精品解析：云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高三下学期第二次高考模拟测试数学试题

丽江市第一高级中学2024-2025学年高三第二次高考模拟测试 数学试卷 注意事项: 1. 试卷总分 150分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生先将自己的姓名，考号等内容填写清楚. 3. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色碳素笔或钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚. 4. 请按照题号顺序在各题目对应的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5. 保持答题卷面整洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂改液、涂改胶条. 一、单选题（本大题共8小题，共计40分） 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若指数函数图像与射线（）相交，则（ ） A. B. C. D. 6. 若点在双曲线一条渐近线上，点在圆上，且的最小值等于1．则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 满足的集合M共有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个 8. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共计18分） 9. 设是抛物线弧上一动点，点是的焦点，，则（ ） A. B. 若，则点的坐标为 C. 的最小值为 D. 满足面积为的点有3个 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） A. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B. C. 第34行中从左到右第14与第15个数的比为 D. 由“第n行所有数之和为”猜想： 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 三、填空题（本大题共3小题，共计15分） 12. 已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________. 13. 现有甲、乙两个实心铁块，甲的形状是底面半径为，母线长为的圆锥，乙的形状是上、下底面边长分别为1和2，高为的正三棱台，将甲的底面朝下，乙的下底面朝下放在水平地面上，设甲、乙对地面的压强分别为，则______.（压强等于压力除以受力面积） 14. 在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则__________. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）求在区间最大值和最小值． 16. 已知函数f(x)＝-x2＋2ax＋1-a． （1）若函数f(x)在区间［0，3］上是单调函数，求实数a的取值范围； （2）若f(x)在区间［0，1］上有最大值3，求实数a的值． 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1． （1）求椭圆C方程； （2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小． 18. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值； （3）过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知． （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若平面三角形为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丽江市第一高级中学2024-2025学年高三第二次高考模拟测试 数学试卷 注意事项: 1. 试卷总分 150分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生先将自己的姓名，考号等内容填写清楚. 3. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色碳素笔或钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚. 4. 请按照题号顺序在各题目对应的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5. 保持答题卷面整洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂改液、涂改胶条. 一、单选题（本大题共8小题，共计40分） 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B，再根据集合交集运算即可得答案 【详解】由，可得，所以， 所以. 故选：B 3. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解. 【详解】解：设直线的方程为， 把点坐标代入直线方程得. 所以所求的直线方程为. 故选：A 4. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程. 【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为， ，故，又， 故， 故双曲线的标准方程为：. 故选：C 5. 若指数函数的图像与射线（）相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况结合指数函数的图象，射线的端点进行分析求解即可 【详解】当时，代入射线得， 若，指数函数的图象过第一、二象限，且单调递减，要使指数函数的图象与射线有交点，则当时，，所以， 若，则可知两图象在第一象限一定有交点， 综上，或， 故选：D 6. 若点在双曲线一条渐近线上，点在圆上，且的最小值等于1．则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】求得圆心到渐近线的距离，由最小值为，即可求解. 【详解】由题意，双曲线渐近线方程为，则圆心到渐近线的距离， 故最小值为，， 故选：C 7. 满足的集合M共有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的定义知，集合为，2，的子集，通过列举法可得其个数． 【详解】由题意可得集合为，2，的子集，所以， ，，， ，，，，所以共有8个， 故选： 8. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，再求出即得解. 【详解】由，得，从而，所以的虚部为1． 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，共计18分） 9. 设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ） A. B. 若，则点的坐标为 C. 的最小值为 D. 满足面积为的点有3个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项由抛物线方程可知；B项由抛物线定义可得；C项可利用特值举反例，D项，将面积条件转化为点线距离，设点坐标求解方程可得. 【详解】对于A，抛物线弧的焦点为，故A正确； 对于B，若，解得， 所以，即点的坐标为，故B正确； 对于C，由选项B可知，点在抛物线弧上，设为， 则， 如图，可取，则， 由，又， 所以，即，即，故C错误； 对于D，直线的斜率为，所以方程为， ，设边上的高为， 若面积为，则，解得， 设点，则点到直线的距离即的高， 又，则， 所以或，又， 解得或， 所以满足面积为的点有3个（如图），故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是特值法的应用，如C项判断，取点，通过比较大小从而否定最小值；二是面积条件的转化，由底边确定可将面积转化为点线距离求解. 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） A. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B. C. 第34行中从左到右第14与第15个数的比为 D. 由“第n行所有数之和为”猜想： 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据组合数的性质及杨辉三角的性质计算可得； 【详解】解：对于A：显然，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：第行，第个数是，则第34行中从左到右第14与第15个数分别为，，所以，故C正确； 对于D：第n行所有数之和为，即，故D正确； 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可. 【详解】为奇函数，故，即①， 又为偶函数，故②， 则由①②可得，， 则，则一个周期为4， 在①中令有， 又当时，，则，则， 所以， 故A正确； 由②可得，，则， 即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数， 则是上的减函数， 因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误； 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数， 由题意得与的图象如下： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点， 所以有5个零点，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，共计15分） 12. 已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，由与的图象有两个交点来求得的取值范围. 【详解】画出图象如下图所示， ， 即与的图象有两个交点， 由图可知，的取值范围是. 故答案为： 13. 现有甲、乙两个实心铁块，甲的形状是底面半径为，母线长为的圆锥，乙的形状是上、下底面边长分别为1和2，高为的正三棱台，将甲的底面朝下，乙的下底面朝下放在水平地面上，设甲、乙对地面的压强分别为，则______.（压强等于压力除以受力面积） 【答案】1 【解析】 【分析】先求出圆锥正三棱台的体积，再设铁块的密度为，求出压强，进而得到. 【详解】 由已知得圆锥的高为3，体积为，正三棱台的体积为， 设铁块的密度为，则甲、乙对地面的压强分别为，所以. 故答案为：1. 14. 在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体外接球得半径公式求出半径，再求出外接球体积及三棱锥体积，最后求出比列即可. 【详解】由于，故. 将三棱锥补形为边长分别为的长方体， 则其外接球半径， 故. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）求在区间的最大值和最小值． 【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减； （2）在区间上的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式求出函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又. 令，解得或；令，解得. 所以函数在上单调递增；在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增. 所以当时，函数取得最小值， 又，， 而， 所以当时，函数取得最大值为：. 即在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知函数f(x)＝-x2＋2ax＋1-a． （1）若函数f(x)在区间［0，3］上是单调函数，求实数a的取值范围； （2）若f(x)在区间［0，1］上有最大值3，求实数a的值． 【答案】（1）a≤0或a≥3 （2）a＝-2或a＝3 【解析】 【分析】（1）先求函数对称轴，再根据开口方向以及对称轴与定义区间位置关系即可求出结果； （2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值 【小问1详解】 函数图像开口向下，对称轴为x＝a， 因为函数f(x)在区间［0，3］上是单调函数， 所以函数f(x)在区间［0，3］上增函数或减函数， 所以a≤0或a≥3． 【小问2详解】 f(x)对称轴为x＝a， 当a≤0时，函数f(x)在区间［0，1］上是减函数， 则f(x)max＝f（0）＝1-a＝3，即a＝-2； 当0＜a＜1时，函数f(x)在区间［0，a］上是增函数，在区间［a，1］上是减函数， 则f(x)max＝f（a）＝a2-a＋1＝3，解得a＝2或-1，不符合题意； 当a≥1时，函数f(x)在区间［0，1］上是增函数， 则f(x)max＝f(1)＝-1＋2a＋1-a＝3，解得a＝3； 综上所述，a＝-2或a＝3． 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1． （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小． 【答案】（1） （2）∠PFQ＝90° 【解析】 【分析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程． （2）当直线l的斜率不存在时，验证，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为．求出、．利用向量的数量积，转化求解即可． 【小问1详解】 由题意得 解得a＝2，c＝1， 从而， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0）， 则，，故，即∠PFQ＝90°． 当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0． 联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0． 由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，． 直线MA的方程为， 令x＝4，得，即，同理可得． 所以，． 因为 0，所以∠PFQ＝90°． 综上，∠PFQ＝90°． 18. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆． （1）求椭圆标准方程； （2）已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值； （3）过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可； （2）分别求出，，进而可求解； （3）分类讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离及面积公式求解即可. 【小问1详解】 设满足，整理可得， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）得该椭圆的蒙日圆为， 设，则，∴， 又、， ∴， 同理，∴， ， 所以． 【小问3详解】 ①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 所以， 所以四边形面积； ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为即， 则原点到的距离为， 所以． 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由于在椭圆内部，所以直线与椭圆必相交且， 所以 因为，所以四边形面积 ， 令，则， 故， ∵，∴，令，则单调递减， 所以当时，即四边形的最小值为． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知． （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若平面三角形为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②的最小值为，截面面积为 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得，即可代入公式求解， （2）①由余弦定理求解边长，结合勾股定理即可化简求解；②根据球的性质可得线线垂直，进而可证明平面，即可建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用向量的夹角公式，得，结合换元以及基本不等式即可求解的最大值得解，利用点面距离的向量法公式求解球心O到平面距离，即可利用勾股定理求解截面圆半径得解. 【小问1详解】 若平面两两垂直，有， 所以球面三角形面积为． 【小问2详解】 ①由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②由是球的直径，则， 且，平面， 所以平面，且平面，则， 且，平面，可得平面， 由直线与平面所成的角分别为，所以， 由于，则， 由， 以C为坐标原点，以所在直线为x，y轴， 过点C作的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 可得， 则 设平面法向量，则， 取，则，可得， 设平面法向量，则， 取，则，可得， 要使取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等，则取最大值，为最小值， 此时点，可得， 设平面中法向量，则， 取，则，可得， , 可得球心O到平面距离为， 设平面截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$