3.1 勾股定理（第2课时 勾股定理的证明）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

3.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的证明 第三章 勾股定理 学 习 目 标 2 理解“赵爽弦图”证明的基本原理，会通过面积相等证明勾股定理． 探索勾股定理的不同证明方法，体会数形结合的思想． 1 知识回顾 C A B a b c 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理 符号语言： 则 a2＋b2＝c2. 在Rt△ABC中，若∠C＝90°， 问题引入 勾股定理是数学中一个重要的定理．古今中外的数学家都喜欢研究它．他们是如何证明这个定理的呢？ 新知探究 赵爽，东汉末至三国时代的吴国人，是中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家. 赵爽弦图 新知探究 讨论交流 “赵爽弦图”证明的基本思路是什么？ 利用“面积相等”证明． 操作思考 根据“弦图”的思路，用4张如图所示的直角三角形纸片拼成一个边长为c的大正方形．你能用这个图形证明勾股定理吗？ b c a b c a C A B D 证明：∵S正方形ABCD＝c2， S正方形ABCD＝4×ab＋(b－a)2， ＝2ab＋b2－2ab＋a2 ＝a2＋b2 ∴a2＋b2＝c2． 尝试交流 1. 用4张如图所示的直角三角形纸片拼成如图所示的大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ b c a b c a b a b a b a 证明：∵S大正方形＝(a＋b)2， S大正方形＝4×ab＋c2， ∴ (a＋b)2＝4×ab＋c2 a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2 ∴ a2＋b2＝c2． 尝试交流 2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理. b c a b a b a b a b c a b a ∟ ∟ ∟ c 尝试交流 2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理. b c a b a ∟ ∟ ∟ c 证明：∵S梯形＝(a＋b)2， S梯形＝ab＋ ab＋c2， ∴ (a＋b)2＝ab＋ ab＋c2 a2＋ab＋b2＝ab＋ab＋ c2 ∴ a²＋b²＝c². “总统”证法 知识链接 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法． 加菲尔德总统证法 探索交流 b c a b a b a b a b a a a a b b b (1) (2) 观察两个图形有什么相同点和不同点？ 同一个图形, 不同的分割方法. 利用下面图形，证明勾股定理． 探索交流 利用下面图形，证明勾股定理． b c a b a b a b a b a a a a b b b 证明：由图(1)得， S大正方形＝4×ab＋a²＋b²， 由图(2)得， S大正方形＝4×ab＋c2， ∴4×ab＋a²＋b²＝4×ab＋c2， ∴ a²＋b²＝c². (1) (2) 新知巩固 图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形． 试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理． 这个图形有几种不同的分割方法？ 新知巩固 图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形． 试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理． A B C D E F G 证明：如图， ∵S多边形ABEFG＝S梯形ABDG＋S梯形DEFG ＝b[(b＋(a＋b)]＋a[(a＋(a＋b)] ＝b2＋ ab＋a2＋ab ＝a2＋b2 ＋ab， S多边形ABEFG＝S正方形ACFG+2S直角三角形ABC ＝c2 ＋ab， ∴a2＋b2 ＋ab＝c2 ＋ab． 即a2＋b2＝c2． 思维提升 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°， 求证：a2＋b2＝c2. 证明：如图①，连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝EC=b－a. ∵ S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab， S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)， ∴ b2＋ab＝c2＋a(b－a). ∴ a2＋b2＝c2. 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放， 其中∠DAB＝90°. 求证：a2＋b2＝c2. 思维提升 证明：如图，连接BD，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F，则BF＝b－a. ∵ S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab， S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)， ∴ ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a). ∴ a2＋b2＝c2. F 课堂小结 勾股定理的证明 利用面积相等证明 赵爽弦图 图形不同的切割(或拼接)方法计算面积 感谢聆听！ Lavf58.20.100 $$