专题08有理数的乘方-2025年小升初数学暑假自学课（人教版）

2025年小升初数学暑假自学课 专题08 有理数的乘方 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：有理数幂的概念 求个相同因数的积的运算叫做乘方。记作：，读作“的次幂”，或“的次方”。 幂：乘方的结果叫做幂 ； 底数：叫做底数；指数：叫做指数。 【典例分析01】的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【变式训练01】把写成乘方形式 ． 【变式训练02】代数式的意义可以是（     ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 【变式训练03】表示的意义是（     ） A．5个2相乘 B．5个2相乘的积的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的积的相反数 【变式训练04】（1）的底数是 ，指数是 ； （2）的底数是 ，指数是 ； （3）的底数是 ，指数是 ． 【变式训练05】求 数的 的运算，叫乘方；乘方的结果叫做 ；在式子中，a叫做 ，n叫做 ．一个数可以看作这个数本身的 次方． 【变式训练06】下列对于式子的说法， 错误的是（     ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 知识点二：有理数的乘方运算 根据乘方的定义，将乘方转化成乘法运算，再根据乘法的运算方法，进行计算。 【典例分析02】填空： ； ； ； ； ； ． 【变式训练01】计算：（　　） A． B． C． D． 【变式训练02】计算的结果是 ． 【变式训练03】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练04】下列各组中的两个数，运算后的结果相等的是（   ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【变式训练05】有理数，，，按从小到大的顺序排列是（ ） A． B． C． D． 【变式训练06】下列各组数中，①﹣（﹣2）和﹣|﹣2|；②（﹣1）2和﹣12；③23和32；④（﹣2）3和﹣23．互为相反数的有（　 　） A．④ B．①② C．①②③ D．①②④ 知识点三：含字母的乘方运算 【典例分析03】若，则的值是（    ） A． B．1 C．0 D．2 【变式训练01】若a，b互为相反数，则（a+b﹣1）2016＝ ． 【变式训练02】若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．无法计算 【变式训练03】已知与互为相反数，那么（　　） A．3 B． C． D．9 知识点四：乘方运算的符号规律 乘方计算中的规律： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数； ③任何数的偶次幂是非负数，即：； ④等于1后面加个0； ⑤0的任何非0次幂都是0；0的0次方没有意义。 ⑥1的任何次幂都是它本身，的偶次幂是1，的奇次幂是 【典例分析04】判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练01】已知为正整数，计算的结果是 ； 【变式训练02】如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 知识点五：数字类规律的探究 【典例分析05】观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【变式训练01】观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练02】仔细观察下列三组数： 第一组：﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…． 第二组：1，﹣4，9，﹣16，25，… 第三组：﹣2，﹣8，﹣18，﹣32，﹣50，… （1）第一组的第6个数是 　 　； （2）第二组的第n个数是 　 　； （3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和． 【变式训练03】探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 知识点六：程序流程图 【典例分析06】有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练01】如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 ． 【变式训练02】按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为 ． 【变式训练03】按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是（　　） A．16 B．26 C．﹣16 D．﹣26 【变式训练04】按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 知识点七：含乘方的有理数混合运算 【典例分析07】计算 （1）4+（﹣2）2×2﹣（﹣36）÷4；（2）16÷（﹣2）3﹣（）×（﹣4）． （3）（4） 【变式训练01】计算： (1)；(2)． (3)．(4)． 三、课后巩固 1．表示（     ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 2．下列关于的说法中，正确的是（   ） A．底数是，指数是4 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．计算结果为 3．下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 4．下列算式中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各组数是互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．计算： ， ， ． 7．计算： ； ； ． 8．已知，则 ． 9．已知有理数a，b满足，则 ． 10．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 11．计算： 12．计算： (1)；(2)． 13．观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； (2)第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【典例分析01】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 【变式训练01】 【分析】本题主要考查了乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫乘方，掌握乘方的定义是解题的关键． 由乘方的定义即可得出结果． 【详解】解：根据乘方的定义可得：． 故答案为：． 【变式训练02】D 【分析】根据幂的定义，乘法的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了，幂的概念理解，解题的关键是：理解幂的概念． 【详解】解： A、6个n相加，表示为：，不符合题意， B、6个n相乘，表示为：，不符合题意， C、n个6相加，表示为：，不符合题意， D、n个6相乘，表示为：，符合题意， 故选：D． 【变式训练03】B 【分析】本题主要考查了乘方的意义，相反数的定义，表示的是个相乘的积，据此可得表示的意义，再由相反数的定义即可得到答案． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的积，故表示的意义是5个2相乘的积的相反数， 故选：B． 【变式训练04】 4 4 / 3 6 2 【分析】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘． （1）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （2）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （3）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可． 【详解】解：（1）的底数是4，指数是4； 故答案为：4；4； （2）的底数是，指数是3； 故答案为：；3； （3）的底数是，指数是2． 故答案为：6；2． 【变式训练05】 几个相同因 积 幂 底数 指数 1 【分析】根据有理数乘方相关概念，即可求解． 【详解】解：求几个相同因数的积的运算，叫乘方；乘方的结果叫做幂；在式子中，a叫做底数，n叫做指数．一个数可以看作这个数本身的1次方． 故答案为：几个相同因、积、幂、底数、指数、1 【点睛】此题考查了有理数乘方的相关概念，熟练掌握有理数乘方的有关概念是解题的关键． 【变式训练06】C 【分析】本题考查有理数幂的概念，根据有理数幂的概念进行判断即可． 【详解】解：， 对于，底数是，指数是2，表示2个相乘，幂为16； 故错误的是C； 故选C． 【典例分析02】 9 / 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：；；；；； 故答案为：9，，，，，． 【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键． 【变式训练01】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方计算，根据有理数的乘方运算法则计算即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方计算的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 【变式训练02】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先计算，同时根据乘方意义把改写成，然后利用乘法结合律计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式训练03】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，乘方运算，根据乘方的意义计算后比较即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选B． 【变式训练04】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断． 【详解】解：A． ∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，故此选项符合题意； C．∵，， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练05】B 【分析】本题考查有理数比大小，熟练掌握两个负数比大小的方法是解题的关键，先将所有的有理数进行化简，利用两个负数的大小，绝对值大的反而小，判断和大小，再逐一排序即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵，， ∴， ∴有理数，，，按从小到大的顺序排列为， 故选：B． 【变式训练06】B 【分析】根据绝对值、相反数及乘方进行排除选项即可． 【详解】解：①∵，∴﹣（﹣2）和﹣|﹣2|互为相反数； ②∵，∴和互为相反数； ③∵，∴不是互为相反数； ④∵，∴这两个数相等，故不是互为相反数； 故选B． 【点睛】本题主要考查绝对值、相反数及乘方，熟练掌握绝对值、相反数及乘方是解题的关键． 【典例分析03】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方等知识．熟练掌握绝对值的非负性，有理数的乘方是解题的关键． 由题意得，，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， 故选：B． 【变式训练01】1 【分析】根据相反数的性质得a+b=0，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴a+b=0， ∴（a+b﹣1）2016＝， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查相反数的性质和有理数的乘方，关键是正确理解相反数的性质． 【变式训练02】B 【分析】本题考查有理数的加法，有理数的乘方．根据绝对值的非负性、平方的非负性解得a、b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式训练03】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质、相反数等知识，结合非负数的性质确定，的值是解题关键．根据相反数的定义可得，结合非负数的性质解得，的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为：D． 【典例分析04】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【变式训练01】2 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 【变式训练02】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 【典例分析05】(1)， (2) (3) 【分析】（1）观察可得从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； （2）观察可得第②行每个数等于第①行对应的数减去2，据此求解即可； （3）观察可得第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； 【详解】（1）解：第①行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第①行的第n个数可以表示为：， 第①行的第8个数是， 第①行的第n个数是， 故答案为：，； （2）解：观察可得，第②行每个数等于第①行对应的数减去2， ∴第②行的第n个数是； （3）解：第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第③行的第n个数可以表示为：， 第①行的第10个数是，第②行的第10个数是，第③行的第10个数， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和探究数的规律，找到并表示出数列的规律是解题的关键． 【变式训练01】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 【变式训练02】（1）216；（2）（﹣1）n+1 n2；（3）700 【分析】（1）观察各数可以得到各数的绝对值为各数序号的立方，结合符号，即可得到规律，即可求出第6个数； （2）观察各数，可以得到各数的绝对值为各数序号的平方，第奇数个数为正，偶数个数为负，即可得到规律； （3）根据观察第三组数，可以得到都是负数，绝对值是第（2）组数的绝对值的2倍，据此即可确定每一组的第10个数，相加即可求解． 【详解】解：（1）因为第一组数为：﹣13，23，﹣33，43，…， 所以第6个数为：63＝216； 故答案为：216； （2）因为第二组数为：12，﹣22，32，﹣42，…， 所以第n个数为：（﹣1）n+1n2； 故答案为：（﹣1）n+1n2； （3）因为每组数的第10个数分别为：1000，﹣100，﹣200， 所以这三个数的和为：﹣100+1000﹣200＝700． 【点睛】本题考查了根据数列找规律，理解题意，准确找出规律是解题关键，一般情况下，数列找规律要从数据的符号和绝对值两方面进行确定规律． 【变式训练03】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． 【典例分析06】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，有理数的减法运算，把代入数值转换器，判断得出结果即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：当时，， 则输出结果为：， 故选：． 【变式训练01】13 【分析】根据题意可得，把，代入进行计算即可解答． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练02】5 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确理解程序图列出算式进行计算是解题关键．根据程序图由，列出算式进行运算求解即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：5． 【变式训练03】D 【分析】将x的值代入程序图中的程序按要求计算即可． 【详解】解：当x＝2时，10﹣x2＝10﹣4＝6＞0，不输出； 当x＝6时，10﹣x2＝10﹣36＝﹣26＜0，符合题意，输出结果， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，按程序图的要求运算是解题的关键． 【变式训练04】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 【典例分析07】（1）21；（2）；（3）；（4）－34 【分析】（1）先计算乘方及除法，再计算乘法，最后计算加减法； （2）先计算乘方和乘法，再计算除法，最后计算减法； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法； （4）根据乘法分配律计算除法，同时计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法． 【详解】（1）解：原式=4+42-（-9） =4+8+9 =21； （2）解：原式= = =； （3）解： = = = =； （4）解： = = =-（36-15+14）+1 =-35+1 =-34． 【点睛】此题考查含乘方的有理数混合运算，掌握乘方的计算法则，乘法分配律以及有理数混合运算的计算法则是解题的关键． 【变式训练01】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键． （1）先计算乘方以及乘法，再计算加减法即可； （2）先计算绝对值和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： 三、课后巩固 1．B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 2．D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方的意义和乘方运算法则求解，进而可得答案． 【详解】解：A、的底数是2，指数是4，故此选项说法错误，不符合题意； B、表示4个2相乘的相反数，故此选项说法错误，不符合题意； C、，，结果不相等，故此选项说法错误，不符合题意； D、的计算结果为，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，有理数的乘方计算，求一个数的绝对值，先根据有理数的乘方计算法则和绝对值的定义计算出每个选项中对应的数，再根据只有符号不同的两个数互为相反数进行判断求解即可． 【详解】解；A、与互为相反数，符合题意； B、与不互为相反数，不符合题意； C、与不互为相反数，不符合题意； D、与不互为相反数，不符合题意； 故选：A． 6． 4 / 【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键． 【详解】解：；；； 故答案为：，4，． 7． / 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：； ； ； 故答案为：；；或． 8． 【分析】考查了非负数的性质，解题关键是利用非负数的和为零得出每个非负数同时都为零．根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， ∴； 故答案为： 9．1 【分析】本题考查绝对值的非负性及完全平方的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 10．8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 11．0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 12．(1) (2) 【分析】（1）按照有理数混合运算的顺序依次计算即可得出答案． （2）按照有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了有理数的运算能力，解题的关键是正确掌握有理数混合运算的顺序：先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序． 13．(1)； (2)； (3) 【分析】（1）不难看出奇数项是正数，偶数项是负数，其数字部分是，据此进行作答即可； （2）第②行的数是第一行对应的数减去2，第③行的数是第①行对应的数除以，据此即可求解； （3）根据（1）（2）的规律，写出每行的第10个数再相加即可． 【详解】（1）解：∵ ∴第①行的第8个数是， 第n个数是； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴第②行的第n个数是； ∵， ∴第③行的第n个数是； 故答案为：；； （3）解：根据题意得：第①行的第10个数是，第②行的10个数是，第③行的第10个数是， ∴这三个数的和为 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的乘方，解答的关键是分析清楚所存在的规律． 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$