精品解析：山东省青岛市市南区琴岛学校2024—2025学年下学期八年级期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量检测 八年级（数学）试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．写在本试卷上无效． 3．回答解答题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 公元2025年是我国农历乙已年，金蛇献瑞，蛇舞新春！下列年画图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 2. 已知，下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质及取特殊值来验证解题即可． 【详解】解：当时，若，从而，故A不符合题意； 当时，根据不等式的性质3，两边同乘以﹣2，不等号方向改变，故C不符合题意； 当时，如，但，故D不符合题意； 当时，根据不等式的性质1，两边同时加，不等号方向不变，故B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，明确不等式的性质及采取特殊值验证是解题的关键． 3. 以下因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，对各选项逐一进行因式分解验证，判断是否符合分解规则即可． 【详解】解：A. ，虽提取公因式，但可进一步分解为，未彻底分解，故错误； B. 需分解为两数积为、和为的项，正确分解应为，故错误； C. ，提取公因式后，在实数范围内不可再分解，故正确； D. ，右边为多项式变形而非乘积形式，不符合因式分解要求，故错误； 故选C． 4. 如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项分析即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，，故正确； 而与不一定平行，故D不一定正确， 故选：D． 5. 将不等式的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 故选：A． 6. 已知关于的不等式组的解集为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数、求代数式的值，根据不等式组的解集确定m和n的值，再计算的结果． 【详解】解∶∵不等式组的解集为， ∴，， ∴． 故选∶B． 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线的交点问题，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．先将转化为，再根据函数图象求解即可． 【详解】解：， ， 由图可知，． 故选：C． 8. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理等知识点，证即可判断①；证推出是等边三角形，根据，，可推出，即可判断③；根据，可得，设边上的高为，边上的高为，可推出，即可判断④；根据，即可判断②；假设平分，则可求出，即可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设边上的高为，边上的高为， 则， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， 又即， ∴， ∴， 又， ∴，故②错误； 若平分， 则， 又， ∴， 又， ∴， 而题干没有这一条件，则平分不成立，故⑤错误； 故选∶B 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 已知，则______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 10. 将点向下平移2个单位得到，且在轴上，那么点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，坐标轴上的点的特征．熟练掌握点的平移规则：左减右加，上加下减，以及x轴上的点的纵坐标为0，是解题的关键．根据平移的规律得到的坐标，再根据在x轴上，纵坐标为0，列式求出m的值即可． 【详解】解：由题意，点的坐标为，即， ∵在轴上， ∴，解得， ∴点P坐标为， 故答案为：． 11. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打____ 折． 【答案】七 【解析】 【详解】试题分析：设打x折，利用销售价减进价等于利润得到1200•﹣800≥800×5%，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可． 解：设打x折， 根据题意得1200•﹣800≥800×5%， 解得x≥7． 所以最低可打七折． 故答案为七． 12. 如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 13. 如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出的取值范围．先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出其和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解，，，，， ， 解得：， 满足条件整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．根据等边对等角可得：，再由三角形内角和定理求得，求得，然后分三种况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为___________，第2025次旋转后钝角顶点坐标为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．过点B作轴于点T，于点H．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得点B的坐标，再探究规律，利用规律求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点T，于点H． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，，，，，，…， 发现每旋转3次循环，， ∴第2025次旋转后钝角顶点的横坐标为，纵坐标为0， ∴第2025次旋转后钝角顶点坐标为， 故答案为：，． 16. （1）如图在平面直角坐标系中的三个顶点分别是、、 ①将平移，使得点的对应点的坐标为，在如图的坐标系中画出平移后的； ②将绕点逆时针旋转，画出旋转后的并直接写出的坐标； （2）尺规作图 如图，线段在的内部，在的内部求作点，使点到两边的距离相等且到线段两端点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见解析②见解析，的坐标为的坐标为（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，线段垂直平分线和角平分线的性质． （1）①由点A及其对应点的位置得出平移方向和距离，再将点B和点C分别按此方式平移得出其对应点，继而首尾顺次连接即可得； ②由旋转的性质作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）作出线段的垂直平分线，的平分线，两线的交点，即可解答． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求． ②如图所示，即为所求，其中的坐标为的坐标为； （2）∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴用尺规作图先作线段的垂直平分线， ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴再作的角平分线，则两线的交点P即为所求； 17. 解不等式组，并求出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，整数解为：． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别解每一个不等式，再取解集的公共部分，求出不等式组的解集，找出所有的整数解即可． 【详解】解：， 由①得：，解得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解为：． 18. 分解因式： （1）． （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式m，再利用完全平方公式求解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 19. 如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m，n的值； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把点代入求得，再把点代入求n得值即可； （2）根据图象求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时，的值最小，利用待定系数法全等直线的解析式，令，求得y的值即可． 【小问1详解】 解：把点代入得，， ∴， 把点代入得，， 解得； 【小问2详解】 解：由图可得，当时，； 【小问3详解】 解：如图，过点A作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P， 把代入得，， 解得， ∴， 由对称的性质可得， ，， ∴， ∴当点A、P、B三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入得，， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、最值问题、轴对称的性质、一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 21. 对于任意实数，定义一种新的运算如下：， 例如：． （1）若，求的取值范围； （2）已知关于的方程的解满足，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，解一元一次方程．根据新定义列出关于x的不等式，正确的解一元一次不等式、一元一次方程是解题的关键． （1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可； （2）先解关于x的方程得出，再将代入由列出的关于a的不等式中，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， ∵，关于x的方程的解满足， ∴， 解得，． 22. 如图，在中，，将绕着C点顺时针旋转α角度（这里）得到，连接，延长交于F． （1）如图1，当E在上时，求证：； （2）在旋转过程中，线段与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论； （3）如图3，当时，若，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等： （1）根据等边对等角得到，再由，即可证明结论； （2）作于N，交的延长线于M．证明，得到，再证明，得到，据此可得结论； （3）如图3，作于N，交的延长线于M．先利用勾股定理得到，，则，接着证明，得到，在中， ，则． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图2，作于N，交的延长线于M． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，作于N，交的延长线于M． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 23. 随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元． （1）求出快速充电桩和慢速充电桩的单价； （2）该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？ 【答案】（1）快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元和万元 （2）购买慢速充电桩个，购买快速充电桩个时，所需资金最少，最少是万元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组和一次函数的实际应用： （1）设快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元，万元，根据安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买慢充电桩个，根据慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，求出的取值范围，设总费用为万元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元，万元，由题意，得： ，解得：， 答：快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元和万元． 【小问2详解】 设购买慢速充电桩个，则购买快速充电桩个，由题意，得： ，解得：， 设总费用为万元，由题意，得： ， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，的值最小为， 此时， 故购买慢速充电桩个，购买快速充电桩个时，所需资金最少，最少是万元． 24. 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒． （1）______（用的代数式表示）； （2）当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值； （3）当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据题意用表示出即可； （2）根据等腰三角形的性质列出方程，根据一元一次方程的计算进行解答； （3）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒， ， 在中，，， ， ． 小问2详解】 当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， ， ， 解得， ， 在中，，， ， ， 此时点在上， ∴当点在边上运动时，是等腰三角形时无解． 【小问3详解】 点在上运动， 点恰好在垂直平分线上， ， ， 作于点，连接，如图， 为的中垂线，， ， 在中，， 由三角函数可知， ， ． 【点睛】本题考查了三角函数，等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量检测 八年级（数学）试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．写在本试卷上无效． 3．回答解答题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 公元2025年是我国农历乙已年，金蛇献瑞，蛇舞新春！下列年画图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下因式分解正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将不等式的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式组的解集为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 已知，则______．（填“”或“”） 10. 将点向下平移2个单位得到，且在轴上，那么点坐标是__________． 11. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打____ 折． 12. 如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 13. 如果关于不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 14. 如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为___________，第2025次旋转后钝角顶点坐标为___________． 16. （1）如图在平面直角坐标系中的三个顶点分别是、、 ①将平移，使得点的对应点的坐标为，在如图的坐标系中画出平移后的； ②将绕点逆时针旋转，画出旋转后的并直接写出的坐标； （2）尺规作图 如图，线段在的内部，在的内部求作点，使点到两边的距离相等且到线段两端点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 17. 解不等式组，并求出所有整数解． 18. 分解因式： （1）． （2） （3） 19. 如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m，n的值； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 20. 如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： （1）； （2）垂直平分． 21. 对于任意实数，定义一种新的运算如下：， 例如：． （1）若，求的取值范围； （2）已知关于方程的解满足，求的取值范围． 22. 如图，在中，，将绕着C点顺时针旋转α角度（这里）得到，连接，延长交于F． （1）如图1，当E在上时，求证：； （2）在旋转过程中，线段与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论； （3）如图3，当时，若，求线段的长度． 23. 随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元． （1）求出快速充电桩和慢速充电桩的单价； （2）该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？ 24. 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒． （1）______（用的代数式表示）； （2）当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值； （3）当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$