专题04 几何图形的性质与变换（18题型）（贵州专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题04 几何图形的性质与变换 题型概览 题型01 中心对称与轴对称图形的判定 题型02 几何体的三视图 题型03 几何体的截面问题 题型04 几何定理与结论问题 题型05 平面直角坐标系求点的坐标 题型06 由尺规作图求边长、角度 题型07 平行线、相交线求角度 题型08 三角形全等的判定 题型09 由三角形与三角形全等求边长、角度 题型10 由平行四边形性质、中位线定理求边长与角度 题型11 平行四边形的判定与边长、面积 题型12 由圆的性质求边长与角度 题型13 求弧长与扇形面积 题型14 相似三角形求边长 题型15 锐角三角函数的实际应用 题型16 圆的综合应用—解答题 题型17 三角形与四边形的几何综合—填空压轴题 题型18 三角形与四边形的几何综合—解答压轴题 01中心对称与轴对称图形的判定 1．（2025·贵州黔西·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州铜仁·二模）五一假期，小红和爸爸妈妈开车去黄果树瀑布景区旅游，途中看到以下交通标志，其中，属于中心对称图形的交通标志是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·二模）下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州·二模）中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州·二模）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 02几何体的三视图 6．（2025·贵州·二模）下列几何体中，主视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·贵州毕节·二模）2025年贵州省篮球公开总决赛于3月23日至3月24日举行．下图是运动会的领奖台，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·贵州·二模）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·贵州·二模）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 03 几何体的截面问题 10．（2025·贵州贵阳·二模）用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（   ） A． B． C． D． 04 几何定理与结论问题 11．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在立定跳远后，王老师用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合来测量运动员的成绩，他这样做的理由是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 12．（2025·贵州·二模）三角形的重心是指（  ） A．三个内角平分线的交点 B．三边上的高的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 13．（2025·贵州·二模）如图，在四边形中，对角线和交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·贵州·二模）如图，是经过平移得到的图形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 05 平面直角坐标系求点的坐标 15．（2025·贵州·二模）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．（2025·贵州·二模）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·贵州·二模）观察如图所示的象棋棋盘．若“兵”所在的位置用表示，“帅”所在的位置用表示，则“炮”所在的位置可以表示为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·贵州遵义·二模）如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为，则牡丹园的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·贵州·二模）如图，在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，则对应的点可能是（    ） A．M B．N C．P D．Q 20．（2025·贵州毕节·二模）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．（2025·贵州铜仁·二模）贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若遵义位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则毕节位置的坐标是 ； 22．（2025·贵州贵阳·二模）如图，若点A的坐标为，点B的坐标为，那么点C的位置可表示为 ． 06 由尺规作图求边长、角度 23．（2025·贵州六盘水·二模）如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（   ） A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径 C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径 24．（2025·贵州·二模）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 25．（2025·贵州·二模）如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，则的长是（    ）      A． B． C． D． 28．（2025·贵州·二模）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（    ） A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD 07 平行线、相交线求角度 29．（2025·贵州黔南·二模）如图是小星探索两直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（   ） A． B． C．2 D．4 31．（2025·贵州贵阳·二模）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向平行，第一次拐的角，第二次拐的角的度数为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·贵州黔东南·二模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 33．（2025·贵州铜仁·二模）如图1，两根木条分别与木条钉在一起，三根木条在同一平面内，固定木条和，顺时针转动木条，使（如图2），图1中．木条至少转动的角度为（　　） A．20° B． C．30° D．69° 34．（2025·贵州·二模）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 08 三角形全等的判定 35．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 09 由三角形与三角形全等求边长、角度 36．（2025·贵州·二模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为 ．    37．（2025·贵州遵义·二模）如图，数轴上的点D表示的数为，点E表示的数为2，若点D，E分别为的，的中点，则的长为 ． 38．（2025·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，平分，，，，则的长为 ． 39．（2025·贵州·二模）如图，已知在等腰直角三角形中，，，延长到点，使得，连接，若是的中点，则的长为 ． 40．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 41．（2025·贵州·二模）如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是(  ) A． B． C． D． 42．（2025·贵州·二模）将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 43．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（   ） A． B． C． D． 44．（2025·贵州贵阳·二模）将放置在一条数轴上，，的中点D，E均落在数轴上，且点D，E在数轴上的位置如图所示，则的长为 ． 45．（2025·贵州黔东南·二模）如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为 度． 46．（2025·贵州六盘水·二模）在中，，，是边上的高，当最大时，的值是 ． 10 由平行四边形性质、中位线定理求边长与角度 47．（2025·贵州黔东南·二模）如图，菱形部件的对角线交于点O，点E为边的中点．小明想用刻度尺（单位：cm）测量菱形部件中的尺寸．他将边与刻度尺重合，使得点B，C对应的刻度为1，6，则的长为（   ） A． B． C． D． 48．（2025·贵州黔南·二模）如图，矩形的周长为20，对角线，相交于点，为的中点，连接，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 49．（2025贵州二模）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为（    ） A．2 B．3     C．4     D． 5 50．（2025·贵州六盘水·二模）如图，矩形的对角线，交于点，若，则的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 51．（2025·贵州·二模）如图①，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②刚好拼出一个如图③所示的平面图形，则图③中的度数是（   ） A． B． C． D． 52．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接DE．已知的周长是9cm，则平行四边形的周长是 cm． 11 平行四边形的判定与边长、面积问题 53．（2025·贵州黔东南·二模）【新视角·结合尺规作图】如图，小明在中，进行了如下尺规作图： ①以点B为圆心，以的长为半径作弧交边于点E； ②分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的周长． 54．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O． (1)求证：； (2)若，，求的长． 55．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，平分交于点E，点F在上，，连接． (1)试判断四边形是我们学过的什么特殊四边形？说明理由； (2)连接交于点O，若，且，求的面积． 56．（2025·贵州黔南·二模）如图，在中，过点作，垂足为，为上一点，且，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，，求五边形的面积． 57．（2025·贵州毕节·二模）如图，在中，，是的一条角平分线，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 58．（2025·贵州遵义·二模）在四边形中，对角线与交于点O，有下列条件：①；②；③． (1)从①②③中选取两个作为条件证明； (2)点E，F分别为，的中点，依次连接E，O，F得到，若，，，求的周长． 59．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在四边形中，，点F，点E分别在边上，连接，若，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 60．（2025·贵州·二模）如图，已知四边形是平行四边形，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求点到的距离． 61．（2025·贵州遵义·二模）如图，四边形中，，连接，尺规作图：作出的垂直平分线，交与点，与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合） (1)根据题意补全图形（保留作图痕迹），并证明； (2)连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 62．（2025·贵州六盘水·二模）如图，是的对角线，于点于点，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 12 由圆的性质求边长与角度 63．（2025·贵州·二模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，，点在的延长线上．若，则（   ） A． B． C． D． 64．（2025·贵州毕节·二模）如图，已知点在上，点为的中点，若，则等于（  ） A． B． C． D． 65．（2025·贵州遵义·二模）如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 13 求弧长与扇形面积 66．（2025·贵州遵义·二模）如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 67．（2025贵州二模）如图，的半径为，点、、都在上，，则弧的长为（   ） A． B． C． D． 68．（2025·贵州贵阳·二模）开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是60，则这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）是（   ） A． B． C． D． 14 相似三角形求边长 69．（2025·贵州遵义·二模）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 70．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在平行四边形中，，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点与交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若平行四边形的面积是18，求的长． 15 锐角三角函数的实际应用 71．（2025贵州二模）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 72．（2025·贵州贵阳·二模）如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米． (1)求的长；（结果保留根号） (2)若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，） 73．（2025·贵州·二模）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角 说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，） (1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） (2)根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） 74．（2025·贵州·二模）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 75．（2025·贵州·二模）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且． (1)求下管BC的长； (2)若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据，，） 76．（2025·贵州贵阳·二模）某学习小组成员对无人机烟花（如图①）的绽放高度非常感兴趣，开展了“测量无人机烟花绽放高度”的实践活动．如图②，已知一无人机烟花在A点绽放，测角仪在D处测得无人机烟花绽放点A的仰角为，在F处测得无人机烟花绽放点A的仰角为．点E，C在同一水平地面上，线段均与地面垂直，，． （参考数据：，，．） (1)过点A作于点B，连接交于点G，若，则________m（用含x的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，求无人机烟花绽放点A离地面的高度． 77．（2025·贵州黔南·二模）小星、小红在一栋大楼前游玩，小星在点处，小红在点处，同时看对面楼的楼顶点，小星与小红的仰角分别为，，已知楼高，小星眼睛到地面的高度，小红眼睛到地面的高度．求此时小星与小红之间的距离的长．（，，，在同一平面内，，，在同一直线上）．（参考数据：，，，，结果保留整数） 78．（2025·贵州毕节·二模）如图，为了测量河对岸两点间的距离，数学兴趣小组在河岸北侧选定观测点，测得点点均在点的南偏西方向上，沿正西方向行走200米至观测点，测得点在点的正南方向，点在点的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求两点间的距离．参考数据：，，．，， 79．（2025·贵州遵义·二模）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表： 项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度 测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪． 测量情况 情况一 情况二 测量方案示意图 说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上 数据 ， (1)求“多彩贵州吉祥蛇”的高度； (2)求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，） 80．（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 81．（2025·贵州·二模）为助力体育强国的建设，实现中华民族伟大复兴的梦想，我校决定组织一场徒步锻炼．如图，徒步活动的起点位于点A处，终点位于点C处，现有两条路线可以选择：①；②；已知点A在点D的正西方向2000米处，点D在点E的北偏西方向且距离E点600米处，点C在点E的正南方向，点B在点C的正西方向1400米处，点A在点B的北偏西方向（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)由于时间原因，学校决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明，他们应该选择路线①还是路线②？ 82．（2025·贵州·二模）随着社会的发展，越来越多的公司意识到团队合作的重要性．某公司计划组织一次拉练活动，如图，点为出发点，行进的路线为，其中点，是途中设置的两个休息站，点在点的南偏西方向，，点在点的北偏西方向，． (1)求的度数； (2)求休息站和之间的距离（结果保留根号）． 83．（2025·贵州遵义·二模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，） 84．（2025·贵州贵阳·二模）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把平开窗的滑撑支架抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 滑撑支架中的长度为______，滑动轨道的长度是______． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果精确到0.1） 参考数据：） 85．（2025·贵州六盘水·二模）某校在海坪千户彝寨进行社会实践活动时，同学们发现彝家建筑的窗户打开后用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，窗钩的另一个端点固定在窗框边上，构成一个三角形，如图所示，在中，当时，．（参考数据：） (1)求的长； (2)求的长． 16 圆的综合应用—解答题 86．（2025·贵州贵阳·二模）如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点． (1)写出图中一个与相等的角； (2)求证：； (3)若，求的半径． 87．（2025·贵州遵义·二模）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 88．（2025·贵州毕节·二模）如图，是上的四点，，交于点，，． (1)写出一个与相等的角 ； (2)求的长； (3)所对的圆心角为，若，求的半径． 89．（2025·贵州黔南·二模）如图，在中，，，以为直径的交于点，连接，点在上，连接，过点作，交于点． (1)求证：为的中点； (2)求证：； (3)延长，交于点，若，，求的半径． 90．（2025·贵州贵阳·二模）等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等．小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题：如图，已知的半径长为2，点A，B，C，D，E，F将六等分，连接，，，，发现恰好过圆心O，过点C作的垂线，交的延长线于点G，连接． (1)________°； (2)在（1）的结论下，求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 91．（2025·贵州·二模）如图①，为的直径，是上异于、的任意一点，连接、，过点作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 （2）若在点的运动过程中，始终有，连接，如图②，当与相切时，求的长． 92．（2025·贵州黔东南·二模）如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E． (1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线） (2)求证：； (3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）． 93．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，，以为直径的恰好与边相切，交于点D，E是边上一点，连接交于点F，连接，，且． (1)写出图中一个度数为的角：_______； (2)求的度数； (3)连接，试判断四边形的形状，并给出证明． 94．（2025·贵州黔东南·二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，于点E，的延长线交于F，交于点G，． (1)求证：； (2)判断与是否相似，并说明理由； (3)若，求的面积． 95．（2025·贵州遵义·二模）如图，是的外接圆，，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点，连接． (1)写出一个与相等的角________； (2)求证：； (3)若，，求的长． 96．（2025·贵州·二模）（1）如图①，已知是一个直角三角形，，用尺规求作的外接圆，圆心为点，不写作法，保留作图痕迹； （2）如图②，已知的三个顶点都在上，是的直径，点在上，．连接并延长到点，使得，求证：与相切； （3）在（2）的条件下，若，探究，的数量关系，并说明理由． 97．（2025·贵州·二模）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 98．（2025·贵州六盘水·二模）如图，四边形内接于． (1)______度； (2)连接，若，求的长； (3)当是的中点，时，求的半径． 99．（2025·贵州贵阳·二模）如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为，连接． (1)请写出一个与相等的角：______； (2)求证：是的切线； (3)若，的半径为6，求图中阴影部分的面积． 16 三角形与四边形的几何综合—填空压轴题 100．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为 ． 101．（2025·贵州·二模）如图，在四边形中，，为上一点，连接、，使，若为的中点，连接，则的长为 ． 102．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在边长为4的正方形中，点为边的中点，连接度数为，在上取一点，连接，使度数为，则的长为 ． 103．（2025·贵州·二模）如图，已知正方形的边长为8，E为的中点，F为上一点，且，若G，H分别为的中点，连接，则的长为 ． 104．（2025·贵州遵义·二模）如图，在矩形中，是边上一点，是上一点，，，则的长 ． 105．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在正方形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ． 106．（2025·贵州黔南·二模）如图，在中，，，．点在直线的右侧，且，连接，当线段的值最大时，则的长为 ． 107．（2025·贵州毕节·二模）在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 18 三角形与四边形的几何综合—解答压轴题 108．（2025·贵州·二模）（1）【试题改编】小聪同学将教材习题进行了如下改编：如图①，四边形是正方形，是一个等边三角形，连接，则________°； （2）【深入探索】小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图②，点E在正方形内部，且是一个等边三角形，此时发现点E恰好在AF上，提出问题：你能证明吗？ （3）【能力升华】老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个问题：在正方形中，点E在正方形内部，且是一个等边三角形，以为边作等边三角形，连接，直接写出的值． 109．（2025·贵州黔南·二模）在矩形中，是射线上的一点，过点作分别交直线，于点，，且． 备用图 (1)【问题解决】 如图①，若点在线段上，求证：四边形是正方形； 图① (2)【深入探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； (3)【拓展迁移】 过点作交直线于点，直线，相交于点，根据题意画出图形，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 110．（2025·贵州毕节·二模）【问题情境】 在活动课上，数学老师出了一道题： 如图，在等腰直角中，，D为上一点，连接． (1)【思考操作】 在上作出一点E，使得（请用尺规作图并保留痕迹，不写作法）； (2)【问题解决】 若交于点F， ，求的长； (3)【实践探究】 数学活动小组对上述问题进行探究后发现，连接，当时，线段与线段存在着数量关系，请进行探究，并说明理由． 111．（2025·贵州遵义·二模）综合与探究    主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 112．（2025·贵州贵阳·二模）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 113．（2025·贵州·二模）数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至． (1)如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)如图③，当时，与对角线交于点，求的长． 114．（2025·贵州遵义·二模）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到． 【探究发现】 (1)如图①，当点落在上，连接，则___________． 【深入探究】 (2)如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值． 【拓展应用】 (3)如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长． 115．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在四边形中，，且，以B为端点，作射线，在射线上截切，并分别连接，其中分别交于点F和点G． (1)【动手操作】根据题意请在图（1）中补全图形； (2)【问题探究】求证：； (3)【拓展延伸】若，求的长，并说明理由． 116．（2025·贵州黔东南·二模）【问题情境】 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 【操作判断】 （1）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．则线段与的数量关系是：__________． 【深入思考】 将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，． （2）如图，当时，垂足为，与交于点，与交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点，当点在线段上时，试求线段的长． 117．（2025·贵州贵阳·二模）在中，，点D为射线上一动点（不与点A，C重合），作，并交射线于点E，连接，． (1)【操作发现】 如图（1），当时，过点A作，交于点M． ①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形； ②的数量关系为________； (2)【类比探究】 如图（2），当，且点D在线段上时，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当时，过点A作于点N，若，，求的长． 118．（2025·贵州黔东南·二模）【实践操作】 （1）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题：将一张矩形纸片沿对角线翻折，如图①，在同一平面内得到，交于点F，通过测量得到，，求的长； 【理解运用】 （2）小明在老师给予的题目启发下，进行了如下操作：如图②，在矩形的边上取一点M，使，在边上取一点N，将四边形沿翻折，在同一平面内得到四边形．测量得到，，请你帮他解决问题：当点G在射线上时，求的长度； 【拓展迁移】 （3）小红将图①中的矩形变为，的平行四边形，然后沿对角线翻折，如图③，在同一平面内得到，交于点Q，当为直角三角形时，求的长． 1．（2025·贵州黔东南·二模）甲骨文是一种象形文字，是我国汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移变换来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州六盘水·二模）正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·二模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州·二模）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 5．（2025·贵州·二模）图①是一个八角星形纸板，图中有八个直角、八个相等的钝角，每条边都相等，如图②将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成如图③所示的大正方形，其面积为8＋，则图③中线段AB的长为 6．（2025·贵州·二模）如图，在边长为4的菱形中，，是上的一点，将沿翻折得到，交于点．若，则的值为 ． 7．（2025·贵州·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 8．（2025·贵州铜仁·二模）如图，已知四边形内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点，弦交于点，且，连接、． (1)写出图中一个与相等的角；___________； (2)求证：； (3)若，求的值． 9．（2025·贵州·二模）综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______ (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长． 10．（2025·贵州·二模）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得． (1)问题解决：如图1，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______； (2)问题探究：如图2，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值； (3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出m的值． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 几何图形的性质与变换 题型概览 题型01 中心对称与轴对称图形的判定 题型02 几何体的三视图 题型03 几何体的截面问题 题型04 几何定理与结论问题 题型05 平面直角坐标系求点的坐标 题型06 由尺规作图求边长、角度 题型07 平行线、相交线求角度 题型08 三角形全等的判定 题型09 由三角形与三角形全等求边长、角度 题型10 由平行四边形性质、中位线定理求边长与角度 题型11 平行四边形的判定与边长、面积 题型12 由圆的性质求边长与角度 题型13 求弧长与扇形面积 题型14 相似三角形求边长 题型15 锐角三角函数的实际应用 题型16 圆的综合应用—解答题 题型17 三角形与四边形的几何综合—填空压轴题 题型18 三角形与四边形的几何综合—解答压轴题 01中心对称与轴对称图形的判定 1．（2025·贵州黔西·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形定义，掌握轴对称图形的概念，要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·贵州铜仁·二模）五一假期，小红和爸爸妈妈开车去黄果树瀑布景区旅游，途中看到以下交通标志，其中，属于中心对称图形的交通标志是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，即如果把一个图形绕着某一点旋转，若能够与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键． 根据中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（2025·贵州·二模）下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4．（2025·贵州·二模）中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 5．（2025·贵州·二模）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 02几何体的三视图 6．（2025·贵州·二模）下列几何体中，主视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】根据主视图的概念找出各种几何体的主视图即可． 【详解】解：A、正方体的主视图是正方形，不符合题意； B、圆柱的主视图是矩形，不符合题意； C、球的主视图是圆，符合题意； D、圆锥的主视图是三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力． 7．（2025·贵州毕节·二模）2025年贵州省篮球公开总决赛于3月23日至3月24日举行．下图是运动会的领奖台，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：它的俯视图是： ， 故选：B． 8．（2025·贵州·二模）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误； B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误； C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确； D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 9．（2025·贵州·二模）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形得出这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，，由此即可得出答案． 【详解】解：这个几何题从正面看得到的图形有列，每列正方形个数为，，， 故这个几何体的主视图是 故选：B． 03 几何体的截面问题 10．（2025·贵州贵阳·二模）用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，根据不同几何体的截面的形状，进行判断即可，掌握各种几何体的截面形状是解题的关键． 【详解】解：、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意； 、用一个平面去截，截面可能是圆形或四边形，不合题意； 、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意； 、球体无论怎样去截，其截面一定是圆形的，符合题意； 故选：． 04 几何定理与结论问题 11．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在立定跳远后，王老师用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合来测量运动员的成绩，他这样做的理由是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短， 根据垂线段的性质，垂线段最短解答即可． 【详解】解：这样做的理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线中，垂线段最短． 故选：C． 12．（2025·贵州·二模）三角形的重心是指（  ） A．三个内角平分线的交点 B．三边上的高的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【知识点】重心的概念 【分析】由三角形的重心的定义可得：三角形的重心是三条中线的交点． 【详解】解：三角形的重心是三条中线的交点． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键． 13．（2025·贵州·二模）如图，在四边形中，对角线和交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定条件逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选B． 14．（2025·贵州·二模）如图，是经过平移得到的图形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，学生们熟练掌握即可． 根据平移的性质，对应点的连接线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的大小和形状，对各项进行分析即可． 【详解】解：∵是经过平移得到的图形， ∴，，，故A，B，C正确； ∴，，但和不一定相等，故D错误． 故选：D． 05 平面直角坐标系求点的坐标 15．（2025·贵州·二模）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系点所在象限， 判断出点的横，纵坐标的符号，再根据各象限的符号特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限. 故选：． 16．（2025·贵州·二模）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据第二象限的点的坐标符号特征是，解答即可． 本题考查了坐标与象限的关系，熟练掌握坐标的象限的符号特征是解题的关键． 【详解】解：根据第二象限的点的坐标符号特征是， 故选：B． 17．（2025·贵州·二模）观察如图所示的象棋棋盘．若“兵”所在的位置用表示，“帅”所在的位置用表示，则“炮”所在的位置可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了根据位置确定坐标，解题关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．根据已知点的坐标建立平面直角坐标系，观察坐标系可得答案． 【详解】解：如图，根据题意，建立直角坐标系如下， “炮”所在的位置可以表示为， 故选：C． 18．（2025·贵州遵义·二模）如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为，则牡丹园的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点，掌握平面直角坐标系的特点是关键． 根据芍药园的坐标，月季园的坐标 ，确定平面直角坐标系，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示， ∴牡丹园的坐标为． 故选：A 19．（2025·贵州·二模）如图，在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，则对应的点可能是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【知识点】坐标与图形、已知点所在的象限求参数、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了点的坐标，各象限内点的坐标特征，关于y轴对称 点的坐标特征，解题的关键是得到点的坐标变换规律． 先由图可知点在第一象限，得到，，则点关于y轴对称点，再向下平移一个单位得到点，即可由图得出答案． 【详解】解：由图可知点在第一象限， ∴，， ∴， ∴点是点关于y轴对称点，再向下平移一个单位得到的， ∴对应的点可能是点P， 故选：C． 20．（2025·贵州毕节·二模）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点是解题的关键． 先判断出所求点的横纵坐标的符号，即可判断点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴点位于第二象限． 故选：B 21．（2025·贵州铜仁·二模）贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若遵义位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则毕节位置的坐标是 ； 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标．正确的建立平面直角坐标系是解题的关键．由题意，建立平面直角坐标系，进而可得毕节的坐标． 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如图， ∴毕节位置的坐标是． 故答案为： 22．（2025·贵州贵阳·二模）如图，若点A的坐标为，点B的坐标为，那么点C的位置可表示为 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】此题考查了用坐标表示点的位置，建立正确的平面直角坐标系，即可得到答案． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则点C的位置可表示为， 故答案为： 06 由尺规作图求边长、角度 23．（2025·贵州六盘水·二模）如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（   ） A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径 C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径 【答案】C 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，平行线的判定，熟记作图步骤是解本题的关键，根据作一个角等于已知角的作图步骤可得答案． 【详解】解：用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是： 以点为圆心，线段长为半径画； 故选：C 24．（2025·贵州·二模）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作线段(尺规作图) 【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解， 本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式． 【详解】解：由作图可知：，， 在中，， ∴， , 故选：C． 25．（2025·贵州·二模）如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】根据矩形可知为直角三角形，根据勾股定理可得的长度，在中得到，又由题知为的垂直平分线，于是 ，于是在中，利用锐角三角函数即可求出的长． 【详解】解：设与的交点为， 四边形为矩形， ，，， 为直角三角形， ，， ， ， 又由作图知为的垂直平分线， ，， 在中， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键． 26．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质是解题的关键； 设的长为，则．利用三角形外角的定义和性质以及等腰三角形的判定以及性质得出，证明，利用相似三角形的性质得出，解出x即可得出答案． 【详解】解：设的长为，则． ，． ． 由作图可知，， ． 是的外角， ， ， ， ， ，， ， ， 即， （负值已舍去）． 故选：C． 27．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，则的长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知是的角平分线，根据角平分线及平行四边形的性质可得，即得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 28．（2025·贵州·二模）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（    ） A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD 【答案】D 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案 【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD， ∴四边形ACBD是菱形， ∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD， 不能判断AB=CD， 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 07 平行线、相交线求角度 29．（2025·贵州黔南·二模）如图是小星探索两直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了同位角相等，两直线平行．根据同位角相等，两直线平行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 当时，木条a与b平行， 故选：B． 30．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质、垂直的定义、平行线的性质、含的直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质求出，，结合垂直的定义、平行线的性质求出，，根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在等边中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 31．（2025·贵州贵阳·二模）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向平行，第一次拐的角，第二次拐的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．此题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵道路是平行的，， ∴（两直线平行，内错角相等）， 故选：D 32．（2025·贵州黔东南·二模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 33．（2025·贵州铜仁·二模）如图1，两根木条分别与木条钉在一起，三根木条在同一平面内，固定木条和，顺时针转动木条，使（如图2），图1中．木条至少转动的角度为（　　） A．20° B． C．30° D．69° 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得出当时，，结合题意即可求解 【详解】解：若，则， ∵固定木条和，顺时针转动木条， 即当时，； 此时木条顺时针转动． 故选：A． 34．（2025·贵州·二模）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．由平行线的性质即可得出，求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意知， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 08 三角形全等的判定 35．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 09 由三角形与三角形全等求边长、角度 36．（2025·贵州·二模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为 ．    【答案】米/ 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质； 过O作，过A作于G，求出，根据含直角三角形的性质求出，然后可得答案． 【详解】解：过O作，过A作于G，    ∵米，， ∴米， ∵，， ∴， ∴在中，米， ∴点A位于最高点时到地面的距离为米， 故答案为：5米． 37．（2025·贵州遵义·二模）如图，数轴上的点D表示的数为，点E表示的数为2，若点D，E分别为的，的中点，则的长为 ． 【答案】10 【知识点】数轴上两点之间的距离、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵数轴上的点D表示的数为，点E表示的数为2， ∴ ∵点D，E分别为的，的中点， ∴是的中位线 ∴． 故答案为：10． 38．（2025·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，平分，，，，则的长为 ． 【答案】25 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】如图所示，过点D作交延长线于点E，过点F作交于点F，证明出，设，证明出，得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E，过点F作交于点F ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得，（舍去） ∴． 故答案为：25． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 39．（2025·贵州·二模）如图，已知在等腰直角三角形中，，，延长到点，使得，连接，若是的中点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、写出直角坐标系中点的坐标、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】如图所示，以边所在直线为x轴，以过点C垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，得出是等腰直角三角形，勾股定理求出，然后得出，，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，以边所在直线为x轴，以过点C垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 故答案为：． 40．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 41．（2025·贵州·二模）如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 42．（2025·贵州·二模）将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】求一个角的余角、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，余角的定义，根据平角的定义和平行线的性质得出与的关系，再根据余角的定义判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，，四个角中与互余的角有和，共个， 故选：． 43．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键． 直接根据等腰三角形三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴． 故选D． 44．（2025·贵州贵阳·二模）将放置在一条数轴上，，的中点D，E均落在数轴上，且点D，E在数轴上的位置如图所示，则的长为 ． 【答案】10 【知识点】数轴上两点之间的距离、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查三角形的中位线定理，数轴上两点间的距离，先根据数轴上两点间的距离得到长，然后利用中位线定理解题即可． 【详解】解：由题可知， 又∵，的中点D，E均落在数轴上， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 45．（2025·贵州黔东南·二模）如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为 度． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由题意得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（2025·贵州六盘水·二模）在中，，，是边上的高，当最大时，的值是 ． 【答案】/ 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据是边上的高，可知是以为斜边的直角的其中一条直角边，从而得到，然后根据当且仅当时，此时、两点重合，此时取得最大值，最后利用勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 是边上的高， 是以为斜边的直角的其中一条直角边， 即，此时， 当且仅当时，如图所示， 此时、两点重合， 即，此时取得最大值， ，， ， ． 故答案为：． 10 由平行四边形性质、中位线定理求边长与角度 47．（2025·贵州黔东南·二模）如图，菱形部件的对角线交于点O，点E为边的中点．小明想用刻度尺（单位：cm）测量菱形部件中的尺寸．他将边与刻度尺重合，使得点B，C对应的刻度为1，6，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的定义和性质， 根据菱形的性质可知，进而得出是的中位线，再根据中位线的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 48．（2025·贵州黔南·二模）如图，矩形的周长为20，对角线，相交于点，为的中点，连接，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，中位线的判定与性质，先由矩形的性质得，，再结合为的中点，得是的中位线，即，即可求出的周长． 【详解】解：∵矩形的周长为20， ∴，，， ∵为的中点， ∴，是的中位线， ∴， 则的周长是， 故选：B 49．（2025贵州二模）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为（    ） A．2 B．3     C．4     D． 5 【答案】B 【知识点】平行四边形的性质、斜边的中线等于斜边的一半 【详解】由平行四边形得AD=BC，在Rt△BAC中，点E为BC边中点，根据直角三角形的中线等于斜边的一半即可求出AE. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=6， ∵AC⊥AB，∴△BAC为Rt△BAC， ∵点E为BC边中点， ∴AE=BC=. 故选B. 50．（2025·贵州六盘水·二模）如图，矩形的对角线，交于点，若，则的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查的是矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分可得答案. 【详解】解：∵矩形的对角线，交于点，， ∴， ∴， 故选：B 51．（2025·贵州·二模）如图①，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②刚好拼出一个如图③所示的平面图形，则图③中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键． 先求出的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：C． 52．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接DE．已知的周长是9cm，则平行四边形的周长是 cm． 【答案】18 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，根据题意得出为边的垂直平分线是解题的关键． 由平行四边形对角线互相平分和可知，由的周长是9cm，即可推到出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中 ， ∵， ∴， ∴， ∵的周长是9cm， ∴， ∴． 故答案为18． 11 平行四边形的判定与边长、面积问题 53．（2025·贵州黔东南·二模）【新视角·结合尺规作图】如图，小明在中，进行了如下尺规作图： ①以点B为圆心，以的长为半径作弧交边于点E； ②分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)是等腰三角形，见解析 (2)20 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明等腰三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）由作图可知，平分，由四边形是平行四边形得到，进而根据等角对等边证明即可； （2）连接，证明四边形是菱形即可求出四边形ABEF的周长． 【详解】（1）是等腰三角形．理由如下： 由作图可知，平分， ． 又四边形是平行四边形， ． ． ． ． 是等腰三角形； （2）如图，连接，由（1）知， ， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形． ， 四边形的周长为20． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 54．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理、斜边中线定理等知识点，解决此题的关键是熟练掌握此类知识点并能灵活运用． （1）根据题目条件先证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质对边平行，即可得到答案； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半算出长度，再根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，D是的中点， ∴， ∴在中，根据勾股定理得． 55．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，平分交于点E，点F在上，，连接． (1)试判断四边形是我们学过的什么特殊四边形？说明理由； (2)连接交于点O，若，且，求的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)48 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等等，熟知菱形的性质与判定定理，平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，再由平行四边形对边平行结合平行线的性质可证明，得到，据此可证明，则四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形． （2）由菱形的性质得到，；由勾股定理得到．则，据此求出菱形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形． ∴，． ∵． ∴． ∴， ∴ ∵， ∴． 56．（2025·贵州黔南·二模）如图，在中，过点作，垂足为，为上一点，且，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，，求五边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）证明，再进一步利用证明即可； （2）由勾股定理求解，可得，再利用割补法求解五边形的面积即可. 【详解】（1）证明：在中，． ，， ． 在和中， ，，， ． （2）解：在中，，，， ． 由（1）知， ． 又四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质；熟记平行四边形的性质是解本题的关键. 57．（2025·贵州毕节·二模）如图，在中，，是的一条角平分线，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再由有三个角是直角的四边形是矩形证明； （2）先由勾股定理求出，再由面积法得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴在中， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴． 58．（2025·贵州遵义·二模）在四边形中，对角线与交于点O，有下列条件：①；②；③． (1)从①②③中选取两个作为条件证明； (2)点E，F分别为，的中点，依次连接E，O，F得到，若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，勾股定理和三角形中位线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据三角形全等的条件证明三角形全等即可； （2）由勾股定理求出，，根据中位线的性质求出，，然后求出三角形的周长即可． 【详解】（1）解：选择①②：∵， ∴， ∵，， ∴； 选择①③：∵， ∴， ∵，， ∴； 选择②③：∵，，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ， ∵E，F分别为，中点 ∴， 同理：，， ∴的周长． 59．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在四边形中，，点F，点E分别在边上，连接，若，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)54 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，求出，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质得到是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴ 60．（2025·贵州·二模）如图，已知四边形是平行四边形，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由为边的中点，得到，由平行四边形的性质得到，即可得到结论； （2）由得到，由平行四边形的性质得到，求出，根据勾股定理求出，继而求出点到的距离． 【详解】（1）证明：为边的中点， ． 四边形是平行四边形， ， ． ， ． （2）解：， ． 四边形是平行四边形， ． ． ，， ， 点到的距离． 61．（2025·贵州遵义·二模）如图，四边形中，，连接，尺规作图：作出的垂直平分线，交与点，与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合） (1)根据题意补全图形（保留作图痕迹），并证明； (2)连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)图见解析；证明见解析 (2)四边形为菱形，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、证明四边形是菱形 【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图方法作图，再根据证明即可； （2）连接、，根据，得出，根据，证明四边形为平行四边形，根据，证明四边形为菱形即可． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形为菱形，理由如下： 连接、，如图所示： 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作图和性质、三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法． 62．（2025·贵州六盘水·二模）如图，是的对角线，于点于点，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得； （2）先证明，，可得，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴． ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 12 由圆的性质求边长与角度 63．（2025·贵州·二模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，，点在的延长线上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．如图2，连接，由邻补角的性质求得，利用圆周角定理求得，，据此求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 64．（2025·贵州毕节·二模）如图，已知点在上，点为的中点，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，圆周角定理，连接，由为的中点得，即得，再由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 【详解】\解：连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 65．（2025·贵州遵义·二模）如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 【答案】D 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识．取的中点C，分别连接、，由垂径定理及勾股定理可求得的长，根据垂线段最短，则的值介于与之间，由此可求得结果． 【详解】解：如图，取的中点C，分别连接、，则，且， 在中，， ∴ ， 点P线段上（不与重合），则，即 ， ∵， ∴选项D符合题意； 故选：D． 13 求弧长与扇形面积 66．（2025·贵州遵义·二模）如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、求扇形面积、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的相关计算，扇形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，连接，根据矩形的性质得出，，解直角三角形得出，根据勾股定理求出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 67．（2025贵州二模）如图，的半径为，点、、都在上，，则弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】根据圆周角定理即可求出∠O，然后根据弧长公式即可求出结论． 【详解】解：∵ ∴∠O=2∠B=90° ∴弧的长为= 故选C． 【点睛】此题考查的是圆周角定理和求弧长，掌握圆周角定理和弧长公式是解题关键． 68．（2025·贵州贵阳·二模）开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是60，则这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）为： ， 故选：C． 14 相似三角形求边长 69．（2025·贵州遵义·二模）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵支柱经过的中点， ∴， 当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 70．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在平行四边形中，，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点与交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若平行四边形的面积是18，求的长． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，则，可证四边形是平行四边形，根据，结论得证； （2）如图，由，，可得，则，证明是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，即，，在中，由勾股定理求的值，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15 锐角三角函数的实际应用 71．（2025贵州二模）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 72．（2025·贵州贵阳·二模）如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米． (1)求的长；（结果保留根号） (2)若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，） 【答案】(1) (2)11.7米 【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形和一元一次方程解法等知识点，解决此题的关键是正确的计算． （1）先根据平行算出特殊角度，分别在直角和直角中根据三角函数关系算出边长即可得到答案； （2）设水深为x米，分别在直角和直角中根据三角函数关系用x表示出边长，再根据线段相等列出方程，算出答案即可； 【详解】（1）解：由题意得， ∴，． ∵，， ∴，． ∵米， ∴（米） （米） ∴（米）． （2）解：设水池的水深为x米，则米， 由题意可知，，米， ∴（米），（米）． ∵， ∴， 解得， 即水池的水深约为11.7米． 73．（2025·贵州·二模）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角 说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，） (1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） (2)根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)见解析 (2)这棵大树的高度约为9.5米 【知识点】尺规作一个角等于已知角、平行投影、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，解题的关键： （1）根据平行投影作即可； （2）由平行投影可得出，根据同角的正切值相等可得出，设米，则米，米，米，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，延长交于点，则，米， 由题意知， ， ， ，即． 设米，则米， 米，米， 在中，， ， 解得， 米， 答：这棵大树的高度约为9.5米． 74．（2025·贵州·二模）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 75．（2025·贵州·二模）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且． (1)求下管BC的长； (2)若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据，，） 【答案】(1)45cm (2)74cm 【知识点】用勾股定理解三角形、特殊三角形的三角函数 【分析】(1)在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD即可． (2)在过E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案． 【详解】（1）在Rt△ACD中，AB=27cm，AC=36cm， ∴BC= ∴BC=45cm， 答：下管BC长45cm． （2）过点E作EF⊥DB，垂足为F， ∵BE=AB+AE=27+18=45(cm)， ∴EF=BEsin75°=45sin75°≈44cm 44+30=74(cm)， 答：座垫E离地面的距离是74cm． 【点睛】本题考查勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 76．（2025·贵州贵阳·二模）某学习小组成员对无人机烟花（如图①）的绽放高度非常感兴趣，开展了“测量无人机烟花绽放高度”的实践活动．如图②，已知一无人机烟花在A点绽放，测角仪在D处测得无人机烟花绽放点A的仰角为，在F处测得无人机烟花绽放点A的仰角为．点E，C在同一水平地面上，线段均与地面垂直，，． （参考数据：，，．） (1)过点A作于点B，连接交于点G，若，则________m（用含x的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，求无人机烟花绽放点A离地面的高度． 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，利用相应的三角函数求解是解题关键． （1）根据题意利用正切函数即可得出结果； （2）根据题意得出，，，然后利用三角函数求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，线段均与地面垂直， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由题意得，，，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 答：无人机烟花绽放点A离地面高度为． 77．（2025·贵州黔南·二模）小星、小红在一栋大楼前游玩，小星在点处，小红在点处，同时看对面楼的楼顶点，小星与小红的仰角分别为，，已知楼高，小星眼睛到地面的高度，小红眼睛到地面的高度．求此时小星与小红之间的距离的长．（，，，在同一平面内，，，在同一直线上）．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义，是解题关键．分别过点，作，垂足为，，垂足为根据，得出，求出．根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点，作，垂足为，，垂足为． 则四边形和四边形均为矩形， ，，，， 在中，， ． ， ， ． 在中，， ． ， ， ， ． 78．（2025·贵州毕节·二模）如图，为了测量河对岸两点间的距离，数学兴趣小组在河岸北侧选定观测点，测得点点均在点的南偏西方向上，沿正西方向行走200米至观测点，测得点在点的正南方向，点在点的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求两点间的距离．参考数据：，，．，， 【答案】(1) (2)A，B两点间的距离约米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查三角形外角和定理和解直角三角形的应用， （1）根据题意得A，B，C三点共线，结合和三角形外角和可得； （2）由（1）得，在中求得，则，利用求得，在中利用求得即可． 【详解】（1）解：根据题意得A，B，C三点共线， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知 ∴， 在中，，米，， ∴（米）， 在中，，米，， ∴（米）， 答：A，B两点间的距离约米． 79．（2025·贵州遵义·二模）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表： 项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度 测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪． 测量情况 情况一 情况二 测量方案示意图 说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上 数据 ， (1)求“多彩贵州吉祥蛇”的高度； (2)求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）先证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形得出答案即可； （2）过点F作于点，于点，证明，得出，设，则，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， 故． （2）解：过点F作于点，于点， 则四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴，． ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 故水平距离． 80．（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据直线，直线，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， ， 解得， 河的宽度． 81．（2025·贵州·二模）为助力体育强国的建设，实现中华民族伟大复兴的梦想，我校决定组织一场徒步锻炼．如图，徒步活动的起点位于点A处，终点位于点C处，现有两条路线可以选择：①；②；已知点A在点D的正西方向2000米处，点D在点E的北偏西方向且距离E点600米处，点C在点E的正南方向，点B在点C的正西方向1400米处，点A在点B的北偏西方向（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)由于时间原因，学校决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明，他们应该选择路线①还是路线②？ 【答案】(1)米 (2)应该选择路线①，见解析 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出适当辅助线，构造直角三角形并解直角三角形即可求解． （1）延长交延长线于H，过A作交延长线于M，则可得四边形是矩形，得；分别在中，利用解直角三角形的知识，即可求得，最后求得； （2）根据（1）中所求，计算出，比较即可确定线路． 【详解】（1）解：延长交延长线于H，过A作交延长线于M， 由题意可得 ， 四边形是矩形， ； 中，，，， ， ，； ， ； ， ， ， 中，，， ， ， ， ； 答：长米． （2）解：线路①：（米）； 线路②：（米）； ， 他们应该选择路线①． 82．（2025·贵州·二模）随着社会的发展，越来越多的公司意识到团队合作的重要性．某公司计划组织一次拉练活动，如图，点为出发点，行进的路线为，其中点，是途中设置的两个休息站，点在点的南偏西方向，，点在点的北偏西方向，． (1)求的度数； (2)求休息站和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查三角函数的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）如图，过点作于点，求出，然后在中，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：，， 又， ； （2）解：如图，过点作于点． ，， ． 在中，， ． 答：休息站和之间的距离是． 83．（2025·贵州遵义·二模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）延长交于，证，由含角的直角三角形的性质得，，即可得出答案； （2）过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长交于， 垂直于地面，上臂与水平面平行， ， ，， ， ，， ， 即点到地面的距离为； （2）解：如图，过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形， ∴， ， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 点到所在直线的距离为． 84．（2025·贵州贵阳·二模）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把平开窗的滑撑支架抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 滑撑支架中的长度为______，滑动轨道的长度是______． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果精确到0.1） 参考数据：） 【答案】任务1：8；41；任务2：限位器应装在离点的位置 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得；根据题意可知，从而得到结果； （2）过点作交于点，在和中，由三角形函数和勾股定理解得的长度，从而得到的长度，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵四边形始终为平行四边形，，， ∴， ∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上， ∴． 故答案为：8；41； （2）过点作交于点，如下图， 依题意得，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴限位器应装在离点的位置． 85．（2025·贵州六盘水·二模）某校在海坪千户彝寨进行社会实践活动时，同学们发现彝家建筑的窗户打开后用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，窗钩的另一个端点固定在窗框边上，构成一个三角形，如图所示，在中，当时，．（参考数据：） (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数，解直角三角形是解题的关键： （1）在中，利用正弦进行求解即可； （2）在中，勾股定理求出的长，在中，求出的长，线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）由（1）知：， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 16 圆的综合应用—解答题 86．（2025·贵州贵阳·二模）如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点． (1)写出图中一个与相等的角； (2)求证：； (3)若，求的半径． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）连接，由同弧所对的圆周角相等得到，由切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，则可证明； （2）根据（1）所求即可证明结论； （3）由切线的性质可得，根据勾股定理即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵， ∴， ∵， ， 是的切线， ， ∵是直径， ， ； （2）由（1）可得， （3）解：是的切线， ， 在中，， 根据勾股定理即可得到， ， ， 的半径为． 87．（2025·贵州遵义·二模）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据为的直径，可得，根据切线的定义可知，根据同角的余角相等可证结论成立； 根据等边对等角可得，可证，又因为，可证，根据相似三角形的性质可得，，利用勾股定理可求出，从而可得． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， 为的切线， ， ； （2）解：由可知， ∵， ∴， ，， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质．解决本题的关键是根据圆周角定理和切线的性质定理找到相等的角，证明三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 88．（2025·贵州毕节·二模）如图，是上的四点，，交于点，，． (1)写出一个与相等的角 ； (2)求的长； (3)所对的圆心角为，若，求的半径． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理，即可求解； （2）证明，即可求解； （3）作直径，连接，根据圆周角定理可得，在中，根据锐角三角函数可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； 故答案为：或 （2）解：由（1）得：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作直径，连接， ∴， ∵所对圆心角为， ∴， 在中，∵， 即 ∴， ∴， ∴半径． 89．（2025·贵州黔南·二模）如图，在中，，，以为直径的交于点，连接，点在上，连接，过点作，交于点． (1)求证：为的中点； (2)求证：； (3)延长，交于点，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，，，可得，可得，同理可得，进一步可得结论． （2）证明，再证明，即可得到结论； （3）如图，延长，交于点，连接，求解，证明，可得，证明，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ． 是的直径， ，． 在中，，， ，． ∴， ，同理可得． ， 为的中点． （2）证明：， ． ，． ． 在和中，，，， ， ． （3）解：如图，延长，交于点，连接． ， ． ． 在中，， ． 在和中， ，， ， ． ． ，， ． 在和中， ，， ， ， ， ，即的半径为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的确定全等三角形与相似三角形是解本题的关键. 90．（2025·贵州贵阳·二模）等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等．小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题：如图，已知的半径长为2，点A，B，C，D，E，F将六等分，连接，，，，发现恰好过圆心O，过点C作的垂线，交的延长线于点G，连接． (1)________°； (2)在（1）的结论下，求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)90 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据点A，B，C，D，E，F将六等分，可得，圆周角定理得出，证出，结合，可得，即可得； （2）如图，连接，，根据被六等分，得出，证明是一个等边三角形，得出，，求出，，在中，求出．在中，勾股定理即可求解． （3）由（2）知，是一个边长为2的等边三角形，得出的高为，求出，在中，求出，即可求出，，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，， ∵被六等分， ∴， ∵， ∴是一个等边三角形， ∴， ∵的半径长为2， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，． 在中，． （3）解：由（2）知，是一个边长为2的等边三角形， ∴的高为， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 91．（2025·贵州·二模）如图①，为的直径，是上异于、的任意一点，连接、，过点作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 （2）若在点的运动过程中，始终有，连接，如图②，当与相切时，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理推论，圆切线性质，平行四边形的判定，解直角三角形，是解决问题的关键． （1）根据．，得到．得到，结合， 得到，得到，得到四边形是平行四边形； （2）连接．根据，得到，，根据切线性质得到，．得到，．得到，得到，运用勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，连接． ∵在中，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴， 在中，， ∴在中，． 92．（2025·贵州黔东南·二模）如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E． (1)写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线） (2)求证：； (3)若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由圆周角定理即可得到答案； （2）连接，交于点，推出，得到，即可得到结论； （3）连接，推出，得到，求出，得到． 【详解】（1）解：， 故答案为：；（答案不唯一） （2）证明：如图，连接，交于点. 平分. ， ， ， . . ， 是的直径. . 是的切线. ， ， . （3）解：连接. . . ， ∴. ， ， . ∴. ∴. 93．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，，以为直径的恰好与边相切，交于点D，E是边上一点，连接交于点F，连接，，且． (1)写出图中一个度数为的角：_______； (2)求的度数； (3)连接，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】(1)(答案不唯一) (2) (3)菱形，证明见解析 【知识点】证明四边形是菱形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据是的切线可知，又由可知，故，答案不唯一，事实上图中看起来接近的角都是； （2）先用三角函数得到，根据得到，根据是的直径得到，从而得到； （3）连接，只需证明是等边三角形即可得到，从而得证． 【详解】（1）∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：；(答案不唯一) （2）∵是的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． （3）四边形是菱形．理由如下： 证明：如图，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的证明，切线的性质定理，等边三角形的判定和性质，弦与弧的关系，解直角三角形的相关计算，直径所对的圆周角是直角等知识，运用三角函数值求角度是解题的关键． 94．（2025·贵州黔东南·二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，于点E，的延长线交于F，交于点G，． (1)求证：； (2)判断与是否相似，并说明理由； (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、利用两角对应相等判定相似 【分析】（1）由切线的性质可得，由，可证，可得； （2）由是的直径，可知，又因为，可知，再结合圆周角定理以及切线的性质得，再证明，即可求出答案； （3）先证明为等边三角形，结合勾股定理算出，运用面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，是的切线， ∴ 则 即 ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得， ∵， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 则， ∴的面积． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 95．（2025·贵州遵义·二模）如图，是的外接圆，，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点，连接． (1)写出一个与相等的角________； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用圆周角定理即可求解； （2）连接，根据三角形三个内角的平分线交于一点，得到平分，再结合三角形的外角性质求得，，得到，根据等角对等边即可得到； （3）作，，垂足分别为，，利用圆周角定理结合三角函数求得，在中，利用勾股定理求得，根据等腰三角形的性质求得，在中，由勾股定理得，证明，推出，，在中，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴， 故答案为：； （2）证明：连接， ∵平分，平分， ∴平分， ∴，， 由（1）知，即， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作，，垂足分别为，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，平分， ∴， 在中，， ∴， 又平分， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 96．（2025·贵州·二模）（1）如图①，已知是一个直角三角形，，用尺规求作的外接圆，圆心为点，不写作法，保留作图痕迹； （2）如图②，已知的三个顶点都在上，是的直径，点在上，．连接并延长到点，使得，求证：与相切； （3）在（2）的条件下，若，探究，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、画圆(尺规作图)、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，切线的判定，圆周角定理，等边对等角等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）直角三角形的圆心为其斜边中点，故作线段垂直平分线交于点O，再以O为圆心的长为半径画圆，则即为所求； （2）先证明．再由直径所对的圆周角是直角得到，即．由等边对等角得到，则，即，据此可证明结论； （3）可证明．则可证明．根据，，得到，则可求出．进而得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：， ． 又， ． 是的直径， ，即． ， ， ， ，即， ∵是的半径， 与相切． （3）解：，的数量关系是．理由如下： 由（2）得，． 又， ． ， ． ，， ， ，即． ， ， ． 97．（2025·贵州·二模）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、垂径定理的推论、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，由圆的基本性质可得，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而证明，，即可证明是的切线； （2）连接，交于H，易证四边形是矩形，，因此只需求出即可，由垂径定理可得，可得是的中位线，进而求出，． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D在⊙O上， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，交于H， ∵是的直径， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 98．（2025·贵州六盘水·二模）如图，四边形内接于． (1)______度； (2)连接，若，求的长； (3)当是的中点，时，求的半径． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，解直角三角形，掌握以上知识并灵活运用是解题的关键； （1）根据圆内接四边形对角互补，即可求解； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而根据正切的定义，即可求解； （3）延长交于点，连接，得出是等腰直角三角形，设，则，进而表示出，设，则，进而根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内接于． ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵ 在中，，， 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 99．（2025·贵州贵阳·二模）如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为，连接． (1)请写出一个与相等的角：______； (2)求证：是的切线； (3)若，的半径为6，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 (3)9.6 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案； （2）首先证明，结合，进而证明，即可证明结论； （3）过点作于点，首先利用三角函数解得，再由勾股定理解得的长度，利用面积法求得的值，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：如下图，过点作于点， ∵的半径为6， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 16 三角形与四边形的几何综合—填空压轴题 100．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，构造全等三角形是解答的关键．延长交延长线于点P，过作于点H，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，，分别在和中，利用锐角三角函数和勾股定理求出，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点P，过作于点H， ∵在中，，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 101．（2025·贵州·二模）如图，在四边形中，，为上一点，连接、，使，若为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，中位线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定；过点作于点，取的中点，连接，证明四边形是正方形，进而证明，得出，则，根据中位线的性质可得，，然后勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为的中点，为的中点 ∴， ∴ ∴在中，， 故答案为：． 102．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在边长为4的正方形中，点为边的中点，连接度数为，在上取一点，连接，使度数为，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质，相似三角形的判定和性质，解三角形等，解题的关键是作辅助线，综合运用这些知识点． 作的角平分线交于点G，连接，延长交的延长线于点H，过点F作，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，设，则，利用勾股定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，设，则，确定，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴作的角平分线交于点G，连接，延长交的延长线于点H，过点F作，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得： ， 即， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 103．（2025·贵州·二模）如图，已知正方形的边长为8，E为的中点，F为上一点，且，若G，H分别为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得，取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，得矩形，然后证明，得，所以，利用勾股定理求出，则，求出，再根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：正方形的边长为8，为的中点， ， ， ， ， ， ， 如图，取的中点，连接，过点作于点，过点作于点， 得矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 是的中点， ， ， 设，则， ， ， ， ，则， ， ， ， ，分别为，的中点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 104．（2025·贵州遵义·二模）如图，在矩形中，是边上一点，是上一点，，，则的长 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】延长交延长线于点，延长交于点，过点作于，由，可设，，，，再证明，则，由，得到，那么，由，得到，那么，，解直角三角形得到，在中由勾股定理得，在由勾股定理建立方求解，并检验即可． 【详解】解：延长交延长线于点，延长交于点，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 即， 解得：，（舍），，（舍）， ∴由得到或（均舍负）， ∴当时，此时， ∴，与得到矛盾，故舍， ∴， ∴，符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键在于正确构造相似三角形． 105．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在正方形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的中与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于，可证明是等腰直角三角形，得到；证明，得到，则当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，故当有最小值时，点P与点重合，证明，推出；证明，推出，则． 【详解】解：如图所示，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是边上靠近的三等分点，是的中点， ∴,； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∴当有最小值时，点P与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 106．（2025·贵州黔南·二模）如图，在中，，，．点在直线的右侧，且，连接，当线段的值最大时，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】首先解直角三角形求出，然后由得到点D在以为弦，圆周角为的圆上运动，点O为圆心，当为圆的直径时，线段的值最大，延长到点E，连接，，然后求出点A，B，E三点共线，且四边形是矩形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴如图所示，点D在以为弦，圆周角为的圆上运动，点O为圆心 ∴如图所示，当为圆的直径时，线段的值最大，延长到点E，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，为圆的直径 ∴ ∴点A，B，E三点共线，且四边形是矩形 ∵ ∴， ∴ ∴ ∴当线段的值最大时，则的长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 107．（2025·贵州毕节·二模）在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，延长至，使得，连接，由正方形性质可得，，证明，则有，又，所以当三点共线时，最小，即有最小为长，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小，即有最小值为长， 如图， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 18 三角形与四边形的几何综合—解答压轴题 108．（2025·贵州·二模）（1）【试题改编】小聪同学将教材习题进行了如下改编：如图①，四边形是正方形，是一个等边三角形，连接，则________°； （2）【深入探索】小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图②，点E在正方形内部，且是一个等边三角形，此时发现点E恰好在AF上，提出问题：你能证明吗？ （3）【能力升华】老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个问题：在正方形中，点E在正方形内部，且是一个等边三角形，以为边作等边三角形，连接，直接写出的值． 【答案】（1）15；（2）见解析；（3）1或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键． （1）由已知得，，，从而得，根据等边对等角和三角形内角和定理可得结论； （2）由已知根据正方形和等边三角形的性质得，，从而在中运用勾股定理得即可得出结论； （3）根据分类讨论：点在正方形的外部，点在正方形的内部求解即可． 【详解】解：（1）在正方形中，，； ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）能证明， 证明：在正方形中，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴； （3）若点在正方形的外部，由（2）知：， 过点作于点，如图， ， 则， 在正方形中，，， 在等边中，，， ∴，， 在中， ，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴； 若点在正方形的内部， 同理得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 综上，的值为或1． 109．（2025·贵州黔南·二模）在矩形中，是射线上的一点，过点作分别交直线，于点，，且． 备用图 (1)【问题解决】 如图①，若点在线段上，求证：四边形是正方形； 图① (2)【深入探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； (3)【拓展迁移】 过点作交直线于点，直线，相交于点，根据题意画出图形，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或；见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意证明出，得到，即可证明； （2）证明出，得到，求出，勾股定理求出，同理得到； （3）根据题意分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，然后分别根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图①， 　　　　　图① 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ， 四边形是正方形． （2）解：同（1）可得，， ， ， ， ． 在中，． 同理，． ； （3）解：第一种情况：如图，当点在线段上时， ， ， ． ， ． 由（1）知，此时四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ， ． 第二种情况：如图，当点在的延长线上时， ， ， ． ， ． 由（1）同理可得四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 110．（2025·贵州毕节·二模）【问题情境】 在活动课上，数学老师出了一道题： 如图，在等腰直角中，，D为上一点，连接． (1)【思考操作】 在上作出一点E，使得（请用尺规作图并保留痕迹，不写作法）； (2)【问题解决】 若交于点F， ，求的长； (3)【实践探究】 数学活动小组对上述问题进行探究后发现，连接，当时，线段与线段存在着数量关系，请进行探究，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线，利用相似三角形的性质求解即可． （1）根据作一个角等于已知角的的作法画出图形，即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再证明，即可求解； （3）过B点作交的延长线于G点，根据题意可得，可证明∴，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵在等腰直角中，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 过B点作交的延长线于G点， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， 又， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 111．（2025·贵州遵义·二模）综合与探究    主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 【答案】（1）（或）；相等；（2）为正方形，理由见解析；（3）的值为或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形与折叠，长方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质等知识，根据各项性质找到线段相等和角度相等关系，并通过相似三角形构建线段等量关系是解题的关键． （1）根据折叠的性质和矩形的性质可得，根据矩形的对边平行可得；证明，可得； （2）先证明四边形是矩形，再证明即可得出结论； （3）设，则，分点在线段上时和点M在线段上两种情况根据折叠的性质和勾股定理分别求出，的长即可． 【详解】解：（1）由折叠得，，， 或者：∵四边形是矩形， ∴，， ∴；， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（或）；相等； （2）为正方形．理由如下： 当点与点M重合时，点P与点N重合． ∵，， ∴， 得：， 又为矩形， 故为正方形． （3）设，则， 情况一：当点在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 情况二：当点M在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 综上：的值为或． 112．（2025·贵州贵阳·二模）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由折叠可知，再根据三角函数得到，，再根据折叠即可解答． （2）由矩形的性质得，由三角函数得到，再根据垂直平分线和中位线得，，再根据即可解答． （3）如图③，在矩形中，，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，由折叠设，则，得，解得；如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，设，由折叠得，得，解得即可解答． 【详解】解：（1）如图①，是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 在中，， ， ， 由折叠得，； （2）如图②，由（1）得， 在矩形中，， ， 在中，， 是的垂直平分线，， ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ； （3）如图③，在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 由折叠设，则， 在中，，解得， ； 如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时， 在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 设，由折叠得， 在中，，解得， ； 综上得，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 113．（2025·贵州·二模）数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至． (1)如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)如图③，当时，与对角线交于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由正方形的性质得到，，根据折叠的性质得，求出，即可得到答案； （2）由正方形的性质和折叠的性质得到，求出，得到，即可得到 （3）延长，交的延长线于点，设，由正方形的性质和折叠的性质得到，继而得到，求出，得到，证明，得到，由求出． 【详解】（1）解：正方形， ，， 根据折叠的性质得，， 故答案为：； （2）解：如图，由折叠的性质，得，， 正方形的边长为6， ，，， ，， ， ， ； （3）（3）如图，延长，交的延长线于点， 设， 在正方形中，，， ， 由折叠的性质，得， ， ， ， ， 过点作于点， ，， 在中，， ， 解得， ， ， ， 又， ， ， 由（2）知，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 114．（2025·贵州遵义·二模）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到． 【探究发现】 (1)如图①，当点落在上，连接，则___________． 【深入探究】 (2)如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值． 【拓展应用】 (3)如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或1或4 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、求角的正弦值 【分析】（1）利用矩形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，，再在利用勾股定理即可求解； （2）作于点，作于点，由旋转的性质得，，，根据等角对等边得出，则有，，通过证明得到，设，在和中分别利用勾股定理，得到关于的方程，解出的值，求出的长，再在中利用正弦的定义即可求解； （3）根据题意，分①；②且在的下方；③且在的上方三种情况讨论，画出对应的示意图，利用相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：矩形， ， ， 由旋转的性质得，，，， ，， ． 故答案为：． （2）解：如图，作于点，作于点， 由旋转的性质得，，，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ， 在中，， ． （3）解：①若，连接，如图， 由旋转的性质得，， 点，分别为，中点， ，， ，， ， 三点共线， ， 又， ， ， ； ②若且在的下方，连接，如图， 点，分别为，中点， ，， ， ， 三点共线， 由旋转的性质得，， ， ； ③若且在的上方，连接，如图， 点，分别为，中点， ，， ， ， 三点共线， 由旋转的性质得，， ， ； 综上所述，的长为或1或4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、求角的正弦值、相似三角形的性质与判定、三角形中位线定理，结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 115．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在四边形中，，且，以B为端点，作射线，在射线上截切，并分别连接，其中分别交于点F和点G． (1)【动手操作】根据题意请在图（1）中补全图形； (2)【问题探究】求证：； (3)【拓展延伸】若，求的长，并说明理由． 【答案】(1)补全图形见解答过程 (2)证明见解答过程 (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）依题意得，再根据得，在中由三角形内角和定理即可得出结论； （3）过点作于点，交于点，连接，过点作于点于点于点，先求出，证明和全等，设，则，由此得，证明和全等得，进而得是的角平分线，则，再由三角形的面积公式得，继而得，则，据此得，证明是等腰直角三角形得，则，同理得，则，由此得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意补全图形如图（1）所示： （2）证明：在中，， ， 在中，， 在中，， ， ． （3）解：过点作于点，交于点，连接，过点作于点于点于点，如图2所示： 在中，， ， 由勾股定理得：， 在中，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， ， 是的角平分线， ， ， 由三角形的面积公式得：， ， 又， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∴是线段的垂直平分线， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，是的平分线， 同理由角平分线性质及三角形面积公式得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 116．（2025·贵州黔东南·二模）【问题情境】 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 【操作判断】 （1）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．则线段与的数量关系是：__________． 【深入思考】 将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，． （2）如图，当时，垂足为，与交于点，与交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点，当点在线段上时，试求线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线性质及平移性质，判断线段与数量关系．先由直角三角形斜边中线等于斜边一半得，再根据平移性质确定，从而得出与关系． （2）先通过勾股定理算，结合直角三角形斜边中线性质得、、长度，利用三角函数定义求、 ．依据旋转和平移性质找角、边关系，结合垂直条件推出角度，再用三角函数求、，最后算． （3）分点与点重合和不重合两种情况．重合时，作辅助线，利用角相等得，结合三角函数列方程求；不重合时，作辅助线，依据旋转、平移性质推角相等，得，用三角函数求，进而算． 【详解】解：（1）在中，，是斜边的中线， ∴． 由平移的性质可知，， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴，即旋转角为， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，； （3）当点与点重合时，如图：过点作于点，由旋转和平移得， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点不与点重合时，如图：过点作于点， ∵由旋转，平移得到， ∴， ∴， ∴， 由旋转，平移得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的长为或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质（斜边中线定理、勾股定理）、平移的性质、旋转的性质以及三角函数的应用，熟练掌握这些性质和定理，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 117．（2025·贵州贵阳·二模）在中，，点D为射线上一动点（不与点A，C重合），作，并交射线于点E，连接，． (1)【操作发现】 如图（1），当时，过点A作，交于点M． ①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形； ②的数量关系为________； (2)【类比探究】 如图（2），当，且点D在线段上时，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当时，过点A作于点N，若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)，证明见解析 (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查几何图形的性质和数量关系，包括三角形全等、等腰三角形的性质以及直角三角形的勾股定理．通过作图、证明和计算，探究线段之间的数量关系． （1）依题意按要求作图，利用三角形全等的性质证明与的数量关系． （2）通过作辅助线和证明三角形全等，探究线段、、之间的数量关系． （3）利用直角三角形的勾股定理和等腰三角形的性质，求的长．在射线上截取，使，连接，分两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：作图如图． ，， ． ． ， ． ，， ． ． ． （2）解：． 理由：在上截取，连接，如图， ∵，，， ∴． ∴，． ∴是等腰三角形． ，， ∴． ． 过点A作于点P， 易得， ∴． ∴． （3）解：在射线上截取，使，连接．分以下两种情况讨论： 当点D在线段上时，如图， 由（2）得，为等腰三角形，， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴． 当点D在的延长线上时，如图， 同理可得为等腰三角形，， ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 综上所述，的长为或． 118．（2025·贵州黔东南·二模）【实践操作】 （1）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题：将一张矩形纸片沿对角线翻折，如图①，在同一平面内得到，交于点F，通过测量得到，，求的长； 【理解运用】 （2）小明在老师给予的题目启发下，进行了如下操作：如图②，在矩形的边上取一点M，使，在边上取一点N，将四边形沿翻折，在同一平面内得到四边形．测量得到，，请你帮他解决问题：当点G在射线上时，求的长度； 【拓展迁移】 （3）小红将图①中的矩形变为，的平行四边形，然后沿对角线翻折，如图③，在同一平面内得到，交于点Q，当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由平行四边形的性质及折叠的性质得，由等腰三角形是性质得，由勾股定理得， ，即可求解； （2）延长交于，过作交于，由矩形的性质，结合折叠的性质得，由余弦函数得，可得，由正弦函数得 ，即可求解； （3）当时，（ⅰ）在上方时，延长交于，由平行四边形的性质及折叠的性质得，，由余弦函数得，即可求解；（ⅱ）在下方时，过作交于，由平行四边形的性质及折叠的性质得，由余弦函数得，即可求解；②当时，由平行四边形的性质、折叠的性质及矩形的判定、矩形的判定及性质得，由余弦函数得，即可求解；③当时，同理可求． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得：，，， ， ， ， 在中， ， 在中， ； （2）延长交于，过作交于， 四边形是矩形，，， ， 由折叠得：，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 解得：； （3）当时， （ⅰ）如图，在上方时， 延长交于， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图，在下方时， 过作交于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当时， 由翻折得：，，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ③当时， 由翻折得：，，，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 综上所述：的长为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，特殊角是三角函数等；掌握平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，特殊角是三角函数进行求解，同时能根据直角顶点的不同进行分类讨论是解题的关键． 1．（2025·贵州黔东南·二模）甲骨文是一种象形文字，是我国汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移变换来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形的平移、轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了平移的应用， 根据平移的性质，轴对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：图A可以通过平移变换得出，所以符合题意； 图B，C，D是通过轴对称变化得到的，所以不符合题意． 故选：A． 2．（2025·贵州六盘水·二模）正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平行投影 【分析】本题考查正投影，根据正午时候，足球的投影为正投影，进行判断即可． 【详解】解：由题意，足球在地面形成的影子是 故选A． 3．（2025·贵州·二模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用平行四边形的性质来求解． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．不一定相等，选项错误，不符合题意； D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（2025·贵州·二模）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点A和点B的坐标建立坐标系，再根据点C的位置写出其坐标即可． 【详解】解：如图所示，可建立如下坐标系， ∴， 故答案为：． 5．（2025·贵州·二模）图①是一个八角星形纸板，图中有八个直角、八个相等的钝角，每条边都相等，如图②将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成如图③所示的大正方形，其面积为8＋，则图③中线段AB的长为 【答案】+1/1+ 【知识点】利用平方根解方程、根据正方形的性质求面积 【分析】设八边形的边长为a,根据图①、图③的面积相等，列出方程求出a，则AB=a+a. 【详解】设八边形的边长为a， 由题意， ∴=1， ∵a＞0， ∴a=1， ∴AB=a+a=+1， 故答案为：+1． 【点睛】本题考查图形的拼剪、正方形的性质等知识，解题的关键是利用图形的拼剪前后面积不变，列出方程解决问题，属于中考常考题型． 6．（2025·贵州·二模）如图，在边长为4的菱形中，，是上的一点，将沿翻折得到，交于点．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，过点P作，交的延长线于点H，设，则，，解答即可． 【详解】解：连接，过点P作，交的延长线于点H， ∵边长为4的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 7．（2025·贵州·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和中位线定理可得，．利用勾股定理可知，从而得到，最后利用矩形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，即，， ∴， ∴四边形是矩形． （2）∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴． 在中，，， ∴， ∴ ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 8．（2025·贵州铜仁·二模）如图，已知四边形内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点，弦交于点，且，连接、． (1)写出图中一个与相等的角；___________； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，则可得到，然后根据等边对等角得到．再由切线的性质得出，利用圆周角定理及各角之间的关系得出； （2）根据题意得，然后根据同角或等角的补角相等得到，再得到，即可证明，根据对应边成比例解题即可； （3）根据，即可得到，然后推导，，根据对应边成比解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴． ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即． （3）解：由（2）知， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，，，． ∵， ∴． ∴． ∴． 9．（2025·贵州·二模）综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______ (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长． 【答案】(1)是； (2)见解析 (3)或15 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理； （1）①设纸片右下角的点为点M，根据平行线的性质以及折叠的性质可得，即可；②过点C作于点H，则，根据勾股定理可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可； （2）以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E，即可； （3）分两种情况讨论：当点落在长方形纸片的外部时；当点落在长方形纸片的内部时结合锐角三角函数，即可求解． 【详解】（1）问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点， ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴的形状为等腰三角形， 故答案为：是； 问题2：过点作于点， 则， 则， 则的面积 故答案为：； （2）以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，作图过程如下： （3）当点落在矩形内部时，如图，过点作于点，交 由题意得：， 点恰好落在的垂直平分线上，故， 在中，， ，，则，则， 则， ，， ， 在中，， 解得：，． 当点落在矩形外部时，如图， ，，则，则， 则， ，， ， 在中，， 解得：，则． 故的长为或． 10．（2025·贵州·二模）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得． (1)问题解决：如图1，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______； (2)问题探究：如图2，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值； (3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)的值为或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，含有的直角三角形的边长关系，勾股定理，正确画出图形，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）可得为等边三角形，则可得，解直角三角形即可解答； （2）可得为等腰直角三角形，当时，可得，当重合时，最小即可解答； （3）分类讨论，即点落在上方或下方两种即可解答． 【详解】（1）解：，， 为等边三角形， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， 为等腰直角三角形， 根据折叠的性质可得， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当时，最小，即； （3）解：如图，当在上方时，连接，延长交于点，则， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在直角三角形中，， ， ； 如图，当点落在下方时，过点作交于点， 同理可得四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$