1.3 交集、并集 讲义-2025年暑期新高一数学苏教版（2019）必修第一册

第一章 集合 1.3交集、并集 知识点一、交集 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B） 符号语言：A∩B={x|x∈A,且x∈B} 图形语言： （1） 当B⫋A时，A∩B=B （2） 当A⫋B时，A∩B=A （3） 当A=B时，A∩B=B=A （4） 当A与B有公共元素，但互不包含时，A∩B为图中阴影部分 （5） 当A与B没有公共元素时，A∩B=Ø 交集的性质： 性质 说明 A∩B=B∩A 满足交换律 A∩A=A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩Ø=Ø 任何集合与空集的交集等于空集 （A∩B）∩C=A∩（B∩C） 满足结合律 （A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 A⊆B↔A∩B=A 任何集合同它子集的交集等于这个集合的子集，反之亦然 例1-1、 （1） 已知集合A={1,2,3,4,5}，B={-3,2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B A、 {3} B、{-3,2} C、{2} D、{-2,3} （2）已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|-2<x<1},则M∩N=___________。 例1-2、已知集合A={(x,y)|y=x}，B={(x,y)|y=4-x}，则A∩B=___________。 知识点二、并集 一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B） 符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B} 图形语言： （1）A⫋B时，A∪B=B （2）B⫋A时，A∪B=A （3）A=B时，A∪B=B=A （4）集合A与B有公共元素，相互不包含 （5）集合A与B没有公共元素 并集的性质： 性质 说明 A∪B=B∪A 满足交换律 A∪A=A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∩Ø=A 任何集合与空集的交集等于这个集合本身 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） 满足结合律 A⊆（A∪B），B⊆（A∪B） 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 A⊆B↔A∪B=B 任何集合同它子集的并集等于它本身，反之亦然 例2-1、已知集合M={-1,0,1}，N={0,1,2}，则M∪N=（ ） A、{-1} B、{0,1} C、{-1,0,1,2} D、{-2,-1,0,1,2} 例2-2、若集合A={x|-1<x<2}，B={x|0<x<3}，则A∪B=（ ） A、{x|-1≤x<3} B、{x|0<x<2} C、{x|-1<x<3} D、{x|-1<x≤3} 例2-3、集合A={x|ax-1=0}，B={x|x2-3x+2=0}，且A∪B=B，则a的值是____________。 例2-4、已知集合A={0,2,4,6,8}，B={0,1,2,3,4,5}，C={4,5,6}。 （1）A∩（B∪C），（A∩B）∪（A∩C）； （2）A∪（B∩C），（A∪B）∩（A∪C）。 知识点三、区间、无穷大的概念 例3-1、用区间表示下列数集： （1）{x|x≥1}=____________________; （2）{x|2<x≤3}=____________________; （3）{x|x>-1且x≠2}=____________________; （4）{x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}=____________________; （5）{x|x<-9}∪{x|9<x<20}=____________________。 例3-2、已知集合S={1<x≤7}，A={x|2≤x<5}，B={x|3≤x<7}。求下列各集合，将结果用区间表示，并写出所求集合中相等的集合。 （1）（CSA）∩（CSB）；（2）CS（A∪B）； （3）（CSA）∪（CSB）；（4）CS（A∩B）。 知识点四、德·摩根定律 ①表示A∩B； ②表示（CUB）∩A； ③表示（CUA）∩B； ④表示CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）。 结论：CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB） CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB） 例4-1、已知U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={3,4,5}，B={4,7,8}，求A∩B，A∪B，（CUA）∩（CUB），A∩CUB，（CUA）∪B 例4-2、（多选）已知全集U=R，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A、N∪M=M B、（CUM）∩N=Ø C、（CUN）⊆（CUM） D、（CUM）∩（CUN）=CUN 知识点五、容斥原理求元素个数 如果用card表示有限集中元素的个数，即card(A)表示有限集A的元素个数。 （1） card(A∪B )=card(A)+card(B)-card(A∩B); （2） card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)。 例5-1、某市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500位市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种报纸都订的有150人（假设只有这两种报纸）。试问： （1）只订日报不订晚报的有多少人？ （2）只订晚报不订日报的有多少人？ （3）至少订一种报纸的有多少人？ （4）有多少人不订报纸？ 例5-2、某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的人数是20，则这三天都开车上班的教师人数至多是（ ） A、8 B、7 C、6 D、5 能力点1、交集、并集、补集的基本运算 例1、 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2}，求A∩B，A∪B，（CUB）∪B，A∩CUB，CU（A∪B）。 能力点2、Venn图在集合混合运算中的应用 例2、已知全集U={x|x是不大于9的正整数},A ,B都是U的子集，（CUA）∩B={1,3},（CUB）∩A={2,4,8}，（CUA）∩（CUB）={6,9}，求集合A，B。 能力点3、集合运算中求参数问题 例3、已知集合A={x|1≤x≤7},B={x|m-1≤x≤2m+1}。 （1）若A∩B=B，求实数m的取值范围； （2）若A∪B=B，求实数m的取值范围。 能力点4、补集思想的应用 例4、已知集合A={x|x>a2+1或x<a}，B={x|2≤x≤4}，若A∩B=Ø，求实数a的取值范围。 能力点5、求解与集合运算相关的创新题的方法 例5、 设集合M={1,2,3,4,5}，若非空集合A满足：①A⊆M；②｜A｜≤min(A)(其中｜A｜表示集合A的元素个数，min(A)表示集合A中的最小元素）。则称集合A是集合M的一个“好子集”，则集合M的所有“好子集”的个数为（ ）。 A、10 B、11 C、12 D、13 易错1、已知集合A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R}，则=____________。 易错2、已知A={-3,a2,a+1}，B={a-3,2a-1,a2+1},若A∩B={-3}，求a的值。 达标检测： 1、 已知集合A={-1,0,1}，B={0,1,4}，则A∩B=（ ） A、 {0} B、{1} C、{0,1} D、{-1,0,1,4} 2、 已知集合A={x|0<x<2},B={x|1<x<5}，则A∪B=（ ） A、 {x|0<x<5} B、{x|2<x<5} C、{x|0<x<2} D、{x|x<2或x>5} 3、 区间（-3，2]用集合可以表示为（ ） A、 {-2，-1，0，1，2} B、{x|-3<x<2} C、{x|-3<x≤2} D、{x|-3≤x≤2} 4、 （多选）已知集合P={1,2}，Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（ ） A、-2 B、-1 C、1 D、0 5、某班有学生45人，其中体育爱好者33人，音乐爱好者24人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为___________。 6、设集合A={x|2m-1<x<m}，B={x|-4≤x≤5}。 （1）若m=-3，求A∪B； （2）若A∩B=Ø，求实数m的取值范围。 7、 已知集合A={4,5,6,7}，B={x∈N*|6≤x≤8}，全集U=A∪B，则集合CU（A∩B）的子集个数为（ ） A、5 B、6 C、7 D、8 8、 设集合A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},则下列选项中，满足A∩B=Ø的实数a的取值范围是（ ） A、 {a|0<a<6} B、{a|a<2或a>4} C、{a|a≤0或a≥6} D、 {a|a≤8} 9、 （多选）已知集合A={x|x<3},B={x|x>a+2},则下列结论正确的有（ ） A、 若A∩B=Ø，则a>0 B、 若a>1，则A∩B=Ø C、 若A∪B=R，则a<1 D、 若a<1，则A∪B=R 10、 （多选）设集合A={x|x2-8x+15=0},B ={x|ax-1=0}。若A∩B=B，则实数a的值可以为（ ） A、 B、0 C、3 D、 11、 已知A={a1,a2,a3,a4},B={a12,a22,a42}且a1<a2<a3<a4，其中ai∈Z(i=1,2,3,4),若A∩B={a2,a3}，a1+a3=0,且A∪B的所有元素之和为56，则a3+a4=___________。 12、 已知A={x|x2-6x+5=0}，B={x|ax-1=0}。 （1） 若a=1，求CAB； （2） 从①A∪CRB=R，②A∩B=B，③B∩CRA=Ø这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答。若_________，求实数a的所有取值构成的集合C。 13、 已知集合A={x|-2<x<8},B={x|2m-1<x<m+3}。 （1） 若A∪B=A，求实数m的取值范围； （2） 若A∩B={x|a<x<b}，且b-a=3,求实数m的值。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$