精品解析：广东省华附、省实、广雅、深中2024～2025学年高二下学期四校期末联考数学试题

华附、省实、广雅、深中2023级高二下学期四校联考 数　学 命题学校：深圳中学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化为抛物线的标准方程即可得解. 【详解】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式不等式的解法解不等式；再根据与解集之间的关系即可判断. 【详解】不等式等价于，解得：且， 因为且是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. 3 D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，则 故向量在向量方向上的投影向量为， 故向量在向量方向上的投影向量的模为， 故选：C 4. 已知数列的前项和，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与之间的关系建立等式即可求解. 【详解】由可得：， 则，解得：. 故选：C. 5. 函数的极小值点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点. 【详解】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是. 故选：C. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义和性质即可求解. 【详解】因为在双曲线的右支上， 所以由双曲线的定义可得：， 又因为， 所以，. 则，即. 故选：B. 7. 若曲线 () 与圆有公共点，且在点处的切线相同，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别对曲线和圆求导，根据斜率相等求出参数的值即可. 【详解】对曲线求导得，，所以切点所在的切线的斜率为， 因为圆的方程为，所以， 求导得，因为，所以， 所以有，化简得，解得. 所以点，所以切线方程为. 因为该切线与圆相切，所以圆心到该直线的距离等于半径， 即，解得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 8. 已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的减法可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，，A错； 对于B选项，的虚部为，B对； 对于C选项，对应的点的坐标为，位于第三象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 关于中心对称 B. 关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，计算出，A错误；B选项，计算出，B正确；C选项，，C错误；D选项，化简得到，换元得到，，求出最大值. 【详解】A选项，不恒等于4， 故不关于中心对称，A错误； B选项，， 故关于直线对称，B正确； C选项，， 故不是的一个周期，C错误； D选项，， 令， 则，即， ， 故当时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：BD 10. 统计是研究数据的学问，一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度. 已知10个数的平均数为5，根据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过7的是（ ） A. 标准差为0 B. 众数为3 C. 极差为5 D. 方差为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由标准差为0得到各数都相等，从而可判定；对于B：有3个3，保证众数为3，其后2个8连在一起，前面再一个数，保证2个8分别是第5个数和第6个数，其后再4个数，用最前面的数调整平均值，这样的反例可以举出；对于C：可设这10个数的最小值为，最大值为，这10个数为，其中，利用不等式的基本性质可以证明C正确；对于D：利用反证法，结合利用不等式的基本性质和琴生不等式可以证明D正确. 【详解】对于A：若标准差为0，10个数的平均数为5， 则10个数都是5，此时这组数据的中位数为，不超过7，故A正确； 对于B：设这10个数依次为， 则它们的平均数为，满足题意， 此时这组数据的中位数为，超过7，故B错误； 对于C：若极差为5，则可设这10个数的最小值为，最大值为， 这10个数为， 其中， ∵它们的平均数为10，则， ∵， ∴， 此时这组数据的中位数为， ∵， ∴，故C正确； 对于D：设已经从小到大排列好了，即， 现在我们用反证法说明若方差为5，这组数据的中位数不超过7，证明如下： 设这组数据的中位数超过7，即，∴， 又∵，∴，即， 所以， 所以， 所以， 同理， 又∵，∴， ∴， ∴方差为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有_______种. 【答案】60 【解析】 【分析】根据全排列公式计算即可求解. 【详解】由题意知，一个7，两个3，三个5共6个数字全排列，共种方法， 又因为6个数字中有两个3和三个5是重复的， 所以共有种方法. 故答案为：60. 12. 随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，并结合正态曲线的对称性即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 即 所以， 故答案为：. 13. 已知正四面体的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上(圆柱的高足够大)，且点到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值集合是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知有两种情况，在平移于底面且经过的截面圆的同侧和异侧两种情况，结合正四面体的几何性质，以及勾股定理即可求解. 【详解】由于到圆柱下底面的距离相等，故在平行于底面的一个截面圆上， 若也在平行于底面的截面上，根据正四面体的性质可知，投影到底面圆上分别为，时，此时显然可知与互相平分且垂直，因此与为底面圆上两条互相垂直的直径，因此， 若不在平行于底面的截面上，如图（1），设正四面体的棱长为，过的中点以及为平面，则平面， 取中点为, ， 由于平面，平面,故, 因此， 由于,则,故， 如图（2）：在过且平行于圆柱底面的截面圆中，由勾股定理可得，解得， 综上可得或， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解； （2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解． 【小问1详解】 解：由正弦定理知， ， ， 的周长为， ， ． 【小问2详解】 解：的面积， ， 由（1）知，，， 由余弦定理知， ， ． 15. 如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求，，求直线与面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 又因为为的中点，则，，则， 因为四边形为矩形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， ，、平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明出，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，， 所以，直线与面所成角的正弦值为. 16. 已知函数的定义域为，导函数为，满足，. （1）讨论函数()在上的单调性，并证明：； （2）求函数的图象与函数的图象的交点个数. 【答案】（1） 令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递减； ③当时，，所以对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递增； ④当时，令得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增,在上单调递减； 因此，取得，，即； 取得，，即; 故. （2）2 【解析】 【分析】(1)利用导数思想，结合分段讨论，能得到函数的单调区间，并利用，可得，结合赋值可比较大小； (2)利用交点问题转化为方程解的个数问题，再构造函数转化为函数零点个数问题，从而利用求导来判断单调性，结合特殊点的取值正负，可确定零点所在的区间及个数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则. 令，则. 因此在上单调递增，由于为增函数，， 故， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，， 故在，分别存在唯一零点 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 法二：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则， 令，则，， 故在上单调递增，且，， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在递减，在递增， 而，，， 故在，分别存在唯一零点， 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 17. 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. （1）若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； （2）记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； （3）教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 【答案】（1） （2） 设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则 且. “局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利 若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局 若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局 由全概率公式得 故. （3） 不妨设有无数支粉笔 题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔” “总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”.. 设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则 事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知. 注意到 得证. 【解析】 【分析】（1）方法一：根据二项分布直接求解即可；方法二：讨论甲获得最终胜利的情况，针对每种情况求对应的概率，它们的和即为所求结果. （2）讨论甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的情况，然后利用全概率公式进行求解即可. （3）先根据题意将的表达式列出来，然后利用组合数的公式进行化简，从而证明不等式成立. 【小问1详解】 设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利 法一： 事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局. 记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得 . 法二： 事件分三种情况 ①比赛局数为3，甲3局全胜 ②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局 ③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华附、省实、广雅、深中2023级高二下学期四校联考 数　学 命题学校：深圳中学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. 3 D. －3 4. 已知数列的前项和，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的极小值点是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线 () 与圆有公共点，且在点处的切线相同，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 8. 已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 关于中心对称 B. 关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为 10. 统计是研究数据的学问，一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度. 已知10个数的平均数为5，根据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过7的是（ ） A. 标准差为0 B. 众数为3 C. 极差为5 D. 方差为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有_______种. 12. 随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则_______________. 13. 已知正四面体的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上(圆柱的高足够大)，且点到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值集合是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 15. 如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求，，求直线与面所成角的正弦值. 16. 已知函数的定义域为，导函数为，满足，. （1）讨论函数()在上的单调性，并证明：； （2）求函数的图象与函数的图象的交点个数. 17. 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. （1）若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； （2）记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； （3）教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $