精品解析：四川省达州市渠县东安雄才学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

渠县东安雄才学校2025年春季学期第二轮月考 初二年级数学试卷 卷面总分150分，考试时间为120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 是不等式的一个解 B. 是不等式的解集 C. 不等式的解集是 D. 是不等式的解集 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 3. 已知的三条边分别为a，b，c下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴3x+4x+5x=180°，解得x=15° ∴∠C=5×15°=75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符号题意； B、∵52+122=132， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D、此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 4. 如图，三角形沿方向平移得到三角形，已知，，那么平移的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，易得平移的距离，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：平移的距离为． 故选：B． 5. 如果的解集为，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. m是任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质3可得，，，解不等式即可求解． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键 6. 如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的计算，整式加减．根据，，，通过计算即可求解． 【详解】解：如图， 由图形得，，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰在线段上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据旋转的性质可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，据此可判断A、B，根据三角形外角的性质和内角和定理，可判断C、D． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴，故B结论正确，符合题意； ∵， ∴与不平行，故A结论错误，不符合题意； ∵，， ∴， ，C结论错误，不符合题意； ， ， ， 与不垂直，D结论错误，不符合题意； 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，点和图形在第一象限内，过点作轴和轴的垂线、垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且．则称四边形是图形的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．如：如图，，，，，四边形是线段的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．若在直线上存在图中的覆盖的特征点，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解不等式组，理解题意，掌握一次函数的性质是解题的关键． 设，根据覆盖的特征点的定义，当为线段的覆盖的特征点时，求得的范围，当为线段的覆盖的特征点时，求得的范围，即可求解； 【详解】解：依题意，设， 当为线段的覆盖的特征点时，则， 解得； 当为线段的覆盖的特征点时，则， 解得， 综上所述，当时，为的覆盖的特征点， ∴选项符合题意， 故选：． 9. 如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　） A. 190° B. 195° C. 200° D. 210° 【答案】D 【解析】 【分析】作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP．由题意可求出．由所作辅助线可判断CD为AB的垂直平分线，即得出，从而得出，进而可求出．由图易求出，由三角形外角性质可求出，即．再根据，即得出，从而可证明，即得出AC=AO．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出的值，再根据三角形内角和定理可求出的值，相加即可． 【详解】如图，作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP． 由题意可求出， ∵， ∴． ∵， ∴CD为AB的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴AC=AO． ∵， ∴． ∵， ∴ 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，综合性强，较难．正确做出辅助线是解题关键． 10. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论： ①的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴， ，， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴ ∴，故②正确 ∵， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. “的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式的知识，理解非负数即是大于或等于0的数，是解答本题的关键． 根据题意直接列不等式即可． 【详解】解：“的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为：， 故答案为：． 12. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，与交于点F，若，则____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意可得，，，推出为等腰直角三角形，由直角三角形的性质可得，即可得出，最后再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带瓶，则剩余瓶；若每人带瓶，则有个人带了矿泉水，但不足瓶．这家人参加登山的人数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式组的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出一元一次不等式组． 设登山人数为人，则矿泉水有瓶，根据题意列出不等式组，解不等式组后确定整数解即可． 【详解】解：设登山人数为人，则矿泉水有瓶， 依题得：， 解得， 人数应为整数， ， 即这家人参加登山的人数为人． 故答案为：． 14. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F，交 AC 于 E，交 BA 的延长线于 G，若 EG＝3，则 BF 的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可 【详解】∵AC的垂直平分线FG， ∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°， ∵∠BAC=120°， ∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°， ∴∠B=∠G， ∴BF=FG， ∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3， ∴AG=2AE， 即（2AE）2=AE2+32， ∴AE=（负值舍去） 即CE=， 同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF， （2EF）2=EF2+（）2， ∴EF=1（负值舍去）， ∴BF=GF=EF+CE=1+3=4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 15. 如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点D作于点M，点F作于点N，分①点E在点B的左侧时，②点E在点B的右侧时，③点N与点D重合三种情况讨论，都可以得到，重合得到点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行，再根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，最小，重合得解． 【详解】解：过点D作于点M，过点F作于点N， ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴ 又∵，D为中点， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ①当点E在点B的左侧时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ②当点E在点B的右侧时，作图如下： ∵，， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ③当点与点重合时，作图如下： 由图可知：， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， 综上所述：点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行． 根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，最小， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，推断出“点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行”是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）， 解集在数轴上表示如下： ； （2）；所有整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解不等式（组），在数轴上表示不等式的解集，熟练计算是解题的关键． （1）先解不等式，再将解集在数轴上表示出来； （2）先解每个不等式，再写出不等式组的解集，最后得到整数解即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， （2）, 解①得； 解②得， 故不等式组的解集为， 故不等式组的整数解为． 17. 已知，如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，．求边的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质可得，即得，进而由三角形外角性质得，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度后得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形，并求出三角形的面积； （2）若点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，求出点的坐标． 【答案】（1）画图见详解，7 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，割补法求面积，通过面积求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握平移的性质和割补法． （1）①根据平移的性质，向左平移横坐标减去平移的长度，向上平移纵坐标加上平移的长度，找到三个顶点平移后的对应点坐标，连接三个顶点即可； ②根据平移的性质求出平移后对应顶点的坐标，构造矩形，求出相关线段的长度，用矩形的面积减去外围三个三角形的面积，剩下的即为所求三角形的面积； （2）分情况讨论，即点在点的上方和下方，利用三角形的面积求出底边的长，根据平移的性质即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：①即为所求； ②如图构造矩形， 经过平移后可得,,, ∴,,， ，，，，，， ， ， ∴三角形的面积是7； 【小问2详解】 解：根据题意假设点的坐标为， ， 即， 解得， ∴点的坐标为或． 19. 已知：如图，四边形中，，，，，， （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）84 【解析】 【分析】本题考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ． ，，， ，， ， 是直角三角形，； 【小问2详解】 解：； ， ， 四边形的面积为84． 20. 已知关于的二元一次方程组． （1）若，求的值； （2）若均为非负数，求的取值范围； （3）已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值，的最小值 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求出，得到，求解即可； （2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案； （3）求出，根据一次函数的性质求得的最大值，的最小值． 【小问1详解】 解：关于的二元一次方程组， 将①＋②，得， ， ， ； 【小问2详解】 解：解关于的二元一次方程组，得 均为非负数， ，且， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：， ， ∵， 随着的增大而增大， ， 的最大值，的最小值． 21. 如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 22. 某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元，购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． （1）A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元 （2）当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元； 【小问2详解】 解：购进件种农产品，则购进件种农产品， 根据题意得：， 解得：． 设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则 ，即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时． 答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多． 23. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）54 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 所以的面积为． 24. 探究函数的性质可以扩展我们的数学思维、某班数学兴趣小组同学探究函数（a，b为常数，且）的性质，探究过程如下，请解决下列问题： （1）绘制函数图象： ①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 m … 分析数据，完成填空：________，________，_______； ②描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点，现已描出部分点，请补充表中未描出的各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象． （2）探索函数性质： 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而________； （3）运用函数性质： ①不等式的解集是________； ②当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且小于7，则t的值为________． 【答案】（1）①2；1；7； ③画出函数图象，如图所示： （2）增大 （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）将时，；，分别代入即可求与的值，然后把代入即可求得m的值；然后描点，连线画出函数图象即可； （2）根据图象得出函数的性质即可； （3）①根据图象即可求解即可； ②先求出当，时，t的值，然后根据函数图象，得出答案即可． 【小问1详解】 解：①当时，；当时，， ， 解得， 函数的解析式为， 把代入得， ； ③略 【小问2详解】 解：根函数图象可知：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 解：①根据函数图象可知，当或时，的函数值大于等于5， ∴不等式的解集为：或； ②把代入得：， 把代入得：， 解得：， 如图，当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且小于7，的值应该满足当． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，画函数图象，两条直线的交点问题；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 25. 在中，，，点E为的中点，于点F，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当时，若，求的长． （2）如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得出，根据勾股定理求出解答即可； （2）连接、，取的中点，作于点，连接、、，利用证明，即可得到，然后推理得到，即可得到，，进而得到E、F、L三点在同一条直线上，然后利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【小问2详解】 ， 证明：如图2，连接、，取的中点，作于点，连接、、， ∵将线段绕点逆时针旋转（）得到线段， ∴，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴E、F、L三点在同一条直线上， ∴， ∵E、Q、L分别是、、的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，添加合适辅助线，构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县东安雄才学校2025年春季学期第二轮月考 初二年级数学试卷 卷面总分150分，考试时间为120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 是不等式的一个解 B. 是不等式的解集 C. 不等式的解集是 D. 是不等式的解集 3. 已知的三条边分别为a，b，c下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 4. 如图，三角形沿方向平移得到三角形，已知，，那么平移的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 5. 如果的解集为，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. m是任意实数 6. 如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰在线段上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点和图形在第一象限内，过点作轴和轴的垂线、垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且．则称四边形是图形的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．如：如图，，，，，四边形是线段的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．若在直线上存在图中的覆盖的特征点，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　） A. 190° B. 195° C. 200° D. 210° 10. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论： ①的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. “的5倍加上2的和是一个非负数”用不等式表示为________． 12. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，与交于点F，若，则____ ． 13. 有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带瓶，则剩余瓶；若每人带瓶，则有个人带了矿泉水，但不足瓶．这家人参加登山的人数为_______． 14. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F，交 AC 于 E，交 BA 的延长线于 G，若 EG＝3，则 BF 的长是______． 15. 如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ____________________． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 17. 已知，如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，．求边的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度后得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形，并求出三角形的面积； （2）若点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，求出点的坐标． 19. 已知：如图，四边形中，，，，，， （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 20. 已知关于的二元一次方程组． （1）若，求的值； （2）若均为非负数，求的取值范围； （3）已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 21. 如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 22. 某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元，购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． （1）A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 23. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 24. 探究函数的性质可以扩展我们的数学思维、某班数学兴趣小组同学探究函数（a，b为常数，且）的性质，探究过程如下，请解决下列问题： （1）绘制函数图象： ①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 m … 分析数据，完成填空：________，________，_______； ②描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点，现已描出部分点，请补充表中未描出的各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象． （2）探索函数性质： 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而________； （3）运用函数性质： ①不等式的解集是________； ②当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且小于7，则t的值为________． 25. 在中，，，点E为的中点，于点F，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当时，若，求的长． （2）如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $