培优03 利用基本不等式求最值-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 培优03 利用基本不等式求最值 类型一 直接法求最值 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 类型二 配凑法求最值 （1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值. 类型三 “1”的代换求最值 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 类型四 条件等式有和有积求最值 （1）有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型； （2）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 类型五 消元法求最值 若无法对应某种具体题型，可采取消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解 题型01 直接法求最值 1．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 2．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．5 6．已知，，且，则的最小值为 ． 7．函数（）的最小值是 . 题型02 配凑法求最值 8．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 11．函数的最小值是，则当时，a的值为 ，当时，a的值为 12．求的最小值 . 13．已知，当 时，取得最大值 . 14．已知，求函数的最小值. 题型03 “1”的代换求最值 15．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 16．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 17．若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 18．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 19．已知，则的最小值为 ． 20．已知实数，，且，则的最小值是 ． 21．若正数a，b满足，则 的最小值为 ． 题型04 “1”的代换结合配凑求最值 22．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 23．设为正数，且，则的最小值为 24．已知，，，则的最小值为 . 25．已知，，则的最小值为 ． 26．已知，，且，则的最大值为 . 题型05 条件等式有和有积求最值 27．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（多选）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 30．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 31．若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 32．已知实数，满足，则的最大值为 题型06 消元法求最值 33．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．已知，且，则的最小值为 . 35．已知实数a，b满足，则的最大值为 ． 36．实数，满足，则的最小值是 . 37．已知，且，，则的最小值为 . 38．设正实数x，y，z满足，则的最小值为 题型07 多次使用基本不等式求最值 39．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 40．已知，则的最小值为 . 41．已知，则的最小值是 ． 42．已知a，b都是正数，求证：. 43．且 (1)求证. (2)是否存在a，b使得？ 一、单选题 1．若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 3．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 4．设a，b为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 6．已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则的最小值为3 D．若，，则 7．已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 8．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为24 B．的最大值为 C．的最小值为12 D．的最小值为 三、填空题 9．已知正实数满足，则的最小值为 . 10．已知，，，则的最小值是 ． 11．已知，且，则的最小值为 ． 12．已知，则的最小值为 . 四、解答题 13．已知，求证: (1); (2). 14．（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 15．已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值及此时a，b的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 培优03 利用基本不等式求最值 类型一 直接法求最值 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 类型二 配凑法求最值 （1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值. 类型三 “1”的代换求最值 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 类型四 条件等式有和有积求最值 （1）有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型； （2）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 类型五 消元法求最值 若无法对应某种具体题型，可采取消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后利用基本不等式求解 题型01 直接法求最值 1．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 2．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即， 当且仅当时等号成立， 所以． 故选：C． 3．已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，则， ，即， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 4．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，解得，所以是充分条件； 当时满足，此时，所以不是必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B 5．设，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D 6．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】由得， 又，，所以，当且仅当即时等号成立， 故答案为：2 7．函数（）的最小值是 . 【答案】 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 题型02 配凑法求最值 8．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 9．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值是. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 10．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 11．函数的最小值是，则当时，a的值为 ，当时，a的值为 【答案】 【详解】当时， 当时：，当且仅当即时等号； 此时. 当时，， 当且仅当即时等号；此时. 综上： 若，则，由题，所以. 若，则，由题，所以. 故答案为：1；−1. 12．求的最小值 . 【答案】9 【解析】将分子配方凑出含有的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， ，， ， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 13．已知，当 时，取得最大值 . 【答案】 【详解】，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，因此，当时，函数取得最大值， 故答案为；. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，同时注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查运算求解能力，属于中等题. 14．已知，求函数的最小值. 【答案】 【详解】，，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，因此，函数的最小值为. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，解题时要对函数的解析式进行变形，利用“积定和小，和定积大”的思想进行求解，考查计算能力，属于中等题. 题型03 “1”的代换求最值 15．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 16．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 17．若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【详解】因为，可得，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 18．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】正实数满足， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 19．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 因为，故， （当且仅当，即时取等号．） 则的最小值为, 故答案为： 20．已知实数，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】因为实数，，， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 21．若正数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】6 【详解】， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 联立，得，， 所以的最小值为. 故答案为：6 题型04 “1”的代换结合配凑求最值 22．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 23．设为正数，且，则的最小值为 【答案】/5.8 【详解】由题意，， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 24．已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 25．已知，，则的最小值为 ． 【答案】12 【详解】令，，则，，且，， 所以，． 又，所以 ， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故答案为：12 26．已知，，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】， 由，故， 则 ， 当且仅当，即、时，等号成立， 则. 故答案为：. 题型05 条件等式有和有积求最值 27．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 28．（多选）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 29．（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 30．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】实数，满足，且， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 31．若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 32．已知实数，满足，则的最大值为 【答案】/ 【详解】， 则，当且仅当或时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 题型06 消元法求最值 33．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由，得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D 34．已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，解得：， 则 当且仅当，时，“=”成立 故答案为：. 35．已知实数a，b满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】由得，则 ， 当且仅当时，此时，，或者，时等号成立， 所以的最大值为2． 故答案为：2. 36．实数，满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立； 故答案为：. 37．已知，且，，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】解：由，得，又，， 所以，解得，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为： 38．设正实数x，y，z满足，则的最小值为 【答案】7 【详解】正实数x，y，z满足x2+3xy+4y2﹣z＝0， 可得z＝x2+3xy+4y2， 则3 ≥3+27， 当且仅当x＝2y时，上式取得等号， 则的最小值为7． 故答案为7． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用变形和基本不等式，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题． 题型07 多次使用基本不等式求最值 39．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 40．已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 41．已知，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 42．已知a，b都是正数，求证：. 【答案】证明见解析. 【详解】∵，∵由均值不等式得，. 由不等式的性质，得， 当且仅当且时，等号成立.即证. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，属基础题. 43．且 (1)求证. (2)是否存在a，b使得？ 【答案】(1)见解析； (2)不存在． 【详解】（1）由题，因为，，所以，解得，仅当时取得等号 所以， 仅当取得等号. （2） 仅当取得等号，又仅当取得等号， 所以，仅当取得等号，与题目条件矛盾 所以不存在a，b使得． 一、单选题 1．若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 2．已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 【答案】B 【详解】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 故选：B 3．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，， 又，所以, 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是2. 故选：A 二、多选题 4．设a，b为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于AB，因为，所以，且， 因为a，b为正数，所以，，即，，故A正确，B错误； 对于C，因为，所以同除可得， 又a，b为正数，可得， （当且仅当时取得等号） 则，故，所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以，又，即， 所以， （当且仅当时取得等号） 即，因为，所以， 又所以， 即，故D不正确. 故选：AC. 5．已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 6．已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则的最小值为3 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】因为， 对于A，当时，，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，当时，，则， 则 ， 当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于C，当时，，解得（舍负）， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选：ACD． 7．已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【详解】对于A，， 因为（当且仅当时取“=”）， 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确； 对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误； 对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确． 故选：BD． 8．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为24 B．的最大值为 C．的最小值为12 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】已知，，， 对于A，，当且仅当，即，时，等号成立，∴的最小值为24，A正确； 对于B，，∴，当且仅当，即，时，等号成立，与，矛盾，B错误； 对于C，，当且仅当，即，时，等号成立，与，矛盾，C错误； 对于D，，当且仅当，时，等号成立，D正确． 故选：AD． 三、填空题 9．已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以由，得， 因为， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为： 10．已知，，，则的最小值是 ． 【答案】8 【详解】因为，，所以，即； 可解得，或，因为，，舍去.的最小值为8. 故答案为：8 11．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】原式变形可得，由得， 则， 当且仅当时取到等号，所以，， 故的最小值为3. 故答案为：3 12．已知，则的最小值为 . 【答案】16 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 四、解答题 13．已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 14．（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以； （2）因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 因为， 综上． 15．已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值及此时a，b的值． 【答案】(1)3； (2)时最小值为. 【详解】（1）由题设， 当且仅当时等号成立，故的最小值为3. （2），而， 而， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$