专题 1.1 三角形中的线段和角（1）（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 1.1 三角形中的线段和角（1） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】三角形的概念 1 【知识点2】三角形三边关系 2 【知识点3】三角形三条重要线段 2 二思维导图 3 三题型分类精析 3 【题型1】三角形及相关概念 3 【题型2】三角形的边角关系 4 【题型3】构成三角形的条件 4 【题型4】确定三角形第三边取值范围 5 【题型5】三角形三边关系的应用 5 【题型6】三角形中线、高线、角平分线辨析 6 【题型7】三角形高线画法 7 【题型8】利用三角形中线求值 7 【题型9】利用三角形高线求值 8 【题型10】利用三角形等面积求值 9 【题型11】利用三角形中线、高线、角平分线综合求值与证明 10 【题型12】利用三角形的重心、垂心求值 10 四同步练习​ 11 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题.） 11 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 15 【中考真题】（5题）​ 18 一．知识梳理 【知识点1】三角形的概念 1. 三角形的定义：在平面内，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的基本元素： 基本元素 三个顶点 三条边 三个内角 表示方法 点A、B、C必须用大写字母表示 方法1：线段AB、BC、AC. A，B，C. 方法2：顶点所对的边用a,b,c表示. 图示 三条边AB、BC、AC（或a、b、c），三内角A、B、C 顶点：点A、B、C. 3. 三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作ABC，读作“三角形ABC” 特别指出：符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示. 4. 三角形中的边和对角关系：大边对大角，小边对小角. 【知识点2】三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第在边 ； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 ；； 【知识点3】三角形三条重要线段 1. 三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高. （2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点；三画：画垂线段。 （3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部. 2. 三角形的中线 （1） 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线； （2） 三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。 3. 三角形的角平分线 定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 二．思维导图 三．题型分类精析 1. 三角形及相关概念 【题型1】三角形及相关概念 【例题 1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在中，的对边是 ，在中，的对边是 ，在中，边的对角是 ．    【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 【题型2】三角形的边角关系 【例题2】（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 【变式】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 2. 三角形三边关系 【题型3】构成三角形的条件 【例题 3】（2025七年级下·全国·专题练习），，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 【变式1】（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【题型4】确定三角形第三边取值范围 【例题4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知a，b，c是的三边长，且a，b满足，求第三边c的取值范围． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）用三根木棒首尾相接围成，若，，设，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知三角形的三边长为，化简： ． 【题型5】三角形三边关系的应用 【例题 5】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 【变式1】（22-23七年级下·重庆·期中）嘉嘉家、琪琪家和学校不在同一直线上，嘉嘉家和琪琪家到学校的直线距离分别是和，他们两家的直线距离可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 3. 三角形三条重要线段 【题型6】三角形中线、高线、角平分线辨析 【例题6】（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 ． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【题型7】三角形高线画法 【例题7】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段是的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．  【变式1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【题型8】利用三角形中线求值 【例题8】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A．2 B．13 C．3或13 D．2或12 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，的面积为，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积为 ． 【题型9】利用三角形高线求值 【例题9】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． （1）仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线； （2）的面积为___________，的面积为___________． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【题型10】利用三角形等面积求值 【例题10】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 【变式3】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是 ； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【题型11】利用三角形中线、高线、角平分线综合求值与证明 【例题11】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，和分别是的高、角平分线和中线．对于下面的五个结论：①；②；③；④；⑤．其中错误的是 （只填序号）． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． （1）求的面积； （2）求的长． 【变式2】（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 【题型12】利用三角形的重心、垂心求值 【例题 12】（23-24八年级上·全国·单元测试）我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． （1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． （2）点G是三角形 的垂心． （3）点A是三角形 的垂心． 【变式1】（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．    【变式2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的重心． （1）________； （2）若，求长． 四．同步练习​ 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题.） 一、单选题 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期末）将下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，钝角中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，将锐角按照下列折纸的示意图（其中是点C的对应点）进行折叠，其中线段一定是的中线的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 9．（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）如图，已知，则 ．（比较两个三角形面积的大小，填“>”、“<”或“=”） 10．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 11．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，点D是中点，点E是中点，已知面积为1，那么的面积为 ． 12．（22-23七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O，连接并延长交于点F，若，，，则值为 三、解答题 13．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，中，为的高线，，，． （1）画出中边上的高线． （2）求的长． 14．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若a，b，c满足，试判断的形状． 15．（湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l经小正方形的边． （1）画出关于直线l成轴对称的； （2）将绕点C逆时针旋转得到，画出； （3）连结，四边形的面积为________． 16．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． （1）已知，的周长为，求的周长； （2）在中作边上的高； （3）若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 6．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图，三角形的面积为1，D，E为的三等分点，F，G为的三等分点，那么四边形的面积是 ． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 8．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 三、解答题 9．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 10．（23-24七年级下·广东佛山·期末）操作与实践：如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在题图1中，作边上的高，垂足为，在上找一点，使； （2）在题图2中，作关于直线轴对称的图形，并在上确定一点，使得平分的面积． 【中考真题】（5题）​ 【习题1】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【习题2】2021·辽宁阜新·中考真题）如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为 °． 【习题3】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【习题4】（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    【习题5】（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，D是的边上的一点．若，则__________； （2）如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.1 三角形中的线段和角（1） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】三角形的概念 1 【知识点2】三角形三边关系 2 【知识点3】三角形三条重要线段 2 二思维导图 3 三题型分类精析 3 【题型1】三角形及相关概念 3 【题型2】三角形的边角关系 5 【题型3】构成三角形的条件 6 【题型4】确定三角形第三边取值范围 7 【题型5】三角形三边关系的应用 8 【题型6】三角形中线、高线、角平分线辨析 10 【题型7】三角形高线画法 13 【题型8】利用三角形中线求值 14 【题型9】利用三角形高线求值 16 【题型10】利用三角形等面积求值 19 【题型11】利用三角形中线、高线、角平分线综合求值与证明 22 【题型12】利用三角形的重心、垂心求值 24 四同步练习​ 26 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题.） 26 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 37 【中考真题】（5题）​ 47 一．知识梳理 【知识点1】三角形的概念 1. 三角形的定义：在平面内，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的基本元素： 基本元素 三个顶点 三条边 三个内角 表示方法 点A、B、C必须用大写字母表示 方法1：线段AB、BC、AC. A，B，C. 方法2：顶点所对的边用a,b,c表示. 图示 三条边AB、BC、AC（或a、b、c），三内角A、B、C 顶点：点A、B、C. 3. 三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作ABC，读作“三角形ABC” 特别指出：符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示. 4. 三角形中的边和对角关系：大边对大角，小边对小角. 【知识点2】三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第在边 ； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 ；； 【知识点3】三角形三条重要线段 1. 三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高. （2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点；三画：画垂线段。 （3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部. 2. 三角形的中线 （1） 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线； （2） 三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。 3. 三角形的角平分线 定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 二．思维导图 三角形中的线段和角（1）思维导图如下： 三．题型分类精析 1. 三角形及相关概念 【题型1】三角形及相关概念 【例题 1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 【变式1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在中，的对边是 ，在中，的对边是 ，在中，边的对角是 ．    【答案】 【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可． 解：由图可知： 在中，的对边是，在中，的对边是，在中，边的对角是， 故答案为：，，． 【点拨】本题考查了三角形的概念，熟练掌握三角形的相关概念，找准三角形是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 【答案】 4 B，G，E 【分析】该题主要考查了三角形的概念和三角形的角和边，解题的关键是掌握三角形中的相关定义． （1）根据三角形的定义解答即可； （2）根据三角形的顶点、边、角解答即可． 解：（1）根据图形可得，如图所示的图形中共有4个三角形，它们分别是； （2）根据图形可得，的三个顶点分别是B，G，E，三条边分别是，三个角分别是． 故答案为：；B，G，E；；． 【题型2】三角形的边角关系 【例题2】（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 【答案】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 解：证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 2. 三角形三边关系 【题型3】构成三角形的条件 【例题 3】（2025七年级下·全国·专题练习），，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 【答案】不能，理由见分析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键．三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可获得答案． 解：，， ∴为较短边的长度， 又， 不能组成三角形． 【变式1】（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 解：、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、， 长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 解：以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 【题型4】确定三角形第三边取值范围 【例题4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知a，b，c是的三边长，且a，b满足，求第三边c的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值与平方的非负性及三角形三边关系，由非负数得，然后根据三角形三边关系可进行求解． 解：∵，且， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长， ∴， 即． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）用三根木棒首尾相接围成，若，，设，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键； 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可求解； 解：由三角形三边关系定理得：， 则， 即； 故选：C 【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知三角形的三边长为，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型5】三角形三边关系的应用 【例题 5】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 【答案】见分析 【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小，在四边形内任找一点（如点，且与点不重合），比较它与点到四个顶点的距离之和即可得到结论． 解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小． 理由如下： ∵，且， ∴， ∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点． 【变式1】（22-23七年级下·重庆·期中）嘉嘉家、琪琪家和学校不在同一直线上，嘉嘉家和琪琪家到学校的直线距离分别是和，他们两家的直线距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系即可求解． 解：依题意有，设嘉嘉家和琪琪家的直线距离为， 则， 即， 故选：． 【点拨】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键，注意此问题三点共线时可以取等于号． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 3. 三角形三条重要线段 【题型6】三角形中线、高线、角平分线辨析 【例题6】（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【答案】①；；；②；；；③； 【分析】此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空． 解：①是的角平分线，则， ②是的中线，则， ③是的高线，则， 故答案为：①；；；②；；；③； 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中线的定义，可判断A；根据角平分线的定义以及同角的余角相等，可判断C；根据等角的余角相等，对顶角相等，可判断D；即可得出结论． 解：A 、是的中线， ， ， ，故A选项正确； B、条件不足，无法得到，故B选项错误； C 、，分别是的高和角平分线， ，， ， ， ， ，故C选项正确； D、，， ，， ， ， ， ，故D选项正确； 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，同（等）角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 ． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线和高，关键是掌握三角形的角平分线、中线、高的定义．由三角形的角平分线、中线、高的定义，即可判断． 解：①，是的角平分线，故①错误，不符合题意； ②是中点，是边上的中线，故②错误，不符合题意； ③，是边上的高，故③正确，符合题意； ③，，是的角子分线和高，故④正确，符合题意． ∴以上判断正确的有③④． 故答案为：③④． 【题型7】三角形高线画法 【例题7】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段是的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据高的定义，进行判断即可． 解：线段是的高，则过点作的垂线，垂足为；故满足题意的只有选项D； 故选D． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形的高的概念判断即可． 解：边上的高就是过顶点B作垂线段，垂直，交的延长线于D点，因此只有B符合条件， 故选：B． 【题型8】利用三角形中线求值 【例题8】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键． 本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积． 解：是的中线，， ， 是的中线， ． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A．2 B．13 C．3或13 D．2或12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，分类讨论：①当的周长大于的周长时，②当的周长比的周长大时，根据三角形中线的性质及与的周长差即可求解，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 解：①当的周长大于的周长时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得； ②当的周长比的周长大时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得， 综上或13， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，的面积为，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积分别用含、的代数式表示出来，列关于和的二元一次方程组并求解，从而求出的值即可． 解：如图，连接 设，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积为 故答案为： 【题型9】利用三角形高线求值 【例题9】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． （1）仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线； （2）的面积为___________，的面积为___________． 【答案】（1）作图见分析；（2）， 【分析】本题考查了中线，角平分线，三角形与格点等知识．熟练掌握知识并灵活运用是解题的关键． （1）取上格点，满足，取与格线的交点，满足即可； （2）割补法求的面积，根据，求的面积即可． 解：（1）解：如图，，即为所求； 理由如下： 由格点可知，， ∴为的角平分线， ∴， 由网格特点可得：， ∴为中上的中线； （2）解：由题意知， ∵为中上的中线， ∴. 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 【变式2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据三角形的面积公式即可得出结论． 解：，，， 的面积， 故选：D． 【题型10】利用三角形等面积求值 【例题10】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要查了平行线间的距离．根据平行线间的距离解答，即可． 解：如图， 根据题意得：满足条件的点D有，共4个． 故选：A 【变式2】（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查同高三角形，平行线间的距离，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，，再根据平行等积转化，得到，，进行求解即可． 解：连接， 则：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理：； 故答案为：8，． 【变式3】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在直角三角形中，．则： （1）点B到的距离是 ； （2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 6 // 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到．（1）点B到的距离是即可得出答案；（2）当时，线段的值最小值，利用三角形面积求出结果即可． 解：（1）， 点B到的距离是； （2）当时，线段的值最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值是， 故答案为：6；． 【题型11】利用三角形中线、高线、角平分线综合求值与证明 【例题11】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，和分别是的高、角平分线和中线．对于下面的五个结论：①；②；③；④；⑤．其中错误的是 （只填序号）． 【答案】③ 【分析】根据三角形中线，高线和角平分线的性质求解即可． 解：∵是的中线 ∴，故①正确； ∵是的角平分线 ∴，故②正确； ∵不是的中线 ∴，故③错误； ∵是的高 ∴，故④正确； ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，中错误的是③． 故答案为：③． 【点拨】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为．也考查了三角形的面积． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． （1）求的面积； （2）求的长． 【答案】（1）60；（2）24 【分析】本题考查三角形的中线和高，熟练掌握高线和中线的定义是解题的关键． （1）利用面积公式进行计算即可； （2）利用面积公式进行求解即可； 解：（1）解：∵的边上的高为，中线为，，， ∴， 的面积； （2）解：∵的面积， ∵， ∴． 【变式2】（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 【答案】 12 36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线将线段分成相等的两部分，可求出的长，根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 解：∵是中线，， ∴， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∴， 答案：12，36． 【题型12】利用三角形的重心、垂心求值 【例题 12】（23-24八年级上·全国·单元测试）我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． （1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． （2）点G是三角形 的垂心． （3）点A是三角形 的垂心． 【答案】（1）或或；（2）；（3） 【分析】此题考查三角形的高、垂心的定义、余角的性质等知识， （1）由高的定义得到，则，得到，同理可得，，，即可得到答案； （2）根据三角形垂心的定义进行解答即可； （3）根据三角形垂心的定义进行解答即可． 解：（1）解：∵于点E，于点F， ∴ ∴， ∴， 同理可得，，， 故答案为：或或； （2）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点G是三角形的垂心； 故答案为：； （3）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点A是三角形的垂心， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．    【答案】10 【分析】如图，利用三角形重心的性质得、为三角形的中线，，，然后根据三角形面积公式出，则，，从而得到图中阴影部分面积． 解：是的重心， 、为三角形的中线，，， ， ，， 图中阴影部分面积． 故答案为：10． 【点拨】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了三角形面积公式． 【变式2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的重心． （1）________； （2）若，求长． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 解：（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 四．同步练习​ 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题.） 一、单选题 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期末）将下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于其余两边之和即可． 解：A、，不满足两边之和大于第三边，无法组成三角形； B、，不满足条件，无法组成三角形； C、，且，，均满足条件，能组成三角形； D、，不满足条件，无法组成三角形； 故选：C 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，钝角中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据三角形高的定义即可解答． 解：如图，钝角中，边上的高是． 故选C． 4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解． 解：∵在三角形中，是中线， ∴， ∴． ∵于E，于F，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要查了平行线间的距离．根据平行线间的距离解答，即可． 解：如图， 根据题意得：满足条件的点D有，共4个． 故选：A 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，将锐角按照下列折纸的示意图（其中是点C的对应点）进行折叠，其中线段一定是的中线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线、高线，折叠问题，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，由此即可判断，关键是掌握三角形的中线的定义，折叠的性质． 解：A、由折叠的性质得到，因此一定是的中线，故A符合题意； B、由折叠的性质得到，因此不是的中线，故B不符合题意； C、由折叠的性质得到，因此是的角平分线，不一定是的中线，故C不符合题意； D、如图，由折叠的性质得到，但和不一定相等，因此不一定是的中线，故D不符合题意； 故选：A． 二、填空题 7．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 【答案】4 【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 解：以点A为顶点的三角形有，，，， ∴以点A为顶点的三角形有4个， 故答案为：4． 9．（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）如图，已知，则 ．（比较两个三角形面积的大小，填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线间的距离等知识点，掌握平行线间的距离相等成为解题的关键． 根据图形可知，再说明和同底等高，所以和面积相等从而得到和的关系． 解：由图易有：， ∵， ∴和同底等高， ∴， ∴． 故答案为：=． 10．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 11．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，点D是中点，点E是中点，已知面积为1，那么的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了中线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据中线平分三角形面积求解即可． 解：∵点E是中点，面积为1， ∴面积等于面积， ∴面积为2， ∵点D是中点， ∴面积等于面积， ∴的面积为面积与面积的和，为4， 故答案为：4． 12．（22-23七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O，连接并延长交于点F，若，，，则值为 【答案】 【分析】由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而可得，设，则有，，，即可得到答案． 解：∵在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，，k不为0， ∴，化简得：， 故答案是：． 【点拨】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键． 三、解答题 13．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，中，为的高线，，，． （1）画出中边上的高线． （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题考查了三角形高的定义，三角形面积公式，根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键． （1）根据三角形高的定义，过点C作交延长线于点E即可； （2）根据三角形面积公式得到的面积，然后代数求解即可． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵为的高线，，，， ∴的面积， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】（1）；（2）等边三角形 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 解：（1）解：∵三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 15．（湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l经小正方形的边． （1）画出关于直线l成轴对称的； （2）将绕点C逆时针旋转得到，画出； （3）连结，四边形的面积为________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查作图—旋转变换，作图—轴对称变换， （1）根据轴对称的性质画出点、、的对应点分别为、、，即可画出； （2）根据旋转的性质即可得到； （3）利用三角形的面积公式计算即可得出结论． 解：（1）解：如图所示，即为所作； （2）解：如图所示，即为所作； ； （3）解：四边形的面积为． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． （1）已知，的周长为，求的周长； （2）在中作边上的高； （3）若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 解：（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，先根据线段的垂线段的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解．掌握线段想垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题的关键． 解：如图，连接， 是的边的垂直平分线，为垂足， ， 的周长为：， 故选：D． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键． 根据等高的三角形推出，，推出，可得，依此类推可得． 解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ，， ，， ， ， 同理可得：， ， 同理可得：， 依此类推：． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 6．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图，三角形的面积为1，D，E为的三等分点，F，G为的三等分点，那么四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形中线，代数式，二元一次方程组；连接，设，，根据题意得到关于的二元一次方程组，求出的值，再根据计算即可． 解：如图，连接， 设，， 因为F是的三等分点， 所以． 因为E是的三等分点，所以． 又因为，， 所以 解得，， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 8．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查同高三角形，平行线间的距离，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，，再根据平行等积转化，得到，，进行求解即可． 解：连接， 则：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理：； 故答案为：8，． 三、解答题 9．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 解：（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 10．（23-24七年级下·广东佛山·期末）操作与实践：如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在题图1中，作边上的高，垂足为，在上找一点，使； （2）在题图2中，作关于直线轴对称的图形，并在上确定一点，使得平分的面积． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了格点作图：作三角形的高、中线，作直线的平行线，作轴对称图形，掌握格点图的特点是解题的关键． （1）取格点D，连接即得高；取格点F，连接即可； （2）取格点P，连接即可；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则必满足题意． 解：（1）解：取格点D，连接，则是边上的高；取格点F，连接交于点，则，如图所示； （2）解：如图，取格点P，连接，得到关于直线轴对称的图形；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则平分的面积． 【中考真题】（5题）​ 【习题1】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 解：A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 【习题2】2021·辽宁阜新·中考真题）如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】根据角平分线的定义可求出的度数，即可得到的度数，再利用平行线的性质即可解决问题． 解：一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【习题3】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 【习题4】（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 【习题5】（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，D是的边上的一点．若，则__________； （2）如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 解：（1）解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$