精品解析：湖北省宜昌市夷陵区乐天溪镇乐天溪初级中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

乐天溪初中2025年春季学期八年级数学期中学情监测 一、选择题（请在答题卡上指定的位置涂黑符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，共30分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，以及二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据平方根和算术平方根的定义，以及二次根式的运算法则逐一分析选项． 【详解】选项A： 算术平方根的定义为非负数，表示4的算术平方根，结果为2，而非，故A错误； 选项B： 根据二次根式乘法法则，（），代入得，故B正确； 选项C： 计算左边：，故左边为，而右边为，显然，故C错误； 选项D： 被开方数为，表示9的算术平方根，结果为3，而非，故D错误； 故选：B． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了满足最简二次根式的条件，正确理解满足最简二次根式的条件是解题的关键．最简二次根式，需满足（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数不能含开得尽方的因数或因式．根据满足最简二次根式的条件，对各选项逐一分析即可判断． 【详解】解：A、 ，被开方数含分母，需化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数为完全平方数，可化为整数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含平方因数4，需化简，不是最简二次根式4，不符合题意； D、，被开方数6的因数2和3均为质数，无平方因数，无法再化简，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，1， D. 6，8，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 根据勾股定理的逆定理，判断三边是否满足（为最长边），若满足则为直角三角形． 【详解】选项A：最长边为4，验证：，，，不满足勾股定理； 选项B：最长边为6，验证：，，，不满足勾股定理； 选项C：最长边为，验证：，，满足勾股定理； 选项D：最长边为11，验证：，，，不满足勾股定理； 故选：C． 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x=180，继而求得答案． 【详解】解：设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°， 则x+3x=180， 解得：x=45°， ∴其中较小的内角是45°． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补． 5. 如图，点M表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 , ∴点M表示的实数是， 故答案为：C 6. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 7. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解． 【详解】根据平行四边形的性质得AD∥BC， ∴∠EDA=∠DEC， 又∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC=∠EDA， ∴∠EDC=∠DEC， ∴CD=CE=AB=6cm， 即BE=BC﹣EC=8﹣6=2cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题． 8. 化简的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用、平方差公式、二次根式的混合运算，，熟记运算法则、正确计算是解题的关键． 观察到与的乘积为1，利用指数运算性质化简原式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 9. 如图，点为边上一点，将沿翻折得到，点在上，且．那么的度数为（ ） A. 38° B. 48° C. 51° D. 62° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠BFE=∠A=52°，∠FBE=∠ABE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠EDF=∠DEF=∠BFE=26°，由三角形内角和定理求出∠ABD=102°，即可得出∠ABE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C=52°， 由折叠的性质得：∠BFE=∠A=52°，∠FBE=∠ABE， ∵EF=DF， ∴∠EDF=∠DEF=∠BFE=26°， ∴∠ABD=180°-∠A-∠EDF=102°， ∴∠ABE=∠ABD=51°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键． 10. 如图中，，，，分别以三边为直径画半圆，则两月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】阴影部分面积可以看成是以AB,BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积，再减去一个以AB为直径的半圆面积，从而得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴S阴影=S以AB为直径的半圆+S以BC为直径的半圆+S以AC为直径的半圆 , 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理，解题关键是找出阴影部分的面积是由哪几个规则图形的面积的和或差表示． 二、填空题（请在答题卡上指定的位置填上符合要求的答案．每3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12. 当时，代数式的值为______ 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查求代数式的值，完全平方公式的应用及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先将代数式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：，且， ， 则代数式的值为． 故答案为：． 13. 图1中的菱形沿对角线裁剪分成的四个三角形无重叠地拼成如图2所示的正方形．若拼成后的大正方形面积比菱形的面积大9，则菱形较长对角线与较短对角线的差为______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查菱形和正方形的性质，理解基本性质，并灵活运用是解题关键．先根据题意确定出大正方形面积比菱形的面积大的部分为大正方形中的小正方形的面积，从而确定出小正方形的边长，即可结合题意得出菱形两对角一半的差值，最后根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，菱形较长对角线与较短对角线的差即为， 由题意，在大正方形中，比菱形的面积大的部分即为正方形， ∴正方形的面积为9， ∴， ∵， ∴由题意可得：， ∴，即：， 由菱形的性质可得：， ∴， 故答案为：． 14. 在中，按以下步骤作图：①连接；②分别以A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若的周长为10，则的周长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的做法，垂直平分线的性质等知识，根据作图可知，垂直平分，由垂直平分线的性质可得出，等量代换可得出，再根据平行四边形的性质求周长即可． 【详解】解：根据作图可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：20 15. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义与性质，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，    根据勾股定理可以得到：，，， ∴且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9小题，计75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除法和加法可以解答本题． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 17. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE＝DF，连接CE，AF．求证：AF＝CE． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC//AB，DC＝AB， ∴CF//AE， ∵DF＝BE， ∴CF＝AE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF＝CE． 【解析】 【分析】据矩形的性质得出DC//AB、DC＝AB，求出CF＝AE、CF//AE，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等． 18. 如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球． 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，若设，则， ，这样在中，利用勾股定理就可建立一个关于“”的方程，解方程即可求得结果． 【详解】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即， 设，则， ， ∵， ∴由勾股定理可知， 又∵， ， ∴， 解方程得出． 答：机器人行走的路程是． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到，从而将已知量和未知量集中到中，就可利用勾股定理建立方程来求解． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形． （1）三角形三边长分别为5，5，； （2）平行四边形有一锐角为，且面积为6． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 由勾股定理可得； （2） 如图所示，四边形即为所求； 由网格的特点可得，则四边形是平行四边形，且四边形的面积为6； ，则． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点A、B、C，顺次连接A、B、C，则即为所求； （2）如图所示，取格点A、B、C、D，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知菱形中，对角线交于点O，E是延长线上的一点． （1）求证：； （2）若，，． ①求证：四边形是正方形； ②求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2） ①证明：∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形； ② 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理及直角三角形的性质．熟练掌握正方形的判定定理及菱形的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质可得是的垂直平分线，即可证明结论； （2）①先证明是等边三角形，易求，进而得到，即可证明结论；②由四边形是正方形，得到，利用直角三角形的性质及勾股定理求出，进而得到，再求出，由，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① 略 ②∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点E；②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点F，连接，交于点O．． （1）求证：； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：由作图方法可得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由作图方法可得平分，则，再由平行四边形的性质和平行线的性质证明，得到，则，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，由勾股定理求出的长，则由三线合一定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 某超市以每千克a元的统一进价购进600千克苹果．若将这批苹果按某种标准分为甲乙两类，乙类苹果的重量是甲类的一半． （1）求甲乙两类苹果的重量各是多少千克？ （2）现有以下三种销售方案：方案一：甲类苹果以进价的2倍价格直接销售，乙类苹果以高于进价直接销售；方案二：将两类苹果精加工后销售，两类苹果的售价比方案一中的售价每千克均提高2元；方案三：所有苹果不分类精加工后按同一价格销售，其价格按方案一中的甲类苹果和乙类苹果售价的平均数定价．无论用哪种方案均能确保苹果数量不发生变化且全部销完，且方案二与方案三中的加工费忽略不计，解决以下问题： ①用含a的式子表示三种方案的利润； ②若方案一的利润比方案三的利润高m元，方案二的利润比方案三的利润高n元，且，求a的值． 【答案】（1）甲400千克，乙200千克 （2）①方案一利润：元，方案二利润：元，方案三利润：元；② 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设乙类苹果的重量为x千克，则甲类苹果的重量为千克，甲、乙两类苹果的总重量为600千克，列出方程，求出甲、乙两类苹果的重量即可； （2）①根据利润售价进价，按照三种方案分别列出代数式即可； ②根据方案一的利润比方案三的利润高m元，方案二的利润比方案三的利润高n元，求出，根据，得出，即可得出，解关于a的方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设乙类苹果的重量为x千克，则甲类苹果的重量为千克，根据题意得： ， 解得：， 则， 答：甲类苹果的重量为400千克，乙类苹果的重量为200千克； 【小问2详解】 解：①方案一利润：（元）； 方案二利润： 元； 方案三利润：元； ②∵方案一的利润比方案三的利润高m元，方案二的利润比方案三的利润高n元， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 23. 如图1，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，连结，经观察分析，发现，从而可进一步证出． （1）如图2，将正方形绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：，； （2）如图3，将正方形绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：如图，交于点G，交于点H， 四边形和四边形均为正方形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 在和中，，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等即可得证 （2）与（1）同理求出，连接交于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，再求出，然后利用勾股定理列式计算即可求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：同（1）可证， ， 如图，连接交于G，则，， ∵正方形的边长为， ∴， ∴。 ∴， 在中，， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点，将四边形绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q． （1）四边形的形状是　　，当时，的值是　　．（直接写出答案，不需要说明理由） （2）如图2，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积． （3）在四边形旋转过程中，当四边形旋转到图3的位置时， ①求证：； ②是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）矩形； （2） （3） ①证明：如图所示，过点Q作于T， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据A、B、C的坐标可得轴，轴，，则可证明四边形是矩形；由旋转的性质可得，且四边形是矩形，则点在y轴上，点在x轴，即可得到此时点P与点C重合，证明四边形是矩形，得到，据此可得答案； （2）连接，由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得到；由勾股定理得，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程可得，则； （3）过点Q作于T，证明四边形是矩形，得到，再证明，即可证明；②如图所示，连接，可证明，则，设，则，由勾股定理得，，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为，直线经过点， ∴轴，轴，， 又∵， ∴四边形是矩形； 由旋转的性质可得，且四边形是矩形， ∴点在y轴上，点在x轴， ∴此时点P与点C重合， ∴， 由矩形的性质可得， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①略 ②如图所示，连接， ∵， ∴， 由（3）①可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐天溪初中2025年春季学期八年级数学期中学情监测 一、选择题（请在答题卡上指定的位置涂黑符合要求的选项前面的字母代号．每题3分，共30分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，1， D. 6，8，11 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 5. 如图，点M表示的实数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 8. 化简的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 如图，点为边上一点，将沿翻折得到，点在上，且．那么的度数为（ ） A. 38° B. 48° C. 51° D. 62° 10. 如图中，，，，分别以三边为直径画半圆，则两月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（请在答题卡上指定的位置填上符合要求的答案．每3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 12. 当时，代数式的值为______ 13. 图1中的菱形沿对角线裁剪分成的四个三角形无重叠地拼成如图2所示的正方形．若拼成后的大正方形面积比菱形的面积大9，则菱形较长对角线与较短对角线的差为______ 14. 在中，按以下步骤作图：①连接；②分别以A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若的周长为10，则的周长为_____． 15. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ________． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9小题，计75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE＝DF，连接CE，AF．求证：AF＝CE． 18. 如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球． 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形． （1）三角形三边长分别为5，5，； （2）平行四边形有一锐角为，且面积为6． 20. 如图，已知菱形中，对角线交于点O，E是延长线上的一点． （1）求证：； （2）若，，． ①求证：四边形是正方形； ②求四边形的面积． 21. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点E；②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点F，连接，交于点O．． （1）求证：； （2）求线段的长． 22. 某超市以每千克a元的统一进价购进600千克苹果．若将这批苹果按某种标准分为甲乙两类，乙类苹果的重量是甲类的一半． （1）求甲乙两类苹果的重量各是多少千克？ （2）现有以下三种销售方案：方案一：甲类苹果以进价的2倍价格直接销售，乙类苹果以高于进价直接销售；方案二：将两类苹果精加工后销售，两类苹果的售价比方案一中的售价每千克均提高2元；方案三：所有苹果不分类精加工后按同一价格销售，其价格按方案一中的甲类苹果和乙类苹果售价的平均数定价．无论用哪种方案均能确保苹果数量不发生变化且全部销完，且方案二与方案三中的加工费忽略不计，解决以下问题： ①用含a的式子表示三种方案的利润； ②若方案一的利润比方案三的利润高m元，方案二的利润比方案三的利润高n元，且，求a的值． 23. 如图1，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，连结，经观察分析，发现，从而可进一步证出． （1）如图2，将正方形绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：，； （2）如图3，将正方形绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点，将四边形绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q． （1）四边形的形状是　　，当时，的值是　　．（直接写出答案，不需要说明理由） （2）如图2，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积． （3）在四边形旋转过程中，当四边形旋转到图3的位置时， ①求证：； ②是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $