精品解析：江苏省泰州市靖江外国语学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中教学调研 七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤（古代斤=两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式可化，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 6. 如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，只把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 7. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为________米． 8. 若，则x满足条件__________． 9. 已知二元一次方程，用含的代数式表示为_______． 10. 一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形． 11. 用反证法证明某一命题的结论“是直角”时，应假设____________． 12. 若是一个完全平方式，则的值为___． 13. 侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于_______度． 14. 如图，已知中，若点在三角形的内部，将三角形向右平移到三角形的位置后，点P的对应点为点，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，则的长度是_________． 15. 如图，已知，点是直线与外一点，连接．过点作的角平分线，过点作的角平分线，过作交直线于点，则________．（可用含的式子表示） 16. 如图，在大正方形内放置两个边长为的小正方形“”，且每个小正方形“”的一条边分别在大正方形的一组对边上，已知，设图中阴影部分的面积为，大正方形内空白部分的面积为，若，则一个小正方形“”的面积为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共102分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程组． 18 （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求①的值；②的值． 19 如图，有如下四个论断：①，②，③，④． （1）若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） （2）若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 20. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）①若，则_________； ②若，则_________； （2）若，求的值． 21. （1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 22. 给出下列等式： …… （1）填空：___________，___________； （2）猜想：两个___________是8的倍数； （3）判断：这个结论正确吗？请用代数式加以说明． 23. 我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． （1）【探索】观察图形，写出一个三者之间等量关系式：_________； （2）【应用】运用（1）中的结论，当时，求的值； （3）【拓展】若，求的值． 24. 如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． （1）如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； （2）若将图2中绕点C顺时针旋转到如图3的位置，使得与水平方向的夹角，求的度数．（其中） 25. 先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足，……①，，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 解决问题： （1）已知关于x、y的方程组的解满足，求的值． （2）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的结果． 26. 【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中教学调研 七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法则，合并同类项法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不同类项，不能合并，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘除，合并同类项．解题的关键是熟练掌握相关运算法则，正确的计算． 3. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点：两数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，是解题的关键；根据平方差公式的特点逐项验证即可． 【详解】解：A、第一个因式是两数的和，第二个因式不是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； B、第一个因式是两数的和，第二个因式是这两个数的差，故能用平方差公式计算； C、第一个因式是两数的差，第二个因式不是的和，而是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； D、第一个因式是两数的差，第二个因式是的差，不是这两个数的和，故不能用平方差公式计算； 故选：B． 4. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤（古代斤=两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 5. 若代数式可化为，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式将原代数式转化为给定形式，比较系数列方程求解． 【详解】由题知，， 又， ， 解得， ， 故选：C． 6. 如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，平角的定义，掌握三角形内角和为和平角为是解题关键．根据，得出，根据，，得出，即可的解． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，只把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 7. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 若，则x满足条件__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了0指数幂，掌握相关性质是解题的关键． 9. 已知二元一次方程，用含的代数式表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程及等式变形，掌握等式的性质是解题的关键．运用等式的性质，将含字母的项放左边，其它项移到右边即可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 10. 一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形． 【答案】四 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和等于，可得这个多边形的内角和是，再根据n边形的内角和为，列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是四边形， 故答案为：四． 11. 用反证法证明某一命题的结论“是直角”时，应假设____________． 【答案】不是直角 【解析】 【分析】本题考查反证法，解此题的关键是掌握反证法的一般思路及解题步骤．根据反证法的步骤，得出是直角的反面是不是直角即可． 【详解】解：反证法证明“是直角”时，应先假设不是直角． 故答案为：不是直角． 12. 若是一个完全平方式，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征即可确定出m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴x2+2mx+4=(x±2)2， ∴2m=±4， ∴m=±2． 故答案为：±2． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键． 13. 侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于_______度． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．根据三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：根据三角形外角性质得，， ， ， 故答案为：22． 14. 如图，已知中，若点在三角形的内部，将三角形向右平移到三角形的位置后，点P的对应点为点，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，则的长度是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移性质、三角形和四边形的周长求出平移距离即可求出答案． 【详解】解：∵将向右平移到的位置， ∴，， ∵的周长为，四边形的周长为， ∴，， ∴， 解得：， ∵点在的内部，点P的对应点为点， ∴． 故答案为： 15. 如图，已知，点是直线与外一点，连接．过点作的角平分线，过点作的角平分线，过作交直线于点，则________．（可用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，可得出，即可证明，，根据角平分线的定义得出，根据得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴． 16. 如图，在大正方形内放置两个边长为的小正方形“”，且每个小正方形“”的一条边分别在大正方形的一组对边上，已知，设图中阴影部分的面积为，大正方形内空白部分的面积为，若，则一个小正方形“”的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算及合并同类项，分别表示出空白部分和阴影部分的面积以及熟练运用整式乘法的运算法则及完全平方公式是解决本题的关键．设，则，分别表示出空白部分的面积和阴影部分的面积，根据可得出，即可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即一个小正方形“”的面积为． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共102分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程组． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂的计算、同底数幂乘除法法则、平方差公式、完全平方公式及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂及积的乘方的逆运算计算，再计算加减法即可得答案； （2）根据同底数幂乘除法法则计算即可得答案； （3）根据平方差公式及完全平方公式计算即可得答案； （4）利用加减消元法解方程组即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ①+②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 18 （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求①的值；②的值． 【答案】（1）8；（2）①6；② 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，整数指数幂的求值，熟练运用整式的相关运算法则，掌握整数指数幂的相关运算法则是解题的关键． （1）先利用乘法公式、单项式乘多项式运算法则进行计算，然后去括号、合并同类项，最后代入求值． （2）①将式子变形为，再代入求值；②先计算，的值，然后将式子变形为，再代入求值． 【详解】 ， ， ， 当时， 原式． （2）①， ． ②，， ． 19. 如图，有如下四个论断：①，②，③，④． （1）若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） （2）若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】（1）假 （2）添加，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【小问1详解】 解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 【小问2详解】 解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 20. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）①若，则_________； ②若，则_________； （2）若，求的值． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴． ②∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴． 21. （1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 【答案】（1）①；②见解析；③见解析；（2）①见解析；②见解析． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是理解成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分这一性质． （1）①用正方形面积减去三个小三角形的面积即可得的面积； ②利用平移的性质，找出平移后的对应点，顺次连接即可； ③利用网格，找出点关于的对称点，连接并延长交于点，根据轴对称的性质即可得答案； （2）①依据对应点连线被对称轴垂直平分，作的垂直平分线来确定对称轴即可； ②连接，交于点，延长、交于点，作直线即可得答案． 【详解】解：（1）①． 故答案为： ②如图所示： ③如图，取点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求： （2）①如图，作的垂直平分线，直线即为所求， ②如图，连接，交于点，延长、交于点，作直线即为所求对称轴， 22. 给出下列等式： …… （1）填空：___________，___________； （2）猜想：两个___________是8的倍数； （3）判断：这个结论正确吗？请用代数式加以说明． 【答案】（1）48，8096 （2）连续奇数的平方差 （3）正确，见解析 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式以及对数字规律的探究，解题的关键是观察等式找出规律，并运用平方差公式进行推理验证． （1）根据前面等式呈现的规律，利用平方差公式计算出指定式子的值． （2）通过观察所给等式，总结出一般性的规律表述． （3）设出两个连续奇数，运用平方差公式进行化简，判断是否为8的倍数来验证结论． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：48；8096； 【小问2详解】 猜想：两个连续奇数的平方差是8的倍数； 【小问3详解】 证明：设：这两个连续奇数分别为（为整数）， 则 ， ∵n为整数， ∴一定能被8整除 即，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 23. 我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． （1）【探索】观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_________； （2）【应用】运用（1）中的结论，当时，求的值； （3）【拓展】若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据两个图形中四个长方形的面积之和相等，即可得出答案； （2）根据（1）中结论可进行求解； （3）根据（1）中结论及整体思想可进行求解． 【小问1详解】 解：∵一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， ∴图中阴影部分的面积， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 若，求 设，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图1一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． （1）如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； （2）若将图2中绕点C顺时针旋转到如图3的位置，使得与水平方向的夹角，求的度数．（其中） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案； （2）过点C作，得，由（1）知根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：如图，过点C作， 则， 由（1）知，， 又， ∴． 即 25. 先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足，……①，，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 解决问题： （1）已知关于x、y的方程组的解满足，求的值． （2）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的结果． 【答案】（1） （2）购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）把两个方程相加，得出，根据得出关于的一元一次方程，解方程即可得答案； （2）设买支铅笔需元、块橡皮需元、本日记本需元，根据题意列三元一次方程组，得出，即可得答案； （3）根据新运算定义得出，求出，即可得答案． 【小问1详解】 解： ①+②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：设买支铅笔需元、块橡皮需元、本日记本需元， ∵买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元， ∴， ①×3②得：， ∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． 【小问3详解】 ∵，，， ∴， 得：， ∴． 26. 【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②；（3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键， （1）根据平行线的判定判断即可； （2）①连接．由正方形可知，，进而得．由，得，从而可得．②如图，过点作，得．证，得，从而求得，即可得解； （3）由，得．由折叠性质得，，从而，根据平行线的判定即可得证． 【详解】解：（1）．理由如下： 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴； （2）①． 理由如下： 如图，连接． 由正方形可知，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ②如图，过点作， ∴． ∵纸片是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴． ∵纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$