第4章 整式的加减素养检测卷（学用版）-2025-2026学年新教材七年级数学上册单元大小卷（人教版2024）

7 数上 大小卷 第四章 整式的加减 素养检测卷 时间：90 min 满分：120分 一、选择题（每小题 3 分） 1. 下列各式中是单项式的是( ) A.�� 2 B.�2−�2 π C.1 � D.2�� + �2 + 5 解析：A选项，�� 2 是单项式，符合题意；B选项，�2−�2 π 是多项式，不符合题意； C选项，1 � 的分母中含有字母，不是单项式，不符合题意；D选项，2�� +�2 + 5 是多项式，不符合题意.故选 A. 2. 如图，某同学笔记本上的多项式未记录完整，若要补充完整这个多项式，横线上可以填写 的是( ) ___________−�� + � 是一个三次三项式. A.�3� B.�2�2 C.�3 D.�2�� 解析： 选项 多项式 次数 项数 判断 A �3� − �� + 1 4 3 不符合题意 B �2�2 − �� + 1 4 3 不符合题意 C �3 − �� + 1 3 3 符合题意 D �2�� − �� + 1 4 3 不符合题意 故选 C. 3. 下列计算正确的是( ) A.3� + 3� = 6�2 B.3� − � = 3 C.3�2 + 2�2 = 5�5 D.−3�2� + 4�2� = �2� 解析：A选项，3� + 3� = 6�，故该选项错误；B选项，3� − � = 2� ，故该选项错误； 59/119 7 数上 大小卷 C选项，3�2 + 2�2 = 5�2，故该选项错误； D选项，−3�2� + 4�2� = �2� ，故该选项正确.故选 D. 4. 多项式−� + �3 + 1 − �2按� 的升幂排列正确的是( ) A.− �2 − � + �3 + 1 B.1 − �2 − � + �3 C.1 − � − �2 + �3 D.�3 − �2 − � + 1 解析：−� + �3 + 1 − �2按�的升幂排列为 1 − � − �2 + �3 .故选 C. 5，1 − 2�2 + �� − �2 = 1 − ( )，在括号里填上适当的项应该是( ) A.2�2 + �� − �2 B.2�2 − �� + �2 C.−2�2 − �� − �2 D.�2 − �� + �2 解析：1 − 2�2 + �� − �2 = 1 − (2�2 − �� + �2) .故选 B. 6，如果� − 2(� − �) = � + �，那么� = ( ) A.� − 3� − 2� B.� − 3� + 2� C.� − 3� + � D.� − 3� − � 解析：因为� − 2(� − �) = � + � ，所以 � = � − 2(� − �) − � = � − 2� + 2� − � = � − 3� + 2� .故选 B. 7，一个两位数�，它的个位数字是�，十位数字是� + 1 ，把�十位上的数字与个位上的数字 交换位置得到新两位数�，则�+� 的值总能( ) A.被 3整除 B.被 9整除 C.被 10整除 D.被 11整除 解析：由题意得�+� = 10(� + 1) + � + 10� + � + 1 = 10� + 10 + � + 10� + � + 1 = 22� + 11 = 11(2� + 1)，所以�+� 的值总能被 11整除.故选 D. 8，规定符号(�, �)表示�，� 两个数中较小的数，规定符号[�, �]表示�，�两个数中较大的数. 例如(3,1) = 1, [3,1] = 3 .则化简(�,� − 2) + [ − �, − � − 1] = ( ) A.0 B.−1 C.−2 D.2� 解析：由题意得(�,� − 2) + [ − �, − � − 1] = � − 2+ ( −�) =− 2 .故选 C. 9，某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏： 第一步：发给 A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定每个同学的扑克牌数量超过 4张）； 60/119 7 数上 大小卷 第二步：A同学拿出 3张扑克牌给 B同学； 第三步：C同学拿出 4张扑克牌给 B同学； 第四步：A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给 A同学. 最终 B同学手中剩余的扑克牌张数情况是( ) A.张数确定，一定是 3张 B.无法确定，但一定比第一步发放的扑克牌张数多 C.无法确定，但一定比 A同学多 D.张数确定，一定是 10张 解析：设每个同学手中的扑克牌张数都是�(� > 4) .第一步后，A，B，C每人手 中有�张扑克牌；第二步后，A同学手中的扑克牌张数是� − 3 ，B同学手中的扑克 牌张数是� + 3；第三步后，C同学手中的扑克牌张数是� − 4 ，B同学手中的扑克 牌张数是� + 3 + 4；第四步后，A同学手中的扑克牌张数是 2(� − 3) ，B同学手中 的扑克牌张数是(� + 3 + 4) − (� − 3) ，所以最终 B同学手中剩余的扑克牌张数是 (� + 3 + 4) − (� − 3) = � + 3 + 4 − � + 3 = 10 .故选 D. 10，观察下列图形，根据你发现的规律计算 1 + 8 + 16 + 24 + ⋯+ 8�（� 是正整数）的结果 为( ) （1） （2） （3） A.(2� + 1)2 B.(� + 2)2 C.(2� − 1)2 D.�2 解析：由所给图形可知，第（1）个图形中，实线部分的小正方形个数为 1 = (2 × 0 + 1)2 ； 第（2）个图形中，实线部分的小正方形个数为 9 = 1 + 8 = (2 × 1 + 1)2 ；第（3）个图形中， 实线部分的小正方形个数为 25 = 1 + 8 + 16 = (2 × 2 + 1)2；⋯ ，所以第(�) 个图形中，实 线部分的小正方形个数为 1 + 8 + 16 + ⋯ + 8(� − 1) = [2(� − 1) + 1]2，则第(� + 1) 个图形 中，实线部分的小正方形个数为(2� + 1)2个，即 1 + 8 + 16 + 24 + ⋯+ 8� = (2� + 1)2 . 故选 A. 61/119 7 数上 大小卷 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.开放性问题 ，请写出 2� 的一个同类项：__________________. 解析：2�的同类项可以是�，故答案为� （答案不唯一）. 12.单项式 0.5�4−�与 6��2的次数相同，则� 的值为___. 解析：因为单项式 0.5�4−�与 6��2的次数相同，所以 4 −� = 1 + 2，解得� = 1 13.某地居民生活饮用水收费标准为若每月用水量不超过 20立方米，每立方米收取� 元;若每月 用水量超过 20立方米，则超过部分按照(� + 1.5) 元/立方米收取.小红家 9月用水量为 26立方 米，则小红家 9月应交水费__________元.（用含� 的式子表示） 解析：由题意得小红家 9月应交水费为 20� + (26 − 20)(� + 1.5) = 20� + 6(� + 1.5) = 20� + 6� + 9 = (26� + 9) 元.故答案为(26� + 9) . 14.若� = 2� + 3，则代数式(� + �) − 3(� − �) 的值为____. 解析：因为� = 2� + 3，所以 2� − � =− 3 ，所以原式= � + � − 3� + 3� = 4� − 2� = 2(2� − �) = 2 × ( − 3) =− 6. 故答案为−6 . 15.若� = �2 − 5� − 3，� = 2�2 − 5�− 2 ，则�___�.（填“> ”“=”或“< ”） 解析：�−� = (2�2 − 5�− 2) − (�2 − 5�− 3) = 2�2 − 5�− 2 −�2 + 5�+ 3 = �2 + 1. 因为�2 + 1 > 0，所以�−� > 0,所以� > �，即� < � ，故答案为< . 作差法比较大小 当� − � > 0时，� > �；当� − � = 0时，� = �；当� − � < 0时，� < � . 16.如图长方形����中，若图中阴影部分的面积分别为�1 = 6，�2 = 3，�4 = 2，则�3 =____. 答案：11 解析：如图，设长方形����的面积为� ，则�△��� = �△��� = 1 2 � . 因为�△��� + �△��� + (�1 + �4 + �2) − �3 = �长方形���� ， 所以� = 1 2 � + 1 2 � + 6 + 2 + 3 − �3，所以�3 = 11 ，故答案为 11. 62/119 7 数上 大小卷 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17. （8分）化简： （1）−3� + 2� − 5� − 7� ； 解：原式=− 8� − 5� .（4分） （2）2� − 5(� − �2) + 3( − � − �2) . 解：原式= 2� − 5� + 5�2 − 3� − 3�2 =− 6� + 2�2 .（8分） 18，（10分）已知含字母�，� 的多项式 3[�2 + 2(�2 + �� − 2)] − 3(�2 + 2�2) − 4(�� − 1) . （1）化简此多项式； 解：3[�2 + 2(�2 + �� − 2)] − 3(�2 + 2�2) − 4(�� − 1) = 3(�2 + 2�2 + 2�� − 4) − 3�2 − 6�2 − 4�� + 4 = 3�2 + 6�2 + 6�� − 12 − 3�2 − 6�2 − 4�� + 4 = 2�� − 8 .（6分） （2）当�，� 互为倒数时，求多项式的值. 解：因为�，�互为倒数，所以�� = 1 ，（7分） 所以原式= 2 × 1 − 8 = 2 − 8 =− 6 .（10分） 19，（10分）已知� = � − 3� + 2�2�，� 是多项式，小明在计算� = 2� + �时，误将其按� = 2� − �计算，得到� = � − 4� + �2� ． （1）试求多项式� ； 解：根据题意得� = 2� − � = 2(� − 3� + 2�2�) − (� − 4� + �2�) = 2� − 6� + 4�2� − � + 4� − �2� = � − 2� + 3�2� .（3分） （2）若|�2� + 4| + (� − � − 3)2 = 0，求� − 2� 的值． 解：因为� = � − 3� + 2�2�，� = � − 2� + 3�2� ， 63/119 7 数上 大小卷 所以� − 2� = � − 3� + 2�2� − 2(� − 2� + 3�2�) = � − 3� + 2�2� − 2� + 4� − 6�2� =− � + � − 4�2� （5分） =− (� − �) − 4�2� .（6分） 因为|�2� + 4| + (� − � − 3)2 = 0 ，所以�2� =− 4，� − � = 3 ，（8分） 则� − 2� =− 3 − 4 × ( − 4) = 13 ．（10分） 20.（12分）某校七年级有象棋、足球、演讲、美术共四个社团，参加象棋社团的有� 人，参 加足球社团的人数比参加象棋社团的人数的 2倍少� 人，参加演讲社团的人数比参加足球社团 的人数的一半多 1人，每个学生都限报一项，参加社团的学生共有(6� − 3�) 人. （1）参加足球社团的有_________人，参加演讲社团的有____________人. （用含�，� 的式子表示） 答案：(2� − �)，(� − 1 2 � + 1) 解析：由题意得参加足球社团的有(2� − �) 人，所以参加演讲社团的有 1 2 (2� − �) + 1 = (� − 1 2 � + 1) 人. 故答案为(2� − �)，(� − 1 2 � + 1) .（6分） （2）若� = 64，� = 40 ，求参加美术社团的人数. 解：因为参加社团的学生共有(6� − 3�) 人， 所以参加美术社团的人数为 6� − 3� − � − (2� − �) − (� − 1 2 � + 1) = 6� − 3� − � − 2� + � − � + 1 2 � − 1 = 2� − 3 2 � − 1 .（10分） 当� = 64，� = 40时，原式= 2 × 64 − 3 2 × 40 − 1 = 67，故参加美术社团的人数为 67（12分） 21.（12分）【阅读与思考】请仔细阅读并完成相应任务. 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 64/119 7 数上 大小卷 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等， 且都不为零时，式子的值都不变，这样的式子称为对称式. 【特例研究】①式子���中任意两个字母交换位置，可得到式子���，��� ，���，���,���.因 为不论�,�,� 取何值，都有��� = ��� = ��� = ��� = ��� = ���，所以��� 是对称式. ②式子� − �中字母�，�交换位置，得到式子� − �.因为当� ≠ � 时，� − � ≠ � − �，所以� − �△ 对称式. 【问题】 （1）直接写出研究报告中“△ ”处短缺的内容：__________.（填“是”或“不是”） （2）给出下列式子：①� + � + �，②�2�，③�2 + �2，④ � � ，其中是对称式的是___.（填序号） 答案：不是（2分） ，①③（4分） （3）①写出一个系数为−2，只含有字母�，� 且次数为 8的单项式，使该单项式是对称式； 解：满足条件的单项式为−2�4�4 .（6分） ②写出一个只含有字母�，� 的三次三项式，使该多项式是对称式. 解：满足条件的多项式为 2�3 + 2�3 − 1 .（答案不唯一）（8分） （4）已知� = �2� − 2�2� + 2 5 ��2，� = �2� − 4�2�，求 5� − 3� ，并直接判断所得结果是不 是对称式. 解：5� − 3� = 5(�2� − 2�2� + 2 5 ��2) − 3(�2� − 4�2�) = 5�2� − 10�2� + 2��2 − 3�2� + 12�2� = 2�2� + 2�2� + 2��2 .（11分） 根据对称式的定义可知 2�2� + 2�2� + 2��2 不是对称式.（12分） 22.（14分）（1）小望打算建一个种植基地，需要一个周长为(10� + 18) 米的三角形护栏，其 第一条边长为(7� + 4)米，第二条边长比第一条边长少(2� − 3) 米，求该护栏第三条边长. 解：(10� + 18) − (7� + 4) − [(7� + 4) − (2� − 3)] = 10� + 18 − (7� + 4) − (7� + 4) + (2� − 3) = 10� + 18 − 7� − 4 − 7� − 4 + 2� − 3 = ( − 2� + 7) 米.（4分） 65/119 7 数上 大小卷 答：该护栏第三条边长为( − 2� + 7) 米.（5分） （2）接下来，小望准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗的价格为 400元.由于 “双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠方案： 若买桃树苗的数量小于等于 5棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗的数量大于 5棵，先缴纳 订金 500元，本次购买的每棵树苗打八折，且在付尾款时，500元订金还会膨胀为 800元优惠 券用于抵扣买桃树苗的钱.若小望总共购买�（�为正整数）棵桃树苗，用含� 的代数式表示他 买桃树苗花的钱（售价= 标价×折扣）. 解：当 0 < � ≤ 5时，他买桃树苗花的钱为 400 × 0.9� = 360� （元）；（7分） 当� > 5时，他买桃树苗花的钱为 500 + 0.8� × 400 − 800 = (320� − 300) 元.…（9分） 综上，当 0 < � ≤ 5时，他买桃树苗花的钱为 360�元；当� > 5 时，他买桃树苗花的钱为 (320� − 300) 元. （3）在桃子成熟后，小望计划卖 200千克桃子，已知前期种植每千克桃子的成本为 4元，利 润为� 元.小望卖了 125千克后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售， 又卖出了 70千克，最后还剩 5千克桃子彻底腐烂无法销售，用含�的代数式表示小望卖桃子获 得的总利润（售价=成本+ 利润）. 解：125 × � + 70 × (4 + �) × 0.9 − 70 × 4 − 5 × 4 = 125� + 63� + 252 − 280 − 20 = (188� − 48) 元.（13分） 答：小望卖桃子获得的总利润为(188� − 48) 元.（14分） 66/119 7 数上 大小卷 第四章 整式的加减 素养检测卷 时间：90 min 满分：120分 一、选择题（每小题 3 分） 1. 下列各式中是单项式的是( ) A.�� 2 B.� 2−�2 π C.1 � D.2�� + �2 + 5 2. 如图，某同学笔记本上的多项式未记录完整，若要补充完整这个多项式，横线上可以填写 的是( ) ___________−�� + � 是一个三次三项式. A.�3� B.�2�2 C.�3 D.�2�� 3. 下列计算正确的是( ) A.3� + 3� = 6�2 B.3� − � = 3 C.3�2 + 2�2 = 5�5 D.−3�2� + 4�2� = �2� 4. 多项式−� + �3 + 1 − �2按� 的升幂排列正确的是( ) A.− �2 − � + �3 + 1 B.1 − �2 − � + �3 C.1 − � − �2 + �3 D.�3 − �2 − � + 1 5. 1 − 2�2 + �� − �2 = 1 − ( )，在括号里填上适当的项应该是( ) A.2�2 + �� − �2 B.2�2 − �� + �2 C.−2�2 − �� − �2 D.�2 − �� + �2 6. 如果� − 2(� − �) = � + �，那么� = ( ) A.� − 3� − 2� B.� − 3� + 2� C.� − 3� + � D.� − 3� − � 7. 一个两位数�，它的个位数字是�，十位数字是� + 1 ，把�十位上的数字与个位上的数字 交换位置得到新两位数�，则�+� 的值总能( ) A.被 3整除 B.被 9整除 C.被 10整除 D.被 11整除 8. 规定符号(�, �)表示�，� 两个数中较小的数，规定符号[�, �]表示�，�两个数中较大的数.例 如(3,1) = 1, [3,1] = 3 .则化简(�,� − 2) + [ − �, − � − 1] = ( ) A.0 B.−1 C.−2 D.2� 38/80 7 数上 大小卷 9. 某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏： 第一步：发给 A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定每个同学的扑克牌数量超过 4张）； 第二步：A同学拿出 3张扑克牌给 B同学； 第三步：C同学拿出 4张扑克牌给 B同学； 第四步：A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给 A同学. 最终 B同学手中剩余的扑克牌张数情况是( ) A.张数确定，一定是 3张 B.无法确定，但一定比第一步发放的扑克牌张数多 C.无法确定，但一定比 A同学多 D.张数确定，一定是 10张 10. 观察下列图形，根据你发现的规律计算 1 + 8 + 16 + 24 + ⋯+ 8�（� 是正整数）的结果 为( ) （1） （2） （3） A.(2� + 1)2 B.(� + 2)2 C.(2� − 1)2 D.�2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.开放性问题 ，请写出 2� 的一个同类项：__________________. 12.单项式 0.5�4−�与 6��2的次数相同，则� 的值为___. 13.某地居民生活饮用水收费标准为若每月用水量不超过 20立方米，每立方米收取� 元;若每月 用水量超过 20立方米，则超过部分按照(� + 1.5) 元/立方米收取.小红家 9月用水量为 26立方 米，则小红家 9月应交水费__________元.（用含� 的式子表示） 14.若� = 2� + 3，则代数式(� + �) − 3(� − �) 的值为____. 15.若� = �2 − 5� − 3，� = 2�2 − 5�− 2 ，则�___�.（填“> ”“=”或“< ”） 39/80 7 数上 大小卷 16.如图长方形����中，若图中阴影部分的面积分别为�1 = 6，�2 = 3，�4 = 2，则�3 =____. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17. （8分）化简： （1）−3� + 2� − 5� − 7� ； （2）2� − 5(� − �2) + 3( − � − �2) . 18.（10分）已知含字母�，� 的多项式 3[�2 + 2(�2 + �� − 2)] − 3(�2 + 2�2) − 4(�� − 1) . （1）化简此多项式； （2）当�，� 互为倒数时，求多项式的值. 40/80 7 数上 大小卷 19.（10分）已知� = � − 3� + 2�2�，� 是多项式，小明在计算� = 2� + �时，误将其按� = 2� − �计算，得到� = � − 4� + �2� ． （1）试求多项式� ； （2）若|�2� + 4| + (� − � − 3)2 = 0，求� − 2� 的值． 20，（12分）某校七年级有象棋、足球、演讲、美术共四个社团，参加象棋社团的有� 人，参 加足球社团的人数比参加象棋社团的人数的 2倍少� 人，参加演讲社团的人数比参加足球社团 的人数的一半多 1人，每个学生都限报一项，参加社团的学生共有(6� − 3�) 人. （1）参加足球社团的有_________人，参加演讲社团的有____________人. （用含�，� 的式子表示） （2）若� = 64，� = 40 ，求参加美术社团的人数. 41/80 7 数上 大小卷 21.（12分）【阅读与思考】请仔细阅读并完成相应任务. 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等， 且都不为零时，式子的值都不变，这样的式子称为对称式. 【特例研究】①式子���中任意两个字母交换位置，可得到式子���，��� ，���，���,���.因 为不论�,�,� 取何值，都有��� = ��� = ��� = ��� = ��� = ���，所以��� 是对称式. ②式子� − �中字母�，�交换位置，得到式子� − �.因为当� ≠ � 时，� − � ≠ � − �，所以� − �△ 对称式. 【问题】 （1）直接写出研究报告中“△ ”处短缺的内容：__________.（填“是”或“不是”） （2）给出下列式子：①� + � + �，②�2�，③�2 + �2，④ � � ，其中是对称式的是___.（填序号） （3）①写出一个系数为−2，只含有字母�，� 且次数为 8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母�，� 的三次三项式，使该多项式是对称式. （4）已知� = �2� − 2�2� + 2 5 ��2，� = �2� − 4�2�，求 5� − 3� ，并直接判断所得结果是不 是对称式. 42/80 7 数上 大小卷 22.（14分）（1）小望打算建一个种植基地，需要一个周长为(10� + 18) 米的三角形护栏，其 第一条边长为(7� + 4)米，第二条边长比第一条边长少(2� − 3) 米，求该护栏第三条边长. （2）接下来，小望准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗的价格为 400元.由于 “双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠方案： 若买桃树苗的数量小于等于 5棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗的数量大于 5棵，先缴纳 订金 500元，本次购买的每棵树苗打八折，且在付尾款时，500元订金还会膨胀为 800元优惠 券用于抵扣买桃树苗的钱.若小望总共购买�（�为正整数）棵桃树苗，用含� 的代数式表示他 买桃树苗花的钱（售价= 标价×折扣）. （3）在桃子成熟后，小望计划卖 200千克桃子，已知前期种植每千克桃子的成本为 4元，利 润为� 元.小望卖了 125千克后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售， 又卖出了 70千克，最后还剩 5千克桃子彻底腐烂无法销售，用含�的代数式表示小望卖桃子获 得的总利润（售价=成本+ 利润）. 43/80