5.3函数的单调性（题型专练）数学苏教版必修第一册

5.3 函数的单调性 题型一 定义法证明、判断单调性 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确结论. 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 【答案】（2）（3） 【详解】由单调函数的性质知（2）（3）正确． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）用定义法证明：函数在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性定义证明即可. 【详解】证明：设是上的任意两个实数，且，所以， 则 ，. ，即， 函数在上是增函数. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， . ， ，，. ，即. 函数在上是增函数. 对于任意的，且，有. ， ，，. ，即. 函数在上是减函数. 题型二 求函数的单调区间 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【详解】定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D 3.（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】将写成分段函数的形式，作出函数的图象，结合图象即可得解. 【详解】因为 所以，函数的图象如下： 由图象可知，函数的单调递减区间为 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，结合图形即可求解. 【详解】， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 题型三 利用单调性比较函数值大小 1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案. 【详解】因为二次函数的最大值为， 所以的图象关于直线对称，所以，且在上是减函数， 因为，所以. 故选：A． 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D 4．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 题型四 复合函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性求解即可． 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域满足，即． 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为． 故选：D． 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 4．（2024高一·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性即可确定的单调性. 【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 故答案为：. 题型五 根据解析式研究函数单调性问题 1．（24-25高一上·全国·周测）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本函数的单调性，进行判断即可. 【详解】在单调递减，故A错误； 定义域为，且在上单调递增，故B正确； 在上单调递减，故C错误； 在上单调递减，故D错误． 故选：B 2．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，D不是. 故选：C 3．（24-25高一上·北京·期中）函数的图象不可能是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】A 【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 题型六 求函数的最值、值域 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数 ，则函数的最小值为 （   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据函数单调性即可. 【详解】因为，在上单调递增，且恒大于0， 则在上单调递减， 则. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值是 ． 【答案】 【详解】由得的定义域为．又函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增．所以当时，． 3．（25-26高一·全国·假期作业）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，将函数式两边取平方得，利用换元成，，利用函数的单调性求得函数的最值即得函数值域. 【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 设，则，显然在上为减函数， 故当时，即时，取到最大值4，则函数的最大值为2； 当时，即时，取得最小值2，则函数的最小值为. 故函数的值域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·周测）函数，的最大值为 . 【答案】12 【分析】换元法将函数转化为二次函数，再根据二次函数的图像与性质求最小值. 【详解】令，因为，所以. 则，函数单调递增， 当，即时，有最大值12， 即函数，的最大值为12. 故答案为：12 5．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离常数后，结合函数单调性即可求解. 【详解】，容易知道函数在上单调递减， 所以或. 所以的取值范围为. 题型一 根据函数的最值求参数 1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 3．（24-25高三下·全国·强基计划）已知，的值域为，则所有可能值为 ． 【答案】 【分析】首先得，分和两种情况讨论，在时，可对进一步分类讨论得函数单调性、值域情况，从而可列方程组求解，同理可得时的情况. 【详解】的对称轴为，开口向下， 在上单调递增，在上单调递减， 由题意，所以， 情形一：若， （i）当，可得值域为， 所以，方程组无解， 若，可得值域为， 所以，方程组无解， 若，时，可得在处取得最大值， 最小值在或处取得， 所以，解得， 若，可得（舍去，因为与矛盾）， 若，即，解得，（舍去，因为与矛盾）， 所以， 情形二：若，同理可得. 故答案为：. 题型二 根据函数的单调性求参数 1．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 2．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【分析】令即可求解，再根据已知可得函数是单调递增函数，利用分段函数的单调性的求法即可求解． 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 3.（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 题型三 应用单调性解不等式 1．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到或，然后由单调性解不等式，即可求解. 【详解】不等式等价或， 又是函数图象上两点，即，， 且是定义在上的减函数，故或， 所以或，即不等式解集为. 故选：A． 2．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式化为，令，即.然后分和两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算取时的函数值，画出函数的部分图象，数形结合即可得解. 【详解】因为函数，所以关于的不等式 可化为，即， 令，即. 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 且； 当时，， 在上单调递减，且. 如图所示，结合函数图象及取时的函数值可知， 要使的解集中有且仅有个整数，这两个整数解只能是和， 所以实数的取值范围为，即. 故选：C 3．（25-26高一上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 【答案】 减 【详解】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得或解得． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 题型四 不等式恒成立、有解问题 1．（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】变换得到在上有解，设，则，得到，根据对勾函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. 2．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中a，．若对任意的，不等式在上恒成立，则b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用变更主元法将问题转化为对任意的，不等式恒成立，进而有不等式在上恒成立，参变分离得，利用对勾函数的单调性求得，即可得解． 【详解】先将a看作主元，记关于a的一次函数， 则对任意的，不等式恒成立． 由于，故单调递增，则只要， 因此不等式在上恒成立． 分离变量得不等式在上恒成立， 故， 由对勾函数的单调性知在上单调递减， 所以，所以，即． 故答案为： 4．（2019高三·江苏·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 题型五 抽象函数综合问题 1．（多选）（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知函数满足，都有，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件为 C．为减函数 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用特值法构造、消元，得到函数（为常数）的形式，进而判断各选项的正确性. 【详解】令 ，方程变为， 令 ，则，∴， 结合原方程，令 得， 设，则， ∴ ，∴（其中 为常数）. 对于A：​由（因 ，故）， 若 ，则，得 ，此时，故A正确； 对于B：∵是严格增函数（斜率为1），故当且仅当，故B正确； 对于C：∵ 斜率为1，是增函数，非减函数，故C错误； ​对于D：∵，得 ，故 ，故D错误. ​故选：AB. 2．（22-23高一上·重庆万州·期中）定义在上的函数，满足，且当时，. (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）将代入即可求解； （2）抽象函数单调性证明，第一步定义域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步结论； （3）利用函数的单调性列不等式即可 【详解】（1）将代入可得，解得 （2）设，则，则， ，即， 则在为增函数； （3）由可得， 因为在上是增函数，所以，解得， 故不等式的解集为 3．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【详解】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递增，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，画出函数的图象，根据图象写出增区间； (2)若函数为上的增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【详解】解：（1）当时，的图象如图所示． 由图可知，函数的增区间为． （2） 因为函数为上的增函数， 所以解得， 所以实数a的取值范围是． 3．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数． (1)若，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用参变分离法，将问题转化成在上恒成立，求出在上的最小值即可； （2）先判断函数的单调性，利用其单调性得出方程和，将看成方程的两个不等正根，借助于根的判别式和韦达定理列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）由可得：， 即在上恒成立， 又因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以， 即实数的取值范围为. （2）因为函数在上为增函数， 所以当时，； 当时，， 即m、n为方程的两个不同的正根， 也即方程有两个不同的正根m、n， 故得，解得， 故实数的取值范围为. 4．（19-20高一上·山西运城·期末）已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，. (1)判断的单调性并加以证明； (2)若，解不等式. 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）利用函数单调性定义即可证明在上为增函数； （2）由题意可得，进而将不等式转化为，再利用函数为增函数即可列出关于x的不等式组，解之即可得到该不等式的解集. 【详解】（1）在上为增函数， 证明如下：任取且，则， 则. 又因为当时，，而， 所以，所以， 所以在上为增函数. （2）由定义域可得，解得， 由已知可得， 所以， 所求不等式可转化为. 由在上为增函数可得，解得， 则不等式解集为. 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【详解】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减．证明见解析 (3) 【详解】（1）由，令，则，解得． （2）函数在上单调递减．证明如下：设，则，所以．因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减． （3）由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立．令，则，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．设．又，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 函数的单调性 题型一 定义法证明、判断单调性 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）用定义法证明：函数在上是增函数. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 题型二 求函数的单调区间 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 3.（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 题型三 利用单调性比较函数值大小 1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 题型四 复合函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 4．（2024高一·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 题型五 根据解析式研究函数单调性问题 1．（24-25高一上·全国·周测）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）函数的图象不可能是（    ） A．   B．  C．   D．   题型六 求函数的最值、值域 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数 ，则函数的最小值为 （   ） A． B． C．1 D．4 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值是 ． 3．（25-26高一·全国·假期作业）函数的值域为 ． 4．（24-25高一上·全国·周测）函数，的最大值为 . 5．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，求的取值范围． 题型一 根据函数的最值求参数 1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 3．（24-25高三下·全国·强基计划）已知，的值域为，则所有可能值为 ． 题型二 根据函数的单调性求参数 1．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 2．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 3.（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 题型三 应用单调性解不等式 1．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 题型四 不等式恒成立、有解问题 1．（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中a，．若对任意的，不等式在上恒成立，则b的取值范围为 ． 4．（2019高三·江苏·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 题型五 抽象函数综合问题 1．（多选）（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知函数满足，都有，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件为 C．为减函数 D．若，则 2．（22-23高一上·重庆万州·期中）定义在上的函数，满足，且当时，. (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 3．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，画出函数的图象，根据图象写出增区间； (2)若函数为上的增函数，求实数a的取值范围． 3．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数． (1)若，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围． 4．（19-20高一上·山西运城·期末）已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，. (1)判断的单调性并加以证明； (2)若，解不等式. 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$