云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

玉溪师院附中 2026届高二下学期校二测考试数学试卷 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 出题人：王浩川 审题人：范晓艳 一、单选题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．若集合 A = {x x - 3 > 0} ，则 (∁RA) ∩ N = ( ) A ． {0, 1, 2} B ． {1, 2} C ． {0, 1, 2, 3} D ． {1, 2, 3} 2． 已知复数 z 满足(1+ i)z =2i ，则z 在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．使不等式x2 - 2x - 3 ≥ 0成立的一个充分不必要条件是 ( ) A ． x ≤ -2 B ． x ≥ 0 C ． x ≤ 0 或x ≥ 2 D ． x ≤ -1或x ≥ 3 4． 已知向量a- = (2, 3), = (m -1, 2m + 1) ，若a- / / ，则m = ( ) A ．3 B ． C ． D ． -5 则tan α = A ． B ．3 C ． D ．-3 6．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福” ，随着经济的发展和社会的进步，人们 的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为1.8mg/ cm3 ，排放 前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20% ，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生 态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过0.3mg/ cm3 ，若要使该工厂的废气达标排放， 那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据： lg 2 ≈ 0.3 ，lg 3 ≈ 0.477 ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 7 ．设a > 0, b > 0 ，且a +b + ab- 8 = 0 ，则 ab 的最大值为 ( ) A ．2 B ． C ．4 D ．8 8．已知直线l : y = kx 与圆C : x2 + y2 - 20x - 20y +100 = 0 相交于A，B 两点，若 △ABC 的面积 为 50 ，则k 的值为 ( ) A ． 2 + 或2 - B ． 或 C ． 2 + 或-2 + D ． 或 试卷第 1页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得0 分。 9．下列命题正确的是 ( ) A．若 A，B 两组成对数据的样本相关系数分别为rA = 0.97 ，rB = 一0.99 ，则 A 组数据比 B 组数据的相关性较强 B ．若样本数据x1, x2, . . ., x6 的方差为 2 ，则数据2x1 一1, 2x2 一1, . . ., 2x6 一1 的方差为 8 C ．相关指数R2 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D ．已知互不相同的 30 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下 28 个数据的 22%分位数不等于原样本数据的 22%分位数 10．已知 的二项展开式中二项式系数之和为 64 ，下列结论正确的是 ( ) A ．二项展开式中各项系数之和为36 B ．二项展开式中二项式系数最大的项为第四项 C ．二项展开式中有3 个有理项 D ．二项展开式中系数最大的项为240x3 11．已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，上 点 分别为棱 A1B1, A1C1, AC, AB 的中点， P 是线段B1C1 上（包含端点）的动点，则下列说法正确 的是 ( ) A ．直三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的半径为2 B ．三棱锥P 一 MNA 的体积与P 的位置无关 C ．若P 为B1C1 的中点，则过 A, M , P 三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形 D ．一只虫子由表面从Q 点爬到B1 点的最近距离为 ·、 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知随机变量 X 服从正态分布N(3, σ 2 ) ，且P(X < 5) = 0.7 ，则 P (1< X < 3) = ． 13．已知 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，△ABC 的面积为 ，且2bcosA = 2c 一 a ， a + c = 4 ，则 △ABC 的周长为 . 试卷第 2页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 14．设F2 是双曲线 C ： - = 1 （ a > 0 ，b > 0 ）的右焦点， O 为坐标原点，过F2 的直线 交双曲线的右支于点P 、 N ，直线PO 交双曲线 C 于另一点M ，若 MF2 = 3 PF2 ，且 上MF2 N = 60。，则双曲线 C 的离心率为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分 15分）数列 {an } 的前n 项和为Sn ，且3an - 2Sn = 1 ，在等差数列{bn } 中， b4 = 7, b3 + 2b8 = 35 ． (1)求数列{an }和{bn } 的通项公式； (2)若cn = ，求数列{cn } 的前n 项和Tn ． n 试卷第3页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 17．（本小题满分 15 分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB 丄 BC ，E ， F 分别是 A1C1 ， BC 的中点． (1)求证： AB 丄 平面B1BCC1 ； (2)当AB = BC = BB1 = 2 ，求异面直线 AE 与FC1 所成角正弦值． 18．（本小题满分 17 分） 已知函数f (x) = (x + a)ebx在(1, f (1)) 处的切线方程为y = e (x -1)， 其中e 为自然常数. (1)求a 、b 的值及f (x ) 的最小值； (2)设 x1 ， x2 是方程f (x ) = kx2 - 2 （ k > 2 ）的两个不相等的正实根，证明： x1 - x2 > ln 4 . e 19．（本小题满分 17 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知E 是x 轴上的动点，T 是平面内的 动点，线段ET 的垂直平分线交x 轴于点F(1, 0) ，交ET 于点H ，且H 恰好在y 轴上，记动 点T 的轨迹为曲线 C ． (1)求曲线 C 的方程 (2)过点 A(0, 1) 的直线l 与曲线 C 交于P, Q 两点，直线OP, OQ 与直线x =1 分别交于点M, N ， 设线段MN的中点为G ，求证：点G 在曲线 C 上． 试卷第 4页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第 8页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．C【详解】 ∵ (∁RA) = ( − ∞,3] ， ∴ (∁RA) ∩ N = {0, 1,2,3}， 因为 z = 2i ，所以 所以z 的共轭复数z = 1-i ，对应的点坐标为(1, -1)位于第四象限. 3．A【详解】根据一元二次不等式的解法，解x2 - 2x- 3 ≥ 0 ，可得x ≤ -1或x ≥ 3， 故使x ≤ -1或x ≥3成立的一个充分不必要条件是x ≤ -2 ， 4．D【详解】 由题意可知2 (2m +1) = 3 (m -1 )→ m = -5 . 因为 所以 解得 6．B【详解】设该污染物排放前需要过滤的次数为n(n ∈N* ) ，则由题意得 n(1- 3lg 2) ≥ lg 2 + lg 3 ，所以n ≥ - ， 因为lg 2 ≈ 0.3 ，lg 3 ≈ 0.477 ，所以 所以n ≥ 7.77 ，因为n ∈ N* ，所以n 的最小值为 8， 7 ．C【详解】 由a > 0, b > 0 ，由a + b + ab- 8 = 0 ， 得a +b = 8 - ab ≥ 2 ·、 ，当且仅当a =b = 2 时，取等号， 解不等式ab + 2 ·-8 ≤ 0 ，得0 < · ≤ 2 ，所以ab 的最大值为 4. 8．A【详解】圆C : x2 + y2 - 20x - 20y +100 = 0 的圆心坐标为C(10, 10) ，半径r = 10 . 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则 AB = 2·、 ， 答案第 1页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 9．BCD 【详解】对于A：因为| rA |<| rB | ，故 B 组数据比 A 组数据的线性相关程度更强，A 错误； 对于 B：若样本数据x1，x2, … , x6 的方差为 2， 则数据2x1 -1,2x2 -1, … , 2x6 -1 的方差为22 × 2 = 8 ，B 正确； 对于 C：若相关指数R2 的值越接近于 1 ，则表示回归模型的拟合效果越好， 相关指数R2 的值越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，C 正确； 对于 D ，设原本数据从小到大为x1 , x2 , … , x29 , x30 ， 因为30 × 22% = 6.6 ，所以原样本数据的22% 分位数为x7 ， 去掉最大值和最小值后剩余数据按从小到大排列为x2 , … , x29 ， 因为28× 22% = 6.16 ，所以剩下 28 个数据的22% 分位数为x8 ，故不一样，D 正确. 10．ABD 因为 的二项展开式中二项式系数之和为 64， 所以2n = 64 → n = 6 ，所以二项式为 通项为 ， A：令x =1 ，可得二项展开式中各项系数之和为36 ，故 A 正确； B：当r =3 时，二项式系数C6 (3)最大，即第四项，故 B 正确； C：令6 - , r ≤ 6, r ∈ N 为整数，解得r = 0, 2, 4, 6 ，所以有 4 个有理项，故 C 错误； D：因为通项为Tr+1 = 26-rC6 (r)x 6- ， 所以项的系数为C6 (r) × 26-r ， r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ， 经检验， r = 2 时，项的系数最大,为C6 (2) × 24 × x3 = 240x3 ，故 D 正确； 11．ABD 【详解】对于 A ，因为上ACB = 90。，三棱柱 ABC - A1B1C1 为直三棱柱， 如图，故该三棱柱为长方体的一半，如图： 所以直三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球即为长方体外接球， 答案第 2页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 因为 所以其外接球半径为 故 A 正确； 对于 B ，如图： 因为M, N 分别为A1B1, A1C1 的中点，所以MN//B1C1 ， 又点P 在B1C1 上，所以P 到MN 的距离为定值， 故△MNP 的面积为定值，故三棱锥P - MNA 的体积与P 的位置无 关，故 B 正确； 对于 C，如图，连接 AM, MP, PC ，因为M , P 分别为A1B1, B1C1 的中点， 所以 且 ， 又因为AC//A1C1 ，且 AC=A1C1 ，所以MP//AC ，且 ， 过A, M , P 三点的平面截三棱柱所得截面为梯形 AC PM ， 又 上ACB = 90。, AA1 = AC = BC = 2 ， 所以 所以 C1P = 1 所以所以AM ≠ PC ， 所以四边形AC PM 不是等腰梯形，故 C 错误； 对于 D，若一只虫子由表面从Q 点经过 CC1 爬到B1 点，如图 1 ，则爬过 的最小距离：为 若一只虫子由表面从Q 点经过BC 爬到B1 点，如图2，则爬过的最小距 离为 若一只虫子由表面从Q 点经过 A1C1 爬到B1 点，如图3 ，则爬过的最小距离 答案第3页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 若一只虫子由表面从Q 点经过 AB 爬到B1 点，如图4， 过Q 作QE//AA1 ，交 AB 于点F ， 因为Q 为AC 中点，所以AQ = 1 ，所以 在Rt△QEB1 中，则爬过的最小距离为： 故 D 正确. 12． 0.2 【详解】 由正态曲线的对称性可知， P(X < 3) = P(X > 3) = 0.5 ， P(X > 1) = P(X < 5) = 0.7 ， 所以P(X ≤ 1) = 1- P(X > 1) = 0.3 ，P(1< X < 3) = P(X < 3) - P (X ≤ 1 )= 0.5 - 0.2 = 0.2 ． 13．6 答案第 4页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 △ ∴ ac = 4 ， ∵ a + c = 4 ， :a = c = 2 ，又B = ， ∴ △ABC 是边长为2 的等边三角形， ∴ △ABC 的周长为 6. 【详解】设F1 为双曲线的左焦点，如图所示， 由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1 为平行四边形， ∴ MF1, MF1 //PN ，而 MF2 = 3 PF2 ，所以MF2 = 3 MF1 ， = PF2 1 2 由双曲线的定义可知， MF2- MF1 = 2a ， ∴ MF1 = a ， MF2 = 3a ， ∵ 上MF2 N = 60。， ∴ 上 F1MF2 = 6 0 。， 在△MF1F2 中， 由余弦定理知cos 上 即 化简得 负值舍去）． 16．(1) an = 3n-1 ，bn = 2n -1 【详解】（1）当n = 1 时， 3a1 - 2S1 = 3a1 - 2a1 = 1 ，即 a1 = 1； 当n ≥ 2 时， 由3an - 2Sn = 1 得3an -1 - 2Sn -1 = 1， 则两式相减得3an - 3an -1 - 2 = 0 ，即 综上可知，{an }是首项a1 = 1，公比q = 3 的等比数列，则an = a1q n-1 = 1× 3n-1 = 3n-1 ，即an = 3n-1 . 答案第5页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 设等差数列{bn } 的公差为d ，则{〔b4lb3 = b1 + 3d = 7 + 2b8 = b1 + 2d + 2 (b1 + 7d )= 35 ， 即 解得 所以bn = b1 + (n -1)d = 2n -1 ，即bn = 2n -1 . 由 知 则 Tn = + + ①- ②得Tn = + + + … + - ， 整理得 即 Tn = 2 - ，所以Tn = 3 - . 17 ．(1)证明见解析 【详解】（1）在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，则BB1 丄 平面ABC ，AB 平面 ABC ， 所以BB1 丄 AB ， 又AB 丄 BC ， BB1 ∩ BC = B ，BB1 , BC 平面B1BCC1 ，所以AB 丄 平面B1BCC1 . （2）取AB 的中点M ，连接MF 、EM ，因为E ，F 分别是A1C1 ，BC 的中点， 所以MF//AC 且MF = AC ， EC1 //AC 且EC1 = AC ， 所以MF//EC1 且MF = EC1 ，所以四边形MFC1E 为平行四边形，所以ME//FC1 ， 所以上AEM 为异面直线AE 与FC1 所成角， 又AB = BC = BB1 = 2 ，所以AM = 1 ，又 AB 丄 平面B1BCC1 ， FC1 平面B1BCC1 ， 所以AB 丄 FC1 ，所以AB 丄 EM ， 又 所以sin 上AEM = = = 。 18．(1) a = -1 、b = 1 ， f (x ) 的最小值为-1 (2)证明见解析 【详解】（1） f, (x) = ebx + b (x + a)ebx = (bx + ab + 1)ebx ， 由题意有f,(1) = (b+ ab + 1)eb = e 及f (1) = (1+ a)eb = e (1-1) = 0 ， 由(1+ a)eb = 0 可得a = -1 ，则f, (1) = (b-b + 1)eb = e ，即b = 1 ， 故a = -1 、b = 1 ，则f (x) = (x -1)ex ， f, (x) = (x -1+ 1)ex = xex ， 当x > 0 时， f, (x) > 0 ，当x < 0 时， f, (x) < 0 ， 故f (x)在(-∞, 0)上单调递减，在(0, +∞) 上单调递增，故f (x)有最小值f (0)= (0 -1)e0 = -1； （2）令g (x) = f (x)-kx2 + 2 = (x -1)ex -kx2 + 2 ， x > 0 ，k > 2 ， 则g, (x ) = xex - 2kx = x (ex - 2k)， 则当ex > 2k ，即x > ln 2k 时， g, (x) > 0 ，当 0 < ex < 2k ，即0 < x < ln 2k 时， g, (x) < 0 ， 答案第6页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 故g(x)在(0, ln 2k )上单调递减，在(ln 2k, +∞) 上单调递增， 故g (ln 2k ) = (ln 2k -1)eln 2k - k (ln 2k )2 + 2 = 2k (ln 2k -1)- k (ln 2k )2 + 2 = -k (ln 2k )2 - 2 ln 2k + 2 +2 = -k (ln 2k -1)2 + 1 +2 ， 由k > 2 ，故g (ln 2k ) = -k(ln 2k -1)2 + 1 +2 < -k + 2 < 0 ， 又g(0) = (0 -1)e0 + 2 = 1 > 0 ，当x → +∞ 时， g (x) → +∞ , 故g(x)有两个零点，不妨设两零点x1 < x2 ，有0 < x1 < ln 2k < x2 ， 又g(1) = (1-1)e1 -k + 2 = -k + 2 < 0 ， 由1 < 2 ln 2 < 2 lnk ，故g (ln 2k ) < g (2 ln 2) < g (1) < 0 ，则x1 < 1 < 2 ln 2 < x2 ，故 19．(1)y2 = 4x(x ≠ 0) (2)证明见解析 【详解】（1）解法一 设T(x, y) ， E(m, 0) ，则 由点H 在y 轴上，得 则 因为FH 丄 ET ，若x =0 ，则m = 0 ，点T ， E 重合，不合题意； 若x ≠ 0 ，则 即y2 = 4x ． 所以曲线 C 的方程是y2 = 4x(x ≠ 0) ． 解法二 在射线FH 上另取一点R ，使| FH |=| HR | ，连接RT ， 又F(1, 0) ，所以点R 在直线x= - 1 上， 易知△FEH ≌ △RTH ，所以TR 垂直于直线x= - 1， 连接TF ，则| TR |=| TF | ，显然点T 不能在y 轴上，即x ≠ 0 ， 故由抛物线的定义知，曲线 C 的方程是y2 = 4x(x ≠ 0) ． （2）解法一 设l : y = kx + 1(k ≠ 0) ，与y2 = 4x 联立，消去y ， 得k2x2 + (2k - 4)x + 1 = 0 ，则 Δ = (2k - 4)2 - 4k2 > 0 ，得k < 1 ， 设P(x1, y1 ) ，Q (x2, y2 ) ，则 答案第 7页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 设直线OM ， ON 的方程分别为y = k1x ， y = k2 x ，M (1, y3 ) ， N (1, y4 ) ， 所以点G 的纵坐标为 故点G 的坐标为(1, 2) ， 显然点G 的坐标(1, 2) 满足方程y2 = 4x(x ≠ 0) ，故点G 在曲线C 上. 解法二 设l : tx + ny = 1 ，因为直线l 过点 A(0, 1) ，所以n = 1 ， 由 得 设P(x1, y1 ) ，Q (x2, y2 )，直线OM ，ON 的方程分别为y = k1x ，y = k2 x ，M (1, y3 ) ，N (1, y4 ) ， 则 是上面关于 的方程的两根， 即直线OM ， ON 的斜率k1 ，k2 是关于 的方程的两根， 所以k1 + k2 = 4 ，从而y3 + y4 = k1 + k2 = 4 ， 所以点G 的纵坐标为 故点G 的坐标为(1, 2) ， 显然点G 的坐标(1, 2) 满足方程y2 = 4x(x ≠ 0) ，故点G 在曲线C 上． 答案第 8页，共 8页 学科网（北京）股份有限公司 $$