2.2寒假基本不等式章节试卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026学年高一上学期寒假基本不等式章节试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若a < 0，b < 0，则下列不等式中不成立的是（ ） A.... 2. 已知x > 0，y > 0，且，则xy的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 若a > 0，b > 0，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 用长度为12m的栅栏围一个矩形菜园，一边靠墙（墙足够长），则菜园面积的最大值为（ ） A.... 5. 函数（x > 1）的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B.. 3 D. 7. 已知a > 0，b > 0，，则的最小值为（ ） A.. 5 C.. 4 8. 若对于任意x > 0，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A.... 二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，选错得0分） 9. 下列不等式的证明中，使用了基本不等式的有（ ） A. 若a > 0，b > 0，则. 若x > 0，则 . 若a < 0，b < 0，则. 若，则 10. 已知a, b, c > 0，且，则下列结论正确的是（ ） A.... 11.已知正数(x)满足(x > 0)，要证明（或求其最小值），下列关于证明方法的描述中，适用于结合基本不等式使用的有（ ） A. 作差法（计算并判断符号） B. 综合法（直接应用基本不等式） C. 分析法（从倒推所需条件） D. 反证法（假设导出矛盾） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的最小值为________． 13. 某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，容积为，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，则蓄水池的最低总造价为________元． 14. 已知a > 0，b > 0，，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （8分）证明： 1 对于任意实数a, b, c，有； 2 若，则． 16. （10分）求下列函数的最小值： （1）（x > 0）； （2）（x > -1）． 17. （10分）某养殖场要建造一个矩形围栏，围栏的一边靠墙（墙长20m），另外三边用铁丝网围成，铁丝网总长50m．设围栏垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为y m． 1 求y关于x的函数关系式，并写出定义域； 2 求围栏面积的最大值及对应的x, y值． 18. （10分）已知x > 0，y > 0，且，求： 1.xy的最大值； 的最小值． 19. （12分）已知函数（a > 0）． 1 证明：fx在上单调递减，在]上单调递增； 2 若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案解析（仅提供关键步骤，供参考） 1. D（，故D不成立） 2. B（） 3. B（，当且仅当时取等） 4. B（设垂直于墙的边长为x，则平行于墙的边长为12 - 2x，面积，顶点在，） 5. B（） 6. A（，当且仅当时取等） 7. A（展开得，令，则原式，在时取最小值） 8. A（，故） 9. ABCD（均适用于基本不等式） 10. ABCD（A用乘“1”法，B展开后用基本不等式，C用平方和公式，D用） 11. ABC（数学归纳法不直接用于基本不等式证明） 12. （令，则，在时取最小值） 13. 297600（池底面积，造价240000；池壁面积，用基本不等式得最小值，造价57600，总造价297600） 14. （乘“1”法：） 15. 1 由，，，相加得证；2 由，得证。 16. 1 6（时取等）；（令，则）。 17. 1 ，定义域且，故，定义域[15, 25；2 面积，顶点在，但，故在时取最大值。 18. （时取等）；2 5（用柯西不等式）。 19. 1 用定义法或导数法证明单调性；2 由1知fx在[1, 3]上的最小值为，需且且，解得。 学科网（北京）股份有限公司 $