过第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据正比例函数的性质，结合各选项逐一验证即可. 【详解】解：选项A：正比例函数的形式为，当时，，因此图象必经过原点，选项A正确； 选项B：系数，故随的增大而减小，选项B正确； 选项C：将点代入函数，计算得，与点的纵坐标不符，因此该点不在图象上，选项C错误； 选项D：当时，正比例函数图象经过第二、四象限，选项D正确； 综上，结论不正确的是选项C； 故选：C 【例2】 （2025·江西·模拟预测）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·北京西城·期中）正比例函数图象过点，那么它的函数解析式为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键；设函数解析式为，然后把点代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：设函数解析式为，则有：， 解得：， ∴函数解析式为； 故答案为． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知中实数是相对应的中实数的正比例函数，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求正比例函数的解析式．该正比例函数的解析式为，把代入求出正比例函数的解析式，即可求解． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 把代入得：， ∴该正比例函数的解析式为， 当时，， 解得：， 即． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山西太原·期末）若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数中，的值随着值的增大而减小，可知，所以可知直线过第二、四象限，根据各点所在的象限判断该点是否可能在该函数的图象上． 【详解】解：正比例函数中，的值随着值的增大而减小， ， 直线过第二、四象限， 点在第一象限， 不在该函数的图象上， 故A选项不符合题意； 点在轴上， 不在该函数的图象上， 故B选项不符合题意； 点在第三象限， 不在该函数的图象上， 故C选项不符合题意； 点在第二象限， 可能在该函数的图象上， 故D选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为 （用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，由正比例函数的图象可得，，，，据此即可求解，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数经过二四象限，正比例函数③经过一三象限， ∴，，， ∵正比例函数比正比例函数更接近轴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【答案】(1)12； (2)见解析 【分析】本题考查了新定义运算、画正比例函数图象，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给定义计算即可得解； （2）由题意可得：当时，与的关系式为；当时，与的关系式为；再画出函数图象即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可得：当时，与的关系式为； 当时，与的关系式为； 列表如下： … 0 1 2 … … 4 2 0 2 4 … 描点、连线，如图所示． ． 【典型例题四 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在一次函数中，k的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据即即可得出答案． 【详解】解：即， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：关于x的函数是一次函数， ， ， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·北京·期中）关于函数，给出下列结论： ①此函数一定是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则的取值范围是； 其中正确的是 ；（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值的运用．①当时，函数是一次函数；②，当时，，过函数过点，即可求解；③函数经过二，三，四象限，可得，从而可以求得k的取值范围． 【详解】解：①当时，函数是一次函数；故①不符合题意； ②， 当时，，过函数过点，故②符合题意； ③函数经过二，三，四象限，则， 解得：，故③符合题意； 故答案为：②③． 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知一次函数．无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确对函数解析式进行变形成为解题的关键． 解析式变形为，由此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 令，则． ∴一次函数图象过定点． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数是一次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次项系数不为零，最高次项的次数为次是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得：． 【典型例题五 求一次函数自变量或函数值】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各点中，在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数上的点；将各点的坐标代入直线方程中，验证是否满足等式即可判断点是否在直线上． 【详解】解：选项A：代入方程，左边，右边．左边等于右边，故点A在直线上． 选项B：代入方程，左边，右边．左边不等于右边，故点B不在直线上． 选项C：代入方程，左边，右边．左边不等于右边，故点C不在直线上． 选项D：代入方程，左边，右边．左边不等于右边，故点D不在直线上． 综上，只有选项A满足方程， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”．那么它的图象一定经过定点P（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先将整理提取参数，使得经过定点，即与无关，则，即可求解． 【详解】解：， ∵一次函数的图象是“点旋转直线”， ∴， ∴， ∴， ∴经过定点， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为，则输出值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查求一次函数的函数值，根据流程图，把代入相应的解析式，进行秋求解即可． 【详解】解：由题意，把代入，得：； 故答案为：2 【例4】（24-25八年级上·山西临汾·期中）已知点关于y轴的对称点恰好落在一次函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质．根据点关于y轴的对称点，再将代入，进一步求解即可． 【详解】解：点关于y轴的对称点， 将代入， 得， 解得， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河北承德·期中）如图，是一次函数的图像，从图像上可以观察到，方程的解是（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．0 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，先利用待定系数法求一次函数解析式，然后令，解方程求出x值即可． 【详解】解：把和代入得， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， 解得， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，直线和直线相交于点，则能使成立的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的性质的知识，先求得点的横坐标，进而根据函数图象，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： ∴使成立的的取值范围是 故答案为：． 3．（2025·浙江金华·模拟预测）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热100℃后自动进入保温模式．现有一壶20℃的水经过8分钟烧至100℃后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（℃）与时间x（分）的关系如图所示． (1)求a的值为． (2)已知时，，求当时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值． (3)当x=30时，求此时电热水壶中水的温度是多少℃． 【答案】(1) (2)当时，水温y与时间x之间的函数关系式，． (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据保温模式工作原理，由重新加热到目标温度72，结合图象可得a值，y与x的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，再求出时，y的值，时，x的值即可得到答案； （2）设y与x的函数关系式为，由工作模式可知，当 时，水温降至，开始重新加热，已知 时 ．利用待定系数法求出解析式，再求出时，x的值即可得到答案； （3）由（1）（2）所求可知，每分钟为一个循环，温度先从下降到，再从上升到，其中温度下降的过程为分钟，温度上升的过程为4分钟，据此可求出第30分钟的温度． 【详解】（1）解：由图可见，水壶在保温模式下加热到的目标温度，即图中所示的水平线 ，即 ． （2）解：设时水温随时间的函数为，当 时，水温降至开始重新加热，已知 时 ．可得 ，解得：， 因此， 时，． 当水温加热到时电路停止工作，故令得： ，解得． 答：当时，水温y与时间x之间的函数关系式，． （3）解：从至为降温()的10分钟，每分钟降温， 从至为升温()的4分钟， “从冷却到，需要（分钟） 再往后水壶会按“从冷却到，再加热回”的周期反复．可知每分钟完成一次“”的循环． 当  时水温刚到72 ℃，再经过7分钟后(即 )又回到72 ℃． 故 时，水温为． 【典型例题六 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一次函数的性质可得，进而可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随x值的增大而减小， ∴， ∴一次函数过第二、三、四象限， 故选：D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）关于的一次函数，若随的增大而增大，且图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：随的增大而增大， ． ． 图象与轴的交点在原点下方， ． ． ． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·上海杨浦·期末）已知直线与轴交于点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质． 先求出函数解析式，再判断即可． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴， 即， ∴ 当时， 解得， ∵， ∴当时，， 故答案为：． 【例4】（河南省开封市2024-2025学年下学期期末调研检测八年级数学试卷）一次函数（k为常数，且），y随x增大而增大，则k的值可以为 ．（写一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足．根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，则，取值即可． 【详解】解：∵一次函数（k是常数，且），y随x的增大而增大， ∴， 则k的值可以为， 故答案为：（答案不唯一） 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，直线分别与轴，轴交于，其中，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，根据一次函数图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】解：．由两个函数图象可知，，故，故该选项不符合题意； ．由两个函数图象可知，，故，故该选项不符合题意； ．由可知，则，故该选项符合题意； ．由图象可知，，故，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数（为常数且）． （1）若该一次函数图象经过点，则 ； （2）当时，函数有最大值14，则的值为 ． 【答案】 10 2或 【分析】此题考查了一次函数的性质． （1）把点的坐标代入即可求出答案； （2）根据一次函数的增减性，分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：（1）把点代入一次函数的表达式中，得， 解得， 故答案为：10； （2）当时，随增大而增大，则当时，有最大值， ，解得； 当时，随增大而减小，则当时，有最大值， ，解得， 综上所述，的值为2或． 故答案为：2或． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)与之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据一次函数的增减性，可得，据此即可求解； 本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设，将，代入得， ， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴随的增大而增大， ∵点，在该一次函数的图象上，且， ∴， ∴． 【典型例题七 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例1】（2025·山西·模拟预测）一次函数的图象上有两点，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质判断出函数的增减性是解答本题的关键．根据一次函数的性质判断出增减性即可解答． 【详解】解：一次函数的， 随的增大而减小， ， ， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系． 首先利用图象过，确定函数值，再考虑函数的增减性利用不等式求解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， 时， 又由图像知，一次函数随的增大而增大， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 【例3】（2024·江苏镇江·模拟预测）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示， 比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，根据表格中前两列的和的取值，得出随的变化关系，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 当时，；当时，； 因为，， 所以随的增大而减小． 又因为， 所以． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图是一次函数的图象，点，点在该函数图象上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像得到，随增大而增大，根据，即可求解， 本题考查了，一次函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握一次函数的增减性． 【详解】解：如图可知， ∴随增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南焦作·期中）已知点和点都在直线．上，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的比例系数的符号以及相应自变量的大小可得所求结果．此题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：直线，， y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 【答案】(1)，0 (2)见解析 (3)①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；②或；③ 【分析】（1）直接将、分别代入函数中求解即可； （2）根据描点法画函数出图像即可； （3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可； ②根据图像的增减性可求解； ③根据图像的最低点可求得该函数的最小值． 【详解】（1）解：由表格知，当时，， 当时，， 故答案为：，0； （2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线， 则函数图像如图所示：    （3）解：①根据图像，当时，y随x的增大而增大，或函数关于直线对称，等， 故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； ②根据图像，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，由得或， 当时，由得或， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； ③由图像知，当时，函数取得最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键． 【典型例题八 比较一次函数值的大小】 【例1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）已知点，点是上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． 根据一次函数的增减性分析，即可得到答案． 【详解】对于一次函数， ∵， ∴， ∴， 即一次函数的系数为负， ∴函数随的增大而减小． ∵，，中， ∴， 故选：A． 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知点在一次函数的图像上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，异号， ∴ 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知关于x的函数（是常数），与的部分对应值如下表：则 （从“”“””“”中选一个填空） x … 0 2 3 … y … s b t … 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解表格系数，掌握待定系数法是关键，根据表格信息，代入计算得到，运用作差法即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知一次函数，当时，的最大值是 ，的最小值是 ． 【答案】 0 【分析】本题考查一次函数的增减性．根据题意，得到，再由一次函数的增减性解题即可． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而减小， 故当时， 的最大值是时，即， 的最小值是时，即， 故答案为：；1． 1．（24-25八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数的图象即可判断选项A错误；根据一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方即可判断选项B错误；根据函数图象可得当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，由此即可判断选项C错误；根据两个一次函数的交点坐标即可判断选项D正确． 【详解】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，则此项错误，不符合题意； B、由函数图象可知，一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方，所以，此项错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，所以，此项错误，不符合题意； D、由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为，所以关于的方程组，即方程组的解为，此项正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“＞”、“＝、“＜”） 【答案】 【分析】本题主要考查的是比较一次函数图象上两点纵坐标的大小，掌握一次函数增减性的判断是解题关键． 由，根据一次函数的性质可得y随x的增大而增大，再结合即可解答． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数． (1)当时，利用描点，连线的方法在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，函数随着的增大而减小，求的取值范围； (3)已知该函数经过点，，，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图像，一次函数与不等式； （1）当时，，根据列表，描点，连线的方法画函数图像； （2）根据函数图像，即可求解； （3）由（2）可得，函数的图像，关于对称，离对称轴越远，函数值越大，据此分，，三种情况，结合题意，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 列表如下， -3 -2 -1 0 1 3 2 1 2 3 （2）根据函数图像可得，当时，函数随着的增大而减小， 的取值范围为； （3）由（2）可得，函数的图像，关于对称， 当时，，得 当时，，得 当时，不符合要求   ∴或 【典型例题九 列一次函数解析式并求值】 【例1】（23-24八年级上·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 【例2】（24-25八年级上·天津和平·阶段练习）一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 【答案】B 【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可． 【详解】解：一次函数整理得 ， ∴令，则， ∴， ∴它的图象一定经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为 ．（不用写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 【例4】（2025·上海嘉定·模拟预测）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 【答案】4 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将A(3,1)和B(6，0)分别代入，求出、的值，再解不等式组解集即可. 【详解】将A(3，1)，B(6,0)分别代入得： ，解得 ∴函数解析式为， 解不等式组 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式的解集为， 即的解集为， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 2．（2025·山西·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 【答案】(1) (2)安排方案有4种，见解析 【分析】（1）先表示出装运生活用品的车辆数为，再结合表格中的数据解答即可； （2）先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为， 则有， 整理得，， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，，x， 由题意，得， 解这个不等式组，得， 因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8． 所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆． 【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键． 【典型例题十 判断一次函数的图象】 【例1】（2025·广西·模拟预测）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知某函数的函数值和自变量的部分对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式、一次函数的性质等知识点，根据题意求得函数解析式成为解题的关键．先运用待定系数法求得函数解析式，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：有表格数据可知该函数为一次函数， 设该函数解析式为， 由题意可得：，解得：， 所以该函数的关系式为：， ∵， ∴该函数图象是y随x的增大而减小的一次函数，即B选项符合题意． 故选B． 【例3】（23-24八年级上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线经过，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是将点的坐标代入． 把点代入即可得答案． 【详解】解：把点代入得， ， 故答案为：3． 【例4】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）若关于的方程的解为，则的图象一定经过点 ． 【答案】 【分析】先将代入中可得，再代入中可得，此时可发现当时，k无论取什么值，y=5，由此可得函数一定经过． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴，即， ∴，即， 当时，k无论取什么值，y=5， ∴函数的图象一定经过． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质．解决此类问题的关键是替换掉一个常量，然后将函数变形后，找出自变量x取某值时，另外一个常量无论怎么变化都不改变因变量y的值，此时（x，y）就是一定经过的点． 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查函数的表示方法，以及画函数图象，掌握相关知识是解题关键．利用描点法画出图象并判断即可解题． 【详解】解：由表格描点得下图： 根据图象可知，风寒温度与风速的函数关系最可能是一次函数， 故选：B． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）设一次函数（为常数，且），图象过，． (1)求该一次函数的解析式，并画出它的图象； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 【答案】(1)一次函数解析式为；图像见解析 (2)点不在该一次函数图象上，理由见解析 【分析】（1）把点和点坐标代入得到关于的方程组，然后解方程组即可； （2）把代入一次函数的解析式中，可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，分别代入得： ， 解得：， 一次函数解析式为， 画出图如图所示： ； （2）解：当时，， 点不在该一次函数图象上． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象经过的点都能满足一次函数关系式． 【典型例题十一 画一次函数图象】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象进行判断即可． 【详解】解：描点，连线，画出函数图象如图： 由图可知：点与其它点不在同一条直线上； 故这个错误的函数值是； 故选C． 【例2】（24-25八年级上·福建福州·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可． 【详解】解：∵， ∴函数的图像大致是   ， 故选C． 【点睛】本题考查了分段函数图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 【答案】－3≤k≤3且k≠1． 【分析】根据图像即可求得k的取值范围． 【详解】根据题意当x≥时，y＝3x－1＋2＝3x+1；当x＜时，y＝1-3x＋2＝3-3x， 由此画出图形M， 直线y＝kx－5过定点（0，-5），交点在l2上， 如图可得：－3≤k≤3且k≠1， 故答案为：－3≤k≤3且k≠1． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，画出图像是本题关键． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上： 、 、 ． 【答案】 A，F，G B，E，I C，D，H 【分析】根据函数解析式、列表的特点及一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】y=-2x+1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … 5 3 1 -1 -3 … 对应函数图象如下： y=x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -3 -2 -1 0 1 … 对应函数图象如下： y=2x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -5 -3 -1 1 3 … 对应函数图象如下： 故答案为：A，F，G；B，E，I；C，D，H． 【点睛】此题主要考查一次函数图象与性质，解题的关键是熟知画一次函数的图象的方法． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）有下列四个函数： ①；②；③；④．其中图象经过如图所示阴影部分（包括边界）的函数有（   ） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题综合考查一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质．根据阴影部分顶点坐标，结合函数图象，作出判断即可． 【详解】解：①的图象经过、两点，如图1， ②的图象经过、两点，如图2， ③的图象经过、两点，如图3， ④的图象开口向下，顶点为，经过点，，如图4． ∴图象经过如图所示阴影部分(包括边界)的函数有②③④． 故选：D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为 ． 【答案】c＞a＞b 【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断． 【详解】解：∵＞0，＜0， 点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等 ∴ y＝n﹣1是一条水平线 画出满足题意位置关系的函数图像如下， 由图像易得：c＞a＞b， 故答案为：c＞a＞b． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键． 3．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求两点的坐标，并画出函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)已知点，点，记的面积为，的面积为，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，图像见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，画一次函数的图象，一次函数的性质： （1）分别令，，进行求解即可； （2）根据一次函数的增减性，进行求解即可； （3）连接，求出直线的解析式，证明，即可解答． 【详解】（1）解：（1）当时，即， 解得， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为． 描点、连线、画出函数图象如图所示： （2）当时，； 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，． （3）连接，如图 设直线的解析式为，将，点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． 由直线的解析式为，得 ， 则与是同底等高． ∴=． 【典型例题十二 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（江西省宜春市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，根据一次函数的和截距，再分析其图象经过的象限即可. 【详解】解：一次函数中，，， 此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象．一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 根据为第一象限内的点，可得，进而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，即可求解． 【详解】解：∵为第一象限内的点， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， 只有A符合题意． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则函数的解析式可以为 ． 【答案】（答案不唯一，满足，即可） 【分析】本题主要考查了一次函数图象经过的象限， 根据一次函数的图象不经过第二象限可知，选择符合题意的即可． 【详解】解：因为一次函数的图象不经过第二象限， 所以， 函数解析式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 【例4】（2025·河南周口·模拟预测）将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，求出将一次函数的图象向右平移个单位，所得一次函数解析式为，即，再根据平移后的图象不经过第二象限，得，解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的解析式为，即， 因为平移后的图象不经过第二象限， 所以， 解得， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，分和，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：若，则，一次函数与的图象都经过第一、二、三象限，没有符合条件的选项； 若，则，一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，C选项符合条件． 故选：C． 2．（2025·山东日照·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限，熟练掌握一次函数与正比例函数的图象所过象限与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线，，， ∴直线经过第一、二、三象限， ∵，， ∴直线经过第二、四象限， ∴两个函数图象都经过第二象限， ∴交点在第二象限， 故答案为：二． 3．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数中的，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数中的．    (1)写出为负数的概率； (2)求一次函数的图象经过一、二、四象限的概率．（用树状图或列表法求解） 【答案】(1)为负数的概率为 (2)画树状图，    一共有6种情况，其中经过一、二、四象限的有2种， 一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为 【分析】本题考查了用树状图或列表法、概率的求法、一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握树状图法是解决问题的关键． （1）共有3张牌，2张为负数，让负数的个数除以数总个数即为所求概率． （2）画出树状图，列举出共有多少种情况，其中满足一次函数经过一、二、四象限，即k为负数，b为正数的情况占所有情况的多少即可． 【详解】（1）解：共有3张牌，其中2张为负数， 为负数的概率为． （2）解：画树状图    一共有6种情况，其中满足一次函数经过一、二、四象限，即，的情况有两种， 所以一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为． 【典型例题十三 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（2025年辽宁省中考数学试题）在平面直角坐标系中存在函数过第一，二，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．一次函数过第一、二、四象限，则，，根据选项逐一判断可得答案． 【详解】解：∵函数的图象经过第一，二，四象限， ∴，， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知实数满足，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可得，，，则，不合题意； 、由图象可得，，，则，不合题意； 、由图象可得，，，则，不合题意； 、由图象可得，，，则，符合题意； 故选：． 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·期中）当直线经过第一、二、四象限时，k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键．根据一次函数，，时图象经过第一、二、四象限，可得，，即可求解． 【详解】解：∵经过第一、二、四象限， ． 解得． 故答案是：． 【例4】（24-25八年级上·山东淄博·期末）一次函数的图象如图所示，若在一次函数第三象限的图象上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是根据一次函数图象所在象限确定点的横坐标的取值范围． 通过观察一次函数图象在坐标系中的位置，找到第三象限中图象对应的横坐标的取值范围，进而确定的取值范围． 【详解】观察一次函数的图象可知，该函数图象与轴交点的横坐标为1，与轴交点的纵坐标为，其在第三象限的图象对应的横坐标是小于0的， 因为点在一次函数第三象限的图象上，横坐标为， 所以的取值范围是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数和（k为常数，）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数与y轴的交点位置情况即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象可知，故不符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象可知，故不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象可知，故符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·重庆长寿·期末）若关于m的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】21 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，根据不等式组有解且最多4个整数解确定的范围；再根据一次函数图象不经过第四象限的条件确定的另一范围，综合两个范围得到的取值，最后求满足条件的整数的和．本题主要考查了一元一次不等式组的解法、整数解的确定以及一次函数图象性质，熟练掌握不等式组的求解步骤和一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：解不等式： ， ， ． 解不等式： ， ， ． 因为不等式组有解，所以，即；又因为最多有4个整数解，大于2的连续4个整数为3、4、5、6，所以，即，故． 对于一次函数，图象不经过第四象限，则． 解，得； 解，得． 所以． 综合与，得，满足条件的整数为6、7、8． 它们的和为． 故答案为：21． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知函数，m为常数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点与两条直线平行的条件，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）根据已知条件知，关于的函数的图象经过点，所以把代入已知函数解析式列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值； （2）函数的图象平行于直线，说明，由此求得的数值即可； （3）根据题意列不等式组即可得到结论． 【详解】（1）关于的函数的图象经过原点， 点满足函数的解析式， ， 解得． （2）函数的图象平行于直线， ，， ； （3）函数是一次函数，且不经过第二象限， 且， ， 的取值范围是． 【典型例题十四 求一次函数解析式】 【例1】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）若，则直线一定经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将选项中所给点的坐标代入验证，符合的特征即可，据此可解决问题． 【详解】解：将点代入得，，不符合的形式，所以A选项不符合题意． 将点代入得，，不符合的形式，所以B选项不符合题意． 将点代入得，，即，不符合的形式，所以C选项不符合题意． 将点代入得，，即，符合的形式， 所以D选项符合题意． 故选：D． 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知一次函数的图象在y轴上的截距是5，且过点，则该函数的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，设一次函数的解析式为，一次函数在y轴上的截距即为一次函数与y轴交点的纵坐标，据此可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数在y轴上的截距是5， ∴， 把点代入得，， ∴， ∴该函数的解析式是． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求一元一次不等式的解集，求出一次函数解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，将的值代入不等式中，再解不等式即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得：， 将代入， 得，解得：． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下表，则与之间的函数关系式为（   ） 出水时间（min） … 5 10 15 20 … 剩余水量 … 120 90 60 30 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，由饮水机水箱内的剩余水量是每分钟减少得与满足一次函数关系式，由待定系数法即可求解；能判断出与满足一次函数关系式是解题的关键． 【详解】解：由表格得 饮水机水箱内的剩余水量是每分钟减少， 与满足一次函数关系式， 设，则有 ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，． 【详解】解：直线经过点和， 可得：， 解得：， 为， 当时，， 一次函数与的交点坐标是， 由图象可知，一次函数的随增大而减小， 当时，． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）某超市以每件10元的价格新进一批商品，经市场调研发现：超市每天售出该商品的数量（件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系．下表列出了，的一些对应值： 12 14 16 18 80 70 60 50 (1)试确定与之间的函数表达式； (2)物价部门规定，任何商品的利润率都不得超过，若超市销售该商品每天想获得280元的利润，求该商品的售价． 【答案】(1) (2)该商品的售价为14元/件 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，利用待定系数法求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出解析式并利用待定系数法求解即可； （2）根据利润等于售价减去进价后乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入到中得：，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴， 答：该商品的售价为14元/件． 【典型例题十五 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）一次函数与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握轴上的点的特征． 一次函数与轴的交点横坐标为，将代入解析式，可得交点纵坐标，即可得交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与轴的交点横坐标为， ∴纵坐标为， ∴一次函数与轴的交点坐标为 故选：． 【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在轴上存在一点，使得的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移，轴对称的性质，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求，根据题意得出直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求， 设直线沿轴向下平移后的直线解析式为， 把代入可得，， 平移后的直线为， 令，则，即 ， 设直线的解析式为， 把，代入可得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求出当时，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在直线中，当时，， ∵直线经过点， ∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与，交于点，连接，已知的长为4．的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与轴交点，以及一次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据题意求出，再结合与，交于点，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：当时，， ， 与，交于点， 的面积是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题及平移的性质，先求出两点的坐标，得到，进而求出，即可求出点的坐标，设沿轴正方向平移个单位长度后，得到，由平移的性质得到，结合平行四边形的性质，当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，即可求解． 【详解】解：根据题意当时，则， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设沿轴正方向平移个单位长度后，得到，连接， 则， ∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形， ∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分， ∵的中点为，即， ∴， 解得：． 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为 ． 【答案】、或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标． 【详解】解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点上方时，此时， 点的坐标为； 当点在点的下方时，此时， 点的坐标为； 当时，点在轴的负半轴上时，此时点的坐标为； 由上可得，点的坐标为、或， 故答案为：、或． 3．（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中．一次函数的图象平行于，且经过点． (1)求一次函数解析式； (2)点P为x轴上一点，一次函数的图象与x轴交于点B，的面积是2，求点P坐标； (3)当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的性质，确定一次函数解析式，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键 （1）由题意可设一次函数，再结合待定系数法求得解析式； （2）根据题意确定，设，利用面积建立方程求解即可； （3）根据题意，分三种情况分析，列出不等式，即可求得解． 【详解】（1）解：由题意可设一次函数， ∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数． （2）一次函数， 当时，， ∴， ∵点P为x轴上一点， ∴设， ∴， ∵的面积是2， ∴， 解得：或， ∴或 （3）由题意得当时，，得， ①当时，； ②当时，，则，解得， ∵， ∴，则有； ③当时，，则，解得，不符合题意； ④根据题意得：， 综上所述，或． 【典型例题十六 一次函数图象平移问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，将直线向下平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，根据一次函数平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为， 故选：C． 【例2】（2025·江苏南通·模拟预测）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小，再由函数是函数函数向右平移2个单位长度得到的，可得函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小， ∵函数是函数函数向右平移2个单位长度得到的， ∴函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小， ∴关于x的不等式的解集是， 故选：C 【例3】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）将函数图象向下平移 个单位长度，可使得平移后的函数图象经过点． 【答案】15 【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度，得到， 将代入得：， 解得：， 故答案为：15． 【例4】（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过原点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数平移规律是解题的关键． 根据题目先求得一次函数平移后的解析式是，将点代入即可求出答案． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移4个单位长度后得到，且经过， 将点代入得， 解得：． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点和顶点，直线以每秒1个单位长度向上移动，经过几秒该直线将平行四边形的面积分成相等的两部分（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，证明直线将分成面积相等的两部分，说明当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分，设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为，根据中点坐标公式求出，把代入得，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 同理得：，， ∴，，， ∴， ∴直线将分成面积相等的两部分， ∴当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分， 设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为， ∵，，点和顶点， ∵D为的中点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴经过4秒该直线可将平行四边形的面积平分． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数平移，中点坐标公式，解题的关键是根据平行四边形的性质得出当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】向上平移个单位后，得到新解析式为，直线于坐标轴的交点为，，当直线过，确定m的值，后确定范围即可． 本题考查了一次函数的平移，直线与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：向上平移个单位后，得到新解析式为， 又直线于坐标轴的交点为，， 当直线过，时，解得，， 故与直线的交点在第一象限的的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）如图，直线：与直线：交于点，点D在直线上，且位于点B的上方，轴交于点E． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，将直线向左平移得到直线l，直线l经过点D，P为直线l上一动点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）：将点B代入求得m的值，从而确定点B坐标，再将点B代入求解即可； （2）设，则，根据面积可得，再求解即可； （3）直线平移后l的解析式为，当点P在上时，，求得直线的解析式为，进而求点P，当点P在下方时，求得直线的解析式为，再联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点B代入得，， 解得， ∴， 将点B代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）解：直线平移后l的解析式为， 把点代入得， 解得， ∴直线平移后l的解析式为， 当点P在上时， ，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由（2）得，， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴， 当点P在下方时，点P关于的对称点为点， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题考查求一次函数解析式、解一元二次方程、三角形外角的性质、平行线的判定、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【典型例题十七 与一次函数有关的规律探究问题】 【例1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一次函数的定义，根据题意得当时，，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程（）一个根， ∴ ∴ ∴一次函数的图象必过定点 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，…都在轴上，点，…在直线上，，，，，，…，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，掌握等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，找出点坐标的规律是关键． 根据题意得到（为正整数），由此即可求解． 【详解】解：点，…都在轴上，点，…在直线上，， ∴，点的横坐标为， ∴的纵坐标为，即，即 ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，，则，即， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，则，即， ∴， 同理，，， ∴（为正整数）， ∴点的坐标是， 故选：B ． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数；将整理为，根据题意得到，解二元一次方程即可． 【详解】解： 因为取什么值，该直线始终会经过同一个点 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，解本题的关键在找出要求的点所在的象限，然后再根据点所在的象限找出这个象限的点的规律． 分别求出点，，，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交直线于点， ∴点的横坐标为1， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∵过点作轴的垂线交直线于点， ∴点的纵坐标为坐标为2， 把代入得：， ∴点的坐标为， 同理点，，，……， 由此得到点， ∴点的坐标为． 故答案为： 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， 当时，， 点， 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 又，， ， ，， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，解直角三角形等知识，先求出点的坐标，进而得出的周长，根据所给旋转方式发现点（为正整数）都在直线上，依次求出的长度，发现规律即可解决问题，能根据所给旋转方式发现（为正整数）长度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，将代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ， 在中，， ∴， 由所给旋转方式可知，点（为正整数）在直线上，且在第二象限， ∴， ， ， …， ∴， ∴ 设点的坐标为， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍正）， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有，根据题意列式即可； （2）设裁完这些纸板共需，根据题意写出函数，再利用函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）解：设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有张， 由题意得 ∴， ∴按C种裁法裁剪的纸板有（张）， 故答案为：；； （2）解：设裁完这些纸板共需， 根据题意，得．         ∵， ∴z随x的增大而减小． 又∵， ∴当时，z取最小值，最小值为． 答：裁完这些纸板的时间的和至少为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意写出一次函数的解析式是解题的关键． 【典型例题十八 与一次函数有关的最值问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（    ） A．S有最大值，最大值为6 B．S有最小值，最小值为6 C．S有最大值，最大值为 D．S有最小值，最小值为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，得出，，是解题的关键．根据过点的直线不经过第四象限，得出，，求出，得出，根据一次函数的增减性求出当时，有最小值为，． 【详解】解：过点的直线不经过第四象限， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴S随n的增大而增大， ∵， 当时，有最小值为， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求交点的坐标是解题的关键．分别求出直线，直线或与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：直线过点， 则，解得， ∴， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 由题意得， 解得或， ∵直线过点， ∴或， ∴直线或， 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为4，最小值为1， ∴m的最大值与最小值之差为； 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为1，最小值为， ∴m的最大值与最小值之差为； 综上，m的最大值与最小值之差为3， 故选：A． 【例3】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的负半轴，则的取值范围是 ； （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论； （2）根据题意得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象与y轴的交点位于y轴的负半轴， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）在一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵当时，函数y有最大值， ∴当时，，代入得， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一次函数图象的基本性质，与坐标轴的交点，增减性，熟练掌握基本性质是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）已知，，点P为x轴上任意一点，当取最小值时，点P坐标为 ． 【答案】 【分析】首先通过轴对称变换，得到A关于x轴的对称点，然后根据得到当点，P，B三点共线时，取最小值，即的长度，求出所在直线的表达式为，令求解即可． 【详解】如图，    ∵， ∴点A关于x轴的对称点， ∴， 连接交x轴于点P， ∴当点，P，B三点共线时，取最小值，即的长度， ∵，， ∴设所在直线的表达式为， ∴，解得， ∴所在直线的表达式为 ∴当时，即， 解得． ∴点P坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称变换求最短距离问题，构造点A关于x轴的对称点是解决问题的关键． 1．（2025·河北石家庄·模拟预测）设min{x，y}表示x，y两个数中的最小值，例如min{1，2}=1，min{7，5}=5，则关于x的一次函数y=min{2x，x+1}可以表示为（     ） A．y=2x B．y=x+1 C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：解方程组得， 所以当x＜1时，2x＜x+1；当x≥1时，2x≥x+1， 所以关于x的一次函数y=min{2x，x+1}可以表示为． 故选C． 考点：一次函数的性质． 2．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若直线与线段有交点，则k的最大值为 ． 【答案】4 【分析】将点A、B分别代入解析式求出对应的k值，即可得到满足题意的k的最大值. 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键. 【详解】解：当直线经过时， ， 解得； 当直线经过时， ， 解得， ∵直线与线段有交点 ∴， ∴k的最大值为4． 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）综合与实践 小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究. ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 3 … 表格中_________，_________； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质． ⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________． 【答案】①，；②函数图象见解析；③由图象知该函数有最小值为，没有最大值；④当时，随的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）；⑤． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： ①将和代入解析式求出的值即可； ②根据表格，描点，连线，画出函数图象即可； ③根据图象可得答案； ④根据图象写出两条性质，即可； ⑤根据题意可得关于对称，进而即可求解． 【详解】解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴； ②画出函数图象如图： ③由图象知该函数有最小值为，没有最大值； ④当时，随的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）； ⑤，两点都在该函数图象上，且， ∴关于直线对称， ∴． 1．（2025·安徽·模拟预测）若点，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点以及一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ，故A选项错误，C选项正确； 不能判断，故B、D选项错误； 故选C． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，只需判断各选项中的正负即可作答． 【详解】解：A、，，故随增大而增大，不符合题意； B、，，故随增大而减小，符合题意； C、，，故随增大而增大，不符合题意； D、，，故随增大而增大，不符合题意； 故选：B 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确； 当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即﹥0，D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·河北承德·期中）如图是温度计的示意图，图中左边的刻度表示摄氏温度（℃），右边的刻度表示华氏温度（°F），从图中提供的信息，可得华氏温度y与摄氏温度x之间的表达式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数的解析式为y=kx+b，观察图象，当y=50，x=10；当y=68，x=20；组成方程组求出k，b即可． 【详解】解：设函数的解析式为y=kx+b， 观察图象，当y=50，x=10；当y=68，x=20； 代入函数的解析式中得， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了求一次函数的解析式，正确理解图象得到x、y的对应值是解题的关键． 5．（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意， 故选：A． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知y是x的一次函数，当时，，当时，，则时, ． 【答案】-13 【分析】设y=kx+b，代入（-4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组得到函数表达式，再将y=9代入计算即可． 【详解】解：设y=kx+b，将x=2，y=-6，x=5，y=-9代入得： ，解得：， 所以一次函数的解析式为y=-x-4， 令y=9， ∴9=-x-4， ∴x=-13， 故答案为：-13． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解． 7．（24-25八年级上·山东德州·期中）若正比例函数的图象上有一点，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，根据正比例函数的图象上有一点，且，得出，再解得，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵正比例函数的图象上有一点，且， ∴经过第二、四象限，， ∴， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：1 8．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数y=(3m-8)x+1-m的图像与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减少，其中m为整数，则m= ． 【答案】2 【分析】随x的增大而减小，说明x的系数小于0；图象与y轴的交点在x的下方，说明常数项小于0，求出m的范围，取其整数即可． 【详解】解：由题意可知：3m-8<0，且1-m<0， 解得：， 又m为整数， ∴m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键掌握根据函数的增减性判断x系数的正负． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论，其中正确的为 （填序号）． ①拉力随着物体重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力F与重力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查一次函数的应用、函数图象等知识点，掌握数形结合思想以及从函数图象上获取信息成为解题的关键． 由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把代入函数解析式求值即可判断②． 【详解】解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，故①正确； ∵拉力F是重力G的一次函数， ∴设拉力F与重力G的函数解析式为， 则 ，解得： ， ∴拉力F与重力G的函数解析式为， 当时，，故②错误； 由图象知，拉力F是重力G的一次函数，不是正比例函数，故③错误； 由图象知，当时，拉力，即④正确． 综上，正确的有①④． 故答案为：①④． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段上的一个点，过点P作⊙O的切线，切点为，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接、．根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】 解：连接、． 是⊙的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段最短； 一次函数， 当时，， ，， 当时，， ，， ， ， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及切线的判定与性质、坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 11．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知一次函数的图象经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点___________（填：在或不在）该一次函数的图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求出函数式是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）把点M的坐标代入所求一次函数解析式中，即可作出判断． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点、， 这个一次函数的解析式是； （2）解：当时，． 点不在该一次函数的图象上． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知：y与x成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：∵y与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·吉林延边·期末）已知函数． （1）若函数的图象平行于直线求m的值； （2）若此函数y值随x值的增大而增大，且图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1）m=1；（2）＜ 【分析】（1）由题意可知，求解即可； （2）根据函数y值随x值的增大而增大，可得＞，再根据图象不经过第二象限，可得，求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得m=1； （2）因为这个函数是一次函数，且随的增大而增大， ＞， ＞， 又因为图象不经过第二象限， 所以， 即， 所以的取值范围是＜． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数图象与性质是解题的关键． 14．（24-25八年级上·福建·阶段练习）已知，在直线上． (1)若点A（-2，1），B（1，2），求直线AB的解析式； (2)若，，．试比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见详解． 【分析】（1）把点A、B的坐标代入直线解析式进行求解即可； （2）把，代入直线，可得，然后把这两式相加，进而可得，最后根据及可求解． 【详解】解：（1）把点A（-2，1），B（1，2）代入直线得： ，解得， 直线解析式为； （2），理由如下： 把，代入直线，可得， ， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的性质是解题的关键． 15．（24-25八年级上·北京·期中）已知：函数与． (1)在同一坐标系中，作出两个函数的图象； (2)写出与轴、轴的交点、坐标； (3)写出两个函数的交点的坐标； (4)求两个函数和轴围成的三角形面积； (5)由图象直接写出，当取何值时，． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) (4) (5) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题. （1）在坐标系中作出函数图象即可； （2）分别将、代入计算即可； （3）联立与计算即可； （4）根据三角形面积公式计算即可； （5）根据图象作答即可. 【详解】（1）解：图象如下： （2）解：当时，，即； 当时，，即； （3）解：联立与得， 解得：， ∴， 即； （4）解：； （5）解：由图可知，当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一次函数的图像与性质（5知识点+18大典例+变式训练+过关检测） 题型一 一次函数的识别 题型二 正比例函数的定义 题型三 正比例函数的图象与性质 题型四 根据一次函数的定义求参数 题型五 求一次函数自变量或函数值 题型六 根据一次函数增减性求参数 题型七 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型八 比较一次函数值的大小 题型九 列一次函数解析式并求值 题型十 判断一次函数的图象 题型十一 画一次函数图象 题型十二 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十三 已知函数经过的象限求参数范围 题型十四 求一次函数解析式 题型十五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十六 一次函数图象平移问题 题型十七 与一次函数有关的规律探究问题 题型十八 与一次函数有关的最值问题 知识点01 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·重庆·期末）一次函数一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）一次函数中，当时， ． 知识点02 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）下列各点在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在正比例函数中，如果随自变量的增大而减小，那么正比例函数的图象在第 象限．   知识点03 正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）在正比例函数中，随着的增大而减小，则的值可以是（   ） A．3 B． C．0 D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·重庆大足·期末）若 与 成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为y＝ ． 知识点04 正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，A点的对应点在直线上，则点B与其对应点间的距离为 ． 知识点05 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）下列3个函数：①；②；③，随着的增大，的变化情况相同的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【即时训练】 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）已知正比例函数，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 ． 【典型例题一 一次函数的识别】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）下列函数中，是的一次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川达州·期中）下列函数：① y = -2x + 1；②；③ ；④ y =6x；⑤y = 2x2 + 1，其中y是x的一次函数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例3】（23-24八年级上·广西贵港·期末）写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是 ． 【例4】（24-25八年级上·广东茂名·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中一定是一次函数的有 ．（只是填写序号） 1．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）给出下列五个命题： ①32、42、52是一组勾股数； ②y=3x是正比例函数，但不是一次函数； ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④无论x为何值，一定都是二次根式； ⑤一组数据的中位数有且只有一个，但众数可能不止一个； 其中正确的是 （写出所有正确命题的序号） 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的相关函数为 ． (2)已知点A(a，-6)在该一次函数的相关函数的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的相关函数的最大值和最小值； (4)已知直线与轴垂直(为垂足的纵坐标)，当直线与该一次函数的相关函数的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【典型例题二 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）下列函数中，是正比例函数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列关系式中，表示是关于的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·河北保定·期中）若与成正比例，则y是x的 函数． 【例4】（2025·天津河东·模拟预测）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 2．（23-24八年级上·广东·阶段练习）已知，与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，，则关于的函数解析式为 ． 3．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的表达式； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围．                             【典型例题三 正比例函数的图象与性质】 【例1】（24-25八年级上·山东德州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象经过原点 B．随的增大而减小 C．点在函数的图象上 D．图象经过第二、四象限 【例2】 （2025·江西·模拟预测）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例3】（24-25八年级上·北京西城·期中）正比例函数图象过点，那么它的函数解析式为： ． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知中实数是相对应的中实数的正比例函数，则的值为 ．    1．（24-25八年级上·山西太原·期末）若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为 （用“”符号连接） 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【典型例题四 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在一次函数中，k的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【例2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·北京·期中）关于函数，给出下列结论： ①此函数一定是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则的取值范围是； 其中正确的是 ；（填序号） 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知一次函数．无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ． 3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数是一次函数，求的值． 【典型例题五 求一次函数自变量或函数值】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各点中，在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”．那么它的图象一定经过定点P（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为，则输出值为 ． 【例4】（24-25八年级上·山西临汾·期中）已知点关于y轴的对称点恰好落在一次函数的图象上，则a的值为 ． 1．（24-25八年级上·河北承德·期中）如图，是一次函数的图像，从图像上可以观察到，方程的解是（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．0 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，直线和直线相交于点，则能使成立的的取值范围是 ． 3．（2025·浙江金华·模拟预测）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热100℃后自动进入保温模式．现有一壶20℃的水经过8分钟烧至100℃后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（℃）与时间x（分）的关系如图所示． (1)求a的值为． (2)已知时，，求当时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值． (3)当x=30时，求此时电热水壶中水的温度是多少℃． 【典型例题六 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）关于的一次函数，若随的增大而增大，且图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海杨浦·期末）已知直线与轴交于点，当时，的取值范围是 ． 【例4】（河南省开封市2024-2025学年下学期期末调研检测八年级数学试卷）一次函数（k为常数，且），y随x增大而增大，则k的值可以为 ．（写一个即可） 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，直线分别与轴，轴交于，其中，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数（为常数且）． （1）若该一次函数图象经过点，则 ； （2）当时，函数有最大值14，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)与之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数的取值范围． 【典型例题七 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例1】（2025·山西·模拟预测）一次函数的图象上有两点，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【例2】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024·江苏镇江·模拟预测）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示， 比较大小： ． 1．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图是一次函数的图象，点，点在该函数图象上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南焦作·期中）已知点和点都在直线．上，则与的大小关系是 ． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 【典型例题八 比较一次函数值的大小】 【例1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）已知点，点是上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知点在一次函数的图像上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知关于x的函数（是常数），与的部分对应值如下表：则 （从“”“””“”中选一个填空） x … 0 2 3 … y … s b t … 【例4】（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知一次函数，当时，的最大值是 ，的最小值是 ． 1．（24-25八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“＞”、“＝、“＜”） 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数． (1)当时，利用描点，连线的方法在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，函数随着的增大而减小，求的取值范围； (3)已知该函数经过点，，，且，求的取值范围． 【典型例题九 列一次函数解析式并求值】 【例1】（23-24八年级上·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·天津和平·阶段练习）一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为 ．（不用写出自变量x的取值范围） 【例4】（2025·上海嘉定·模拟预测）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 【典型例题十 判断一次函数的图象】 【例1】（2025·广西·模拟预测）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知某函数的函数值和自变量的部分对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线经过，则 ． 【例4】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）若关于的方程的解为，则的图象一定经过点 ． 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）设一次函数（为常数，且），图象过，． (1)求该一次函数的解析式，并画出它的图象； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 【典型例题十一 画一次函数图象】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【例2】（24-25八年级上·福建福州·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上： 、 、 ． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）有下列四个函数： ①；②；③；④．其中图象经过如图所示阴影部分（包括边界）的函数有（   ） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 2．（2025·四川成都·模拟预测）一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为 ． 3．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求两点的坐标，并画出函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)已知点，点，记的面积为，的面积为，则__________．（填“”“”或“”） 【典型例题十二 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（江西省宜春市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则函数的解析式可以为 ． 【例4】（2025·河南周口·模拟预测）将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东日照·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则点在第 象限． 3．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数中的，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数中的．    (1)写出为负数的概率； (2)求一次函数的图象经过一、二、四象限的概率．（用树状图或列表法求解） 【典型例题十三 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（2025年辽宁省中考数学试题）在平面直角坐标系中存在函数过第一，二，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知实数满足，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·期中）当直线经过第一、二、四象限时，k的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·山东淄博·期末）一次函数的图象如图所示，若在一次函数第三象限的图象上，则m的取值范围是 ． 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数和（k为常数，）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆长寿·期末）若关于m的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的和为 ． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知函数，m为常数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【典型例题十四 求一次函数解析式】 【例1】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）若，则直线一定经过点（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知一次函数的图象在y轴上的截距是5，且过点，则该函数的解析式是 ． 【例4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线经过点，则不等式的解集为 ． 1．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下表，则与之间的函数关系式为（   ） 出水时间（min） … 5 10 15 20 … 剩余水量 … 120 90 60 30 … A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解集为 ． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）某超市以每件10元的价格新进一批商品，经市场调研发现：超市每天售出该商品的数量（件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系．下表列出了，的一些对应值： 12 14 16 18 80 70 60 50 (1)试确定与之间的函数表达式； (2)物价部门规定，任何商品的利润率都不得超过，若超市销售该商品每天想获得280元的利润，求该商品的售价． 【典型例题十五 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）一次函数与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在轴上存在一点，使得的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【例4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与，交于点，连接，已知的长为4．的面积是 ． 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中．一次函数的图象平行于，且经过点． (1)求一次函数解析式； (2)点P为x轴上一点，一次函数的图象与x轴交于点B，的面积是2，求点P坐标； (3)当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【典型例题十六 一次函数图象平移问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，将直线向下平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏南通·模拟预测）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）将函数图象向下平移 个单位长度，可使得平移后的函数图象经过点． 【例4】（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过原点，则的值为 ． 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点和顶点，直线以每秒1个单位长度向上移动，经过几秒该直线将平行四边形的面积分成相等的两部分（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）如图，直线：与直线：交于点，点D在直线上，且位于点B的上方，轴交于点E． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，将直线向左平移得到直线l，直线l经过点D，P为直线l上一动点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【典型例题十七 与一次函数有关的规律探究问题】 【例1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，…都在轴上，点，…在直线上，，，，，，…，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点依次进行下去，则点的坐标为 ． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 【典型例题十八 与一次函数有关的最值问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（    ） A．S有最大值，最大值为6 B．S有最小值，最小值为6 C．S有最大值，最大值为 D．S有最小值，最小值为 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 【例3】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的负半轴，则的取值范围是 ； （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）已知，，点P为x轴上任意一点，当取最小值时，点P坐标为 ． 1．（2025·河北石家庄·模拟预测）设min{x，y}表示x，y两个数中的最小值，例如min{1，2}=1，min{7，5}=5，则关于x的一次函数y=min{2x，x+1}可以表示为（     ） A．y=2x B．y=x+1 C． D． 2．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若直线与线段有交点，则k的最大值为 ． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）综合与实践 小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究. ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 3 … 表格中_________，_________； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质． ⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________． 1．（2025·安徽·模拟预测）若点，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 4．（24-25八年级上·河北承德·期中）如图是温度计的示意图，图中左边的刻度表示摄氏温度（℃），右边的刻度表示华氏温度（°F），从图中提供的信息，可得华氏温度y与摄氏温度x之间的表达式为（    ）． A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知y是x的一次函数，当时，，当时，，则时, ． 7．（24-25八年级上·山东德州·期中）若正比例函数的图象上有一点，且，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数y=(3m-8)x+1-m的图像与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减少，其中m为整数，则m= ． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论，其中正确的为 （填序号）． ①拉力随着物体重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力F与重力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段上的一个点，过点P作⊙O的切线，切点为，则的最小值为 ．    11．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知一次函数的图象经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点___________（填：在或不在）该一次函数的图象上． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知：y与x成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 13．（24-25八年级上·吉林延边·期末）已知函数． （1）若函数的图象平行于直线求m的值； （2）若此函数y值随x值的增大而增大，且图象不经过第二象限，求m的取值范围． 14．（24-25八年级上·福建·阶段练习）已知，在直线上． (1)若点A（-2，1），B（1，2），求直线AB的解析式； (2)若，，．试比较和的大小，并说明理由． 15．（24-25八年级上·北京·期中）已知：函数与． (1)在同一坐标系中，作出两个函数的图象； (2)写出与轴、轴的交点、坐标； (3)写出两个函数的交点的坐标； (4)求两个函数和轴围成的三角形面积； (5)由图象直接写出，当取何值时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$