精品解析：福建省福州时代华威中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷

2024－2025学年第二学期半期考 八年级 数学 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（   ） A. 2，3，4 B. 11，12，13 C. 6，8，9 D. 3，4，5 3. 甲、乙、丙、丁四人各进行次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形 是平行四边形，点E在 的延长线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（ ） A. 平行四边形，矩形 B. 矩形，菱形 C. 菱形，正方形 D. 正方形，平行四边形 7. 如图，在中， 与交于点， 是边 的中点，下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图是一次函数的图象，则关于 的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形 的 边上取中点 ，以点 为圆心，线段 长为半径作圆，交 的延长线于点 ，过点 作，交 的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 要使二次根式有意义，则x需满足的条件是______． 12. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿 轴向下平移4个单位，得到的图象的解析式为______． 13. 一次函数与 轴的交点坐标为______． 14. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植，为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：，，，，，，则这组数据的中位数是______． 15. 如图，直线与相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 16. 如图，等边 的边长为6，点 在边 上， ，线段在边上运动，，则四边形周长的最小值为__________． 三、解答题（本题共9小题，满分86分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，点分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 19. 已知y与成正比，当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求a的值． 20. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， （2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 21. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对 ， 两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间 （分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： 款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A a 99 b 50.6 B 100 102 d 根据以上信息，解决下列问题： （1）请求出上表中的， ，， 的值． （2）某商场购进了一批 款扫地机器人500台，请估算这批 款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数． 22. 为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知 奖品的单价是10元； 奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且 种奖品的数量不大于 种奖品数量的4倍． （1）该学校有几种购买方案？ （2）设购买 、 两种奖品的总费用为 元，请写出 （元）与 种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用 最少，并求出 的最小值． 23. 综合与实践： 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． （1）折一折、探究证明： 如图①：把边长为8的正方形纸片 对折，使边 与 重合，展开后得到折痕 ． 如图②：将正方形纸片 沿经过点 的直线折叠，使点 落在 上的点 处，展开后连接，， 在图②中，请判断的形状并求线段的长度，请说明理由； （2）折一折，类比探究：如图③：将边长为8的正方形纸片 折叠，使点 落在点 处，折痕与 边交于点，与 边交于点 ，展开后连接 ．在图③中，请猜想线段 与线段之间的关系，请说明理由； （3）折一折、探究计算：如图④：将边长为8的正方形纸片 沿经过点 的直线折叠，使点 落在正方形纸片 内部的点 处，折痕与 边交于点，展开后延长交 于点．若，则 的长度为______． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交 轴于点，交 轴正半轴于点 ． （1）求点 的坐标． （2）如图2，直线 交 轴负半轴于点 ，， 为线段 上一点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，线段的长为 ，求 与 之间的函数关系式． （3）如图3，直线 交 轴负半轴于点 ，， 为直线上一点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，请判断的形状并说明理由． 25. 平行四边形 中，点 在边 上，连接 ，点 在线段 上，连接 ， ． （1）如图1，已知，点 为 中点，．若，，求 的长度． （2）如图2，已知，，将射线 沿 翻折交 于，过点 作交延长线于点．若，请写出线段 ， ，的数量关系并说明理由． （3）如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期半期考 八年级 数学 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，形如（ 为常数且）的函数是正比例函数，需满足一次项系数非零且无常数项．据此逐项判断即可． 【详解】解：A：的x的次数为2，不符合正比例函数的形式，故该函数不是正比例函数． B：，符合（）的形式，是正比例函数． C：，可写为，x的次数为，不符合一次项的要求． D：，含常数项3，不是正比例函数． 故选：B 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（   ） A. 2，3，4 B. 11，12，13 C. 6，8，9 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 甲、乙、丙、丁四人各进行次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的实际应用，掌握相关知识是解题关键．根据方差越小，数据越稳定解答即可． 【详解】解：平均成绩相同，且，，，， ， 射击成绩最稳定的是乙， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： 、 与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 5. 如图，四边形 是平行四边形，点E在 的延长线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质， 根据平行四边形的性质得，再根据平行线的性质求出，进而求出． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴， ∴． 故选：C． 6. 若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（ ） A. 平行四边形，矩形 B. 矩形，菱形 C. 菱形，正方形 D. 正方形，平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】将各选项填入后，根据平行四边形、特殊平行四边形的关系逐一判断即可得． 【详解】A、若四边形 是平行四边形，则四边形 一定是矩形，此命题是假命题，则此项不符题意； B、若四边形 是矩形，则四边形 一定是菱形，此命题是假命题，则此项不符题意； C、若四边形 是菱形，则四边形 一定是正方形，此命题是假命题，则此项不符题意； D、若四边形 是正方形，则四边形 一定是平行四边形，此命题是真命题，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、特殊平行四边形，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键． 7. 如图，在中， 与交于点， 是边 的中点，下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质；根据平行四边形的性质可得 ，根据可得 是的中位线，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ 是边 的中点， ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 而，，不一定成立； 故选：C． 8. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出， ，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、 ， ，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图是一次函数的图象，则关于 的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于 的不等式表示的是一次函数的图象位于 轴的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于 的不等式表示的是一次函数的图象位于 轴的下方， 则由函数图象可知，关于 的不等式的解集为， 故选：A． 10. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形 的 边上取中点 ，以点 为圆心，线段 长为半径作圆，交 的延长线于点 ，过点 作，交 的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形 是正方形， ， ∴． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ∴ ． 经检验：是原方程的根， ． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 要使二次根式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方式大于等于0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿 轴向下平移4个单位，得到的图象的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律∶上加下减．按照“上加下减”的规律解答即可． 【详解】解：将一次函数的图象沿 轴向下平移4个单位，得到的图象的解析式为，即． 故答案为： 13. 一次函数与 轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题；令，求得x的值，即可得到直线与 轴的交点坐标． 【详解】解：令，解得：， ∴一次函数与 轴的交点坐标为； 故答案为：． 14. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植，为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：，，，，，，则这组数据的中位数是______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义进行解答即可． 【详解】解：这组数据中第3，4个数据分别是21，23，故中位数为． 故答案为：22 15. 如图，直线与相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线相交与二元一次方程组的关系即可求得二元一次方程组的解． 【详解】∵直线与相交于点 ∴的坐标既满足，也满足 ∴是方程组的解 故答案为： 【点睛】本题考查了两条直线相交与二元一次方程组的关系，理解这个关系是关键． 16. 如图，等边 的边长为6，点 在边 上， ，线段 在边上运动，，则四边形周长的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】CD+PQ是定长6，运用对称原理确定PC+DQ的最小值即可． 【详解】如图，过点D作关于AB的对称点E，交AB于点F，连接EQ，以EQ，PQ为边在AB的外侧构造平行四边形QEGP，则EG=PQ=1，DQ=QE=PG，EG=PQ=1， ∴PC+DQ=PC+PG，连接CG，则PC+PG≥CG， ∴当C，P，G三点一线时，和最小； 过点C作CN⊥AB，垂足为N，交EG的延长线于点M， ∵EG∥AB，CN⊥AB，DE⊥AB， ∴CM⊥EM，EF⊥EG， ∴∠GMC=90°， ∵CM⊥EM，CN⊥AB，DE⊥AB， ∴四边形EFNM是矩形，∠AFD=90°， ∴MN=EF=FD， 过点G作GH⊥AB，垂足为H， ∵GH⊥AB，FE⊥AB，EF⊥EG， ∴四边形EFHG是矩形， ∴GH=EF=FD， ∵CM⊥EM，CN⊥AB，GH⊥AB，， ∴四边形GHNM是矩形， ∴MN=GH=EF=FD，MG=NH=AN-FH-AF=AN-PQ-AF， ∵△ABC是等边三角形，且边长为6， ∴∠A=60°，AC=6， ∴AN=ACcosA=6cos60°=3，AF= ADcosA=1×cos60°=， CN=ACsinA=6sin60°=3，DF= AD sin A=1×sin 60°=， ∴MG=NH=3-1-=，CM=CN+MN=3+=， ∴CG==， ∴四边形周长的最小值为+6． 故答案为：+6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，对称原理，熟练掌握矩形的性质，灵活运用三角函数，勾股定理计算是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，满分86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘除，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： 18. 如图，在中，点分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．由可得，由得到即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∵四边形 是平行四边形 ∴ ∴四边形是平行四边形． 19. 已知y与成正比，当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入解析式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵点在这个函数图象上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，求一次函数的解析式，以及求自变量的值．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式． 20. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， （2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） 如图， （2） ．证明如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴ ． ∴． ∵EF为AC的垂直平分线， ∴ ． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线． （2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质． 21. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对 ， 两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间 （分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： 款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A a 99 b 50.6 B 100 102 d 根据以上信息，解决下列问题： （1）请求出上表中的 ， ， ， 的值． （2）某商场购进了一批 款扫地机器人500台，请估算这批 款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数． 【答案】（1）；；； （2）250台 【解析】 【分析】本题考查统计表，求平均数数、众数，方差，根据样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平均数，中位数，众数，方差的确定方法求解即可； （2）用500乘以“较好及以上”的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：A款扫地机器运行最长时间的平均数； ∵A款扫地机器运行最长时间中108分钟出现的次数最多 ∴众数； 将B款扫地机器运行最长时间从小到大排列后，中间的两个数为99，101 ∴中位数； B款扫地机器人运行最长时间的方差． 【小问2详解】 解：样本中B款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”有5台， ∴这批 款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数为（台）． 答：这批 款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数为250台． 22. 为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知 奖品的单价是10元； 奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且 种奖品的数量不大于 种奖品数量的4倍． （1）该学校有几种购买方案？ （2）设购买 、 两种奖品的总费用为 元，请写出 （元）与 种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用 最少，并求出 的最小值． 【答案】（1）共有6种购买方案； （2），购买 种奖品件， 两种奖品件使得总费用 最少， 的最小值为元． 【解析】 【分析】（ ）根据题意列出不等式组，求解即可； （ ）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设 种奖品的数量是 件，则 种奖品的数量是件， ， 解得：， ∵ 是正整数， ∴ 种奖品的数量范围且 是正整数； ∴共有6种购买方案； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴ 随 的增大而减小， ∵， ∴当时， 最小，为（元）． 即购买 种奖品件， 两种奖品件使得总费用 最少， 的最小值为元． 23. 综合与实践： 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． （1）折一折、探究证明： 如图①：把边长为8的正方形纸片 对折，使边 与 重合，展开后得到折痕 ． 如图②：将正方形纸片 沿经过点 的直线折叠，使点 落在 上的点 处，展开后连接，， 在图②中，请判断的形状并求线段的长度，请说明理由； （2）折一折，类比探究：如图③：将边长为8的正方形纸片 折叠，使点 落在点 处，折痕与 边交于点，与 边交于点 ，展开后连接 ．在图③中，请猜想线段 与线段之间的关系，请说明理由； （3）折一折、探究计算：如图④：将边长为8的正方形纸片 沿经过点 的直线折叠，使点 落在正方形纸片 内部的点 处，折痕与 边交于点，展开后延长交 于点．若，则 的长度为______． 【答案】（1）是等边三角形， （2）且，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠性质得， 是的垂直平分线，，进而得到，从而是等边三角形．根据勾股定理在中，求得，证明四边形是矩形，得到，进而即可求解； （2）由轴对称的性质得到．过点N作于点H，设与 交于点O，证明，即可得到． （3）连接，证明，设，则，，在中，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下； 由第一次折叠知， 是 的垂直平分线， ∴， 由第二次折叠知，， ∴， ∴是等边三角形， 由第一次折叠可得， ∵， ∴在中，， ∵在正方形 中，，又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：且，理由如下： ∵折叠使点D落在点F处，是折痕， ∴． 过点N作于点H，设与 交于点O， ∴， ∵在正方形 中，， ∴． ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形 中，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接， 由折叠性质可知，，， ， ∴，， ， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∵在中，， ∴，解得， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交 轴于点，交 轴正半轴于点 ． （1）求点 的坐标． （2）如图2，直线 交 轴负半轴于点 ，， 为线段 上一点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 与 之间的函数关系式． （3）如图3，直线 交 轴负半轴于点 ，， 为直线上一点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，请判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，勾股定理，等腰三角形的判定及性质． （1）把点代入直线 解析式，求出直线 的解析式，令即可解答； （2）利用勾股定理求出 ，进而求得求出直线 的解析式，设点，求出Q的坐标，即可解答； （3）由得到，再由平行有，从而，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：∵x交x轴于点， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为， 令 ，则y＝3， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， ∵直线 过点， ∴ ，解得： ∴直线 的解析式为， ∵点P在直线上，且横坐标为 ， ∴点， ∵轴，且点Q在直线上， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 25. 平行四边形 中，点 在边 上，连接 ，点 在线段 上，连接 ， ． （1）如图1，已知，点 为 中点，．若，，求 的长度． （2）如图2，已知，，将射线 沿 翻折交 于，过点 作交延长线于点．若，请写出线段 ， ，的数量关系并说明理由． （3）如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出 ，则，即可求解； （2）由题意可得， 是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长 交 于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以 和 为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∵E为 的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 证明：，理由如下： 如图2，设射线 与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长 交 于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，把 绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以 为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段 既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $