第03讲 函数的概念（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪科版2024）

第03讲 函数的概念（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 函数图象识别 题型四 求自变量的取值范围 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数的三种表示方法 题型七 用表格表示变量间的关系 题型八 用关系式表示变量间的关系 题型九 用图象表示变量间的关系 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 用描点法画函数图象 题型十二 动点问题的函数图象 知识点01 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建宁德·期末）小明用100元去水果店购买单价为12元的苹果，找回的钱（元）与购买的数量的关系为，其中自变量是（　　） A．100 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了自变量的定义，在函数关系中，自变量是主动变化的量，因变量随自变量的变化而变化． 【详解】解：根据题意，找回的钱与购买的数量满足关系式． 其中，购买数量是自主选择的量，它的变化直接导致的变化，因此自变量为． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是 ． 【答案】单价 【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价6.48是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴常量是：单价． 故答案为：单价． 【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型． 知识点02 变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）当时，函数-1的值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】把x=2代入函数解析式计算即可得解． 【详解】解：x=2时，y=2×2-1=4-1=3． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数值的求解，准确计算是解题的关键． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）变量x与y之间的函数关系是，则自变量时的函数值为 . 【答案】 【分析】本题考查求函数值，解题的关键是正确理解函数的概念. 把的值代入函数关系式，计算即可. 【详解】解：∵变量与之间的函数关系是， ∴当时，， 故答案为： ． 知识点03 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（2024·云南·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数解析式的自变量取值范围，即考查分式有意义的条件，要使得分式有意义，分母不能为零，由此得解． 【详解】要有意义，， ． 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 知识点04 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）当时，函数的值是（    ） A．－5 B．－1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】把x=-3代入y=x−2计算即可． 【详解】解：把x=-3代入y=x−2，得 y=-3−2=-5， 故选A． 【点睛】本题考查的是函数值的求法，函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）已知函数，当时，函数值为 ． 【答案】5 【分析】根据x的值确定函数解析式代入求y值. 【详解】解：因为>0,所以 故答案为5 【点睛】本题考查了函数表达式，正确选择相应自变量范围内的函数表达式是解题的关键. 【典型例题一 函数的概念】 【例1】（24-25七年级下·福建宁德·期末）小明用100元去水果店购买单价为12元的苹果，找回的钱（元）与购买的数量的关系为，其中自变量是（　　） A．100 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了自变量的定义，在函数关系中，自变量是主动变化的量，因变量随自变量的变化而变化． 【详解】解：根据题意，找回的钱与购买的数量满足关系式． 其中，购买数量是自主选择的量，它的变化直接导致的变化，因此自变量为． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列各图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义，对于两个变量、，当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，则称是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故A选项不符合题意； B选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故B选项不符合题意； C选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有个值与对应，不是的函数，故C选项符合题意； D选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故D选项不符合题意； 故选：C． 【例4】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知，把它写成y是x的函数的形式是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义及等式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，注意：y是x的函数即把y写在等号的左边，其它项写在等号的右边． 【例5】（24-25七年级下·河南周口·期末）“随着气温上升，雪糕的销量开始上涨．”在这个情境中，自变量是 ． 【答案】气温 【分析】本题考查函数的定义．在一个变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，其中叫做自变量，叫做因变量． 【详解】解：雪糕的销量随着气温的上升而上涨，故自变量为气温； 故答案为：气温． 1．（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据函数的定义，对于每个x值，都有唯一的y值对应．逐一判断各关系式是否满足该条件． 【详解】解： ①：每个x对应唯一y，是函数． ②：每个x对应唯一y，是函数． ③：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ④：平方根仅取非负值，每个x对应唯一y，是函数． ⑤：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ⑥：每个x对应唯一y，是函数． ∴y是x的函数的有①②④⑥。 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）一辆汽车以一定的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这一变化过程中，自变量是 ． 【答案】时间 【分析】根据自变量的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：在这一变化过程中，自变量是时间， 故答案为：时间． 【点睛】此题主要考查了自变量的定义，正确把握定义是解题关键． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 【答案】（1）是函数，是函数，是函数，（2）见详解，答案不唯一 （3）①，x可为任意实数；；； ②；；． 【分析】本题考查函数的定义，自变量取值范围及函数值的定义，解题的关键是熟练掌握各式有意义的条件． （1）根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可逐一判断． （2）根据函数的定义列举即可 （3）①根据整式有意义的条件：全体实数，分式有意义的条件：分母不为0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可求解；②将分别代入各式计算即可． 【详解】解：（1）满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； （2）例如：、等对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数． （3）①∵整式有意义的条件是全体实数， ∴有意义时自变量x取值范围是全体实数， ∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴有意义时自变量x取值范围，即， ∵二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0， ∴有意义时自变量x取值范围，即； ②将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：． 【典型例题二 函数解析式】 【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）某智能音响正在加载语音数据库，加载速率为，已加载了．设继续加载时长为，总加载量为，则下列函数解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列函数解析式，根据总加载量由已加载的和继续加载的增量组成，根据加载速率建立函数关系式即可． 【详解】解：设继续加载时长为，总加载量为， ∵加载速率为，已加载了 ∴． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）某体积为的圆柱形材质拉丝后，高随底面积的变化关系如下表所示，则以下说法正确的有（   ）个 底面积 高 ①所代表的值为；        ②自变量是，因变量是； ③变量，的关系式为；    ④若，则． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，求函数关系式，求函数值，结合圆柱体积公式分析，即可求解． 【详解】解：①底面积对应的高为．由体积公式，得，故①正确． ②“高随底面积变化”，因此自变量是，因变量是．②错误． ③根据圆柱体积公式，变形得，与③一致，故③正确． ④当时，，而非，故④错误． 综上，正确的有①和③，共2个， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）为了美化校园，学校计划修建6个完全相同的长方形花坛．如果每个花坛的宽为10米，长为米，花坛总面积为平方米，那么与之间的关系式可表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列函数关系式．每个花坛的宽为10米，长为米，则每个花坛的面积为，学校计划修建6个完全相同的长方形花坛．据此即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，与之间的关系式可表示为， 故答案为： 【例4】（2025·陕西西安·模拟预测）围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了找规律，由已知可得得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚，即可得当某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚时，y与x的关系可以表示为． 【详解】解：由第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，… 得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚， ∴第个图形中白棋有1枚，黑棋有枚； ∴某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 温度/°F 144 76 152 78 160 80 168 82 176 84 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．192 D．200 【答案】D 【分析】根据表中的数据可知，温度每升高2°F，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次，据此列式计算即可． 【详解】解：由表中的数据可知，温度每升高2°F，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次， 故当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数为：176＋8×＝176+24=200（次）， 即当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是200， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了规律探究及函数的表示方法，理清题意正确列出算式是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为 ． 时间 两车相距 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，解题关键是理解表格中数据的变化规律．根据表格可得时，，时间每增加，两车的相距对应减少，由此可得与的关系式． 【详解】解：由题意可得：时，，时间每增加，两车的相距对应减少， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图所示，在一个边长为的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形．当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、自变量的函数各是什么？ (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请写出与的关系式： (3)当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积是增大还是减小？增大或减小了多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)减小，减小了 【分析】本题考查用函数关系式表示变量之间的关系，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据阴影部分的面积随着小正方形的边长的变化而变化，进行作答即可； （2）用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出阴影部分的面积，列出函数关系式即可； （3）求出和的函数值，进行减法计算即可． 【详解】（1）解：由题意，小正方形的边长是自变量， 阴影部分的面积为自变量的函数； （2）由题意可得：； （3）由（2）知：， 当时，． 当时，． ， ∴当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积减小，减小了． 【典型例题三 函数图象识别】 【例1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）下面4个图象中，不是的函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念以及函数的图象，根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表： 砝码的质量（x克） 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置（厘米） 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 y关于x的函数图象是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格得出函数解析式，根据函数解析式得出函数图像即可． 【详解】方法一：根据图表可以知道，在没有砝码时指针的位置是2cm,以后砝码每增加50g,指针位置增加lcm,则当是275g时,弹簧指针位置 应是7.5cm,以后，指针位置不随砝码的增加而伸长，都是7.5cm. 故选: D. 方法二：设y关于x的函数解析式为：， 根据题意将点代入得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得， 当时，指针位置不随砝码的增加而伸长，都是7.5cm． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了求一次函数解析式以及函数图象，本题易出现的错误是选第二个． 【例3】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）经过点且垂直于轴的直线可以表示为 【答案】直线 【分析】根据垂直于坐标轴的直线解析式的形式解答． 【详解】解：∵经过点且垂直于x轴， ∴直线的解析式是x=2． 故答案为：x=2． 【点睛】本题考查了垂直于x轴的直线的形式，垂直于x轴的直线的形式是x=a（a是常数）． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系） ； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系） ； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系） 【答案】 C A B 【分析】（1）抛球运动，球的高度，先上升后下降，由此即可得到答案； （2）凉水中倒入开水，水的温度会逐渐上升，由此即可得到答案； （3）给澡盆放水，澡盆中的水的高度逐渐降低，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）一个球被竖直向上抛起，球上升到最高点，垂直下落，直到地面，在此过程中球的高度与时间的关系，图象是C； 故答案为：C； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水，水的温度会逐步上升，图象是A； 故答案为：A （3）在澡盆放水的过程中，水的高度会逐渐下降，图象是B； 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，正确理解题意是解题的关键． 1．（2025·四川达州·模拟预测）如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由已知条件点E为AB中点，及折叠的性质，可得，再根据两直线平行，内错角相等，结合，可得,即可解得，，根据折叠的对称性，知，结合等角的余角相等，可证明，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方解题，结合二次函数图象性质解题即可． 【详解】设， 由折叠可知， 则 由得 设 因为F、A关于DE对称 故选：C． 【点睛】本题考查折叠、准确、相似三角形的判定与性质、函数图象的识别等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 2．（24-25八年级上·上海·期中）王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间（分）和离家距离（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是 米/分． 【答案】100 【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 0~15分的速度：； 25分~35分的速度：； 45分~50分的速度：； ∵， ∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分； 故答案为：100． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题． 3．（24-25八年级上·重庆永川·阶段练习）已知函数，小李同学对该函数的图象与性质进行了探究，下面是小李同学探究的过程，补充完整： （1）直接写出自变量x的取值范围：__________； （2）下表是y与x的几组对应值： x … -4 -1 0 1 3 4 5 n … y … m 0 -1 -4 8 5 4 3 … 则m=　　，n=　　； （3）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （4）观察函数图象可知：该函数图象的对称中心的坐标是______； （5）当时，关于x的方程有实数解，直接写出k的取值范围_______． 【答案】（1）；（2）m=1，n=8；（3）见解析；（4）对称中心（2，2）；（5） 【分析】（1）根据分式有意义求出x的范围即可； （2）把x=-1代入中求出m，把y=代入中求出n即可； （3）描出以上表中各坐标点，连接即可； （4）根据函数图像即可得出答案； （5）分别求出x=3和x=8时分别代入方程中，求出两个k的值，即可确定k的取值范围. 【详解】解：（1）∵函数， ∴ （2）把x=-1代入中， ， 把y=代入中， ， 解得：n=8， ∴=1，=8； （3）描出以上表中各坐标点，连接如图所示： （4）观察图像可知，对称中心为（2，2）； （5）由图像知，当时，随x的增大而减小， 把x=3时，代入， 解得：k=2， 把x=8时，代入， 解得：， ∴当时，k的取值范围为：. 【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，熟练掌握函数知识是解决本题的关键. 【典型例题四 求自变量的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 【详解】解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 【例2】（2025·山东济宁·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．8的立方根是 B．的最简公分母为 C．函数的自变量x的取值范围是 D．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称 【答案】D 【分析】根据求一个数的立方根，最简公分母的定义，求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，关于轴对称的点的坐标特征，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 的最简公分母为，故该选项不正确，不符合题意； C. 函数的自变量x的取值范围是，故该选项不正确，不符合题意； D. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，最简公分母的定义，求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，关于轴对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键． 【例3】 （24-25八年级上·河南新乡·期末）函数中自变量x的整数值可以是 （写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义，根据分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴且x为整数， 且x为整数， x可以为3． 故答案为：3（答案不唯一） 【例4】（24-25八年级上·北京昌平·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】解：由题意，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量有意义的范围，利用分母不等于零得出不等式是解题关键． 1．（2025·广东惠州·模拟预测）函数中自变量的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：x+1≠0， 解得：x≠-1． 故选：A． 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次根式和分式的意义可得且． 【详解】根据二次根式和分式的意义可得且 所以且 故答案为：且 【点睛】考核知识点：函数自变量求值范围．理解解析式中特殊式子的意义是关键． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． (1)填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 (2)这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． (3)试用含x的式子表示y， ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 【答案】(1)见解析 (2)x与y，5 (3)，周长，一边，另一边 【分析】本题考查了用表格和关系式表示变量之间的关系，关键是根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，及常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． （1 ）根据：（长宽）周长，填表可得； （2 ）常量是长方形的长宽和．变量是长方形的边长； （3 ）由（1 ）可得长方形另一边长y关于一边长x的关系式，根据长宽均大于0可得x的范围． 【详解】（1）解：填写表格如下： 一边长 3 4 x 另一边长 2 1 （2）解：在以上这个过程中，变量是x与y，不变化的量5； （3）解：用含x的式子表示y，，x的取值范围是， 这个问题反映了矩形的周长不变，一边随另一边的变化过程． 【典型例题五 求自变量的值或函数值】 【例1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）根据如图所示的计算程序计算函数的值，若输入时，则输出的值是3，若输入时，则输出的值是（    ） A．－5 B．－1 C．1 D．13 【答案】B 【分析】将m=-1，n=2，y=3代入y= 中求出b=7，再将m=4，n=3代入y=2n-b中即可求解. 【详解】∵输入m=-1，n=2时，输出y的值是3， ∴=3 解得b=7， ∵m=4，n=3 ∴y=2n-b=2×3-7=-1. 故选: B. 【点睛】本题考查函数值：熟练掌握函数值的求法是解题的关键. 【例2】（2025·陕西·模拟预测）变量x，y的一些对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（　　） A．75 B．﹣75 C．125 D．﹣125 【答案】D 【分析】根据表格数据得到函数为y＝x3，把x＝﹣5代入求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为y＝x3， 把x＝﹣5代入得，y＝﹣125． 故选择：D． 【点睛】本题考查三次函数图像与解析式问题，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数之是解题关键． 【例3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知变量与的关系式是，则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查函数值的问题，将自变量的值代入函数解析式求值即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·河南郑州·期末）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度，在第一届皆少年科技运动会上，某参赛小组在比赛场地从地而竖直向上发射水火箭，水火箭被发射后距离地面的高度最大，则最大的高度为 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入中计算求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）对于正数x，规定，例如，的值是（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【答案】B 【分析】根据，，进而进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 且， ∴， =， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了运算的规律，分式的混合运算，函数值的计算，正确读懂运算的规律是解题的关键． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）按如图所示的程序计算，当输入时，则输出的结果为 ．    【答案】1 【分析】根据x的值选择函数关系式然后进行计算即可得解． 【详解】解：当x=3时，y=-x+4=-3+4=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了函数值的求解，关键在于准确选择函数关系式． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）我们知道：“距离地面越高，气温越低”，如表表示的是某地某时气温（）随距离地面高度（）变化而变化的情况： 距离地面高度（） 0 1 2 3 4 … 气温（） 20 14 8 2 … (1)请写出T与h之间的关系式； (2)距离地面的高度气温是多少？ (3)若当地某山顶当时的气温为，求山顶与地面的高度． 【答案】(1) (2)距离地面的高度气温是 (3)山顶与地面的高度为 【分析】本题主要考查了函数关系式及函数值，解题的关键是根据表中的数据写出函数关系式． （1）根据表中的数据写出函数关系式； （2）把相关数据代入函数关系式求解即可； （3）把相关数据代入函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，距离地面高度增加km，气温下降， 与之间的关系式为； （2）解：当时，， 答：距离地面的高度气温是； （3）解：当时，， 解得， 答：山顶与地面的高度为． 【典型例题六 函数的三种表示方法】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）对于关系式y＝5x+6，下列说法错误的是（　　） A．x是自变量，y是因变量 B．x的数值可以取任意有理数和无理数 C．y是变量，它的值与x无关 D．y与x的关系还可以用列表法和图象法表示 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法． 【详解】解：A、x是自变量，y是因变量，原说法正确，故此选项不符合题意； B、x的数值可以取任意有理数和无理数，原说法正确，故此选项不符合题意； C、y是变量，它的值与x有关，原说法错误，故此选项符合题意； D、y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，是基础知识，比较简单．熟练掌握函数的表示方法是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）设，则函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式判断不同范围内y的正负，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案． 【详解】解：由题，（x-a）2的值大于等于0，故 当x＞b时，y＞0， x＜b时，y≤0． 对照四个选项，C选项中的图符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况x＞b，x＜b时y的符号变化确定比较简单． 【例3】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知海拔每升高1千米，温度下降6℃，某时刻A地底面温度为20℃，高出地面x千米处的温度为y℃，则y与x之间的函数关系为 ． 【答案】y=-6x+20 【分析】根据题意，按照等量关系：高出地面x千米处的温度=地面温度-6℃×高出地面的距离列式即可的答案． 【详解】∵海拔每升高1千米，温度下降6℃，A地底面温度为20℃， ∴高出地面x千米处的温度y=20-6x， ∴y与x之间的函数关系为y=-6x+20， 故答案为：y=-6x+20 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，理解题意，得出等量关系是解题关键． 【例4】（24-25七年级下·山东青岛·期中）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为，估计当千克时，的值为 分． 【答案】260 【分析】观察表格可知，烤鸭的质量每增加1千克，烤制时间增加40分钟，由此可判断出函数关系式，再将x＝6千克代入即可求出烤制时间． 【详解】从表中可以看出，烤鸭的质量每增加1千克，烤制的时间增加40分钟，由此可知烤制时间t与烤鸭质量的函数关系式为t=60+40（x-1）=40x+20． 当x＝6千克时，t＝40×6＋20＝260分钟． 故答案为：260． 【点睛】本题考查了的是函数关系式，解题的关键是根据题目的已知及图表条件得到相关的信息． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）弹簧挂上物体后会伸长，已知弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 物体的质量 … 弹簧的长度 … 观察上表中弹簧的长度随物体的变化而变化的规律，判断：如果在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据上表中数据得出弹簧的长度 y(cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的函数关系为y=0.5x+12： ，把 代入解析式，即可解答． 【详解】根据表中数据得出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系为：， 把代入解析式，， 故选：． 【点睛】此题主要考查了函数关系式以及函数值求法，得出正确的函数关系式是解题关键． 2．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）2018 年 5 月 14 日川航 3U863 航班挡风玻璃在高空爆裂，机组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生，创造了世界航空史上的奇迹!下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下问题： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 所在位置的温度(C) 20 13 6 -1 -8 -15 若用 h 表示距离地面的高度，用 y 表示温度，则 y 与 h 之间的关系式是： ． 【答案】y=20-7x 【分析】根据表格可知：高度每上升1千米，温度下降7C，故可得到y 与 h 之间的关系式． 【详解】根据表格可知：高度每上升1千米，温度下降7C， 又距离地面高度为0千米时，温度为20C ∴y 与 h 之间的关系式是y=20-7x 故答案为：y=20-7x． 【点睛】此题主要考查函数关系式的求解，解题的关键是熟知函数的三种表达分式． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）声音在空气中传播的速度和气温有如下关系： 气温（℃） 0 5 10 15 20 声速（m/s） 331 334 337 340 343 （1）上表反映了___________________________之间的关系，其中_______________是自变量，_______________是_________________的函数 （2）根据表中数据的变化，你发现的规律是：气温每升高5℃，声速______________,若用T表示气温，V表示声速，请写出声速V与气温T之间的函数关系式V=________________ （3）根据你发现的规律，回答问题：在30℃发生闪电的夏夜，小明在看到闪电6秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？ 【答案】(1) 气温与声速，气温，声速，气温;(2) 3m/s, v=331+T;(3) 2094米 【分析】（1）运用气温与声速之间的关系填写， （2）由表中数据的变化，正确的写出v关于T的解析式． （3）气温每升高5℃，声速增大3m/s． （4）先求出30℃时的声速，再求出发生打雷的地方距小明大约有349×6=2094米． 【详解】（1）上表反映了气温与声速之间的关系，其中气温是自变量，声速是气温函数． （2）随着T的增大，v将增大，v=331+T．气温每升高5℃，声速增大3m/s． （3）把T=30代入v=331+T．得v=349m/s，所以发生打雷的地方距小明大约有349×6=2094米． 【点睛】考查了函数关系式，常量与变量及函数值，解题的关键是根据表中数据的变化，正确的写出v关于T的解析式． 【典型例题七 用表格表示变量间的关系】 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）梦想从学习开始，事业从实践起步，近来较多的人每天登录“学习强国”，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．当学习天数为5天时，周积分为254分 D．学习天数每增加1天，周积分的增长量相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，用关系式表示变量之间的关系，正确读懂表格是解题的关键．根据表格所给的数据，结合因变量与自变量的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量，说法正确，不符合题意； B、由表格中的数据可知周积分随学习天数的增加而增加，说法正确，不符合题意； C、由表格中的数据可知当学习天数为5天时，周积分为254分，说法正确，不符合题意； D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同（增长分别为55，50，40，54，46，50），说法不正确，符合题意； 故选D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 45 40 35 30 … A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水10后，水池中的水全部放完 D．放水5后，水池中还有水20m 【答案】D 【分析】本题考查函数的应用，提取表格数据反应的信息是求解本题的关键． 根据表格中放水时间与水量变化的关系，确定放水速度，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：放水时间影响水量变化，时间为自变量，水量为因变量，正确． 选项B：由表格数据，每分钟水量减少，故每分钟放水，正确． 选项C：总水量，每分钟放水，放完需，正确． 选项D：放水后，剩余水量为，但选项D中为，错误． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 【答案】－125 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，y＝x3， 当x＝﹣5时，y＝（﹣5）3＝﹣125， 故答案为：﹣125． 【点睛】本题考查了用表格表示变量间的关系，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·上海·期末）如图，某条河遭受暴雨袭击，一天的水位记录如表所示，通过观察可知8点至24点之间，水位上升最快的时段是 （填几点到几点）． 时刻 8点 12点 16点 20点 24点 水位（m） 3.5 4 5.5 6 8 【答案】20点至24点 【分析】本题考查了变量的表示方法—用表格表示变量间的关系，根据表格得出各时间对应的水位，再找出水位上升最快的时间段即可． 【详解】解：∵上升了， 点上升了， 点上升了， 点上升了， ∴点至点水位上升最快， 故答案为：20点至24点． 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）弹簧挂上物体后会伸长(在允许挂物重量范围内)，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下表的关系：下列说法不正确的是(    ) x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 A．弹簧不挂重物时的长度为10cm B．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为14cm 【答案】D 【分析】根据时，y的值可判断选项A，根据函数的定义可判断选项B，根据x与y之间对应关系的变化可判断选项C、D． 【详解】时， 弹簧不挂重物时的长度为，则选项A正确 y是随x的变化而变化的 x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，则选项B正确 当物体质量每增加，弹簧长度y增加的长度为，则选项C正确 设当所挂物体质量为时，弹簧长度为 则 解得，则选项D不正确 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的概念，掌握理解函数的相关概念是解题关键． 2．（23-24七年级下·江西鹰潭·期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（） 刹车距离 (1)当刹车时车速为时，刹车距离是_____． (2)该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用表示，根据上表反映的规律写出y与x之间的关系式． (3)你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由． 【答案】(1) (2) (3)该汽车会和前车追尾，理由见解析 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，求函数的值； （1）根据表格数据可得答案； （2）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加，可得答案； （3）结合（2）的结论得出可得车速为的刹车距离，进而得出答案． 【详解】（1）当刹车时车速为时，刹车距离是， 故答案为：10； （2）由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加， ∴y与x之间的关系式为：， 故答案为：； （3）当时，， ∵， ∴该汽车会和前车追尾． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）一般而言，把运动心率控制在最大心率的（即“燃脂心率”区间），既能实现高效燃脂，又能保障运动安全．为助力大众科学健身，相关部门整理了正常情况下不同年龄段的最大心率参考数据（如下表所示），便于人们准确把握适宜自身的运动强度． 年龄（岁） … 20 25 30 35 40 … 最大心率（次/分钟） … 200 195 190 185 180 … 根据上表回答下列问题： (1)自变量是_________，因变量是_________； (2)正常情况下，随着年龄的增加，最大心率是怎样变化的？ (3)30岁的张老师运动时测得心率为123次/分钟，请通过计算帮助张老师判断他运动时的心率是否在“燃脂心率”区间． 【答案】(1)年龄；最大心率 (2)正常情况下，随着年龄的增加，最大心率在减小（或正常情况下，年龄每增加1岁，最大心率减小1次/分钟） (3)张老师运动时的心率在“燃脂心率”区间 【分析】本题考查函数相关概念，从表格数据中获取需要的信息是解答本题的关键． （1）根据自变量，因变量概念分析求解，即可解题； （2）结合表格中数据变化情况分析即可； （3）根据运动心率在最大心率的，即在“燃脂心率”区间，列式计算，并判断，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量是年龄，因变量是最大心率； 故答案为：年龄；最大心率； （2）解：结合表格数据可知，正常情况下，随着年龄的增加，最大心率在减小（或正常情况下，年龄每增加1岁，最大心率减小1次/分钟）； （3）解：，即张老师的运动心率控制在最大心率的， 张老师运动时的心率在“燃脂心率”区间． 【典型例题八 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）小丽同学发现一个水龙头未拧紧，经调查这个水龙头每分钟会滴出120滴水，每滴水约毫升．若这个未拧紧的水龙头滴水分钟，滴水量为毫升，则与之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间关系，会分析并理解题意，找到自变量与函数之间的关系是解题的关键．根据题意列出关系式即可． 【详解】解：，即． 故选：A． 【例2】（2025·广东广州·模拟预测）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 6 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数解析式，读懂表格信息是关键； 观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，进而求解. 【详解】解：观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，且函数关系式是； 故选：A. 【例3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，三角形三边关系； 根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三角形的三边关系可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， 解得：， 故答案为：；． 【例4】（2025·广东广州·模拟预测）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式 ，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）． （小时） 0 1 3 （米） 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据x每增加，y就增加列式求解即可． 【详解】解：由表格可知，x每增加，y就增加， ， 故答案为：． 1．（2024·河南商丘·模拟预测）为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表．图2是深度表的工作原理简化电路图，其中的阻值会随下潜深度的变化而变化．其变化关系图象如图3所示．深度表由电压表改装．已知电压表示数与电阻的关系式是．则下列说法不正确的是（   ） A．随着潜水深度的增大，的阻值不断减小 B．随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小 C．当下潜的深度为时，的阻值为 D．当下潜的深度为时，电压表的示数为 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，解题关键是准确识别图象，正确进行计算．根据图象所给信息，逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，随着潜水深度的增大，的阻值不断减小，A正确，不符合题意； 由于随着潜水深度的增大，的阻值不断减小，所以逐渐减小，不断增大，B不正确，符合题意； 由图象可知，当下潜的深度为时，的阻值为，C正确，不符合题意； 当下潜的深度为时，，，D 正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为 ．    【答案】5 【分析】根据程序流程图，分别求出自变量的值是2和时的因变量值，根据因变量值相等进行计算即可． 【详解】解：由图可知：当时，，当时，， ∵输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查求因变量的值，解题的关键的读懂流程图，正确的进行计算． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由； (2)求与之间的关系式； (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，y随x的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查用关系式和表格表示变量之间的关系，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1 ）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2 ）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3 ）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 则，不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 【典型例题九 用图象表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级上·广西南宁·期末）悦悦同学骑自行车上学，刚开始以某一速度行进，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为距离，为时间），符合上述情况的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象，根据题意可知，整个过程分为三段，分别分析三段过程即可得出答案，读懂题意分析出每一段过程中的图象是解题的关键． 【详解】解：首先一开始以某一速度行进，图象应该是一条逐渐向上的直线，而后停下来修车，图象应该是平行于轴的直线，之后加速也是一条逐渐向上的直线， 所以选项符合， 故选：． 【例2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的底面积大，故与的关系变为先慢后快． 【详解】解：根据题意和图形的形状， 可知水的最大深度与时间之间的关系分为两段，先慢后快． 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图（a）所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的关系如图（b）所示，则m的值是 ． 【答案】5 【分析】先根据点（2，3）在图象上得出BC的长，然后利用三角形的面积求出AB的长，进而可得答案． 【详解】解：由图象上的点可知：， 由三角形面积公式，得：，解得：． ，． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，属于常见题型，根据题意和图象得出BC和AB的长是解题关键． 【例4】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是 ．（填上你认为正确的说法的序号） 【答案】②③④ 【分析】观察图中曲线中的数据变化，分析数据即可解题． 【详解】解：由图象信息得， 自变量为时间，因变量为新增确诊人数，新增确诊人数是时间的函数，故①错误； 1月23号，新增确诊人数约为150人，故②正确； 1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同，故③正确； 1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，故④正确， 故正确的有②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查常量与变量，函数的图象等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）是饮水机的图片．饮水桶中的水由图1的位置下降到图2的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】水位随着水减少而下降，且饮水机是圆柱形，是同等变化的下降． 【详解】根据图片位置分析：水减少的体积随着水位下降的高度而增加，且饮水机是圆柱形，所以均匀增加 故答案选：C 【点睛】本题考查用图象法表示变量之间的关系，掌握变量之间的变化关系解题关键． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，三角形的面积求解，通过看图获取信息，理清图象的含义是解题的关键．由题意可知，时，点运动到，借助三角形面积可求得，当时，可知，在上或者上，然后借助三角形面积分类讨论即可得出答案． 【详解】解：由图可知，当时，此时点运动到点，即，此时， 即， 解得：， ∵四边形是长方形， ∴，； 由图可知，当时，点在或上， 当点在时，则 此时， 解得：； 当点在时，则， 此时， 解得：； 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是_____； （2）摩天轮最高点距地面_____（米），摩天轮最低点距地面_____（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 【答案】（1）t， h；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米． 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据这个变化过程中变化的量可得答案； （2）根据图象读取信息求解即可； （3）根据用圆的周长除以分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以分钟即可求解． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，变量是t， h； （2）摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米． 【典型例题十 从函数的图象获取信息】 【例1】（24-25八年级上·重庆江津·期末）五一黄金周期间，小明和父母自驾游外出游玩．下面是汽车行驶速度（千米/时）随时间（分）变化的函数图象，下列说法中正确的是（   ） A．汽车以千米/时的速度行驶了分钟 B．和表示汽车停止运动 C．在第分钟时，汽车的速度是千米/时 D．第分钟开始，汽车返程行驶 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获得信息解决实际问题，根据横轴和纵轴的意义依次分析即可求解． 【详解】解：A.读图可知，段的速度为千米/时，行驶时间为（分钟），故选项说法错误； B. 段的速度一直是千米/时，段的速度一直是千米/时，故选项说法错误； C. 由图可得，在第分钟时，汽车的速度是千米/时，故选项说法正确； D. 第分钟开始，汽车开始减速行驶，故选项说法错误； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·重庆渝中·期末）如图，正方体金属块在竖直向上的拉力作用下，向上做匀速直线运动，上升到离水面一定高度．图2是拉力F与时间t的关系图．下列判断： ①金属块在上升过程中受到的拉力逐渐增大； ②当时，金属块受到的拉力为； ③金属块受到的浮力． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，从函数图象获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，，拉力的大小不变，故①错误； ，拉力逐渐增大，每秒增大， ∴金属块受到的浮力；故③错误； ∴当时，金属块受到的拉力为；故②正确； 故选B． 【例3】（24-25八年级上·山西长治·期中）某汽车的功率一定时，其行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数关系如图所示，当牵引力为时，汽车的速度为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键是求出函数表达式． 先利用待定系数法求出反比例函数表达式，再将代入求出速度． 【详解】解：根据函数图象，可设行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， 当牵引力为时，， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是某商品1-4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是 月份． 【答案】3/三 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效的获取信息，找到售价和进价之间的差值最小的月份，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，3月份的售价和进价最接近，差值最小，小于1，其他月份都不小于1，即单个利润最小， 故答案为：3． 1．（2025·河南·模拟预测）如图1，点从的顶点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向匀速运动．图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．12 B．30 C．60 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图2可知，，则当时，最小，此时对应图2中的点，即，而最长时和点重合，且根据图2可得出的周长，由此可求出的长，从而确定的面积．综合利用两个图形给出的条件，求出的长是解题关键． 【详解】解：根据题意，由图2可知，， 点从的顶点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向匀速运动， ， 则， 当时，最小，即此时边长的高， 过点作于点，如图所示： ，， 在中，，，，则由勾股定理可得， 解得， ∴， ∴的面积为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）某快递公司每天上午9：00～10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：00开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同． 【答案】20 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【详解】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴； 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同． 故答案为：20． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）一辆新能源汽车在充电站充电分两个阶段，电量不超过80%时为快充阶段，每小时充电60%；电量超过80%时为涓流充电阶段，每小时充电量降低．该款新能源汽车某次充电前有部分电量，电池电量y（%）与充电时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)a的值为______： (2)求涓流充电阶段电池电量y（%）与充电时间x（时）之间的函数表达式； (3)充电站按充电量收费，每度电元．该新能源汽车电池容量为50度，在这次充电过程中，若车主因有事，只能充电2小时，求充电费是多少？ 【答案】(1)8 (2) (3)元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用. （1）由每小时充电60%求出电量不超过80%时共充电，即可得解； （2）设涓流充电阶段电池电量y（%）与充电时间x（时）之间的函数表达式为，将，代入计算即可； （3）求出充电度数，计算即可. 【详解】（1）∵每小时充电60%， ∴电量不超过80%时共充电 ∴ 故答案为：8； （2）设涓流充电阶段电池电量y（%）与充电时间x（时）之间的函数表达式为 将，代入得： ， 解得 ∴ （3）当时， ∴共充电（度） 共收费（元） 【典型例题十一 用描点法画函数图象】 【例1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，只要把点的坐标代入函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可． 【详解】A选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； B选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点在函数的图象上； C选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； D选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上． 故选：B 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， ∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元， ∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为： 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函数关系． 【例3】（24-25八年级上·全国·课前预习）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 ． 【答案】图象 【详解】用描点法画函数图象 略 【例4】（24-25八年级上·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【解析】略 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查函数的表示方法，以及画函数图象，掌握相关知识是解题关键．利用描点法画出图象并判断即可解题． 【详解】解：由表格描点得下图： 根据图象可知，风寒温度与风速的函数关系最可能是一次函数， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北保定·期末）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，长方形的面积与边长之间的函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整 （1）列函数表达式：若长方形的周长为8，设长方形的一边长为x，面积为y，则有________； （2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是______________； （3）列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 写出____________． （4）画图：在平面直角坐标系中画出该函数的图象 【答案】（1）；（2）；（3）1.75；（4）见解析 【分析】（1）由题意，长方形的另一一边长为，可得函数解析式． （2）上述函数表达式中，表示长方形的边长，则，由题知，，则，可得自变量的取值范围是． （3）把代入，可得． （4）根据图表可画出函数图象． 【详解】解：（1）由题意：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x． 故答案为：y＝﹣x2+4x； （2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是0＜x＜4． 故答案为：0＜x＜4． （3）x＝3.5时，y＝1.75， ∴m＝1.75． 故答案为：1.75． （4）函数图象如图所示： 【点睛】本题考查函数的图象等知识，解题的关键是正确理解题意、明确画函数图象的方法、利用所学的知识解决问题． 3．（24-25八年级上·北京·期末）请同学们探究函数的图象，通过列表、描点、面图，观察图象，并利用函数性质解决问题． (1)画出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … 请补全表格： ②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象． (2)利用函数的图象，探索函数性质并解决问题： ①写出该函数的一条性质______： ②当时，y的取值范围是______． ③若点与是函数图象上的两个点，若对于，，都有则a的取值范围是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①函数图象关于对称；②；③或 【分析】题目主要考查函数图象的性质，画函数图象，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）①根据题意代入计算填表即可；②结合表格，描点、连线即可； （2）①根据函数图象写出性质即可；②根据函数图象确定取值范围；③根据函数图象及题意即可确定取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … ②函数图象如图所示： （2）①函数图象关于对称（答案不唯一）， 故答案为：函数图象关于对称； ②由函数图象得，当时，， 故答案为：； ③∵， ∴， ∵对于，，都有， ∴结合图象得：或， 故答案为：或． 【典型例题十二 动点问题的函数图象】 【例1】 （24-25八年级上·山东烟台·期中）《哪吒2》热播期间，某周日，张红在父母的支持下也决定去看看． 她从家出发，当她走了大约一半的路程时，发现没带电影票，于是她立刻跑回家取票，之后又赶紧跑到电影院，看完电影，再走回家．符合题目中所描述的情况是图形（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，整个过程分为五个阶段，第一阶段，走大约一半的路程，离家越来越远，第二阶段，跑步返回家，离家越来越近，第三阶段，跑步到电影院，离家越来越远，第四阶段，看电影，离家距离不变，第五阶段，从电影院返回家，离家原来越近，据此可得答案． 【详解】解：先离家越来越远，直至到电影院一半的路程， 再返家取电影票离家越来越近，且花费的时间要比从家走到返家点的时间少， 再从家跑道电影院，离家越来越远， 接着在电影院看电影，离家的路程不变， 最后从电影院走回家，离家越来越近，且花费的时间比从家跑到电影院的时间多， ∴四个选项中，只有A选项腐恶还特意， 故选:A． 【例2】（24-25八年级上·北京通州·期中）下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，在直径为的半圆O上有一动点P，点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到点B，再以相同的速度沿着直径回到点A停止，线段的长度y与运动时间x； ③如图3，在平行四边形中，点P从点D出发，沿在平行四边形的边上匀速运动至点A．点P的运动时间x与面积y． 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合所给函数图象的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据货车在隧道内的长度从0开始随着时间的增加逐渐增大至最大，在隧道内长度不变，货车头出隧道时，货车在隧道内的长度随着时间的增加逐渐减小至0，可判断①；随着点P运动线段的长度不变，当点P运动到点B时，线段的长度逐渐减小至0，再逐渐增大，判断②；当点P在上运动时，随着时间的增加的面积逐渐增大，当点P在上运动时，随着时间的增加的面积不变，当点P在上运动时，随着时间的增加的面积逐渐减小至0，即可判断③． 【详解】解：货车在隧道内的长度从0开始随着时间的增加逐渐增大至最大，在隧道内长度不变，货车头出隧道时，随着时间的增加货车的长度逐渐减小至0，所以①符合题意； 随着点P运动线段的长度不变，当点P运动到点B时，线段的长度逐渐减小至0，再逐渐增大，所以②不符合题意； 当点P在上运动时，随着时间的增加的面积逐渐增大，当点P在上运动时，随着时间的增加的面积不变，当点P在上运动时，随着时间的增加的面积逐渐减小至0，所以③符合题意． 所以变量y与x之间的函数关系大致符合所给函数图像的是①③． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，一个动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据动点的运动，找出点横坐标的变化规律，纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【详解】解：动点第一次从原点运动到，横坐标增加，横坐标增加， 第二次从运动到，横坐标增加，纵坐标减少， 第三次从运动到，横坐标增加，纵坐标增加， 第四次从运动到，横坐标增加，纵坐标减少， 第五次从运动到，横坐标增加，纵坐标增加， …… ∴第次运动后，动点的横坐标为， 纵坐标的计算方法是：，即循环次后，又运动了次， ∴动点的纵坐标为， ∴动点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中动点的规律，理解动点的运算规律，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图1，在矩形中，动点从点出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，面积为，如果与的函数图象如图2所示，则：      （1） ， ． （2）当为 时，点到、两点的距离相等． 【答案】 或 【分析】（1）根据题意可知，的面积是点P运动的路程的函数，当时，点在线段上运动，当时，点在线段上运动，当时，点运动到点，结合函数图象即可求得答案． （2）当点运动到线段的中点或线段的中点时，点到、两点的距离相等，据此可求得答案． 【详解】（1）根据题意可知，的面积是点P运动的路程的函数． ∵当时，， ∴当时，点在线段上运动． ∴． ∵当时，的值保持不变， ∴当时，点在线段上运动，当时，点运动到点． ∴． 故答案为：，    ； （2）根据题意可知，当点运动到线段的中点或线段的中点时，点到、两点的距离相等，此时或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查函数图象，能根据函数图象获取所需信息是解题的关键． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，则进行分类讨论，即当时，点E在线段上，当时，点E在线段上，分别根据面积公式列式化简，结合函数图象即可作答． 【详解】解：∵在正方形中，，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动． ∴（秒），（秒）， ∴当时，点E在线段上，点F在线段上，如图： 则， ∴， 此时，S与t的函数图象为一次函数的图象， 当时，点E在线段上，点F在线段上，如图， 则， ∴，， ∴ ． ∴， 此时，S与t的函数图象是开口向下的二次函数，且时，点三点重合， 综上，． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江西·阶段练习）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得点从时，逐渐增大，当时，，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，由勾股定理得到，再根据直线三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是的直角边，是斜边， ∴点从时，逐渐增大， 根据图2可得，当时，， 当时，在中，是直角边，是斜边， ∴，即，逐渐减小，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，， 同理，点从时，逐渐减小，到时有最小值，之后逐渐增大，当点运动到点时，，此时停止运用， ∴， ∴点运动到中点时，的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图1所示，在中，，，，E点是边上一点，且，动点M从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线B→A→C方向运动，当点M与点C重合时停止运动．运动过程中，设动点M运动的时间为x秒（），的面积为． (1)请直接写出与x的函数表达式以及自变量x的取值范围； (2)在直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图2所示，请结合函数图象直接写出当时，自变量x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3)（答案不唯一，误差范围不超过） 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分两种情况分别求出函数解析式，并确定自变量x的取值范围； （2）通过解析式及自变量的取值范围画出函数的图象，根据图象进行解答即可； （3）通过函数解析式，分别求出函数与函数相交时，自变量x的值，可以帮助结合图象进行判断． 【详解】（1）解：当时，点在上，， 如图所示，过点作于点， ，， ， 在中，， ， 当时，点在上，， 如图所示， ， 故答案为：； （2）函数的图象如图所示： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（答案不唯一） （3）（令，得；令，得）， ∴当时，结合图象观察可知的取值范围为（答案不唯一，误差范围不超过）． 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列图像中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，解题的关键是掌握函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．该图像中，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，故此选项不符合题意； B．该图像中，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，故此选项不符合题意； C．该图像中，对于的每一个确定的值，不一定有都有唯一的值与其对应，那么不是的函数，故此选项符合题意； D．该图像中，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．是一个无理数 B．函数的自变量x的取值范围是x＞1 C．8的立方根是±2 D．若点P（2，a）和点Q（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为－5 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，二次根式和分式有意义的条件以及关于坐标轴对称的点之间的关系进行判断． 【详解】A．=2，是一个有理数，故选项不正确； B．函数的自变量x的取值范围是x＞1，故选项正确； C．8的立方根是2，故选项不正确； D．点P（2，a）和点Q（b，﹣3）关于x轴对称，则a=3，b=2，则a+b=3+2=5，故选项不正确． 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，二次根式和分式有意义的条件以及关于坐标轴对称的点之间的关系，涉及知识点较多，但难度不大，熟练掌握相关知识即可解答. 3．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）已知等腰三角形的周长为20cm，则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（　　） A．y＝20﹣2x（5＜x＜10） B．y＝2x﹣20（5＜x＜10） C．y＝10x（x＜10） D．yx﹣10（5＜x） 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质列函数关系式，再根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得：2x+y＝20， ∴y＝20﹣2x， ∵y＞0， ∴20﹣2x＞0， ∴x＜10， ∵两边之和大于第三边，即2x＞20﹣2x， ∴x＞5， 故底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是：y＝20﹣2x（5＜x＜10）， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出函数关系式，要求同学们熟练掌握等腰三角形的性质及三角形三边关系． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度的关系的一些数据（如下表）： 气温 声速 下列说法正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是声速，因变量是气温 B．温度越高，声速越慢 C．当气温为时，声音可以传播 D．气温每升高，声速减小 【答案】C 【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】∵在这个变化中，自变量是气温，因变量是声速， ∴选项错误； ∵根据数据表，可得温度越高，声速越快， ∴选项错误； ∵， ∴当气温为时，声音可以传播， ∴选项正确； ∵，， ，， ∴当温度每升高，声速增加， ∴选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了自变量、因变量的含义和判断．熟练掌握自变量、因变量的含义是解题的关键． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，为矩形的边上一点，且，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，与的对应关系如图所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，勾股定理，解决问题的关键是确定矩形的长和宽． 根据与的对应关系，求得矩形的长和宽，代入面积公式计算即可． 【详解】解：从函数图象和运动过程可得，， 当点运动到点时，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：． 6．（24-25八年级上·河北唐山·期中）人工智能工具训练模型时，记录的初始温度为，运行后的温度每分钟上升，则温度关于运行时间（分钟）的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数的表示方法、函数关系式，根据温度等于初始温度+运行时上升温度，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：. 故答案为：. 7．（23-24八年级上·山东东营·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 ． 【答案】23.5 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长，由此可得与的关系式．解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律． 【详解】解：分析表格可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长， ∴与的关系式为． 当所挂物体的质量为时，即时， 故答案为：23.5． 8．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是 ； 【答案】1 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据函数的最小值即在取值范围内的最低点对应的函数值，由函数图象和题目中的条件，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象可得，点C是函数的图象的最低点， ∴故当时，函数在有最小值，最小值为1， 故答案为1． 9．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，是三角形的高，P是边上的一动点（不与点B，C重合），过点P作的垂线，交折线于点Q，设的长是x，的面积是S，S与x之间的变量关系图象如右图所示，则高的长度是 ． 【答案】3cm 【分析】由图1可知，当点Q与点A重合时，面积最大；由图2可知，面积最大为9，当点P与点C重合时，BP=BC=6．根据三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】当点Q与点A重合时，S=， 即：9=， 解得：AD=3， 故答案为：3cm 【点睛】本题主要考查了动点问题与函数图象的关系，准确的掌握点的运动状态，将点的运动情况与函数图象想结合得到需要的数据是解题的关键． 10．（2025·北京东城·模拟预测）甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断： ①乙队率先到达终点； ②甲队比乙队多走了126米； ③在47.8秒时，两队所走路程相等； ④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢． 所有正确判断的序号是 ．    【答案】③④ 【分析】根据函数图象所给的信息，逐一判断． 【详解】由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率先到达终点，故①错误； 由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，故②错误； 由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均为174米，故③正确； 由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，故④正确． ∴正确判断的有：③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 11．（2025·云南·模拟预测）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地相距________； (2)求慢车和快车的速度分别是多少． 【答案】(1)900 (2)慢车的速度为，快车的速度为 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据出发时间为时，两车相距即可得到答案； （2）由函数图象可得两车出发6小时后相遇，且慢车出发18小时到达甲地，据此根据速度等于路程除以时间求出慢车的速度，进而可求出快车的速度． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当出发时间为时，两车相距， ∴甲、乙两地相， 故答案为：900； （2）解：由函数图象可得两车出发6小时后相遇，且慢车出发18小时到达甲地， ∴慢车的速度为， ∴快车的速度为， 答：慢车的速度为，快车的速度为． 13．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表： 所挂物体的质量/ 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度/ 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 （1）当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是______． （2）在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与的关系式． （3）如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】（1）13.5cm；（2）y=12+0.5x；（3）16千克 【分析】（1）由表可知，当物体的重量为3kg时，弹簧的长度是13.5cm； （2）由表中的数据可知，x=0时，y=12，并且每增加1千克的重量，长度增加0.5cm，继而得到关系式； （3）令y=20，代入函数解析式，求出x的值即可． 【详解】解：（1）物体的重量为3kg时，弹簧的长度是13.5cm． 故答案为13.5； （2）根据上表可知：弹簧初始长度为12cm，每增加1千克的重量，长度增加0.5cm， ∴y与x的关系式是：y=12+0.5x； （3）当y=20时，得20=12+0.5x， 解得x=16， ∴该弹簧最多能挂质量为16千克的物体． 【点睛】本题考查了函数关系式，做题时需仔细分析表中的数据，进而解决问题，关键是写出解析式． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）自行车的链条是由若干节链条连接而成，将其展直后链条的总长度随着链条节数x（节）的变化而变化，如图，某品牌自行车每节链条的长度为，链条交叉重叠部分的圆的直径为． (1)y与x之间的关系式是________； (2)若该品牌一辆自行车上链条展直后的总长度为，则其链条节数是多少？ 【答案】(1)（x为正整数） (2)60节 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）有x节链条，那么就有个交叉重叠部分，用x节链条原本的长度减去所有交叉重叠部分的长度即可得到答案； （2）根据（1）所求，求出当时的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：（x为正整数）； （2）解：当时，解得， ∴其链条节数是60节． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形ABCD边长，点E在边AD上，且，点N从点A出发，以5cm/s的速度在A、B之间往返匀速运动，同时，点M从点E出发，以2cm/s的速度沿路径E→D→C匀速运动，当点M运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（单位：s）．在运动过程中的面积S（单位：cm2）随运动时间的变化而变化． (1)当点N运动到点B时，求t值及此时的面积． (2)在整个运动过程中，求S与t的关系式． 【答案】(1)t=2s时，面积为40；当t=6s时，面积为50 (2) 【分析】（1）分类讨论，当N点第一次抵达B点时，当N点第二次抵达B时两种情况讨论即可求解； （2）分类讨论，分0≤t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4、4＜t≤6、6＜t≤8五个区间讨论即可． 【详解】（1）（1）， ∴， ∵当点运动第一次到点时，cm，点的速度为5cm/s， ∴， ∵点的速度为2cm/s， ∴， ∴AM=AE+EM=4+4=8， 连接MN，如图， ∴的面积=． 当点运动第二次到点B时，t=6s，如图， ∵点的速度为2cm/s， 则M点共计移动了12cm， ∴DM=12-ED=12-6=6cm， ∴的面积． 当N点第三次到达需要耗时10s，此时10＞8，故不存在， 即N最多两次抵达B点． 综上：t=2s时，面积为40；当t=6s时，面积为50； （2）∵当点运动到点时，两点都停止运动， ∴， 依据N点的速度可知，N点从A点到B点需要2s， ①当0≤t≤2时，，， 的面积=； ②当2＜t≤3时，，， 的面积=； ③当3＜t≤4时，， ∵， ∴的高为10cm， 的面积=； ④当4＜t≤6时，，同理的高为10cm， 的面积=； ⑤当6＜t≤8时，，同理的高为10cm， 的面积=； 综上所述：． 【点睛】本题考查了函数在点的运动问题中的应用，注重分类讨论的思想是解答本题的概念． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 函数的概念（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 函数图象识别 题型四 求自变量的取值范围 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数的三种表示方法 题型七 用表格表示变量间的关系 题型八 用关系式表示变量间的关系 题型九 用图象表示变量间的关系 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 用描点法画函数图象 题型十二 动点问题的函数图象 知识点01 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建宁德·期末）小明用100元去水果店购买单价为12元的苹果，找回的钱（元）与购买的数量的关系为，其中自变量是（　　） A．100 B．12 C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是 ． 知识点02 变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）当时，函数-1的值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）变量x与y之间的函数关系是，则自变量时的函数值为 . 知识点03 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（2024·云南·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的自变量的取值范围是 ． 知识点04 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）当时，函数的值是（    ） A．－5 B．－1 C．0 D．1 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）已知函数，当时，函数值为 ． 【典型例题一 函数的概念】 【例1】（24-25七年级下·福建宁德·期末）小明用100元去水果店购买单价为12元的苹果，找回的钱（元）与购买的数量的关系为，其中自变量是（　　） A．100 B．12 C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列各图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【例4】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知，把它写成y是x的函数的形式是 ． 【例5】（24-25七年级下·河南周口·期末）“随着气温上升，雪糕的销量开始上涨．”在这个情境中，自变量是 ． 1．（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）一辆汽车以一定的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这一变化过程中，自变量是 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 【典型例题二 函数解析式】 【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）某智能音响正在加载语音数据库，加载速率为，已加载了．设继续加载时长为，总加载量为，则下列函数解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）某体积为的圆柱形材质拉丝后，高随底面积的变化关系如下表所示，则以下说法正确的有（   ）个 底面积 高 ①所代表的值为；        ②自变量是，因变量是； ③变量，的关系式为；    ④若，则． A．0 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）为了美化校园，学校计划修建6个完全相同的长方形花坛．如果每个花坛的宽为10米，长为米，花坛总面积为平方米，那么与之间的关系式可表示为 ． 【例4】（2025·陕西西安·模拟预测）围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为 ． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 温度/°F 144 76 152 78 160 80 168 82 176 84 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．192 D．200 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为 ． 时间 两车相距 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图所示，在一个边长为的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形．当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、自变量的函数各是什么？ (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请写出与的关系式： (3)当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积是增大还是减小？增大或减小了多少？ 【典型例题三 函数图象识别】 【例1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）下面4个图象中，不是的函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表： 砝码的质量（x克） 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置（厘米） 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 y关于x的函数图象是（    ）． A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）经过点且垂直于轴的直线可以表示为 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系） ； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系） ； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系） 1．（2025·四川达州·模拟预测）如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间（分）和离家距离（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是 米/分． 3．（24-25八年级上·重庆永川·阶段练习）已知函数，小李同学对该函数的图象与性质进行了探究，下面是小李同学探究的过程，补充完整： （1）直接写出自变量x的取值范围：__________； （2）下表是y与x的几组对应值： x … -4 -1 0 1 3 4 5 n … y … m 0 -1 -4 8 5 4 3 … 则m=　　，n=　　； （3）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （4）观察函数图象可知：该函数图象的对称中心的坐标是______； （5）当时，关于x的方程有实数解，直接写出k的取值范围_______． 【典型例题四 求自变量的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东济宁·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．8的立方根是 B．的最简公分母为 C．函数的自变量x的取值范围是 D．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称 【例3】 （24-25八年级上·河南新乡·期末）函数中自变量x的整数值可以是 （写出一个即可）． 【例4】（24-25八年级上·北京昌平·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 1．（2025·广东惠州·模拟预测）函数中自变量的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． (1)填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 (2)这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． (3)试用含x的式子表示y， ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 【典型例题五 求自变量的值或函数值】 【例1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）根据如图所示的计算程序计算函数的值，若输入时，则输出的值是3，若输入时，则输出的值是（    ） A．－5 B．－1 C．1 D．13 【例2】（2025·陕西·模拟预测）变量x，y的一些对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（　　） A．75 B．﹣75 C．125 D．﹣125 【例3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知变量与的关系式是，则当时， ． 【例4】（24-25七年级下·河南郑州·期末）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度，在第一届皆少年科技运动会上，某参赛小组在比赛场地从地而竖直向上发射水火箭，水火箭被发射后距离地面的高度最大，则最大的高度为 （用含的式子表示）． 1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）对于正数x，规定，例如，的值是（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 2．（24-25七年级下·重庆·期末）按如图所示的程序计算，当输入时，则输出的结果为 ．    3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）我们知道：“距离地面越高，气温越低”，如表表示的是某地某时气温（）随距离地面高度（）变化而变化的情况： 距离地面高度（） 0 1 2 3 4 … 气温（） 20 14 8 2 … (1)请写出T与h之间的关系式； (2)距离地面的高度气温是多少？ (3)若当地某山顶当时的气温为，求山顶与地面的高度． 【典型例题六 函数的三种表示方法】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）对于关系式y＝5x+6，下列说法错误的是（　　） A．x是自变量，y是因变量 B．x的数值可以取任意有理数和无理数 C．y是变量，它的值与x无关 D．y与x的关系还可以用列表法和图象法表示 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）设，则函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知海拔每升高1千米，温度下降6℃，某时刻A地底面温度为20℃，高出地面x千米处的温度为y℃，则y与x之间的函数关系为 ． 【例4】（24-25七年级下·山东青岛·期中）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为，估计当千克时，的值为 分． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）弹簧挂上物体后会伸长，已知弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 物体的质量 … 弹簧的长度 … 观察上表中弹簧的长度随物体的变化而变化的规律，判断：如果在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度是（        ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）2018 年 5 月 14 日川航 3U863 航班挡风玻璃在高空爆裂，机组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生，创造了世界航空史上的奇迹!下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下问题： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 所在位置的温度(C) 20 13 6 -1 -8 -15 若用 h 表示距离地面的高度，用 y 表示温度，则 y 与 h 之间的关系式是： ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）声音在空气中传播的速度和气温有如下关系： 气温（℃） 0 5 10 15 20 声速（m/s） 331 334 337 340 343 （1）上表反映了___________________________之间的关系，其中_______________是自变量，_______________是_________________的函数 （2）根据表中数据的变化，你发现的规律是：气温每升高5℃，声速______________,若用T表示气温，V表示声速，请写出声速V与气温T之间的函数关系式V=________________ （3）根据你发现的规律，回答问题：在30℃发生闪电的夏夜，小明在看到闪电6秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？ 【典型例题七 用表格表示变量间的关系】 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）梦想从学习开始，事业从实践起步，近来较多的人每天登录“学习强国”，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．当学习天数为5天时，周积分为254分 D．学习天数每增加1天，周积分的增长量相同 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 45 40 35 30 … A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水10后，水池中的水全部放完 D．放水5后，水池中还有水20m 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 【例4】（24-25八年级上·上海·期末）如图，某条河遭受暴雨袭击，一天的水位记录如表所示，通过观察可知8点至24点之间，水位上升最快的时段是 （填几点到几点）． 时刻 8点 12点 16点 20点 24点 水位（m） 3.5 4 5.5 6 8 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）弹簧挂上物体后会伸长(在允许挂物重量范围内)，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下表的关系：下列说法不正确的是(    ) x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 A．弹簧不挂重物时的长度为10cm B．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为14cm 2．（23-24七年级下·江西鹰潭·期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（） 刹车距离 (1)当刹车时车速为时，刹车距离是_____． (2)该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用表示，根据上表反映的规律写出y与x之间的关系式． (3)你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）一般而言，把运动心率控制在最大心率的（即“燃脂心率”区间），既能实现高效燃脂，又能保障运动安全．为助力大众科学健身，相关部门整理了正常情况下不同年龄段的最大心率参考数据（如下表所示），便于人们准确把握适宜自身的运动强度． 年龄（岁） … 20 25 30 35 40 … 最大心率（次/分钟） … 200 195 190 185 180 … 根据上表回答下列问题： (1)自变量是_________，因变量是_________； (2)正常情况下，随着年龄的增加，最大心率是怎样变化的？ (3)30岁的张老师运动时测得心率为123次/分钟，请通过计算帮助张老师判断他运动时的心率是否在“燃脂心率”区间． 【典型例题八 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）小丽同学发现一个水龙头未拧紧，经调查这个水龙头每分钟会滴出120滴水，每滴水约毫升．若这个未拧紧的水龙头滴水分钟，滴水量为毫升，则与之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东广州·模拟预测）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 6 … A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【例4】（2025·广东广州·模拟预测）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式 ，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）． （小时） 0 1 3 （米） 1．（2024·河南商丘·模拟预测）为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表．图2是深度表的工作原理简化电路图，其中的阻值会随下潜深度的变化而变化．其变化关系图象如图3所示．深度表由电压表改装．已知电压表示数与电阻的关系式是．则下列说法不正确的是（   ） A．随着潜水深度的增大，的阻值不断减小 B．随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小 C．当下潜的深度为时，的阻值为 D．当下潜的深度为时，电压表的示数为 2．（24-25七年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为 ．    3．（24-25八年级上·全国·假期作业）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由； (2)求与之间的关系式； (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【典型例题九 用图象表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级上·广西南宁·期末）悦悦同学骑自行车上学，刚开始以某一速度行进，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为距离，为时间），符合上述情况的是（   ） A．B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是（    ） A．B．C． D． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图（a）所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的关系如图（b）所示，则m的值是 ． 【例4】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是 ．（填上你认为正确的说法的序号） 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）是饮水机的图片．饮水桶中的水由图1的位置下降到图2的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是 ． 3．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是_____； （2）摩天轮最高点距地面_____（米），摩天轮最低点距地面_____（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 【典型例题十 从函数的图象获取信息】 【例1】（24-25八年级上·重庆江津·期末）五一黄金周期间，小明和父母自驾游外出游玩．下面是汽车行驶速度（千米/时）随时间（分）变化的函数图象，下列说法中正确的是（   ） A．汽车以千米/时的速度行驶了分钟 B．和表示汽车停止运动 C．在第分钟时，汽车的速度是千米/时 D．第分钟开始，汽车返程行驶 【例2】（24-25八年级上·重庆渝中·期末）如图，正方体金属块在竖直向上的拉力作用下，向上做匀速直线运动，上升到离水面一定高度．图2是拉力F与时间t的关系图．下列判断： ①金属块在上升过程中受到的拉力逐渐增大； ②当时，金属块受到的拉力为； ③金属块受到的浮力． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】（24-25八年级上·山西长治·期中）某汽车的功率一定时，其行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数关系如图所示，当牵引力为时，汽车的速度为 ．    【例4】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是某商品1-4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是 月份． 1．（2025·河南·模拟预测）如图1，点从的顶点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向匀速运动．图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．12 B．30 C．60 D．48 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）某快递公司每天上午9：00～10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：00开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）一辆新能源汽车在充电站充电分两个阶段，电量不超过80%时为快充阶段，每小时充电60%；电量超过80%时为涓流充电阶段，每小时充电量降低．该款新能源汽车某次充电前有部分电量，电池电量y（%）与充电时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)a的值为______： (2)求涓流充电阶段电池电量y（%）与充电时间x（时）之间的函数表达式； (3)充电站按充电量收费，每度电元．该新能源汽车电池容量为50度，在这次充电过程中，若车主因有事，只能充电2小时，求充电费是多少？ 【典型例题十一 用描点法画函数图象】 【例1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·全国·课前预习）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 2．（24-25八年级上·河北保定·期末）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，长方形的面积与边长之间的函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整 （1）列函数表达式：若长方形的周长为8，设长方形的一边长为x，面积为y，则有________； （2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是______________； （3）列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 写出____________． （4） 画图：在平面直角坐标系中画出该函数的图象 3．（24-25八年级上·北京·期末）请同学们探究函数的图象，通过列表、描点、面图，观察图象，并利用函数性质解决问题． (1)画出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … 请补全表格： ②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象． (2)利用函数的图象，探索函数性质并解决问题： ①写出该函数的一条性质______： ②当时，y的取值范围是______． ③若点与是函数图象上的两个点，若对于，，都有则a的取值范围是______． 【典型例题十二 动点问题的函数图象】 【例1】 （24-25八年级上·山东烟台·期中）《哪吒2》热播期间，某周日，张红在父母的支持下也决定去看看． 她从家出发，当她走了大约一半的路程时，发现没带电影票，于是她立刻跑回家取票，之后又赶紧跑到电影院，看完电影，再走回家．符合题目中所描述的情况是图形（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·北京通州·期中）下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，在直径为的半圆O上有一动点P，点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到点B，再以相同的速度沿着直径回到点A停止，线段的长度y与运动时间x； ③如图3，在平行四边形中，点P从点D出发，沿在平行四边形的边上匀速运动至点A．点P的运动时间x与面积y． 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合所给函数图象的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例3】（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，一个动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是 ．    【例4】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图1，在矩形中，动点从点出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，面积为，如果与的函数图象如图2所示，则：      （1） ， ． （2）当为 时，点到、两点的距离相等． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西·阶段练习）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图1所示，在中，，，，E点是边上一点，且，动点M从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线B→A→C方向运动，当点M与点C重合时停止运动．运动过程中，设动点M运动的时间为x秒（），的面积为． (1)请直接写出与x的函数表达式以及自变量x的取值范围； (2)在直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图2所示，请结合函数图象直接写出当时，自变量x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过） 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列图像中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．是一个无理数 B．函数的自变量x的取值范围是x＞1 C．8的立方根是±2 D．若点P（2，a）和点Q（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为－5 3．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）已知等腰三角形的周长为20cm，则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（　　） A．y＝20﹣2x（5＜x＜10） B．y＝2x﹣20（5＜x＜10） C．y＝10x（x＜10） D．yx﹣10（5＜x） 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度的关系的一些数据（如下表）： 气温 声速 下列说法正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是声速，因变量是气温 B．温度越高，声速越慢 C．当气温为时，声音可以传播 D．气温每升高，声速减小 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，为矩形的边上一点，且，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，与的对应关系如图所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北唐山·期中）人工智能工具训练模型时，记录的初始温度为，运行后的温度每分钟上升，则温度关于运行时间（分钟）的函数关系式为 ． 7．（23-24八年级上·山东东营·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 ． 8．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是 ； 9．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，是三角形的高，P是边上的一动点（不与点B，C重合），过点P作的垂线，交折线于点Q，设的长是x，的面积是S，S与x之间的变量关系图象如右图所示，则高的长度是 ． 10．（2025·北京东城·模拟预测）甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断： ①乙队率先到达终点； ②甲队比乙队多走了126米； ③在47.8秒时，两队所走路程相等； ④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢． 所有正确判断的序号是 ．    11．（2025·云南·模拟预测）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地相距________； (2)求慢车和快车的速度分别是多少． 13．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表： 所挂物体的质量/ 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度/ 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 （1）当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是______． （2）在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与的关系式． （3）如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）自行车的链条是由若干节链条连接而成，将其展直后链条的总长度随着链条节数x（节）的变化而变化，如图，某品牌自行车每节链条的长度为，链条交叉重叠部分的圆的直径为． (1)y与x之间的关系式是________； (2)若该品牌一辆自行车上链条展直后的总长度为，则其链条节数是多少？ 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形ABCD边长，点E在边AD上，且，点N从点A出发，以5cm/s的速度在A、B之间往返匀速运动，同时，点M从点E出发，以2cm/s的速度沿路径E→D→C匀速运动，当点M运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（单位：s）．在运动过程中的面积S（单位：cm2）随运动时间的变化而变化． (1)当点N运动到点B时，求t值及此时的面积． (2)在整个运动过程中，求S与t的关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $$