预习课第12讲 最短路径问题 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第12讲 最短路径问题 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 将军模型的理解 【题型二】 角平分线与将军模型 【题型三】 垂直平分线与将军模型 【题型四】 等腰三角形与将军模型 【题型五】 将军模型的变形 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解最短路径问题的模型，理解该模型的原理； 2.会利用最短路径模型求解最值. 1 将军饮马 如下图，点，在直线的同侧，在直线上取一点，使得最小. 2 变形模型 如下图，点是内的一点，分别在，上做点，，使得的周长最小. 作点关于，的对称点,,连接，交，于点，，此时的周长最小. 【题型一】 将军模型的理解 1 引入 相传亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题. 如图，将军每天从军营出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？ 据说，海伦稍加思索就解决了它，此后这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今. 在数学的角度，我们给以上故事数学化 如下图，定点，在直线的同侧，在直线上取一点，使得最小. 该模型强调，是定点，直线是定直线，且，在的同侧，动点在直线上运动。 作法 作点关于直线的对称点，连接与直线交于点. 简证 ，， 因为，所以， 所以点为所求点. 【典题1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 变式练习 1 （24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：作N关于l的对称点E，连接，交l于点C， ∴的垂直平分线为l， ∴， ∴， 即P与C重合， 故选：C． 2（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 【题型二】 角平分线与将军模型 【典题1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点， 平分， ， ， 当点与点重合时，的值最小，等于的值， ，的面积为8， ， ， 的最小值为4， 故选：B． 变式练习 1（22-23八年级上·江苏镇江·期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则为所求的最小值，根据是的平分线可知，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N． 是的平分线， ， ， 是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， 是的最小值， ，， ， 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题、角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 2（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，进而得到，利用面积法求出，由此得到的最小值． 【详解】解：过点作于，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∵中，，，， ∵， ∴， ∴，即的最小值是 故选D． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线问题，解题的关键是找到使最小时的动点和． 【题型三】垂直平分线与将军模型 【典题1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 变式练习 1（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，利用两点之间线段最短，找出最短距离为即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵l垂直平分， ， ， 的最小值是，值为7， 故选：C． 2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故选：C． 3（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、角直角三角形的性质等知识，求出是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，由直角三角形的性质求得，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， 作点关于直线的对称点，过作于，交于， 则此时，的值最小， ∵，， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ， ∴ 故选：B 【题型四】等腰三角形与将军模型 【典题1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质， 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小，最小值，求出即可，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则， 当点P，E，共线时，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 变式练习 1（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 2（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（    ）    A． B．5 C．4 D．6 【答案】A 【分析】过点作于点，交于，此时，即的最小值，利用面积法可求出的值，即的最小值． 【详解】解：过点作于点，交于，   ，是的一条角平分线， 点为底边的中点，，， 点、关于对称， ， ，此时的最小值， ，， ， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型． 3（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点B，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，．      是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点A关于直线的对称点为点B，， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【题型五】 将军模型的变形 【典题1】（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长到点G使得，延长到点F使得，连接交、于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可． 【详解】解：延长到点G使得，延长到点F使得，    ∵， ∴、垂直平分、， 连接交、于点、， 则，， ∴，这时的周长最小， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 变式练习 1（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 2（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于， ∴，， ∴，， 则即为的周长最小值， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 4（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（    ） A．140 ° B．100° C．80° D．50° 【答案】B 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°． 【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N， 则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【A组---基础题】 1（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 2（19-20八年级上·湖北·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 3（21-22八年级上·吉林·期中）如图，等边的边长为1，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接交于点，，关于直线对称，推出当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长． 【详解】解：连接交于点， 直线，且与△关于直线对称， ，，共线， ， ， ， ， ，， ，关于直线对称， 当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长， 故选B． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 4（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】作点关于直线的对称点，连接，证明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， 在和中， ， ， ， 欲求的最小值，只要求出的最小值， 当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 在中，，，， ， 的最小值是7， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点、的位置是解题的关键． 5（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，涉及到线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∵点D为边的中点，， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故选：B． 6（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（    ） A．136° B．96° C．90° D．84° 【答案】A 【分析】取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，根据轴对称的性质可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ的长度即为的周长最小值，根据三角形的内角和等于求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N， 则AM=PM，AN=QN， ∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN， ∴周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ， 由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为的周长最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝， ∴ ∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN， ∴∠P+∠Q=， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点M、N的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 8（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 9（22-23八年级上·广西河池·期中）两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么： (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)如把直角坐标系中的横轴看作一条河，现准备在河流边上建一个抽水站，使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，请作出点的位置，并求此时的面积． 【答案】(1)， (2)作图见解析，面积为 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，轴对称最短路径的计算，掌握平面直角坐标系的特点是关键． （1）根据平面直角坐标系的特点写出坐标即可； （2）根据轴对称最短路径的计算，作关于轴的对称点，连接交轴于，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：作关于轴的对称点，连接交轴于， 则点就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，即最小的点， ∴． 【B组---提高题】 1（20-21八年级上·广东广州·期中）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（  ） A．1 B．2 C．4 D．1.5 【答案】A 【分析】分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，求得∠O的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，如图所示： 由对称性可知OP＝O＝O＝2， ∵∠AOB＝60°， ∴∠ ＝2×60°＝120°， ∴∠＝∠ ＝30°， ∵OP＝2，OC⊥， ∴OC＝O＝1； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 2（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，平分，点为线段上一动点，连接，作且．连接，则当周长最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】作，根据角平分线的性质得到，可通过面积比求出；连接，证明，得到，则点N在射线上运动，作点C关于射线对称点，当，N，D三点共线时，，此时周长最小，根据轴对称性质得，，，根据面积比求解即可． 【详解】解：作，如图： 是的角平分线， ， ， 边上的高相同， ，即； 连接， ， ， ， ， ， ， 点N在射线上运动， 作点C关于射线对称点，连接，，， 当，N，D三点共线时，，此时周长最小， 由点C与点关于对称得：，， ∴， 平分，则点N到、的距离相等， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称解决最短路径问题等知识，添加辅助线解决问题是解题关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 最短路径问题 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 将军模型的理解 【题型二】 角平分线与将军模型 【题型三】 垂直平分线与将军模型 【题型四】 等腰三角形与将军模型 【题型五】 将军模型的变形 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解最短路径问题的模型，理解该模型的原理； 2.会利用最短路径模型求解最值. 1 将军饮马 如下图，点，在直线的同侧，在直线上取一点，使得最小. 2 变形模型 如下图，点是内的一点，分别在，上做点，，使得的周长最小. 作点关于，的对称点,,连接，交，于点，，此时的周长最小. 【题型一】 将军模型的理解 1 引入 相传亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题. 如图，将军每天从军营出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？ 据说，海伦稍加思索就解决了它，此后这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今. 在数学的角度，我们给以上故事数学化 如下图，定点，在直线的同侧，在直线上取一点，使得最小. 该模型强调，是定点，直线是定直线，且，在的同侧，动点在直线上运动。 作法 作点关于直线的对称点，连接与直线交于点. 简证 ，， 因为，所以， 所以点为所求点. 【典题1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 变式练习 1 （24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 2（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】 角平分线与将军模型 【典题1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式练习 1（22-23八年级上·江苏镇江·期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D． 【题型三】垂直平分线与将军模型 【典题1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 变式练习 1（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【题型四】等腰三角形与将军模型 【典题1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 变式练习 1（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（    ）    A． B．5 C．4 D．6 3（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【题型五】 将军模型的变形 【典题1】（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式练习 1（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A．B．C． D． 2如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 3（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 4（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（    ） A．140 ° B．100° C．80° D．50° 【A组---基础题】 1（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 2（19-20八年级上·湖北·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 3（21-22八年级上·吉林·期中）如图，等边的边长为1，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为 A．13 B．12 C．11 D．10 6（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 7（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（    ） A．136° B．96° C．90° D．84° 8（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 9（22-23八年级上·广西河池·期中）两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么： (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)如把直角坐标系中的横轴看作一条河，现准备在河流边上建一个抽水站，使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，请作出点的位置，并求此时的面积． 【B组---提高题】 1（20-21八年级上·广东广州·期中）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（  ） A．1 B．2 C．4 D．1.5 2（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，平分，点为线段上一动点，连接，作且．连接，则当周长最小时，的值为 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$