2.2基本不等式单元测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式单元测试 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第二章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 4．已知正数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．设实数满足，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．6 6．若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 7．已知，，且，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 8．已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 9．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 11．下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 三、填空题 12．已知，，则的最小值是 . 13．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 14．若，则 .（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入） 四、解答题 15．如图所示，某人计划靠墙用篱笆围起一个矩形花园种花，墙的长度足够长.设花园的长为x米，宽为y米. (1)若已知篱笆的长度为40米，问如何设计长和宽才能使得花园的面积最大，最大为多少？ (2)若已知花园的面积为50平方米，问如何设计长和宽才能使篱笆的总长度最短，最短为多少？ 16． （1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 17．已知、、为正数. （1）若，证明：； （2）若，证明：. 18．已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)已知a,b都是正数，恒成立，求m的取值范围. 19．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 2.2 基本不等式单元测试 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第二章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 答案：A 分析：利用基本不等式直接求解即可. 解析：因为，所以， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 故选：A 2．的最小值为（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：利用基本不等式，可得答案. 解析：由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 3．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 答案：A 解析：，当且仅当时，等号成立，故. 故选：A 4．已知正数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 答案：D 分析：直接使用基本不等式即可. 解析：由正数a，b，且，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 5．设实数满足，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．6 答案：A 分析：变形函数，再利用基本不等式求解即可. 解析：因为， 当且仅当，即时，等号成立，故选： 6．若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 答案：C 分析：将真命题转化为恒成立问题，结合基本不等式得出参数的最大值即可. 解析：因为“，”是真命题， 所以,恒成立，所以的最小值， 因为，当且仅当即时，的最小值为，所以， 所以实数的最大值为. 故选：C. 7．已知，，且，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 答案：D 分析：由已知可得，再根据基本不等式求解即可． 解析：法1：由，得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是5． 故选：D 法2：由 得 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是5． 故选：D 8．已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 答案：C 分析：根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可. 解析： （当且仅当，时取等号）. 故选:C. 二、多选题 9．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 答案：BCD 分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个选项判断正误即可． 解析：对于A，因为，，所以，又所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD. 10．已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 答案：ABD 分析：根据基本不等式判断A，根据“1”的变形，结合基本不等式判断B，根据A的判断，变形判断CD. 解析：A. ，，，得，当时，等号成立，故A正确； B.，当，即时等号成立，故B正确； C.，第一个等号成立的条件是，由A可知，第二个等号成立的条件是，两个等号不能同时成立，所以，故C错误； D.由，即，， 由A可知，等号成立的条件为，故D正确. 故选：ABD 11．下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 答案：CD 解析：令，则，所以又， 当且仅当，即时取等号，而不满足错误； 因为，当且公当，即时取等号，故的最大值为错误； 若，则，当且仅当，即时取等号， 此时取得最大值，C正确； 因为正实数满足，所以， 当且仅当且，即时取等号，此时的最小值为8，D正确． 故选：CD. 三、填空题 12．已知，，则的最小值是 . 答案：9 分析：先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 解析：因为，， 故=， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 13．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 答案： 分析：分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 解析：对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 14．若，则 .（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入） 答案：＞ 分析：作差，分析差的正负即可求解. 解析：法1：因为 ， 又所以, 所以， 故答案为：> 法2： > 所以成立。 故答案为：> 点睛：本题主要考查了比较法判断两个式子的大小，考查了运算能力，属于中档题. 四、解答题 15．如图所示，某人计划靠墙用篱笆围起一个矩形花园种花，墙的长度足够长.设花园的长为x米，宽为y米. (1)若已知篱笆的长度为40米，问如何设计长和宽才能使得花园的面积最大，最大为多少？ (2)若已知花园的面积为50平方米，问如何设计长和宽才能使篱笆的总长度最短，最短为多少？ 分析：（1）由和定，根据基本不等式求积的最大值，注意等号成立条件. （2）由积定，根据基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件. 解析：（1），可得，当且仅当，时等号成立. ∴当长为20米，宽为10米时，最大面积为200平方米. （2），由（1）知：，当且仅当，时等号成立. ∴当长为10米宽为5米时，长度最短为20米 17． （1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 分析：（1）由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 解析：（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 17．已知、、为正数. （1）若，证明：； （2）若，证明：. 分析：（1）已知条件变形为，然后用“1”的代换即，展开后凑出定值， 用基本不等式证明； （2）使用基本不等式：，类似地得出其他两个式子相加后即可证． 解析：（1）∵，变形得 ∴ ∵，∴ 当且仅当，即时，等号成立 （2） ,, .即 当且仅当时，等号成立 点睛：本题考查用基本不等式证明不等式成立，解题时要灵活使用基本不等式，这种问题的解法很多，学习中要注意体会． 18．已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)已知a,b都是正数，恒成立，求m的取值范围. 分析：（1）利用基本不等式即可证明； （2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可； （3）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可.. 解析：（1）因为，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时取等号.得证。 （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. （3） 因为 所以 当且仅当即时取等号， 又恒成立，所以， 所以m的取值范围是. 19．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 分析：(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 解析：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为， 所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2） 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$