1.1 探索勾股定理 第2课时课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第1章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及其简单计算 导入新课 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角． 这种方法对吗？ 2 探究新知 【探究1】拼图验证勾股定理 1. 准备四个全等的直角三角形 （设直角边分别为 a，b，斜边为 c） 2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗？ a b c 问题1：图②中正方形ABCD的边长是______，正方形ABCD的面积可表示为________． a＋b (a＋b)2 问题2：图②中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为___________． ab+ 问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形的面积，所以结果应_______． 问题4：现在，你能验证勾股定理吗？ 问题5：利用图③如何 验证勾股定理？ 相等 所以 a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， 所以 a2 +b2 = c2. 证明： 因为 S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4×ab + c2 = c2 + 2ab， a a a a b b b b c c c c 毕达哥拉斯证法 归纳总结 【探究2】深入了解勾股定理的证法 自主探究 问题1：画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？ 合作探究 问题2：为了计算教材P4图1-4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到教材P4图1-5、 图1-6. (1)将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的式子表示出来． (2)教材图1-5、图1-6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？ (3)你能分别利用教材图1-5、 图1-6验证勾股定理吗？ (3)解：图1-5：(a＋b)2＝×4＋c2， 化简，得：a2＋b2＝c2； 图1-6：×4＋(b－a)2＝c2， 化简，得：a2＋b2＝c2. 问题3：你能利用教材P5图1-7，1-8验证勾股定理吗？ a b c b- a 拓展提升 因为 S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， 所以 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 证明： 所以c2 ＝4ab+ (b - a)2 ＝ a2 b2 “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 解：图1-7：52＝×4＋12，即52＝32＋42； 图1-8：设直角三角形中，较长直角边为b，较短直角边为a，斜边长为c， 则c2＝×4＋(b-a)2， 即c2＝a2＋b2. 问题4：如果一个三角形是钝角三角形或锐角 三角形，它的三边长能满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？说说你的判断和理由，并与同伴进行交流. ①在钝角三角形中， 三边长分别为a，b，c其中 c 为最大边长， 则 a2 + b2 < c2； b a c b a c ②在锐角三角形中， 三边长分别为a，b，c其中 c 为最大边长， 则 a2 + b2 > c2. S = 9 S = 25 S = 10 S = 9 S = 10 S = 13 归纳总结 a a a a b b b b c c c c 毕达哥拉斯证法 赵爽弦图 a a b b c c “总统证法” 刘徽证法 欧几里得法 【点击播放】 勾股定理的证明方法有300多种，必须是直角三角形的三边才能满足a2＋b2＝c2. 应用举例 【例1】(教材P5例题)在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得 汽车与他相距500 m．你能帮王叔叔 计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗？ 公路 B C A 400 m 500 m 【方法指导】 (1)根据题意画出简单的示意图如图所示． (2)在直角三角形中已知什么边？要求什么边？ 在直角三角形中已知斜边和一条直角边，要求另一条直角边． (3)如何计算蓝方汽车的速度？ 公路 B C A 400 m 500 m 公路 B C A 400 m 500 m 解：根据题意，可以画出图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置. 由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角. 由勾股定理，可得 AB2 = BC2 + AC2， 也就是 5002 = BC2 + 4002， 所以 BC = 300. 蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m， 那么它 1 s 行驶的距离为 300÷10 = 30 (m)， 即蓝方汽车这10 s 的平均速度为 30 m/s. 【例2】(教材P6随堂练习)如图是某沿江地区交通平面图的一部分(单位：km)，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的 建设成本预计是多少？ 解：在Rt△MON中，由勾股定理， 得OM2＝MN2＋NO2， 即OM2＝302＋402＝2 500， ∴OM＝50 km. 在Rt△OPQ中，由勾股定理，得OQ2＝OP2＋PQ2， 即OQ2＝502＋1202＝16 900， ∴OQ＝130 km， 5 000×(50＋130)＝900 000(万元). 答：该沿江高速公路的建设成本预计是900 000万元． 2 m 1.5 m A B D C 【例3】 分小组讨论：一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 横着通过 竖着通过 斜着通过 2.4 m > l.5 m， 故横着无法通过 A B C D 1.5 m 2m A B C D 1.5 m 2m 2.4 m > 2 m， 故竖着无法通过 A B C D 1.5 m 2m 对角线 AC 是可斜着通过的最大长度，若 AC > 2.4m，则可以斜着通过 木板从门框通过的方式 2 m 1.5 m A B D C 解：连接 AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC2＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.52. 所以 AC＝2.5 m. 因为 AC 大于木板的宽 2.4 m， 所以木板能从门框内通过. 随堂练习 1．放学以后，小红和小颖分别沿着东北方向和西北方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40 m/min，小红用15 min到家，小颖用20 min到家，小红和小颖家的距离为 ( ) A．600 m B．800 m C．1 000 m D．不能确定 C 169 2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠CBD＝90°，AD＝4，AB＝3，BC＝12，则以DC为边的正方形DCEF的面积是____． 3．如图，一架云梯长10 m，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6 m，要使梯子顶端离地面8 m，则梯子的底部在水平方向要向左滑动____m. 2 4.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走 “捷径”，在草坪内走出了一条“径路”， 却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步 (假设 2 步为 1 米)？ C A B 别踩我，我怕疼! (2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4(步). 解：(1) 在Rt△ ABC 中， 根据勾股定理得 32 + 42 = 25， ∴这条“径路”的长为 5 米. AB = 5 (米) C A B 别踩我，我怕疼! 5．如图，受某次台风的影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部12 m处，这棵树断裂后有多高？ 解：设这棵树断裂后高x m. 根据题意，得x2＋122＝(18-x)2， 解得x＝5. 答：这棵树断裂后高5 m． 课堂小结 探索勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理的简单运用 $$