专题03相似三角形中常见的几何模型（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题03相似三角形中常见的几何模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、A字型相似 1 题型二、8字型相似 2 题型三、母子型相似 3 题型四、一线三等角（K）型相似 5 题型五、手拉手型相似 6 题型六、旋转型相似 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、A字型相似 1．如图，已知若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（　　）    A．9 B．12 C．15 D．18 3．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 4． 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度为 ． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 题型二、8字型相似 6．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 7．已知与是位似图形，位似中心为点O，若，则与的面积之比为 ． 8．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 9．如图与交于，且． （1）求证：∽． （2）若，，，求的长． 10．如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 题型三、母子型相似 11．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为 ，的长为 ． 13．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 14．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 15．如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 题型四、一线三等角（K）型相似 16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ． 17．如图，在中，于，求证：． 18．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 19．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 20．如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．    21．如图，在中，，过点任作一直线，过点作于点，过点作于点． （1）指出图中的一对相似三角形并证明； （2）当时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可) 题型五、手拉手型相似 22．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为 . 23．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论： ①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG； ②△ACF∽△ADG； ③； ④DG⊥AC． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 24．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 25．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 26．已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 题型六、旋转型相似 27．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 28．在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．    29．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 30．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则_____ _； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 1．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 2．已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E． （1）求证：△BAE∽△ACE； （2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值． 3．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 4．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 5．如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 6．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：． （2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点． ①如图，若，直接写出的长； ②如图，求证：． 7．在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．    （1）在图1中，求证：； （2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F， 求证：①； ②． 8．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F （1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC； （2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长． （3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长． 9．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目 如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2） 请回答：∠ADB＝       °，AB＝        （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长 10．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 11．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：； ②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 12．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 13．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03相似三角形中常见的几何模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、A字型相似 1 题型二、8字型相似 4 题型三、母子型相似 9 题型四、一线三等角（K）型相似 13 题型五、手拉手型相似 18 题型六、旋转型相似 27 B综合攻坚・能力跃升 题型一、A字型相似 1．如图，已知若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3， ∴， ∵△ABC的面积为9， ∴， ∴S△ADE＝1， 故选：A． 2．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（　　）    A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【解析】解：∵NQ∥MP∥OB， ∴△ANQ∽△AMP∽△AOB， ∵M、N是OA的三等分点， ∴，， ∴， ∵四边形MNQP的面积为3， ∴， ∴S△ANQ=1， ∵， ∴S△AOB=9， ∴k=2S△AOB=18， 故选：D． 3．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 【答案】5 【解析】解：∵∠ADE=∠C， 而∠DAE=∠CAB， ∴△DAE∽△CAB， ∴S△DAE：S△CAB=， ∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16， ∴△ABC的面积=9+16=25， ∴， ∴AC=5． 故答案为5． 4．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度为 ． 【答案】米． 【解析】如图，     ， ∽， ， ， 解得：（米）． 故答案为：米． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【解析】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝30°， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， ∠DAC＝30°，AC＝6， ∴CD＝， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6， ∴BC＝， ∴BD＝BC－CD＝， ∵DE∥CA， ∴ ， ∴DE＝4； （2）解：如图． ∵点M是线段AD的中点， ∴DM＝AM， ∵DE∥CA， ∴＝． ∴DF＝AG． ∵DE∥CA， ∴＝，＝． ∴＝． ∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG， ∴． 题型二、8字型相似 6．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 7．已知与是位似图形，位似中心为点O，若，则与的面积之比为 ． 【答案】1：9 【解析】解：∵△AOB与△COD是位似图形．位似中心为点O，OA：OC=1：3， ∴△AOB与△COD的面积之比为：1：9． 故答案为：1：9． 8．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 【答案】 【解析】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H． 因为． 所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以． 所以， 所以． 解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为M为AD的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以，所以． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，且， 所以． 解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H． 在中， 因为M为AD的中点，， 所以N为AH的中点，即． 在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即， 所以． 所以． 9．如图与交于，且． （1）求证：∽． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】证明：（1） ，， ∽； （2） ∽， ， ，，， ， ， ． 10．如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【解析】解：（1）是的中点，是的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）当，时， 由（1）可得 ，，， ， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ． 题型三、母子型相似 11．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； B．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； C．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； D．若，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意， 故选：D． 12．如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 4 【解析】∵在△AQC和△BAP中， ∴ ∵ ∴ 过作的垂线与OP交于点G，在△中， 设OG=x，则AO=2x， 在Rt△AOG中，由勾股定理得AG2=AO2-OG2，即AG2=（2x）2-x2=3x2， 在Rt△APG中，由勾股定理得AG2=AP2-PG2，即AG2=42-（x-2）2， ∴3x2=42-（x-2）2解得x=，又x>0，∴x=， ， 故答案为：4，． 13．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【解析】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 14．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 15．如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 【答案】(1)AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） (2)或 【解析】（1）解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） （2）解：当时 ①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC． ∴ 又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm， ∴ 解得：； ②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB． ∴， ∴ 解得：t=6.4（不合题意，舍去） 当6≤t≤16时，点P与点C重合， ∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB． ∴ ∴ 解得： 综上所述：或． 题型四、一线三等角（K）型相似 16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ． 【答案】1或2 【解析】设BP=x，则PC=3-x， ∵AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠B=180°-∠C=90°， ∴∠B=∠C， ∵AP⊥DP， ∴∠APB+∠DPC=90°， ∵∠CDP+∠DPC=90°， ∴∠CDP=∠APB， ∴△CDP∽△BPA， ∴， ∵AB＝1，CD＝2，BC＝3， ∴， 解得：x1=1，x2=2， ∴BP的长为1或2， 故答案为：1或2 17．如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【解析】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 19．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【解析】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 20．如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．    【答案】． 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵， ， ∴ 在和中， ∴ ∴，即 解得 即的长度为． 21．如图，在中，，过点任作一直线，过点作于点，过点作于点． （1）指出图中的一对相似三角形并证明； （2）当时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可) 【答案】（1），证明见解析；（2）（答案不唯一） 【解析】解： 证明：于点于点 ∵BE⊥DE∴∠BEC=90°=∠ACB，再添加 根据两角对应相等的两个三角形相似，得到； ∵∠BEC=90°=∠ACB，再添加 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到 题型五、手拉手型相似 22．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为 . 【答案】 【解析】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M， ∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN， ∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°， ∴△ANG∽ADM， ∴， ∵， ∴DF=EG=2, ∴DN=NG=1， ∵AD=AB=3， ∴， 解得：DM=， ∴MC=，AM=， ∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠ADG=∠EDC， 在△ADG和△CDE中， ， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴∠DAG=∠DCE， ∵∠AMD=∠CMH， ∴∠ADM=∠CHM=90°， ∴△ADM∽△CHM， ∴， 即， 解得：CH=. 23．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论： ①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG； ②△ACF∽△ADG； ③； ④DG⊥AC． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】解：设AB与EF相交于点O，如图所示， ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴△ACF∽△ADG． 故结论②正确； 由△ACF∽△ADG可知， ∴DG平分． ∵是等腰直角三角形， ∴DG⊥AC． 故结论④正确； ∵，， ∴△ACF∽△AFH， ∴， ∴． ∵在等腰直角中，， ∴， 故结论③错误， ∴正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 24．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【解析】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 25．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【解析】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 26．已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 【答案】(1)①AE＝FC；AE⊥FC；②AE＝2CF，AE⊥CF，见解析 (2)①6；② 【解析】（1）解：（1）① 　AE＝FC　， 　AE⊥FC　； 理由：由题意知BA＝BC，BE=BE，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：AE＝FC，AE⊥FC． ②AE＝2CF，AE⊥CF， 理由如下： ∵，， ∴△ABE∽△CBF， ∴，∠A＝∠BCF， ∴AE＝2CF， ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACB＝90°， ∴AE⊥CF； （2）①如图3，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T， 由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC， ∵DH⊥CT，∴HT＝HC， ∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m， ∴DT∥AB，∴， ∴AT＝4m， ∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2， ∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°， ∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS）， ∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC， ∴， 解得m＝2或﹣（舍去）， ∴CF＝ET＝4m﹣2＝6； ②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J， 同法可证：， ∵， ∴， ∴点M是在DC的垂直平分线MK上，DC的长度不会变化， 当时，MN的值最小， 由题意：AB=10，BC=5，，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， MN的最小值为． 题型六、旋转型相似 27．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①8②4﹣4 【解析】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， 同理，∠DAE＝45°， ∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°， ∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°， ∴∠BAN＝∠AMC， ∴△BAN∽△CMA； （2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4， ∴AB＝AC＝， ∵△BAN∽△CMA， ∴ ， ∴， ∴BN•CM＝8， 故BN•CM的值为8； ②∵BM＝CN， ∴BN＝CM， ∵BN•CM＝8， ∴BN＝CM＝， ∴MN＝BN+CM﹣BC＝， 故MN的长为． 28．在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．    【答案】和的面积分别为2和． 【解析】解：如图所示，过点D作DMBC于点M，    ∵AC=2，， ∴， 又∵，， ∴在BAC和DEC中，，，由旋转性质知，，， ∴BDC∽AEC，故， 在DMC中，，， ∴， ∴， ∵BDC∽AEC， ∴，∴， ∴BDC和AEC的面积分别为2和． 29．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为． 【解析】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ， ， ∵，， ， ， ， ∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC， 由题意可知，， ∴，即， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，2×， ． 30．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【解析】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 1．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 解：设BC=x， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． 解得x=， ∴AB= 2．已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E． （1）求证：△BAE∽△ACE； （2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE•EF＝9． 【解析】解：（1）∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°＝∠BAC， ∴∠EAB＝∠DAC， ∴∠EAB＝∠C， ∵∠E＝∠E， ∴△BAE∽△ACE； （2）∵△BAE∽△ACE， ∴， ∴AE2＝BE•CE＝9， ∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E， ∴△EAF∽△EDA， ∴， ∴DE•EF＝AE2＝9． 3．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【解析】证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 4．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【解析】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴ 5．如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴，又AF=AB=1， ∴即， 解得：，（舍去） 即AE=； （3）在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴即， ∴GH=AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴． 6．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：． （2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点． ①如图，若，直接写出的长； ②如图，求证：． 【答案】(1)见解析;(2)①；②见解析. 【解析】（1）证明：如图1 在中，由于， ∴∽， ∴． 同理在△ACQ和△AEP中，， ∴． （2）①如图2, 作AQ⊥BC于点Q． ∵BC边上的高 ∵DE=DG=GF=EF=BG=CF ∴DE：BC=1：3 又∵DE∥BC， ∴AD：AB=1：3， ∵DE边上的高为, 故答案为 ②证明：如图3 ∵， ∴． 又∵为正方形， ∴， ∴， ∴． 同理，在中有， ∴， ∴． 又因为∽， ∴， ∴． ∴． 7．在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．    （1）在图1中，求证：； （2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F， 求证：①； ②． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【解析】解：（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵CM⊥AB，BN⊥AC， ∴∠BMC=∠CNB=90°， 在△BMC和△CNB中， ， ∴△BMC≌△CNB（AAS）； （2）∵△BMC≌△CNB， ∴BM=NC， ∵PE∥AB， ∴△CEP∽△CMB， ∴， ∵PF∥AC， ∴△BFP∽△BNC， ∴， ∴， ∴PE+PF=BM； ②同（2）的方法得到，PE+PF=BM， ∵△BMC≌△CNB， ∴MC=BN， ∵∠ANB=90°， ∴∠MAC+∠ABN=90°， ∵∠OMB=90°， ∴∠MOB+∠ABN=90°， ∴∠MAC=∠MOB，又∠AMC=∠OMB=90°， ∴△AMC∽△OMB， ∴， ∴AM•MB=OM•MC， ∴AM×（PE+PF）=OM•BN， ∴OM•BN-AM•PF=AM•PE． 8．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F （1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC； （2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长． （3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长． 【答案】（1）证明见讲解；（2）；（3） 【解析】（1）证明：，， ， 在和中，， ， ； （2）解：在上取一点，使得，如图2所示： 由（1）知，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：在上取一点，使得，如图3所示： 由（1）知， ，，，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， ， ， ． 9．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目 如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2） 请回答：∠ADB＝       °，AB＝        （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长 【答案】（1）75，3；（2）CD＝ 【解析】解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D， ∵BD∥AC， ∴∠ADB＝∠OAC＝75°． ∵∠BOD＝∠COA， ∴△BOD∽△COA， ∴＝2，． 又∵AO＝， ∴OD＝2AO＝2， ∴AD＝AO+OD＝3． ∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB， ∴AB＝AD＝3； 故答案为：75，3． （2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E． ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC＝∠BEA＝90°． ∵∠AOD＝∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴＝2． ∵BO：OD＝1：3， ∵AO＝， ∴EO＝2， ∴AE＝3． ∵∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°，AB＝AC， ∴AB＝2BE． 在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2， 解得：BE＝3， ∴AB＝AC＝6，AD＝ 在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2， 解得：CD＝（负根已经舍弃）． 10．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；45°；（2）①见解析；② 【解析】（1）；； 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 11．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：； ②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】（1）①见解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析 【解析】（1）①证明：∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴； ②解：分三种情况： （i）当，时，得到，点分别与重合， ∴． （ii）当时， 在△ABD和△DCE中， ， ∴， ∴， ∵BC=， ∴， ∴； （iii）当时，有， ∴，AD=CD，AE=CE=DE， ∴． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1． （2）解：存在． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 当，． （3）解：不存在．理由如下： 如图， ∵和不重合，∴， 又，， ∴≠． 12．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【解析】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 13．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【解析】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$