专题 1.1 三角形中的线段和角（2）（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练- 2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 1.1 三角形中的线段和角（2） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】三角形的内角和定理 1 【知识点2】三角形的外角 2 二思维导图 3 三题型分类精析 3 【题型1】直接利用三角形内角和求角度 3 【题型2】三角形内角和定理的证明 4 【题型3】三角形内角和+平行线 5 【题型4】三角形内角和+角平分线 6 【题型5】三角形内角和+折叠问题 7 【题型6】直接利用三角形的外角性质求角度 7 【题型7】利用三角形外角性质证明 8 【题型8】三角形内角和与外角性质综合求值证明 9 四同步练习 9 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 10 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 14 【中考真题】（5题） 17 一．知识梳理 【知识点1】三角形的内角和定理 1.三角形的内角和定理：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 2.数学语言表述：如图1，在ABC中，. 图1 3.三角形内角和定理的证明. 已知：ABC中， 求证： 图2 证明：在线段BC上任取一点P，过点P作，交于点Q，作，交于点R ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， 又∵（平角的定义）， ∴， 即三角形的内角和为． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不小于60° 【知识点2】三角形的外角 1.三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角； 如图2，ABC中，是的一个外角． 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 图3 3.三角形外角性质的证明 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：如图2中， ∵，， ∴． 二．思维导图 三．题型分类精析 1. 三角形的内角和 【题型1】直接利用三角形内角和求角度 【例题 1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 【题型2】三角形内角和定理的证明 【例题2】（24-25八年级上·广西崇左·期末）下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图，，求证：． 方法一  证明：如图，过点A做． 方法二  证明：如图，过点C做，并延长到D． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【题型3】三角形内角和+平行线 【例题 3】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，一个含的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶点均在这两条平行线的外部，设，，则x与y的数量关系为 ．    【题型4】三角形内角和+角平分线 【例题4】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是高，是角平分线，且． （1）若，，求，的度数； （2）若，直接写出此时的度数． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 【题型5】三角形内角和+折叠问题 【例题 5】（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， （1）若，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 2. 三角形的外角 【题型6】直接利用三角形的外角性质求角度 【变式1】（24-25七年级下·广东·期末）如图，的度数（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为 ． 【题型7】利用三角形外角性质证明 【例题7】（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E， （1）若，，求的度数． （2）探究，，的关系，并说明理由． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． （1）若，求证：； （2）试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【题型8】三角形内角和与外角性质综合求值证明 【例题 8】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中；点在边上，．求证：平分． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 四．同步练习​ 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点、分别在线段、上，连接、交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，若，则 ． 8．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，垂足为E，，，则 ． 9．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 11．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，平分交于点D． ，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在中， （ ）,        又∵，（已知）， ． 平分（已知）， （角平分线定义）．               是的外角（已知）， + （ ）, ． 14．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）阅读材料：为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下列问题：    （1）图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是（    ） A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 （2）请选用③或④证明三角形的内角和为． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）在中，是的角平分线，是的高线，与交于点，过点作交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 16．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，P是内一点，延长交于点D，连接． （1）、、的大小关系是：______＞______＞______； （2）若，，，嘉嘉想求的度数，请你补全下列思路并帮助嘉嘉完成求解． 思路：先利用三角形外角求出______的度数，再利用三角形______（填“内”或“外”）角求出的度数． 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，在射线上存在点M，使，则 ．    6．（23-24七年级下·浙江温州·期末）图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时， 度． 7．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）如图，两条平行直线，之间有一点M，点A在直线上，连接，的平分线交于点B，连接，过点M作交于点作N，交于点I，平分交于点O，． （1）若，则 ； （2）在（1）的条件下，在线段上有一个动点Q，当最短时， ． 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 三、解答题 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，点，在直线上，，点为上一点，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，求证：． 10．（24-25七年级下·河南新乡·期末）我们知道，光是沿直线传播的，如图1，入射光线照在平面镜上，反射光线为，产生两个相等的角．如图2，两个平面镜如图放置，夹角为，一束光经平面镜两次反射后，形成光线，产生两对相等的角． （1）若，则______°，______°． （2）若，入射光线经过两次反射后，形成的光线与平面镜满足，求的度数． （3）若，存在使入射光线经过两次反射后，形成的光线所在的直线与平面镜所在的直线垂直，请直接写出所有满足条件的的度数． 【中考真题】（5题） 一、单选题 1．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.1 三角形中的线段和角（2） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】三角形的内角和定理 1 【知识点2】三角形的外角 2 二思维导图 3 三题型分类精析 3 【题型1】直接利用三角形内角和求角度 3 【题型2】三角形内角和定理的证明 5 【题型3】三角形内角和+平行线 8 【题型4】三角形内角和+角平分线 12 【题型5】三角形内角和+折叠问题 15 【题型6】直接利用三角形的外角性质求角度 17 【题型7】利用三角形外角性质证明 19 【题型8】三角形内角和与外角性质综合求值证明 21 四同步练习 24 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 24 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 36 【中考真题】（5题） 48 一．知识梳理 【知识点1】三角形的内角和定理 1.三角形的内角和定理：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 2.数学语言表述：如图1，在ABC中，. 图1 3.三角形内角和定理的证明. 已知：如图2，ABC中. 求证： 图2 证明：在线段BC上任取一点P，过点P作，交于点Q，作，交于点R ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， 又∵（平角的定义）， ∴， 即三角形的内角和为． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不小于60° 【知识点2】三角形的外角 1.三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角； 如图2，ABC中，是的一个外角． 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 图3 3.三角形外角性质的证明 已知：如图3，是的一个外角． 求证：． 证明：如图2中， ∵，， ∴． 4.三角形外角和：三角形的外角和为等于360°. 二．思维导图 三．题型分类精析 1. 三角形的内角和 【题型1】直接利用三角形内角和求角度 【例题 1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了垂直的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件和直角三角形的性质得出的值，再利用三角形的内角和定理即可求解． 解：， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴＝． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的应用，根据得出，然后根据三角形的内角和定理列方程求解即可． 解：， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查三角形的内角和以及三角板的度数，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据三角板的度数得到，即可得到答案． 解：由题意可得：，， ． 故答案为：． 【题型2】三角形内角和定理的证明 【例题2】（24-25八年级上·广西崇左·期末）下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图，，求证：． 方法一  证明：如图，过点A做． 方法二  证明：如图，过点C做，并延长到D． 【答案】见分析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，以及平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 方法一 ：根据平行线性质得到，，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内角的和等于； 方法二：根据平行线性质得到，，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内角的和等于． 解：证明：方法一：如图，过点A做． 因为， 所以，． 又因为D，A，E在同一条直线上， 所以， 即， 所以三角形的三个内角的和等于． 方法二：如图，过点C做，并延长到D． 因为， 所以，． 又因为B，C，D在同一条直线上， 所以， 即， 所以三角形的三个内角的和等于． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【题型3】三角形内角和+平行线 【例题 3】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）平行，理由见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点拨】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【变式2】（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，一个含的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶点均在这两条平行线的外部，设，，则x与y的数量关系为 ．    【答案】 【分析】设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点，利用直角三角形的两个锐角互余，得到，利用平行线的性质，对顶角相等和三角形的内角和定理，通过等量代换即可得到答案． 解：如图，设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ．    故答案为：． 【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 【题型4】三角形内角和+角平分线 【例题4】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是高，是角平分线，且． （1）若，，求，的度数； （2）若，直接写出此时的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形高线、角平分线的定义． （1）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再根据三角形外角的性质求出，然后可得的度数； （2）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再表示出，然后可得的度数． 解：（1）解：， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案． 解：平分，， ， 平分，， ， ． 在中，、分别平分和， 平分， ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 【答案】 110 【分析】先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 解：如图，， ， ， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 则， 故答案为：110，． 【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【题型5】三角形内角和+折叠问题 【例题 5】（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， （1）若，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），见分析；（2） 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可； （2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 解：（1）解：，理由如下： ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，角平分线的定义，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可知，，，结合平分，可得，推出， ，根据，即可求解． 解：由折叠可知，，， 平分， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ，即， ， ． 故选：A． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解． 解：当时，则， 根据翻折的性质得，； 当时，， ， 根据翻折的性质得，； 故答案为：或． 2. 三角形的外角 【题型6】直接利用三角形的外角性质求角度 【变式1】（24-25七年级下·广东·期末）如图，的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．根据三角形外角的性质可得：，再根据三角形内角和定理即即可求解． 解：如图， ∵， 又∵， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查三角形的外角性质、三角板有关的角度计算，如图，利用三角形的外角求得即可求解． 解：如图，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7】利用三角形外角性质证明 【例题7】（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平角的定义，根据平角的定义可得：，又因为，可证，根据，可得，根据外角的性质可得：，从而可证结论成立． 解：证明：，， ， ， ， 是的外角， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E， （1）若，，求的度数． （2）探究，，的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见分析 【分析】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，角平分线的性质；熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键. （1）先根据三角形外角的性质得出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先由三角形外角的性质得出，故可得出，再由即可得出结论； 解：（1）解：∵，， ∴， 平分， ∴， ， ； （2）解：，理由： ，， ， ， ， ； 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． （1）若，求证：； （2）试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，结合已知推出，于是问题得证； （2）根据是的一个外角得出，再根据角平分线的定义推出，再根据是的一个外角得出，从而推出与之间的数量关系． 解：（1）证明：∵平分， ， ， ， ； （2）解：， 理由： ∵是的一个外角， ， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ， ． 【题型8】三角形内角和与外角性质综合求值证明 【例题 8】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中；点在边上，．求证：平分． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，能熟练运用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质是解题的关键． 由三角形的外角的性质可得，由三角形的内角和定理可得，所以，进而可得结论． 解：证明：是的外角， ， ， 又， ， 平分． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 解： 与的平分线交于点， ，， 的平分线交于点 , 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 解：证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 四．同步练习​ 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点、分别在线段、上，连接、交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质．根据三角形外角性质求出，再根据三角形外角的性质，可求出的大小，根据，即可求解． 解：∵，，，， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，由角的和差关系求得，由，即可求解． 解：∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论． 解：∵是的外角， ∴． ∴这一方向与方向的夹角的度数为． 故选：B． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．首先求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，、、、标记如下： 由题意知：，， ， ， 故选：C 5．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得到，则，由平角的定义可得，则，据此由三角形内角和定理可得答案． 解：∵， ∴； ∵和的外角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 解：是的中线， ，故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； ，， ，故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∴不一定是， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即：不一定等于，故⑦错误； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，其中结论错误的有3个． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 连接，然后利用三角形内角和定理和平行线性质求解即可． 解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，垂足为E，，，则 ． 【答案】22 【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：22． 9．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案. 解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 故答案为： 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，连接，根据三角形外角的性质可得，再根据，即可求解． 解：连接， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线性质． 由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴， 同理可得， 即， ∴， ∴，即． ∴ 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了与三角形内角和有关的折叠问题，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则，进而可得，由平角的定义可得，再由平行线的性质得到，据此利用三角形内角和定理可得答案． 解：由折叠的性质可得， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，平分交于点D． ，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在中， （ ）,        又∵，（已知）， ． 平分（已知）， （角平分线定义）．               是的外角（已知）， + （ ）, ． 【答案】，三角形的内角和等于，， ，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质．根据三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，由三角形外角的性质可得结论． 解：在中， ∵（ 三角形的内角和等于）， 又∵（已知）， ∴  ．                            ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）．                      又∵是的外角（已知）， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴． 14．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）阅读材料：为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下列问题：    （1）图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是（    ） A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 （2）请选用③或④证明三角形的内角和为． 【答案】（1）A；（2）见分析 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 解：（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，应用的数学思想是转化思想． 故选：A． （2）选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点．    ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【点拨】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）在中，是的角平分线，是的高线，与交于点，过点作交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）由平行性质、角平分线定义，数形结合表示，代入即可得证； （2）由三角形高线定义得到，再由三角形内角和定理，数形结合表示出即可得到答案． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查三角形中求证角度关系及求角度，涉及平行线性质、角平分线定义、三角形高的定义及三角形内角和定理，数形结合表示出角度是解决问题的关键． 16．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，P是内一点，延长交于点D，连接． （1）、、的大小关系是：______＞______＞______； （2）若，，，嘉嘉想求的度数，请你补全下列思路并帮助嘉嘉完成求解． 思路：先利用三角形外角求出______的度数，再利用三角形______（填“内”或“外”）角求出的度数． 【答案】（1），，；（2），外， 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据“三角形的外角都大于与它不相邻的两个内角”进行求解即可； （2）根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”进行求解即可． 解：（1）解：由题意得：； 故答案为，，； （2）解：思路：先利用三角形外角求出的度数，再利用三角形外角求出的度数；过程如下： ∵，， ∴， ∵， ∴． 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 2．（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 解：由题知： ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，在射线上存在点M，使，则 ．    【答案】或 【分析】题目主要考查角度的计算，平行线的性质，理解题意，作出图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况分析：当点M在射线上时，当点M在线段上时，利用平行线的性质及等量代换确定，结合图形求解即可． 解：如图所示：当点M在射线上时，使，    ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点M在线段上时，如图所示：    同理得： 故答案为：或． 6．（23-24七年级下·浙江温州·期末）图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时， 度． 【答案】 155 65 【分析】本题考查平行线的判定及性质，垂直的定义，三角形外角的性质． 延长，交于点N，延长，交于点M．由得到，再根据三角形外角的性质得到，由，即可求得，进而，又，则，再由即可求得． 解：延长，交于点N，延长，交于点M． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：155；65 7．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）如图，两条平行直线，之间有一点M，点A在直线上，连接，的平分线交于点B，连接，过点M作交于点作N，交于点I，平分交于点O，． （1）若，则 ； （2）在（1）的条件下，在线段上有一个动点Q，当最短时， ． 【答案】 /度 /度 【分析】（1）根据平角定义求得，再根据角平分线的定义求解即可； （2）延长交于P，根据平行线的性质求得，利用三角形内角和定理求得，从而求得，根据角平分线的定义得，由，求得，当最短时，则，则，即可由三角形内角和定理求解． 解：（1）∵ ∴， ∵是的平分线 ∴； 故答案为：． （2） 如图，延长交于P， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 当最短时，则， ∴ ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，与角平分线有关的角的运算，垂线段最短，垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的性质，角平分的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 解：， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴， 故答案为：；． 三、解答题 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，点，在直线上，，点为上一点，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质． （1）先根据平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质作答即可； （2）先根据平行线的性质得到，即可得到，再根据三角形外角的性质证明即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25七年级下·河南新乡·期末）我们知道，光是沿直线传播的，如图1，入射光线照在平面镜上，反射光线为，产生两个相等的角．如图2，两个平面镜如图放置，夹角为，一束光经平面镜两次反射后，形成光线，产生两对相等的角． （1）若，则______°，______°． （2）若，入射光线经过两次反射后，形成的光线与平面镜满足，求的度数． （3）若，存在使入射光线经过两次反射后，形成的光线所在的直线与平面镜所在的直线垂直，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】（1）   ；（2）；（3）或 【分析】（1）先利用镜面反射的意义求得，再利用平角的意义求得，然后利用三角形内角和定理求得，再利用镜面反射的意义求得； （2）先根据垂直的意义得出，再根据镜面反射的意义证得，设，用分别表示出与，再根据平行线的性质得出，然后利用三角形内角和定理得到关于的方程求解，从而可求得； （3）分“交于点F”、“交的延长线于点H”，两种情况，分别画出图形求出待求解． 解：（1）解：∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）如图1，过点E作， ． ， ． 设， ， ， ． ∴在中，， 即， 解得， ． （3）当交于点F时，如图2， ，， 中，， ， ， ． 当交的延长线于点H时，如图3， ， ∴在中， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了平角的意义，三角形内角和定理，一元一次方程的其他应用，平行线的性质，解题关键是利用镜面反射的意义得出相关角相等． 【中考真题】（5题） 一、单选题 1．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 解：如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 4．（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可求，再由，即可求解． 解：， ， ， ， ． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 二、填空题 5．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$