第02讲 图形在坐标系中的平移（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪科版2024）

第02讲 图形在坐标系中的平移（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 由平移方式确定点的坐标 典型例题二 已知图形的平移，求点的坐标 典型例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 典型例题四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 典型例题五 已知平移后的坐标求原坐标 典型例题六 坐标系中的平移 典型例题七 点坐标规律探索 典型例题八 坐标系中的动点问题（不含函数） 知识点01 关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，点向右平移个单位得点B，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若将点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为 ． 知识点02 坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）将点向右平移a个长度单位得到点，则 ． 知识点03 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南安阳·期中）平面直角坐标系中，点，若轴，轴，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是 ． 【典型例题一 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（   ）．    A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，点B正好落在x轴上，则点B的坐标为 ． 【例4】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为 ． 1．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，点的坐标为，沿某一方向平移后点的坐标为，则点的坐标为 ． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为． (1)若点的坐标为，写出点的坐标为____________； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示，若设点的坐标为 ①写出点的坐标________________（用含的代数式表示） ②若三角形的面积为7，求的值； (3)在（2）的条件下，线段与轴相交于点，直接写出点的坐标为___________． 4．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）壬寅年立春之时，2022年北京冬奥会开幕式上以“二十四节气”为主题的倒计时短片用“中国式浪漫”美学惊艳了世界，也让全世界领略了中国古老历法的独特文化魅力．如图，我们用坐标来表示某些节气．例：2022年立春用表示（注：2022年2月4日立春）． (1)用坐标表示以下节气： 2022年立夏用（______）表示（注：2022年5月5日立夏）， 2022年小暑用（______）表示（注：2022年7月7日小暑）．在给出的坐标系中画出三角形． (2)将向左平移2个单位后，再向下平移3得到，画出平移后的，并写出点，的坐标； (3)求三角形的面积． 【典型例题二 已知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段向左平移2个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，点，将线段先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到线段，则点A的对应的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·北京·期中）将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，则平移后点的坐标是 ． 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，线段AB的端点都在方格线的交点（格点）上，将线段AB按一定方向平移一定距离后，如果点A的对应点A’的坐标为（5，1），那么点B的对应点B′的坐标是 ．    1．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，将线段平移，若平移后的对应点为，则的值是 3．（24-25七年级下·新疆省直辖县级单位·期中）如图，在边长为的正方形网格中，． (1)平移线段到线段，使点与点重合，写出点的坐标是_______ (2)直接写出线段平移至线段处所扫过的面积是_______； (3)平移线段，使两端点都在坐标轴上，请画出平移后的线段，并直接写出的坐标为_______． 4．（2025八年级上·广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，若把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形； （2）写出点，，的坐标； （3）三角形的面积为　　． 【典型例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（24-25七年级下·宁夏固原·期末）点P（2，）向右平移1个单位长度后点的坐标是（    ） A．（2，5） B．（2，5） C．（3，-） D．（-3,-5） 【例2】（24-25七年级下·贵州黔西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为 ． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示．将长方形沿轴向右平移使点与原点重合，再沿轴向下平移，使点与原点重合，则此时点的坐标为 ． 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图点 A、B 的坐标分别为（1，2）、（3，0），将△AOB 沿 x 轴向右平移，得到△CDE． 已知点 D 在的点 B 左侧，且 DB＝1，则点 C 的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，2），B（－3，1），C（－2，－2）． （1）将△ABC向右平移2个单位，作出它的图像； （2）写出的顶点坐标． 4．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形（不包括边界）有个整点（横、纵坐标均为整数的点），直接写出的取值范围． 【典型例题四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，、的坐标分别为，．将线段平移至，若、的坐标分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·上海闵行·期末）在直角坐标平面内，点P（﹣5，0）向 平移m（m＞0）个单位后落在第三象限．（填“上”或“下”或“左”或“右”） 【例4】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为 ． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），已知A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，﹣3+m）．则a+b﹣c﹣d的值为（　　） A．8+m B．﹣8+m C．2 D．﹣2 2．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）在 内的任意一点 经过平移后的对应点为 ，已知 在经过此次平移后对应点 的坐标为 ，则 的值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，图形Ⅱ可以由图形I经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形内一点，把三角形经过平移后得三角形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，点P的对应点为． (1)点D的坐标为（________________）； (2)画出三角形． 【典型例题五 已知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）点P先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P坐标为 【例4】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是 ． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 3．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，给出了格点(顶点是网格线的交点)． （1）将先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到，画出平移后的； （2）以点为位似中心，在点的异侧作，使它与的位似比为2，画出，并求出的周长． 4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【典型例题六 坐标系中的平移】 【例1】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知点，，若，且轴，则点的坐标是 ． 【例4】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次 “跳马运动”．例如∶如图，点A做一次“跳马运动”，可以到达点B，但是到达不了点C．点P从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，所有正确结论的序号是 ． ① P 进行一次“跳马运动”可能到达的点有8 个； ② P 进行三次“跳马运动”后可以到达； ③ P 进行四次“跳马运动”后可以到达． 1．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，将平行四边形沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标 ． 3．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)三个顶点的坐标分别是______________；____________；_____________． (2)将三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点，，，画出； (3)求出的面积． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在一次飞行表演中，6架飞机A，B，C，D，E，F编队飞行，且保持队形不变，分别写出它们的坐标．当飞机A飞行到位置时，飞机B，C，D，E，F飞到了什么位置？用坐标表示这6架飞机的新位置． 【典型例题七 点坐标规律探索】 【例1】（24-25七年级下·全国·期中）如图，一个机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，以此规律走下去，当机器人到达点时，它在坐标系中坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（湖北省荆门市2024-2025学年七年级数学下学期期末试题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，，，…，据此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·全国·期中）若点在x轴上，则m的值为 ． 【例4】（24-25七年级下·全国·期中）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走，到达点，再向正北走到达点，再向正西走到达点，再向正南走，到达点，再向正东方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是 ． 1．（24-25七年级下·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中有点，第1次点A跳动至点，第2次点跳动至点，第3次点跳动至点，第4次点跳动至点，……，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图为某公园的示意图．    (1)以虎山为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴在图中建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (2)若以猴园为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (3)比较（1）（2）中各景点的坐标，你发现了什么规律？ 4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从处出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，其行走路线如图所示． (1)在图中补出y轴，并写出点，，的坐标； (2)写出点的坐标（n为正整数）； (3)蚂蚁从点到点的移动方向是 （填“向上”“向右”或“向下”）． 【典型例题八 坐标系中的动点问题（不含函数）】 【例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（24-25八年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，，，，P为线段上一动点，于点M，于点N，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是 ． 【例4】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，已知点坐标为，B为轴正半轴上一动点，是的中点,则在点运动的过程中的最小值为 ． 1．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足． (1)求A，B两点的坐标并在图中画出线段； (2)将线段先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段，其中A与C是对应点，请在图中画出线段，并写出C，D两点的坐标； (3)若点P是y轴正半轴上的一动点，且，求满足条件的点P的坐标． 4．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，点B的坐标为，点A在y轴上，将三角形沿x轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且点C的坐标是，且m，n满足．点P从点A出发，速度为每秒2个单位，运动时间为t秒． (1)如图1，点C的坐标为 ，点E的坐标为 ． (2)如图2，在四边形中，点P沿移动，连接，当三角形的面积等于四边形面积的时，求点P的坐标； (3)若点P沿射线方向运动，点F从点O出发沿y轴正方向运动，点F不与点A重合，速度为每秒个单位．当时，点F立即以原速返回至点O，此时点P、点F均停止运动．连接，分别在和内部作射线，使得，平分，直线交于点．直接写出、、的关系，并标注时间的范围． 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）点向上平移4个单位，再向左平移3个单位得到点B的坐标为    （    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）平面直角坐标系中，点，，经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2018七年级下·全国·专题练习）点P是平面直角坐标系中的一点，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点P′的坐标是（﹣2，1），则点P的坐标是（      ） A．（1，5） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣1，5） 5．（2024·河南开封·模拟预测）如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）将点A（﹣1，4）向上平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为 ． 7．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 ． 8．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，无人机编队飞行（即平行飞行，速度相同）的两架无人机A，B在坐标系中的坐标分别为，当无人机A飞到指定位置处时，无人机B飞到位置的坐标为 ． 9．（24-25七年级下·西藏·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，顶点坐标为将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为 ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点两点均在y轴上，且，则的值为 （用含的代数式表示），的最大值为 ． 11．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，的顶点都在格点上，已知点C的坐标为． （1）写出点A，B的坐标； （2）平移，使点A与点O重合．作出平移后的，并写出点，的坐标． 13．（24-25七年级下·重庆云阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点都在边长为1的小正方形网格中的格点上，平行四边形四个顶点的坐标分别为，，，． (1)请画出将平行四边形向下平移6个单位长度后得到的平行四边形；直接写出的坐标是________； (2)请画出将（1）中的平行四边形向右平移8个单位长度后得到的平行四边形；直接写出的坐标是________． 14．（24-25七年级下·重庆南川·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过点，与轴交于点，，点在直线上． (1)如图1，若平分，平分，试说明； (2)如图2，连接，，求和的面积； (3)若动点在坐标轴上，且满足时，求点的坐标． 15．（24-25七年级下·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 图形在坐标系中的平移（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 由平移方式确定点的坐标 典型例题二 已知图形的平移，求点的坐标 典型例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 典型例题四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 典型例题五 已知平移后的坐标求原坐标 典型例题六 坐标系中的平移 典型例题七 点坐标规律探索 典型例题八 坐标系中的动点问题（不含函数） 知识点01 关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，点向右平移个单位得点B，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．把点的横坐标加3，纵坐标不变即可得到对应点B的坐标． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度， 得到点B的坐标是，即：． 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若将点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后得到点， 所以． 故答案为：7． 知识点02 坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移与坐标，根据对应点的坐标确定平移方式即可求解． 【详解】解：由、可得平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴的坐标为， 即：， 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）将点向右平移a个长度单位得到点，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移规律，熟练掌握点向右平移时横坐标“右加”的变化规律是解题的关键．利用点在平面直角坐标系中平移时，横坐标的变化规律来求解的值，即点向右平移，横坐标增加． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点在平面直角坐标系中向右平移时，横坐标的变化为原横坐标加上平移的单位长度，纵坐标不变， ， 解得． 故答案为： ． 知识点03 规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南安阳·期中）平面直角坐标系中，点，若轴，轴，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题关键． 根据平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等进行求解即可． 【详解】解：∵点，轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是 ． 【答案】抓落实 【分析】观察图形即可确定“守初心”三个字对应的坐标，然后分析“担使命”中“担”与 “守”坐标之间的关系即可得出密码钥匙了．即上移两个单位后再左移一个单位． 【详解】解：由题意可知，“守初心”的对应口令为“担使命”，其中“担”是“守”字先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的，，其它各个字对应也是这样得到的， ∴“找差距”对应口令是“抓落实”． 故答案是：抓落实． 【点睛】本题考查的知识点是坐标确定位置，解答本题的关键是找出破译前与破译后各个字坐标之间的规律． 【典型例题一 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化，掌握点的坐标变化规律是解题的关键．根据横坐标左减右加，纵坐标上加下减得到答案． 【详解】解：点先向右平移3个单位， 横坐标变为， 再向上平移2个单位， 纵坐标变为， 最后得到的点的坐标为， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，点的坐标，先结合坐标系得三个顶点的坐标分别是，因为向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即横坐标加，纵坐标加，得出平移后三个顶点的坐标，即可作答． 【详解】解：由坐标系得三个顶点的坐标分别是， ∵将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴平移后三个顶点的坐标分别是， 故选：C 【例3】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，点B正好落在x轴上，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律，由点的平移规律得，由点在坐标轴上的特征得，求出，即可求解；掌握点的平移规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 点B正好落在x轴上， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点A平移前后的坐标，得到其平移方式，即可得到点B的对应点的坐标． 【详解】解：平移后得到的对应点的坐标为， 平移方式为向右平移了个单位，向上平移了个单位， 的对应点坐标为，即， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移规律，解题的关键是熟练掌握在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据点的坐标的变化分析出的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值即可解答． 【详解】∵点平移后得到，点平移后得到， ∴点A横坐标从变为4，右平移了个单位． 点B纵坐标从变为，向上平移了个单位． ∵线段，整体平移， ∴平移规律相同， ∴A点向上平移个单位，． 点向右平移个单位，． ∴ 故选C． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，点的坐标为，沿某一方向平移后点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移，先求出点C的坐标，再找到点A的平移规律，利用点C与点A的平移规律相同即可得到点的坐标． 【详解】解：∵ 正方形的边长为， ∴， ∴ 点C的坐标是，即， ∵点坐标为，沿某一方向平移后点的坐标为， ∴ 点A是向右平移个单位，向上平移个单位得到点， ∵点的平移规律和点A的平移规律相同， ∴点的坐标是，即点的坐标是． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为． (1)若点的坐标为，写出点的坐标为____________； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示，若设点的坐标为 ①写出点的坐标________________（用含的代数式表示） ②若三角形的面积为7，求的值； (3)在（2）的条件下，线段与轴相交于点，直接写出点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形，解本题的关键是平移性质的灵活运用，用面积关系建立方程． （1）利用平移的性质确定出平移得单位和方向； （2）①利用平移的性质确定出平移得单位和方向； ②连接，根据构建关于a的方程求解即可； （3）设，根据构建关于e的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平移后对应点为， ∴点B向左平移个单位，再向上平移个单位得到点C， ∴平移后的对应点为，即， 故答案为：； （2）解：①∵平移后对应点为，点C在y轴正半轴上， ∴点B向左平移个单位，再向上平移个单位得到点C， ∴平移后的对应点为，即， 故答案为：； ②连接， ∵，， ∴， 解得； （3）解：由（2）知：，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）壬寅年立春之时，2022年北京冬奥会开幕式上以“二十四节气”为主题的倒计时短片用“中国式浪漫”美学惊艳了世界，也让全世界领略了中国古老历法的独特文化魅力．如图，我们用坐标来表示某些节气．例：2022年立春用表示（注：2022年2月4日立春）． (1)用坐标表示以下节气： 2022年立夏用（______）表示（注：2022年5月5日立夏）， 2022年小暑用（______）表示（注：2022年7月7日小暑）．在给出的坐标系中画出三角形． (2)将向左平移2个单位后，再向下平移3得到，画出平移后的，并写出点，的坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，，画出三角形见解析 (2)图见解析，点的坐标是，的坐标是 (3)2 【分析】本题考查了坐标系中描点、平移作图和利用割补法求三角形的面积等知识； （1）根据题干中点的坐标的表示方法即可得到点B、C的坐标，进而画出三角形； （2）根据平移的性质即可画出，进而得到点，的坐标； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：2022年立夏用表示（注：2022年5月5日立夏）， 2022年小暑用表示（注：2022年7月7日小暑）； 故答案为：，； 三角形如图所示： （2）解：如图所示，点的坐标是，的坐标是； （3）解：三角形的面积 ． 【典型例题二 已知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段向左平移2个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化—平移，熟练掌握横平移的规律是解答本题的关键． 根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可． 【详解】解：∵将线段向左平移2个单位长度，得到线段， ∴点A向左平移2个单位长度，得到点， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A 【例2】（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，点，将线段先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到线段，则点A的对应的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据点的平移规律，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：点A的对应点， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·北京·期中）将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，则平移后点的坐标是 ． 【答案】（0，6）． 【分析】直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得． 【详解】解：将点P（-2，3）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 则平移后点的坐标是（-2+2，3+3），即（0，6）， 故答案为：（0，6）． 【点睛】本题考查坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，线段AB的端点都在方格线的交点（格点）上，将线段AB按一定方向平移一定距离后，如果点A的对应点A’的坐标为（5，1），那么点B的对应点B′的坐标是 ．    【答案】（8，3）． 【分析】根据平移的性质得出由A到A'是A点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到A'，根据这个规律即可求出答案． 【详解】解：∵将线段AB平移至线段A′B′，如果A的对应点A′的坐标是（5，1），A（1，2）， ∴A点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到A'， ∵点B的坐标是（4，4）， ∴4+4＝8，4﹣1＝3， ∴B的对应点B'的坐标是（8，3）， 故答案为：（8，3）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点坐标的平移性质，掌握平移的性质是解题的关键． 1．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移规律，坐标轴上点的特征；设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时，结合点的平移规律和坐标轴上点的特征，即可求解；②当在轴上，在轴上时，同理可求．能利用点的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”求解是解题的关键． 【详解】解：设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时， ，， 解得：， ； ②当在轴上，在轴上时， ，， ， 解得：， ； 综上所述：P平移后的对应点的坐标是或， 故选：C． 2．（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，将线段平移，若平移后的对应点为，则的值是 【答案】3 【分析】首先不考虑点A的纵坐标的变化情况，由A点平移前后的横坐标分别为-2、-1，确定点A的平移方式；再结合点B平移前后的纵坐标的变化情况确定点A的平移方式；、综合分析，确定出线段AB的平移过程，进而求出m、n的值，代入待求式中计算即可得到答案. 【详解】解：不考虑点A的纵坐标的变化情况，由A点平移前后的横坐标分别为-2、-1，可得A点向右平移了1个单位. 不考虑点B的横坐标的变化情况，由B点平移前后的纵坐标分别为1、3，可得B点向上平移了2个单位. 由此得线段AB的平移的过程是：向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 所以点A、B均按此规律平移，由此可得，， 故 故答案为3. 【点睛】本题主要考查了平面坐标系中图形的平移与点的坐标的关系，根据已知坐标的前后对应关系得出平移过程是解决此类题目的关键. 3．（24-25七年级下·新疆省直辖县级单位·期中）如图，在边长为的正方形网格中，． (1)平移线段到线段，使点与点重合，写出点的坐标是_______ (2)直接写出线段平移至线段处所扫过的面积是_______； (3)平移线段，使两端点都在坐标轴上，请画出平移后的线段，并直接写出的坐标为_______． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，或 【分析】本题考查了图形的平移，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． （）根据点和点的坐标可知线段先左平移个单位长度得到线段，据此即可求解； （）由题意可知线段平移至线段处所扫过的面积即为平行四边形的面积，据此解答即可； （）根据题意画出图形，根据图形解答即可求解； 【详解】（1）解：点向左平移个单位长度得到点， ∴点向左平移个单位长度得到点，即， 故答案为：； （2）解：如图，线段平移至线段处所扫过的面积即为平行四边形的面积， ∴面积为， 故答案为：； （3）解：①如图，平移到轴，平移到轴， 则； ②如图，平移到轴，平移到轴，如图， 则； 综上，的坐标为或， 故答案为：或． 4．（2025八年级上·广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，若把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形； （2）写出点，，的坐标； （3）三角形的面积为　　． 【答案】（1）见解析；（2），，；（3）7 【分析】（1）根据平移规律画图即可； （2）利用点平移的坐标变换特征写出A′、B′、C′的坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形A′B′C′的面积． 【详解】（1）如图，△为所作； （2），，； （3）三角形的面积． 故答案为7． 【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 【典型例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（24-25七年级下·宁夏固原·期末）点P（2，）向右平移1个单位长度后点的坐标是（    ） A．（2，5） B．（2，5） C．（3，-） D．（-3,-5） 【答案】C 【分析】根据“横坐标右移加左移减；纵坐标上移加下移减”即可求解． 【详解】解：∵点P(2，-5）向右平移1个单位长度后， ∴得到的坐标(2+1，-5)， 即(3，-5)， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标的平移规律，属于基础题，熟练掌握点的坐标的变化规律是解决本题的关键． 【例2】（24-25七年级下·贵州黔西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 根据平移的性质，点向右平移个单位长度，其横坐标加3，纵坐标不变，可得出坐标． 【详解】解：∵点向右平移个单位长度， ∴横坐标为，纵坐标不变，平移后的坐标为． 故选A． 【例3】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解∶∵点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B． ∴点B的坐标为，即， 故答案为∶ ． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示．将长方形沿轴向右平移使点与原点重合，再沿轴向下平移，使点与原点重合，则此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变换．熟练掌握点的平移规律是解题的关键．平移点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 首先根据题意得到平移方式，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：∵将长方形沿轴向右平移使点与原点重合，再沿轴向下平移，使点与原点重合， ∴平移方式为沿轴向右平移4个单位，再沿轴向下平移3个单位 ∴点C的坐标变为，即． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”的规律求解即可． 【详解】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度得到（5，2）， 再向下平移2个单位长度，所得到的点坐标为（5，0）． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y-b），熟记点的坐标的平移规则是解题的关键． 2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图点 A、B 的坐标分别为（1，2）、（3，0），将△AOB 沿 x 轴向右平移，得到△CDE． 已知点 D 在的点 B 左侧，且 DB＝1，则点 C 的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平移的性质，得到对应点的变化，即可得到答案 【详解】解：的坐标为， ， ， ， 向右平移了2个单位长度， 点的坐标为， 点的坐标为：． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移距离是解题关键． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，2），B（－3，1），C（－2，－2）． （1）将△ABC向右平移2个单位，作出它的图像； （2）写出的顶点坐标． 【答案】（1）见解析；（2），，． 【分析】（1）在平面直角坐标系中，把△ABC的每一点都沿x轴向右移动两个单位长度，得到的新图象即为所求； （2）根据平移变化的坐标公式可以得到解答． 【详解】解：（1）根据平移的意义，将△ABC向右平移2个单位得到的像ΔA′B′C′如图所示： （2）根据平移公式可以求得ΔA′B′C′的顶点坐标如下：，，． 【点睛】本题考查图形平移变化的作图及坐标表示，根据平移的意义及图形平移的坐标公式求解是解题关键． 4．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形（不包括边界）有个整点（横、纵坐标均为整数的点），直接写出的取值范围． 【答案】(1)画图见解析，直线的解析式为； (2)； (3)的取值范围是． 【分析】此题考查了一次函数的图象与性质，根据两条直线的交点求不等式的解集，点的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据点的平移得出，然后画出函数图象，再通过待定系数法即可求出解析式； （）通过直线与线段有交点，列出不等式即可； （）由经过定点，再结合图象即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点，， ∴， 如图， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）得，直线的解析式为， ∵轴， ∴的横坐标为， ∵直线与线段有交点， ∴， 解得：； （3）解：由， ∴经过定点， 如图， ∵直线围成的封闭图形（不包括边界）有个整点， ∴当时，，当时，， 联立得：， 解得：， ∴的取值范围是． 【典型例题四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，利用平移变换的规律解决问题即可．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点向左平移个单位，向上平移5个单位得到点的坐标为， 线段平移的方式是：向左平移个单位，向上平移5个单位． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，、的坐标分别为，．将线段平移至，若、的坐标分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移变化的规律解决问题即可． 【详解】解：∵A、B的坐标分别为（-4，2）、（0，-4）．将线段AB平移至A1B1，若A1、B1的坐标分别为（a，8）、（6，b）， ∴AB向右平移6个单位，向上平移6个单位得到A1，B1， ∴a=2，b=2， ∴a+b=4， 故选：A． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 【例3】（24-25七年级下·上海闵行·期末）在直角坐标平面内，点P（﹣5，0）向 平移m（m＞0）个单位后落在第三象限．（填“上”或“下”或“左”或“右”） 【答案】下． 【分析】根据点P的位置和平移变换的规律进行判断即可． 【详解】∵P（﹣5，0）在x轴的负半轴上， ∴点P向下平移落在第三象限， 故答案为：下． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例4】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为 ． 【答案】﹣3 【分析】由图象可得线段AB的平移方式为先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，由此可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由图象可得：线段AB的平移方式为先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴a=-1，b=-2， ∴a+b=-3； 故答案为-3． 【点睛】本题主要考查坐标的平移，熟练掌握坐标的平移是解题的关键． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），已知A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，﹣3+m）．则a+b﹣c﹣d的值为（　　） A．8+m B．﹣8+m C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】由A（-1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，-3+m），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论． 【详解】解：∵A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，﹣3+m）， ∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位， ∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d）， ∴a+3＝c，b﹣5＝d， ∴a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5， ∴a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 2．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）在 内的任意一点 经过平移后的对应点为 ，已知 在经过此次平移后对应点 的坐标为 ，则 的值为 ． 【答案】-1 【分析】由A（3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（5，-1），可得△ABC的平移规律为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由此得到结论． 【详解】解：由A（3，2）在经过此次平移后对应点A1的坐标为（5，1）知c=a+2、d=b3， 即ca=2、db=3， 则c+dab=23=1， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化——平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，图形Ⅱ可以由图形I经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ 【答案】见详解 【分析】本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是掌握平移的性质． 根据图形的平移变换作答即可． 【详解】解：图（1）将图形I向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到图形Ⅱ．把平移前各点的横坐标都减3，纵坐标都减6，就得到平移后各对应点的坐标； 图（2）将图形I向右平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度得到图形Ⅱ．把平移前各点的横坐标都加6，纵坐标都加8，就得到平移后各对应点的坐标． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形内一点，把三角形经过平移后得三角形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，点P的对应点为． (1)点D的坐标为（________________）； (2)画出三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由题意得，三角形向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到三角形，结合平移的性质可得答案． （2）根据平移的性质画图即可． 【详解】（1）解：由题意得，三角形向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到三角形， ∵， ∴点D的坐标为． 故答案为：；． （2）解：如图，三角形即为所求． 【典型例题五 已知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 【答案】A 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，逆向思考，把点先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后可得到A点坐标． 【详解】解：在坐标系中，点先向右平移4个单位得，再把向下平移2个单位后的坐标为，则A点的坐标为． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）点P先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P坐标为 【答案】(6，-4) 【分析】直接利用平移中，点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】设点P的坐标为(，)，由题意， 得：，， 求得，， 所以点P的坐标为(，)． 故答案为：(，)． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 【例4】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是 ． 【答案】（，） 【分析】依据对应点的坐标变化，即可得到三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，进而得出点P′的坐标． 【详解】解：由图可得，C（2，0），C'（0，3）， ∴三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′， 又∵点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应， ∴对应点P′的坐标为（﹣2，﹣＋3），即P'（，）， 故答案为：（，）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后的位置．解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设A（x，y），将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得（x-1，y+4），再根据B（-3，2）可得x-1=-3，y+4=2，然后再解方程即可． 【详解】解：设A（x，y），将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得（x-1，y+4）， ∵得到的B（-3，2）， ∴x-1=-3，y+4=2， 解得：x=-2，y=-2， ∴A（-2，-2）， 故选D． 【点睛】此题主要考查了平移变换与坐标变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 【答案】（4，8） 【分析】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：设A（x，y）， ∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5）， ∴x＋2＝−2，y−3＝5， 解得x＝−4，y＝8， ∴点A的坐标为（−4，8）， ∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）． 故答案为：（4，8）． 【点睛】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 3．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，给出了格点(顶点是网格线的交点)． （1）将先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到，画出平移后的； （2）以点为位似中心，在点的异侧作，使它与的位似比为2，画出，并求出的周长． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，． 【分析】（1）先利用平移的性质得到对应点，然后再顺次连接对应点即可； （2）先利用位似性质得到对应点，然后再顺次连接对应点即可得到，然后再求其周长即可． 【详解】解：（1）如解图所示； （2）如解图所示； ，， 的周长， 与的位似比为2， 的周长的周长． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及平移变换，根据位似变换以及平移变换的性质得到对应点　是解答本题的关键． 4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴平移后的如图所示： （2）由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为． 【典型例题六 坐标系中的平移】 【例1】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，由于线段平行于y轴，点A和点B的横坐标相同，均为2，根据线段长度，可确定点B的纵坐标为，从而得到点B的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两个点的横坐标相同，都是2， ∵，点A的坐标为， ∴点B的纵坐标为：， ∴点B的坐标为或． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的边长为4，顶点D的坐标是，则将点D向下平移4个单位长度得到点，根据轴，只需将点A向右平移4个单位长度得到点即，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为4，顶点D的坐标是， 故将点D向下平移4个单位长度得到点， 又轴， 故将点A向右平移4个单位长度得到点即， 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知点，，若，且轴，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，点的平移，根据轴，则点的纵坐标与点的横坐标相同，然后由即可求出点的坐标，解题的关键是正确理解与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，与轴平行的直线上所有点的横坐标相同． 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标与点的横坐标相同， ∵， ∴点的坐标是或， 故答案为：或． 【例4】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次 “跳马运动”．例如∶如图，点A做一次“跳马运动”，可以到达点B，但是到达不了点C．点P从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，所有正确结论的序号是 ． ① P 进行一次“跳马运动”可能到达的点有8 个； ② P 进行三次“跳马运动”后可以到达； ③ P 进行四次“跳马运动”后可以到达． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了坐标的平移，根据题中“跳马运动”的移动规则逐项进行分析判断即可，熟练掌握坐标移动规则是解题关键． 【详解】解：①由题可知，进行一次跳马运动， 首先沿任一坐标轴方向平移2个单位，可以到达，，，四个点， 再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位， 以上4个点都有向上或向下2种情况， 故可能到达的点有8 个，故①正确； ②，可以先向下平移2各单位， 再向右平移到，再向右平移2个单位， 再向上平移1个单位得到，第三次向左平移2个单位， 再向上平移1各单位得到，故②正确； ③按照规则如何移动四次都无法到达，故③错误， 综上所述正确的有：①②， 故答案为：①②． 1．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，将平行四边形沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形变化-平移，熟练掌握以上知识点是关键．利用平行四边形性质，根据中位线定理求出点E坐标，再求出平移距离，继而得到平移后点E的坐标． 【详解】解：如图， 顶点A，B的坐标分别为和， ，， ，， ， ， 为的中点，四边形是平行四边形， 是的中位线， ，， 由平移的性质可知：， 向右平移距离的距离为， 平移后点E的坐标为： 故选：D 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标． 【详解】解：如图，分三种情况： ①为对角线时，平行且等于，点的坐标为； ②为对角线时，平行且等于，点的坐标为； ③为对角线时，平行且等于，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 3．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)三个顶点的坐标分别是______________；____________；_____________． (2)将三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点，，，画出； (3)求出的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由图可得答案； （2）根据题意可得点，，的坐标，再描点连线即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，， 故答案为：，，； （2）解：如图，即为所求． （3）解：的面积为． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在一次飞行表演中，6架飞机A，B，C，D，E，F编队飞行，且保持队形不变，分别写出它们的坐标．当飞机A飞行到位置时，飞机B，C，D，E，F飞到了什么位置？用坐标表示这6架飞机的新位置． 【答案】，，，，，；，，，， 【分析】根据坐标系写点坐标即可，根据点的坐标确定平移方式，再确定新坐标即可． 本题考查了坐标系中写点的坐标，坐标系中的平移确定坐标，熟练掌握写点的坐标，求平移点的坐标是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ，，，，，； 由，得有向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故，，，，． 【典型例题七 点坐标规律探索】 【例1】（24-25七年级下·全国·期中）如图，一个机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，以此规律走下去，当机器人到达点时，它在坐标系中坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点的坐标规律探究，熟练掌握分析移动方向和距离规律，分别计算坐标轴方向净移动量是解题的关键．先分析机器人每次移动的方向和距离规律，分别计算出到达时在轴和轴方向上的移动量，进而确定坐标． 【详解】解：机器人移动方向依次为东、北、西、南循环，移动距离依次为，，，，，即第次移动距离为米． 第次向东（正方向）移动米； 第次向西（负方向）移动米； 第次向东（正方向）移动米； 第次向西（负方向）移动米； 第次向东（正方向）移动米； 第次向北（正方向）移动米； 第次向南（负方向）移动米； 第次向北（正方向）移动米； 第次向南（负方向）移动米； 第次向北（正方向）移动米； 因为机器人向轴正方向移动了，轴正方向移动了， 所以坐标为． 故选：． 【例2】（湖北省荆门市2024-2025学年七年级数学下学期期末试题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，，，…，据此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知 7 个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵， ， ∴可知 7 个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ， ∴的坐标为， 即的坐标为． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·全国·期中）若点在x轴上，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查点的坐标，掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 直接根据x轴上的点的纵坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：2． 【例4】（24-25七年级下·全国·期中）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走，到达点，再向正北走到达点，再向正西走到达点，再向正南走，到达点，再向正东方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意写出坐标即可得解，理解题意，找准运动方向，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：依题意得点坐标为， 点坐标为，即， 点坐标为，即， 点坐标为，即， 点坐标为，即， ∴点坐标为，即， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中有点，第1次点A跳动至点，第2次点跳动至点，第3次点跳动至点，第4次点跳动至点，……，依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题主要考查点坐标规律探索；根据题意得出规律：第次跳动至点，第次跳动至点，求出点与点的坐标，再计算距离即可． 【详解】解：第1次点A跳动至点， 第2次点跳动至点， 第3次点跳动至点， 第4次点跳动至点， 第5次点跳动至点， 第6次点跳动至点， ……， 第次跳动至点， 第次跳动至点， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴点与点之间的距离是： ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律． 根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，，…，纵坐标每个一循环， 余， 在次循环后纵坐标与对应， 由，，…可知，其横坐标即为翻转次数， 的横坐标为：， 则的坐标为：， 故答案为：，． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图为某公园的示意图．    (1)以虎山为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴在图中建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (2)若以猴园为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴建立直角坐标系，并写出各景点的坐标； (3)比较（1）（2）中各景点的坐标，你发现了什么规律？ 【答案】(1)直角坐标系见详解，虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园 (2)直角坐标系见详解，虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园 (3)（2）中各坐标的横坐标都比（1）中的各坐标的横坐标小3， （2）中各坐标的纵坐标都比（1）中的各坐标的纵坐标大1． 【分析】本题主要考查了建立直角坐标系，写出直角坐标系中点的坐标，以及点坐标规律探索． （1）以虎山为原点建立直角坐标系，根据图形可得出景点的坐标 （2）以猴园为原点建立直角坐标系，根据图形可得出景点的坐标 （3）根据（1）（2）中各景点的横、纵坐标的关系得出结果． 【详解】（1）解：按要求建立直角坐标系如下图所示：    由图可得虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园． （2）解：按要求建立直角坐标系如下图所示：    由图可得虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园． （3）解：（1）虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园 （2）虎山、熊猫馆、鸟岛、狮子馆、猴园． 规律：（2）中各坐标的横坐标都比（1）中的各坐标的横坐标小3， （2）中各坐标的纵坐标都比（1）中的各坐标的纵坐标大1． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从处出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，其行走路线如图所示． (1)在图中补出y轴，并写出点，，的坐标； (2)写出点的坐标（n为正整数）； (3)蚂蚁从点到点的移动方向是 （填“向上”“向右”或“向下”）． 【答案】(1)（-2，1），（0，1），（2，1） (2)（2n-4，1） (3)向右 【分析】（1）根据点即可得到y轴，观察图形可知，，，都在x轴上方，求出的长度，然后写出坐标即可； （2）根据（1）中规律写出点的坐标即可写出其他各点的坐标； （3）根据2021是4×506-3，可知从点到点的移动方向与从点到的方向一致． 【详解】（1）解：如图，建立直角坐标系， ∵按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度， ∴，⊥x轴，⊥x轴，⊥x轴， ∴（-2，1），（0，1），（2，1）； （2）当n=1时，为（-2，1）， 当n=2时，为（0，1）， 当n=3时，为（2，1）， 当n=4时，为（4，1）， ， ∴的横坐标为2（n-2）=2n-4，纵坐标为1，即（2n-4，1）； （3）由（2）可知，每四个点以循环， ∵4×506-3=2021， ∴从点到点的移动方向与从点到的方向一致，即向右， 故答案为：向右． 【点睛】此题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出的坐标是解题的关键． 【典型例题八 坐标系中的动点问题（不含函数）】 【例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解． 本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意， 得或， 解得或， 故点P的坐标为或， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，，，，P为线段上一动点，于点M，于点N，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据题意，得到四边形是矩形，于是，得到的最小值实际是的最小值，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值实际是的最小值， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【例3】（2025·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂直平分线的性质，根据新定义可得，即可得到点P在以B为圆心，长为半径的圆上，然后得到点P的纵坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵点P是线段关于点A的对垂点， ∴， ∴点P在以B为圆心，长为半径的圆上，即， ∴点P的纵坐标的取值范围是， 故答案为：． 【例4】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，已知点坐标为，B为轴正半轴上一动点，是的中点,则在点运动的过程中的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标系中的动点问题，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握三角函数知识和证明当，，三点共线时，有最小值，是解决本题的关键．过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，根据点坐标，写出和长，根据三角函数知识求出即可，证，，得到，然后在中，根据三角函数知识求出即可． 【详解】解：过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点， 点坐标为，轴， ，， 在中， ， ； ， ， ， ， ， ，关于轴对称， ，， ， 是的中点 ， 当，，三点共线时，有最小值，即长， 在中， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键．根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动2025秒所走的路程为4050个单位长度，,则点P相当于运动了253圈后又运动2个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动2025秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动253圈后又运动2个单位长度， 即第2025秒点所在的位置是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况． 根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标． 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 3．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足． (1)求A，B两点的坐标并在图中画出线段； (2)将线段先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段，其中A与C是对应点，请在图中画出线段，并写出C，D两点的坐标； (3)若点P是y轴正半轴上的一动点，且，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析， (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，非负性的性质． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，则可得到A、B坐标，再在坐标系中画出线段即可； （2）根据平移方式得到C、D坐标，再画出即可； （3）过点C作轴于点E，轴于点F，设点P的坐标为，根据等面积法求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图1所示，线段即为所求； （2）解： ∵将线段先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段，， ∴； 如图1所示，线段即为所求； （3）解：过点C作轴于点E，轴于点F，则点E的坐标是，点F的坐标是， 则．设点P的坐标为． ． 解得：， ∴点P的坐标是． 4．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，点B的坐标为，点A在y轴上，将三角形沿x轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且点C的坐标是，且m，n满足．点P从点A出发，速度为每秒2个单位，运动时间为t秒． (1)如图1，点C的坐标为 ，点E的坐标为 ． (2)如图2，在四边形中，点P沿移动，连接，当三角形的面积等于四边形面积的时，求点P的坐标； (3)若点P沿射线方向运动，点F从点O出发沿y轴正方向运动，点F不与点A重合，速度为每秒个单位．当时，点F立即以原速返回至点O，此时点P、点F均停止运动．连接，分别在和内部作射线，使得，平分，直线交于点．直接写出、、的关系，并标注时间的范围． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为或 (3)当时，；当时， ；当时， 【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，求出m、m的值； 根据题意得出，进而分当P在上时，当P在上时，根据三角形的面积建立方程，解方程，即可求解； 设、，当时，点F在上，P在上，，，，分别画出图形，根据平行线的性质，找出这三个角的关系，即可求解． 【详解】（1）解，，， ，， ，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 点A的坐标为， 由平移的性质得， ， 点E的坐标为， 故答案为：，； （2）解：， 四边形ABDC面积， 四边形ABDC面积的， 是由平移得到的， ， 轴， 所在直线的纵坐标为4， 当点P在AC上时，， ， ； 当点P在上时，， 此时的面积梯形的面积的面积的面积， ， 解得 综上所述：点P的坐标为或； （3）解：设、， 速度为每秒个单位，， ①当时，点F在上，P在上， 如图所示，过点F，M分别作x轴的平行线， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ，， ，， ， ， 即； ②当时，如图， ， ，， ， ， 平分， ， ， ，， ，， ， ， 即； ③当时，如图所示 同理可得， ， 平分， ， ， ，， ，， ， ， 即； 综上，当时，； 当时，； 当时， 【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，平行线的性质与判定，分类讨论是解题的关键 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移．根据点的平移规律，向右平移时横坐标增加，向下平移时纵坐标减少．将点向右平移2个单位，横坐标变为；向下平移3个单位，纵坐标变为，得到新坐标即可． 【详解】解：将点向右平移2个单位，横坐标变为；向下平移3个单位，纵坐标变为， 即新坐标， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）点向上平移4个单位，再向左平移3个单位得到点B的坐标为    （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，根据平移规律即可求解，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点向上平移4个单位，再向左平移3个单位得到点B， ∴点B的坐标为，即， 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）平面直角坐标系中，点，，经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，图形与坐标，垂线段最短，解题关键是找出线段的长度最短的点C． 先根据垂线段最短找到线段的长度最短的点C，再求出它的坐标． 【详解】解：如图， ∵经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时， ∴当时，线段的长度最短， ∵点，， ∴此时点横坐标为，纵坐标为． ∴． 故选：D． 4．（2018七年级下·全国·专题练习）点P是平面直角坐标系中的一点，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点P′的坐标是（﹣2，1），则点P的坐标是（      ） A．（1，5） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣1，5） 【答案】A 【详解】【分析】根据点的平移的规律进行求解即可得. 【详解】设点P的坐标是（x，y）， ∵将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可得P的对应点坐标为（x-3，y-4）， ∵得到点P′的坐标是（-2，1）， ∴x-3=-2，y-4=1， ∴x=1，y=5， ∴P的坐标是（1，5）， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标平面内点的平移，熟练掌握点的坐标的平移规律是解题的关键，规律：左减右加，上加下减. 5．（2024·河南开封·模拟预测）如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，根据三角形中位线的判定确定点是线段边的中点，继而得到，从而确定向右平移个单位，据此得解． 【详解】解：，，都是的顶点， ∴，，， 即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点， ∴， ∵点是线段边的中点， ∴点的坐标为，即， 过点作轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段边的中点， ∴， ∵将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上， 又∵，， ∴沿轴向右平移个单位， ∴． 故选：C． 6．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）将点A（﹣1，4）向上平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为 ． 【答案】（﹣1，7） 【分析】根据“上加下减”的规律求解即可. 【详解】将点A（﹣1，4）向上平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为（﹣1，7）， 故答案为（﹣1，7）， 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 7．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于x轴的对称点的坐标是． 【详解】∵点A，向右平移3个单位长度得到B点， ∴B， ∵点C与B关于x轴的对称，故两点横坐标相同，纵坐标相反． C， 故答案为 【点睛】本题考查了坐标平移与对称，熟练掌握平移与对称规律是解题的关键． 8．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，无人机编队飞行（即平行飞行，速度相同）的两架无人机A，B在坐标系中的坐标分别为，当无人机A飞到指定位置处时，无人机B飞到位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据无人机编队飞行，可知点A到点的平移方式相同，据此判断出平移方式，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴人机B飞到位置的坐标为，即， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·西藏·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，顶点坐标为将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移（由平移方式确定点的坐标），熟练掌握坐标平移的变化规律是解题的关键：左减右加，上加下减． 根据坐标平移的变化规律“左减右加，上加下减”即可直接得出答案． 【详解】解：， 将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点两点均在y轴上，且，则的值为 （用含的代数式表示），的最大值为 ． 【答案】 34 【分析】本题考查一点到圆上的距离的最值，两点的距离公式，坐标与图形的性质，关键是掌握两点的距离公式． 由两点的距离公式，，进而求出，进而得到，当在延长线上时，最大，此时最大，根据两点间距离公式求出即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． ， ， ∴当最大时，最大， 当点为的延长线与的交点时，最大． ∵点C的坐标是， , ∴此时， ， 的最大值是34． 故答案为：34． 11．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 【详解】（1）已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； （2）解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； （3）由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，的顶点都在格点上，已知点C的坐标为． （1）写出点A，B的坐标； （2）平移，使点A与点O重合．作出平移后的，并写出点，的坐标． 【答案】（1）A（3，4），B（0，1）；（2）图见解析，（-3，-3），（1，-5）， 【分析】（1）根据点A，B的位置即可两个点的坐标； （2）先根据点A和点O的坐标得出平移方式，从而确定，的坐标，再首尾顺次连接即可得到 【详解】（1）由图可得：点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（0，1）； （2）∵A（3，4），O（0，0），点A与点O重合 ∴向左平移3个单位，向下平移4个单位； ∵B（0，1），C（4，-1）， ∴（-3，-3），（1，-5）， 如图所示 【点睛】本题主要考查了图形的平移特征，平移前后坐标的变化规律是解题的关键． 13．（24-25七年级下·重庆云阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点都在边长为1的小正方形网格中的格点上，平行四边形四个顶点的坐标分别为，，，． (1)请画出将平行四边形向下平移6个单位长度后得到的平行四边形；直接写出的坐标是________； (2)请画出将（1）中的平行四边形向右平移8个单位长度后得到的平行四边形；直接写出的坐标是________． 【答案】(1)见解析，的坐标是 (2)见解析，的坐标是 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，熟知平移的相关知识是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律确定对应点坐标，进而描点，连线画出对应的图形即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律确定对应点坐标，进而描点，连线画出对应的图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求，则的坐标是； （2）解；如图所示，四边形即为所求，则的坐标是 ． 14．（24-25七年级下·重庆南川·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过点，与轴交于点，，点在直线上． (1)如图1，若平分，平分，试说明； (2)如图2，连接，，求和的面积； (3)若动点在坐标轴上，且满足时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)，，， 【分析】此题考查了坐标和图形，数形结合是关键． （1）证明，即可证明结论成立； （2）求出，根据即可求出答案； （3）依次求出，，，，，，即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）设动点在轴上时： ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， 设动点在轴上时： ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 则 15．（24-25七年级下·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【答案】（），，，，； （），，验证见解析； （）；． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可； （3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可； 设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：点，，，，的坐标分别为：，，，，； （2）解：由（1）中的规律可知： 点的坐标是，点的坐标是， ，； 点，分别为，的中点，点，，，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 通过点，的坐标的验证规律是正确的， 故答案为：，； 解：点，，点是线段的中点， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标为是， 故答案为：； 解：设点的坐标为， 点N是线段的中点，且点，， ，， 解得：，， 点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $$