精品解析：福建师大附中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年福建师大附中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义即可得出答案． 【详解】解：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应是解答本题的关键． 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. x ≠ 3 B. x＞3 C. x＜3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式有意义的条件求解即可. 【详解】根据二次根式有意义的条件，得： ， 解得，， 故选：D. 【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键. 3. 已知函数y＝ 当x＝2时，函数值y为() A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出x=2时，所符合的关系式，然后将x=2代入对应的函数关系式即可． 【详解】∵x=2＞0， ∴y=2x+1=2×2+1=5． 故答案为5． 考点：函数值． 4. 一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据随的增大而减小求出m的取值范围即可求解． 【分析】解：∵随的增大而减小， ∴， ∴， 故选C． 5. 平面直角坐标系中，点，，，的位置如图所示，，时，一次函数图象一定不经过（    ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数性质解答即可． 本题考查了图象上的点的坐标特征，掌握图象过哪些象限是解题的关键． 【详解】解：且， 图象过一、三、四象限， 点在第二象限， 一次函数图象一定不经过点． 故选：D． 6. 正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 每条对角线平分一组对角 C. 对角线相等 D. 对边相等 【答案】B 【解析】 【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直． 【详解】解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意， B、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B符合题意， C、正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意， D、正方形和矩形的对边都相等，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较． 7. 如图，在平行四边形中，于点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得，又因为，可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，还考查了垂直的定义与三角形内角和定理．题目比较简单，解题时要细心． 8. 如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等，根据以上三个性质，即可判断选项内容是否正确． 【详解】解：A选项：∵矩形的四个角都是直角，∴∠ABC=90°，故A选项正确； B选项：∵矩形的两条对角线互相平分且相等，∴AC=BD，故B选项正确； C选项：∵矩形的两条对角线互相平分且相等，∴OA=OB=，故C选项正确； D选项：矩形的两条对角线互相平分且相等，OA=OB=OD，但是无法推出AB=AD，故D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等，熟练掌握以上三个性质就能解决类似的问题． 9. 如图，在菱形中，，连接、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解． 【详解】解：设AC与BD的交点为O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 10. ，，三种上宽带网方式的月收费金额元，元，元与月上网时间小时的对应关系如图所示以下有四个推断： 月上网时间不足小时，方式最省钱； 月上网时间超过小时，方式最省钱； 月上网时间超过小时，方式最省钱； 对于方式和，若月上网时间超出小时，则超出的时间每分钟收费元.所有合理推断的序号是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象. 根据，，三种上宽带网方式的月收费金额元，元，元与月上网时间小时的图象逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知： 月上网时间不足小时，选择方式最省钱，故原说法正确； 月上网时间超过小时且不足小时，方式最省钱，故原说法错误； 月上网时间超过小时，方式最省钱，故原说法正确； 对于上网方式，若月上网时间超出小时，则超出的时间每分钟收费为：元， 对于上网方式，若月上网时间超出小时，则超出的时间每分钟收费为：元，故原说法错误； 所以所有合理推断的序号是． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 将函数的图象向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据上加下减的规律求解即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 12. 如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式交点的坐标，与解析式构成不等式解集的关系，确定交点的横坐标，结合不等式，利用数形结合思想解答即可． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴根据图象可知，关于x的不等式的解集是, 故答案为：． 13. 如图，在中，，，点，，分别是，，的中点，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．首先证明四边形是平行四边形，根据三角形中位线定理求出、即可解决问题． 【详解】解：点，，分别是，，的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形的周长． 故答案为：． 14. 如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在上的，折痕为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质得，,，由勾股定理得，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果． 本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：矩形折叠后边落在上， ，,, 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：， ． 故答案为：． 15. 如图，以菱形的顶点为原点，对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，若，点的坐标为，直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，，再根据菱形的每一条边都相等求出，然后利用勾股定理列式求出的长，求出点的坐标，再根据待定系数法解答． 【详解】解：如图，连接，交于， 点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，待定系数法求函数解析式，坐标与图形的性质，勾股定理的应用，利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 16. 如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，过点作，分别交，于，两点，若，分别是，的中点，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证明四边形是矩形，根据正方形的性质可得，可知是等腰直角三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得是直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵是正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵N是的中点，是矩形的对角线， ∴三点在同一条直线上． ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形． 又∵是的中线， ∴也是边上的高， ∴是直角三角形， ∵N为的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形顶角的角平分线、底边的高和底边的中线，“三线合一”；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 17. 某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 280 200 （1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围； （2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？ 【答案】（1） y＝80x＋1200（0≤x≤6并且x为正整数）；（2） 最多可结余130元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可列出y与x的等式关系． （2）由题意可列出一元一次不等式方程组．由此推出y随x的增大而增大． 【详解】（1）（并且x为正整数）． （2）可以有结余，由题意知 解不等式组得 ∴预支的租车费用可以有结余， ∵x取整数， ∴x取4或5， ∴y随x的增大而增大 ∴当时，的值最小． 其最小值元， ∴最多可结余1650﹣1520＝130元． 答：最多可结余130元． 四、解答题：本题共8小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是正确解答的前提． （1）先化简二次根式，再根据二次根式加减运算法则计算即可； （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知：如图，▱中，，两点在对角线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当四边形为矩形时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的性质，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． （1）连接交于，欲证明四边形是平行四边形，只要证明，即可， （2）根据矩形的性质，得，由此即可解决问题． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∵， ． 20. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，1），B（0，3）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求△BOC的面积． 【答案】（1）y＝2x+3 （2）S△BOC＝ 【解析】 【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）利用直线解析式求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOC的面积． 【小问1详解】 解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，1），B（0，3）． ∴，解得：， ∴这个一次函数的解析式为：y＝2x+3． 【小问2详解】 解：令y＝0，则2x+3＝0，解得x＝﹣， ∴C（﹣，0）， ∵B（0，3）． ∴S△BOC＝＝． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． 21. 如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，对角线，交于点． （1）若，，求的长； （2）若，，，，求的度数． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是在矩形中结合已知得到等边三角形，进行线段间的转化． （1）根据矩形的性质求出长，在中利用勾股定理可求长； （2）根据已知推理是等边三角形，由，得到与、之间的数量关系，利用勾股定理的逆定理说明是直角，从而求出度数． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，． 在中，由勾股定理得：， ∴的长为4； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，． ． 是等边三角形． ． ， ． ， ． 设，则， 则，， ． ． ． 23. 某校计划租用汽车送名学生和名教师集体外出活动现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人每辆 租金单位：元每辆 （1）租用汽车总数最少______辆，最多______辆，若每辆汽车上至少要有名教师，那么租用汽车的总数是______辆； （2）在（1）的条件下，租车总金额在元的限额内，请求出最节省费用的租车方案． 【答案】（1），， （2）需要租甲种车辆，租乙种车辆 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到不等关系和掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据“座位总数不少于”列式计算； （2）先根据“总费用两车费用的和”列出函数关系式，再根据一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：设租甲种客车辆，总费用为元， 则， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 当时，最小， 此时需要租甲种车辆，租乙种车辆． 24. 如图，在菱形中，、交于点． （1）若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； （2）如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； （3）在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【解析】 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； 【小问2详解】 解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； 【小问3详解】 解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 25. 如图，平面直角坐标系中，正方形的四个顶点都在坐标轴上，直线的解析式为，是边上的一点，连接交于点，的面积等于面积的． （1）求直线的解析式； （2）过点作于点，交于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为 （2） （3）存在点，使为等腰直角三角形，点坐标或 【解析】 【分析】（1）解方程得到，，求得，根据正方形的性质得到，求得，过作于，根据等腰直角三线段性质得到，根据题意列方程得到，设直线的解析式为，于是得到直线的解析式为； （2）过作于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到； （3）①当，，过作轴于，当，，过作平行于轴的中线，过作于，过作于，延长交轴于，则轴，当时，，如图，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论； 【小问1详解】 解：在中，令，则，令，则， ，， ， 四边形是正方形， ， ， 过作于， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积等于面积的． ， ，， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在，当，， 过作轴于， ， ， ， ， ， ，， ； 当，， 过作平行于轴的垂线，过作于，过作于，延长交轴于， 则轴， 则四边形是矩形， ，， 同理，， ， ， ，， ； 当时，，如图， 这种情况不符合题意， 综上所述，存在点，使为等腰直角三角形，点坐标或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建师大附中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. x ≠ 3 B. x＞3 C. x＜3 D. 3. 已知函数y＝ 当x＝2时，函数值y为() A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系中，点，，，的位置如图所示，，时，一次函数图象一定不经过（    ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 每条对角线平分一组对角 C. 对角线相等 D. 对边相等 7. 如图，在平行四边形中，于点，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，连接、，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. ，，三种上宽带网方式的月收费金额元，元，元与月上网时间小时的对应关系如图所示以下有四个推断： 月上网时间不足小时，方式最省钱； 月上网时间超过小时，方式最省钱； 月上网时间超过小时，方式最省钱； 对于方式和，若月上网时间超出小时，则超出的时间每分钟收费元.所有合理推断的序号是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 将函数的图象向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为___________． 12. 如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是______． 13. 如图，在中，，，点，，分别是，，的中点，则四边形的周长为______． 14. 如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在上的，折痕为，则的长为______． 15. 如图，以菱形的顶点为原点，对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，若，点的坐标为，直线的解析式为______． 16. 如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，过点作，分别交，于，两点，若，分别是，的中点，则的长为________ 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 17. 某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 280 200 （1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围； （2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？ 四、解答题：本题共8小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 已知：如图，▱中，，两点在对角线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当四边形为矩形时，直接写出的值． 20. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，1），B（0，3）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求△BOC的面积． 21. 如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求的长． 22. 如图，在矩形中，对角线，交于点． （1）若，，求的长； （2）若，，，，求的度数． 23. 某校计划租用汽车送名学生和名教师集体外出活动现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人每辆 租金单位：元每辆 （1）租用汽车总数最少______辆，最多______辆，若每辆汽车上至少要有名教师，那么租用汽车的总数是______辆； （2）在（1）的条件下，租车总金额在元的限额内，请求出最节省费用的租车方案． 24. 如图，在菱形中，、交于点． （1）若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； （2）如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； （3）在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 25. 如图，平面直角坐标系中，正方形的四个顶点都在坐标轴上，直线的解析式为，是边上的一点，连接交于点，的面积等于面积的． （1）求直线的解析式； （2）过点作于点，交于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $