6.3 角 暑假讲义2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

6.3 角 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 角的概念与表示 【题型二】 度分秒的换算 【题型三】 有关角的计算 【题型四】 余角与补角的概念 【题型五】 余角与补角的性质 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握角的概念及其表示方法； 2 了解角的度量，并会转化； 3 理解角的平分线，会求角之间的运算； 4 理解余角与补角的概念，会求一个角的余角与补角； 5 理解余角与补角的性质。 1 角 （1）概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。（或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形） 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. （2）平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角. 2 角的表示 ① 用数字表示单独的角，如，等； ② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等； ③ 用一个大写英文字母表示一个独立（在顶点处只有一个角）的角，如，等； ④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧. 3 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 4 角的性质 （1）角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关； （2）角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算. 5 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。 6 余角和补角 （1）如果两个角的和等于（直角），这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余；反过来，如果和互余，那么； （2）如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补；反过来，如果和互补，那么； （3）同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等. 【题型一】 角的概念与表示 相关知识点讲解 1 角 （1）概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。（或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形） 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. （2）平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角. 2 角的表示 ① 用数字表示单独的角，如，等； ② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等； ③ 用一个大写英文字母表示一个独立（在顶点处只有一个角）的角，如，等； ④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧. 【典题1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列四个图中能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． 结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【详解】解：A、图中的，还可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； B、图中的，还可以用表示，也能用表示，故该选项符合题意； C、图中的，不可以用表示，也不能用表示，故该选项不符合题意； D、图中的，不可以用表示，也不能用表示，故该选项不符合题意； 故选：B ． 变式练习 1（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，即可获得答案． 【详解】解：还可以表示为， 故选：C． 2（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、和是同一个角，说法正确，不符合题意； B、不能用表示，故原说法错误，符合题意； C、图中有、和三个角，说法正确，不符合题意； D、和是同一个角，说法正确，不符合题意． 故选：B． 【题型二】 度分秒的换算 相关知识点讲解 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 【典题1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确，按照角的度量单位进行转化即可判断． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确， 故选：D． 变式练习 1（24-25七年级上·陕西渭南·期末）将化成度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键，根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 2（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了角度间的换算，根据角度间的换算即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以．把化为用度表示的角度即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 【题型三】 有关角的计算 相关知识点讲解 1角的性质 （1）角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关； （2）角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算. 2角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。 如下图，是的角平分线，则（或）. 【典题1】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键． 根据和的度数得出的度数，从而得出答案． 【详解】解：， ∴， ， 故选：D． 【典题2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，是直线上一点，，分别是，的平分线．若的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意求出，再根据邻补角的定义计算出，即可得到答案． 【详解】解： 是的平分线，， ， ， 是的平分线， ． 故选B． 变式练习 1（2025·北京·模拟预测）如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：C． 2（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差，由角的和差得，即可求解；能熟练利用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 3（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 4（2025·河北石家庄·一模）如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查是角平分线的定义，角的概念，角的计算，先根据角平分线的定义求出，再由得解． 【详解】解：∵射线和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5（23-24七年级下·陕西汉中·期末）已知，平分，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算． 熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，根据题意画出图形，分类讨论，是解题的关键． 分两种情况进行讨论，①在的外部，②在的内部，继而根据角平分线的定义分别运算即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， 当在的外部时，如图所示： ∵， ∴； 当在的内部时，如图所示： ； ∴C正确． 故选：C． 6（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，交于点，平分，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，一元一次方程的应用，角的运算，解题的关键在于利用方程思想解决问题．设，根据角平分线定义得，，结合建立方程求出，即可解题． 【详解】解：设， 平分， ，， 平分． ， ， ， 解得， ， 故选：B． 7（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，分别是和的平分线． (1)若，．求出的度数． (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的数量关系，角平分线的定义，数形结合是解答本题的关键． （1）由角平分线的定义得，根据求出，再由角平分线的定义求出，进而可求出求出的度数； （2）由角平分线的定义得，，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∵是的平分线 ∴， ∴； （2）解：∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ． 【题型四】 余角与补角的概念 相关知识点讲解 （1）如果两个角的和等于（直角），这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余；反过来，如果和互余，那么； （2）如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补；反过来，如果和互补，那么； 【典题1】（2025·甘肃白银·二模）下列各组角中，互为余角的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义两个角的度数之和等于逐一计算各选项中两个角的和，判断即可． 【详解】解：A. 与，和为 ，属于补角，不符合题意； B. 与，和为 ，不符合余角定义； C. 与，和为 ，不符合余角定义； D. 与，和为 ，符合余角定义， 故选：D． 【典题2】（24-25六年级下·山东威海·期中）已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的度数； 【详解】解：（1）设这个角的度数为， 由题意得：， 解得：， ∴这个角的度数为； 变式练习 1（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故选：B． 2（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）一个角的度数是，那么它的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，熟练掌握补角定义：“和为的两个角互为补角”，根据补角的定义求出结果即可． 【详解】解：一个角的度数是， 那么它的补角的度数是：． 故选：C． 3（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）一个角的余角是它的3倍，则这个角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与余角有关的计算，度数之和为90度的两个角互余，设这个角为x，则这个角的余角为，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角为x， 由题意得，， 解得． 故选：A． 4（23-24七年级下·全国·课后作业）两个角的度数之比是，它们的差是，则这两个角的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角度的计算，设这两个角分别是，，根据题意得出，进而求得两角和为，即可求解． 【详解】解：设这两个角分别是，， 根据题意，得， ， ， 这两个角的数量关系是互余． 故选：B． 【题型五】 余角与补角的性质 相关知识点讲解 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等. 【典题1】（24-25七年级上·全国·期末）如图，，那么下列式子中错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角的计算的有关知识，根据同角的余角相等，得，，那么，，进而推断出A、B、C不合题意，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴． 又∵， ，故A正确； B、∵，， ∴，故B正确； C、∵，， ， ∵， ∴，故C正确； D、∵． 与不一定相等，故D错误； 故选：D． 变式练习 1（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 【答案】A 【分析】本题考查的是余角的概念和性质，熟知同角的余角相等是解题关键． 根据余角的概念证明，即可得到答案． 【详解】解：， ， 既是的余角，又是的余角， ，其依据是同角的余角相等， 故选A． 2（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么．证明它的依据是（   ） A．等量代换 B．同角的余角相等 C．余角的定义 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了等角或同角的余角相等的性质，熟记余角的性质是解题的关键．根据同角的余角相等进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴根据同角的余角相等，可得． 故选：B． 3（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 4（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是射线上一点，过作，作，垂足为，以下结论中：①是的余角；②；③图中互余的角共有对；④，正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得，即得，即可判断①；由得，进而根据余角性质可得，即可判断②；根据余角定义可判断③；利用余角性质可得，进而根据补角性质可得，即可判断④，掌握余角和补角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的余角，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴图中互余的角共有对，故③错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∴正确的是①②④， 故选：． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列图形中，能用，，表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角的表示方法，解题的关键是要熟练掌握角的几种表示方法； 根据角的表示方法，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．顶点O处有一个角，能同时用，，表示，故本选项符合题意； B．顶点O处有四个角，和表示同一个角，不能用表示，故本选项不符合题意； C．顶点O处有三个角，不能用表示，故本选项不符合题意；   D．顶点O处有两个角，不能用表示，和表示得不是同一个角，无，故本选项不符合题意；． 故选：A． 2（2025·甘肃·一模）已知与互为余角，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了互余的定义，掌握互余定义是解题的关键． 根据两个角的和等于即可求解． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的单位换算及大小比较，解题的关键是将不同单位表示的角度统一单位后再比较． 将的度数换算为度分形式，再统一与比较大小． 【详解】解： ， ，即， 又 ，， ， 故选：A． 4（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键．根据已知，即，由此可得，根据即可得出答案． 【详解】解：，即， ， ， ． 故选：D． 5（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，，．若平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的相关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．求出的度数，再利用角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴． ∵平分， ∴ 故选：A． 6（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，交于点，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 7（24-25七年级下·重庆·期中）若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角；补角：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角．设这个角为，则它的补角为，余角为，根据题意列出方程，再解即可． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为，余角为，根据题意可得： ， 解得：， 故选：B． 8（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，将一副三角尺按不同方式摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角，补角及平角的定义．根据同角的余角相等，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、根据等角的余角相等可得，但与不一定互余，故本选项不符合题意； B、由图知，即与一定互余，故本选项符合题意； C、由图知，与不互余，故本选项不符合题意； D、由图知，与互补，故本选项不符合题意； 故选：B． 9（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）先根据角平分线定义得到，，再求出； （2）先根据角平分线定义得到，再求出，然后根据角平分线定义得出． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 10（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）定义：如果两个角有一条边重合，且一个角是另一个角的4倍，我们称这两个角是友好关系角．如图，点是直线上一点，作射线，且． (1)若和是友好关系角，求的度数． (2)若平分，且和是友好关系角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握新定义，列出方程． （1）设，则，根据，得出， 解方程即可； （2）根据角平分线性质得出，设，则，，根据，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵和是友好关系角，且， ∴， 即， 解得， ∴的度数为． （2）解：∵平分， ∴， 设，则，． ∵和是友好关系角，且， ∴，即， 解得， ∴． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算．根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， ∴， 故②正确； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：C. 2（24-25六年级下·山东烟台·期中）在数学研究中，一般经历观察、猜想、验证、结论四个过程，也是我们常用的几何探究方式．在同一平面内，请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)若边和边所在直线重合，如图1所示，求的度数； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使，求如图2所示的的度数； (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后将三角板绕着点 B旋转，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)，，或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据解答即可； （2）根据图形利用角度的和差即可解答． （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：∵， ∴； （3）解：当边在边右侧时，如图，设， 则有， 解得； 或， 解得； 当边在边左侧时，如图， 设， 则有， 解得； 或， 解得； 综上所述，的度数为或． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 角 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 角的概念与表示 【题型二】 度分秒的换算 【题型三】 有关角的计算 【题型四】 余角与补角的概念 【题型五】 余角与补角的性质 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握角的概念及其表示方法； 2 了解角的度量，并会转化； 3 理解角的平分线，会求角之间的运算； 4 理解余角与补角的概念，会求一个角的余角与补角； 5 理解余角与补角的性质。 1 角 （1）概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。（或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形） 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. （2）平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角. 2 角的表示 ① 用数字表示单独的角，如，等； ② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等； ③ 用一个大写英文字母表示一个独立（在顶点处只有一个角）的角，如，等； ④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧. 3 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 4 角的性质 （1）角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关； （2）角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算. 5 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。 6 余角和补角 （1）如果两个角的和等于（直角），这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余；反过来，如果和互余，那么； （2）如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补；反过来，如果和互补，那么； （3）同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等. 【题型一】 角的概念与表示 相关知识点讲解 1 角 （1）概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。（或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形） 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边. （2）平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角. 2 角的表示 ① 用数字表示单独的角，如，等； ② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等； ③ 用一个大写英文字母表示一个独立（在顶点处只有一个角）的角，如，等； ④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧. 【典题1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列四个图中能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【题型二】 度分秒的换算 相关知识点讲解 角的度量有如下规定：把一个平角等分，每一份就是度的角，单位是度，用“”表示，度记作，度记作。 把的角等分，每一份叫做分的角，分记作； 把的角等分，每一份叫做秒的角，分记作； ，。 【典题1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级上·陕西渭南·期末）将化成度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 【题型三】 有关角的计算 相关知识点讲解 1角的性质 （1）角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关； （2）角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算. 2角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。 如下图，是的角平分线，则（或）. 【典题1】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，是直线上一点，，分别是，的平分线．若的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·北京·模拟预测）如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4（2025·河北石家庄·一模）如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 5（23-24七年级下·陕西汉中·期末）已知，平分，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 6（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，交于点，平分，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，分别是和的平分线． (1)若，．求出的度数． (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【题型四】 余角与补角的概念 相关知识点讲解 （1）如果两个角的和等于（直角），这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示，如果，那么和互余；反过来，如果和互余，那么； （2）如果两个角的和等于，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示，如果，那么和互补；反过来，如果和互补，那么； 【典题1】（2025·甘肃白银·二模）下列各组角中，互为余角的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典题2】（24-25六年级下·山东威海·期中）已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的度数； 变式练习 1（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）一个角的度数是，那么它的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）一个角的余角是它的3倍，则这个角的度数是（　　） A． B． C． D． 4（23-24七年级下·全国·课后作业）两个角的度数之比是，它们的差是，则这两个角的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【题型五】 余角与补角的性质 相关知识点讲解 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等. 【典题1】（24-25七年级上·全国·期末）如图，，那么下列式子中错误的是(   ) A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 2（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么．证明它的依据是（   ） A．等量代换 B．同角的余角相等 C．余角的定义 D．同角的补角相等 3（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是射线上一点，过作，作，垂足为，以下结论中：①是的余角；②；③图中互余的角共有对；④，正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列图形中，能用，，表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 2（2025·甘肃·一模）已知与互为余角，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 4（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，，．若平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，交于点，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 7（24-25七年级下·重庆·期中）若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 8（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，将一副三角尺按不同方式摆放，其中与一定互余的是 A．B． C． D． 9（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 10（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）定义：如果两个角有一条边重合，且一个角是另一个角的4倍，我们称这两个角是友好关系角．如图，点是直线上一点，作射线，且． (1)若和是友好关系角，求的度数． (2)若平分，且和是友好关系角，求的度数． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2（24-25六年级下·山东烟台·期中）在数学研究中，一般经历观察、猜想、验证、结论四个过程，也是我们常用的几何探究方式．在同一平面内，请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)若边和边所在直线重合，如图1所示，求的度数； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使，求如图2所示的的度数； (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后将三角板绕着点 B旋转，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请求出的度数． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$