精品解析：福建省莆田市城厢区南门学校2024-2025学年 八年级下学期期中考试数学卷

2024-2025学年南门中学八年级下学期期中考试卷 数学试题 一．选择题 1. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是（　　） A. 7，2，9 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，10，13 3. 下列式子是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 相等的两个角是对顶角 B. 同位角相等 C. 若，则 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 5. 在平行四边形 中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 6. 下列图象中，不能表示 是 的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点，，若，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形 中，E、F分别是 、 的中点，若，则菱形 的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 9. 如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　） A. 四边形ACDF是平行四边形 B. 当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C. 当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D. 四边形ACDF不可能是正方形 10. 如图，阴影部分表示以 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（　　） A. B. C. 14 D. 24 二．填空题 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 12. 已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是______． 13. 如图， 中， ，，，D为斜边 的中点，则 的长是______． 14. 若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简的结果为______． 15. 如图，矩形 的对角线 ， 相交于点，，，则边 的长为______． 16. 如图，已知平行四边形 中，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接，则的长的最小值是_____． 三．解答题 17. 计算：． 18. 已知，． （1）直接写出_____，_____； （2）试求的值． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在网格格点上．求证：． 20. 已知，如图，在平行四边形 中，的平分线交 边于点． 求证：． 21. 如图，在中，交 于点E，交 的延长线于点F，且，连接 ， ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） （1）如图1，在中，为 边上一点，在 上找点 ，使得； （2）在平行四边形 中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分． 23. 在数学小组探究学习活动中，小明遇到这样一道解答题： 已知，求的值． 他是这样解答的：∵， ∴，∴，即， ∴，∴． 请你根据小明的解题方法，解答下列问题： （1）填空：___________； （2）化简：； （3）若，求的值． 24. 材料1：对于任意正实数a，b，∵，∴，，只有当时，等号成立． 结论：在，（a，b均为正实数）中，若为定值p，则，，只有当时，有最小值． 材料2：若函数（，，m为常数），由材料1结论可知：，即．∴当，即，∴时，函数的最小值为．根据上述内容，回答下列问题： （1）若，只有当 时，有最小值； （2）若函数，则 时，函数的最小值为 ． （3）如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形的面积始终为12，求四边形 面积的最小值以及此时P点的坐标． 25. 如图1，已知正方形 ，，E是边 上的一个动点（不与点B，C重合），连接 ，点B关于直线 的对称点为F，连接 并延长交 于点G，连接，． （1）求的度数； （2）如图2，连接，若，求线段的长； （3）如图3，在点E运动过程中，作的平分线交延长线于H，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年南门中学八年级下学期期中考试卷 数学试题 一．选择题 1. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选B． 2. 下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是（　　） A. 7，2，9 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，10，13 【答案】C 【解析】 【分析】据勾股定理的逆定理，逐项判定即可． 【详解】解：A．，所以7、2、9不能组成直角三角形，故A不符合题意； B．，所以4、5、6不能组成直角三角形，故B不符合题意； C．，所以5可以组成直角三角形，故C符合题意； D．，所以5、10、13不能组成直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键． 3. 下列式子是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含分母，不含能开的尽方的因数或因式；②分母不含根号，据此解答即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．，是最简二次根式，故此选项符合题意； C．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 相等的两个角是对顶角 B. 同位角相等 C. 若，则 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角、同位角、等式的性质和平行线的判定判断即可． 【详解】解：A、若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，故A不符合题意； B、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，故B不符合题意； C、若，则或，原命题是假命题，故C不符合题意； D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题，故D符合题意． 故选：D． 5. 在平行四边形 中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及内角比可得，设每份为 ，则，解得，进而可求解． 【详解】解：四边形 是平行四边形，且， ， 设每份为 ，则， 解得， 则． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6. 下列图象中，不能表示是 的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义确定图象，理解函数的定义是解题关键．由函数的定义可知，对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、符合函数的定义，能表示是 的函数，选项错误； B、有两个函数值与自变量 对应，不符合函数的定义，不能表示是 的函数，选项正确； C、、符合函数的定义，能表示是 的函数，选项错误； D、、符合函数的定义，能表示是 的函数，选项错误； 故选：B． 7. 如图所示，在平行四边形 中，对角线 ，相交于点 ，，若 ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行四边形的对角线互相平分得，，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，菱形 中，E、F分别是、 的中点，若，则菱形 的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】∵E、F分别是、 的中点 ∴是 的中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：D． 9. 如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　） A. 四边形ACDF是平行四边形 B. 当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C. 当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D. 四边形ACDF不可能是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵∠ACB=∠EFD=30°， ∴AC∥DF， ∵AC=DF， ∴四边形AFDC是平行四边形， 选项A正确； 当E是BC中点时,无法证明∠ACD=90°， 选项B错误； B、E重合时，易证FA=FD， ∵四边形AFDC是平行四边形， ∴四边形AFDC是菱形， 选项C正确； 当四边相等时,∠AFD=60°,∠FAC=120°， ∴四边形AFDC不可能是正方形， 选项D正确. 故选:B. 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定.熟练应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法进行证明是解题的关键. 10. 如图，阴影部分表示以 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（　　） A. B. C. 14 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． 由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 由图形可知，阴影部分面积 ， 故选：D． 二．填空题 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【解析】 【分析】先平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，均为正数且，， ∴ 故答案为：<． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较．解题的关键在于先平方后比较大小． 12. 已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随 的增大而增大；当时，随 的增大而减小．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得 的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 13. 如图， 中，，，，D为斜边的中点，则 的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，斜边中线的性质．根据勾股定理求得，再根据斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵D为斜边的中点， ∴， 故答案为：． 14. 若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简的结果为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值得出，再合并同类项即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，5，n， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 15. 如图，矩形 的对角线 ，相交于点 ，， ，则边 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明是等边三角形，得，进而可得，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】 四边形 是矩形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ∴ ∴ 在 中， 故答案为：． 16. 如图，已知平行四边形 中，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接，则的长的最小值是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，等边三角形的性质，勾股定理， 利用邻边相等的平行四边形即菱形的性质以及等边三角形的性质确定A点位置，进而求出 的最小值． 【详解】解：如图所示：过点A作于点E，连接， ∵平行四边形 中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴点E为中点，则此时， 在中，． 根据三角形的三边关系可知， 当点A，O，E在一条直线上，此时最短． 所以的最小值为：． 故答案为：． 三．解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先根据零指数幂、绝对值的意义计算并化简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． 18. 已知，． （1）直接写出_____，_____； （2）试求的值． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式，完全平方公式变形计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据二次根式加减运算法则进行计算可以得出的值，根据平方差公式，求出的值即可； （2）将变形为，然后代入（1）中得出的结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 和的顶点均在网格格点上．求证：． 【答案】 证明：由图可得， ， ， ∵， ， ，即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，验证两个三角形的对应角相等是解题的关键．利用网格线的特点可得，证明，推出即可出结论． 【详解】略 20. 已知，如图，在平行四边形 中，的平分线交 边于点 ． 求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，先根据平行四边形的性质得出，，易得，再根据角平分线的性质，确定，结合等腰三角形的性质证出，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，交 于点E，交 的延长线于点F，且，连接 ，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识． （1）由平行四边形的性质得，，，而，则，，所以四边形是平行四边形，因为，所以，则四边形是菱形； （2）由，得，得，由勾股定理得，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，，， ∵点F在 的延长线上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，交 于点E， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为30． 22. 请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） （1）如图1，在中， 为边上一点，在 上找点 ，使得； （2）在平行四边形 中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）连接 、， 交于点 ，连接并延长交于点 即可； （2）设矩形的对角线交点为点 ，连接 、， 交于点 ，过点 、 作直线即可． 【小问1详解】 解：如图，连接 、， 交于点 ，连接并延长交于点 ， ∵四边形 是平行四边形，对角线 、交于点 ， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则点 即为所作； 【小问2详解】 如图，设矩形的对角线交点为点 ，连接 、，对角线 、相交于点 ，过点 、 作直线， 设直线将分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为），直线将矩形分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为）， ∵平行四边形和矩形都是中心对称图形，且直线同时经过和矩形的对角线的交点， ∴，， ∴， ∴直线左边剩余部分的面积等于直线右边剩余部分的面积， 即直线将剩下图形的面积平分， 则直线即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，中心对称图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 23. 在数学小组探究学习活动中，小明遇到这样一道解答题： 已知，求的值． 他是这样解答的：∵， ∴，∴，即， ∴，∴． 请你根据小明的解题方法，解答下列问题： （1）填空：___________； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后同类二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再利用同样方法计算即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ． 24. 材料1：对于任意正实数a，b，∵，∴，，只有当时，等号成立． 结论：在，（a，b均为正实数）中，若 为定值p，则，，只有当时，有最小值． 材料2：若函数（，，m为常数），由材料1结论可知：，即．∴当，即，∴时，函数的最小值为．根据上述内容，回答下列问题： （1）若，只有当 时，有最小值； （2）若函数，则 时，函数的最小值为 ． （3）如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形的面积始终为12，求四边形 面积的最小值以及此时P点的坐标． 【答案】（1）1 （2）4，7 （3）四边形 的面积最小值为24； 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了完全平方公式，最小值问题． （1）根据阅读材料内容解决问题即可； （2）根据阅读材料内容解决问题即可； （3）设，由矩形的面积为12，可得，推出，由题意，转化为例题的模型解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴当时，即时，有最小值， ∵， ∴， 故答案为1； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴当时，y有最小值，最小值为7， ∴， ∵， ∴时，y有最小值，最小值为7， 故答案为4，7； 【小问3详解】 解：设， ∵矩形的面积为12， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴当时，即时，四边形 的面积最小，最小值为24， 此时， ∴． 25. 如图1，已知正方形 ，，E是边 上的一个动点（不与点B，C重合），连接 ，点B关于直线 的对称点为F，连接并延长交 于点G，连接， ． （1）求的度数； （2）如图2，连接，若，求线段的长； （3）如图3，在点E运动过程中，作的平分线交延长线于H，若，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明即可解决问题； （2）证出，设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案； （3）过点H作，交的延长线于点M，作，交 的延长线于点N，证明，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形 是正方形，点B关于 对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得 ， 即； 【小问3详解】 解：过点H作，交的延长线于点M，作，交 的延长线于点N， ∵点B关于直线 的对称点为F， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $