精品解析：浙江省嘉兴市北京师范大学南湖附属学校2024-2025学年 七年级下学期期中数学试卷

北师大南湖附校24学年第二学期期中考试试题卷 七年级 数学 学科 一、选择题（每小题有四个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键． 根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数且所含未知数的项的次数均为1的整式方程，逐一分析选项即可. 【详解】A. ：含有两个未知数x和y，且x和y的次数均为1，符合二元一次方程的定义； B. ：仅含有一个未知数x，属于一元一次方程，不符合条件； C. ：含有一个未知数x且存在二次项，属于一元二次方程，不符合条件； D. ：含有两个未知数x和y，但项的次数为2（x和y的次数之和），属于二元二次方程，不符合条件； 故选：A. 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（    ） A. 3.4×10-9m B. 0.34×10-9m C. 3.4×10-10m D. 3.4×10-11m 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：根据科学记数法的概念可知，0．00000000034用科学记数法可表示为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题的关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除、幂的乘方及积的乘方，掌握幂的运算法则是解本题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算法则逐项计算后即可得到答案． 【详解】选项A：，但题目中结果为，错误； 选项B：，与题目结果一致，正确； 选项C：，但题目中系数为2，错误； 选项D：，但题目结果为，错误． 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对顶角、垂线段性质、平行线判定，熟练掌握定义是解题关键.根据对顶角、垂线段性质、平行线判定及同位角性质逐一分析即可. 【详解】A. 相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角也相等，故A错误； B. 直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，此为垂线段最短性质，故B正确； C. 同一平面内垂直于同一直线的两直线才平行，未限定同一平面，故C错误； D.仅当两直线平行时，同位角才相等，故D错误. 故选:B. 5. 如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断． 【详解】解：A、当时，，本选项不符合题意； B、当时，，本选项不符合题意； C、当时，，本选项不符合题意； D、当时，，本选项符合题意． 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可． 【分析】A：应用平方差公式，应为，但选项结果为，错误； B： 可变形为，应用平方差公式得，但选项结果为，错误； C：应用完全平方公式，展开为，与选项结果一致，正确； D：正确展开为，但选项缺少，错误； 故选：C． 7. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等和折叠角相等． 根据由折叠可得，平行线的性质可得，再根据平角定义可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵折叠可得： ∵ ∴ ∴ 故选：B. 8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 方程组的解为，则方程组的解为(　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把方程组变形为：，然后利用整体思想求解． 【详解】解：方程组变形为：， 把和分别看作是一个整体，则， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题． 10. 已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据列出方程，求出k即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在原方程中，我们消去k，即可得到x，y的关系． 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①中，得：④， 把④代入③中，得：， ∴原方程组的解为． ①当x与y相等时，， 即， 解得：， ∴①正确； ②∵方程的两根互为相反数， ∴， 即， 解得：， ∴②正确； ③， ∴， ∴， ∴， ∴， 将方程组的解代入得：， 解得：， ∴③正确； ④， 得， 即． ∴④正确． 综上所述，①②③④都正确． 故选A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，幂的乘方，同底数幂的乘法运算，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知方程，改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，等式的性质，根据等式的性质将等式两边同时减去即可求解，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， 把代入得：， ∴ 则， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 15. 如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，，又因为，所以可得． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键． 16. 一副直角三角尺如图①叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图②，当∠BAD=15°时，有一组边BC∥DE，请再写出两个符合要求的∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）的度数_________. 【答案】45°，60，105°，135° 【解析】 【分析】分情况讨论AB∥DE的情况，即可得到答案. 【详解】（1） ∵∠BAD=45°，∠BAC=90°， ∴∠CAF=45°， ∴∠D=∠CAF=45°， ∴DE∥AC； （2）如图所示， 当∠BAD=60°时， ∴∠B=∠BAD=60°， ∴BC∥AD； （3）当∠BAD=105°时，如图， 即∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°， ∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°， ∴∠BAE=∠B=60°， ∴BC∥AE； （4）当∠BAD=135°时，如图， 则∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°. ∴∠EAB=∠E=90°， ∴AB∥DE. 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是分情况讨论. 三、解答题（本题有8小题，17－22每题6分23、24每题8分共52分 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）分别计算零指数幂，负整指数幂，然后合并即可； （）分别计算同底数幂乘法，积的乘方，然后合并同类项即可． 【详解】解：（） ； （） ． 18. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）利用多项式除以单项式的法则进行计算即可； （）先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把，代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：（） ； （） ， 当，时， 原式 ． 19. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，灵活选择合适的方法是解题的关键． （）用加减消元法解方程组； （）用代入消元法解方程组． 【小问1详解】 解： 得，解得：， 把代入得，，解得：， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由得， 把代入得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴方程组的解为． 20. 如图：在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在网格顶点处．现将三角形平移得到三角形，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E． （1）请画出平移后的三角形，若连接，，则这两条线段之间的关系是________． （2）求三角形的面积． 【答案】（1）如图， 即为所求； 平行且相等 （2）7 【解析】 【分析】（1）观察发现D点是由A点先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到的．因此将B点和C点也按相同方式平移即可得到E点和F点．再顺次连接D、E、F即可．根据“平移前后对应点的连线平行且相等”可得与平行且相等． （2）利用割补法求的面积即可． 本题主要考查了平移的性质、网格当中的平移作图以及利用割补法求三角形面积．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【小问1详解】 连接，，则与平行且相等， 故答案为：平行且相等 【小问2详解】 ， 即的面积是7． 21. 如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形． （1）图中阴影部分的正方形的边长是______； （2）利用图中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式，，之间的数量关系是____________． （3）利用（）中的结论，对于实数，当，时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了乘法公式与图形面积，读懂题意，正确计算是解题的关键． （）由小长方形的边长即可得到答案； （）由图中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为，即可得到答案； （）由（）可知，则有，然后把，代入即可得到答案． 【小问1详解】 解：图中阴影部分的正方形的边长是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（）知， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 【答案】（）；（）；（）多项式的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解题的关键． （）根据完全平方式的形式求解即可； （）利用配方法的步骤求解即可； （）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【详解】解：（）∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：； （）由题意得：， 故答案为：； （） ， ∵，， ∴， ∴多项式的最小值为． 23. 如图1，在三角形中，，直线a与边分别交于D、E两点，直线b与边分别交于F、G两点，且． （1）若，求的度数； （2）如图2，P为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，延长交直线b于点Q，在射线上有一动点P，连接，请直接写出的数量关系（用含m的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）延长，结合平行线性质和外角定理即可． （2）延长，结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可． （3）结合题意画出图形，分类讨论即可． 【小问1详解】 解：延长交b于Q点， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：延长交b于Q点， ∵，， ∴， 在中， ∴， 又∵， ∴， 【小问3详解】 解：①当点P在的延长线上时，如图， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． ②当点P在上时，如图， 同理可得，． 综上，的数量关系为：或． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任王老师去文具店购买，两种款式的笔记本作为奖励． 素材 买本款普通笔记本，本款普通笔记本共需元； 买本款普通笔记本，本款普通笔记本共需元． 素材 为了满足市场需求，文具店推出每本元的加印服务，顾客在选完款式后可以自主选择加印或者不印． 素材 王老师购，两款普通笔记本和加印笔记本各若干本，其中款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的． 问题解决 任务 求款普通笔记本和款普通笔记本的销售单价． 任务 学习委员为更好的了解王老师所买的各种笔记本的本数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式 普通笔记本（本） 加印笔记本（本） 款加印与款普通笔记本之和为______（用含，的代数式表示）； 若王老师购买笔记本一共用了元，求王老师购买笔记本的总本数． 【答案】任务：款普通笔记本的单价为元，款普通笔记本的销售单价为元；任务：；王老师购买笔记本的总本数为本． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程． 任务：设款普通笔记本的单价为元，款普通笔记本的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务：根据款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的，得购买笔记本总本数为本，即可解决问题； 根据王老师购买笔记本一共用了元，列出二元一次方程，求出满足条件的正整数解，即可解决问题． 【详解】解：任务：设款普通笔记本的单价为元，款普通笔记本的销售单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：款普通笔记本的单价为元，款普通笔记本的销售单价为元； 任务：∵款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的， ∴购买笔记本总本数为本， ∴款加印笔记本与款普通笔记本之和为：（本）， 故答案为：； 由题意得：，整理得， ∵为正整数，且， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 答：王老师购买笔记本的总本数为本． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大南湖附校24学年第二学期期中考试试题卷 七年级 数学 学科 一、选择题（每小题有四个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（    ） A. 3.4×10-9m B. 0.34×10-9m C. 3.4×10-10m D. 3.4×10-11m 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 5. 如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（    ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 方程组的解为，则方程组的解为(　 　) A. B. C. D. 10. 已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知方程，改写成用含的式子表示的形式______． 12. 计算：______． 13. 若，，则______． 14. 对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是______． 15. 如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________． 16. 一副直角三角尺如图①叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图②，当∠BAD=15°时，有一组边BC∥DE，请再写出两个符合要求的∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）的度数_________. 三、解答题（本题有8小题，17－22每题6分23、24每题8分共52分 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 19. 解方程组： （1）； （2）． 20. 如图：在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在网格顶点处．现将三角形平移得到三角形，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E． （1）请画出平移后的三角形，若连接，，则这两条线段之间的关系是________． （2）求三角形的面积． 21. 如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形． （1）图中阴影部分的正方形的边长是______； （2）利用图中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式，，之间的数量关系是____________． （3）利用（）中的结论，对于实数，当，时，求的值． 22. 阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 23. 如图1，在三角形中，，直线a与边分别交于D、E两点，直线b与边分别交于F、G两点，且． （1）若，求的度数； （2）如图2，P为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，延长交直线b于点Q，在射线上有一动点P，连接，请直接写出的数量关系（用含m的式子表示）． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任王老师去文具店购买，两种款式的笔记本作为奖励． 素材 买本款普通笔记本，本款普通笔记本共需元； 买本款普通笔记本，本款普通笔记本共需元． 素材 为了满足市场需求，文具店推出每本元的加印服务，顾客在选完款式后可以自主选择加印或者不印． 素材 王老师购，两款普通笔记本和加印笔记本各若干本，其中款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的． 问题解决 任务 求款普通笔记本和款普通笔记本的销售单价． 任务 学习委员为更好的了解王老师所买的各种笔记本的本数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式 普通笔记本（本） 加印笔记本（本） 款加印与款普通笔记本之和为______（用含，的代数式表示）； 若王老师购买笔记本一共用了元，求王老师购买笔记本的总本数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $