精品解析：浙江省诸暨市城东初级中学2024—2025学年下学期期中阶段性测试试卷八年级数学试题

城东初中2024学年第二学期期中阶段性测试试卷 八年级数学学科 总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 4. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝7：2，则∠C＝（　　） A. 20° B. 40° C. 140° D. 160° 6. 某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，则这个队队员年龄的众数和中位数分别（ ） 年龄（岁） 14 15 16 17 18 人数（人） 1 4 3 2 2 A. 15，16 B. 15，15 C. 15，15.5 D. 16，15 7. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形一定是矩形 B. 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 C. 对角线互相平分且相等的四边形一定是菱形 D. 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 8. 已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A. 若方程有一根为1，则 B. 若异号，则方程必有解 C. 若，则方程两根互为相反数 D. 若，则方程有一根为0 9. 如图，在矩形中，，，点、、、分别在、、、上，且，，点是直线、之间任意一点，连接、、、，则图中阴影面积和的面积和）等于（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 14 10. 如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图矩形，设，则（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当 ________________ 时，二次根式 有意义． 12. 已知一元二次方程x2-7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________. 13. 如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当“协调边”为3时，这个平行四边形的周长为_________． 14. 如图，小明要给正方形桌子买一块正方形桌布． 铺成图1时，四周垂下桌布长度均为20cm；铺成图2时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是 _________cm. 15. 如图，在边长为2的正方形中，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是___________． 16. 如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_______（把所有正确结论的序号都填在横线上） （1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF 三、解答题（本题有8小题，期中17，18，19，20，21小题每题8分，22，23小题每题10分，24小题12分，共72分） 17. 计算： （1）（-）2-+； （2）（-）÷+（1-）2. 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 甲乙两人在相同条件下各射靶10次，甲10次射靶的成绩的情况如图所示，乙10次射靶的成绩依次是：3环、4环、5环、8环、7环、7环、8环、9环、9环、10环． （1）请在图中画出乙的射靶成绩的折线图． （2）请将下表填完整： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上次数 甲 7 1.2 乙 4.8 3 （3）请从两个不同角度对这次测试结果进行分析． 20. 如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）直接写出边的长为 ； （2）在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使． 21. 如图1，，过点作交于点，连结． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，为的中点，求的长． 22. 定义：有一条对角线平分一组对角的四边形叫做筝形． 探究：（1）如图1，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，求证：四边形ABCD是筝形； （2）下列关于筝形的性质表述正确的是 ；（把你认为正确的序号填在横线上） ①筝形的对角线互相垂直平分； ②筝形中至少有一对对角相等； ③筝形是轴对称图形； ④筝形面积等于两条对角线长的积的一半． 应用： （3）如图2，在筝形ABCD中，AB≠AD，若∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，请求出对角线BD的长． 23. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： （1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利___________元． （2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ （3）该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 24. 已知：在中，分别是边的中点， （1）若图1，求证：与互相平分． 【探索应用】 （2）如图2，点为中点，连接交于点，设与交于点． ①求证：； ②求的值； （3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 城东初中2024学年第二学期期中阶段性测试试卷 八年级数学学科 总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握这两个概念是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题涉及二次根式化简，在计算时，需要针对每个选项分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】A. ，正确； B. ，不是同类二次根式，不能加减，故本项错误； C. ，不是同类二次根式，不能加减，故本项错误； D. ，故本项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的运算． 3. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【详解】根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此， 由 得n=5． 故选B． 4. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 5. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝7：2，则∠C＝（　　） A. 20° B. 40° C. 140° D. 160° 【答案】C 【解析】 【分析】由在▱ABCD中，∠A：∠B=7：2，根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A：∠B＝7：2， ∴∠C＝∠A＝×180°＝140°． 故选C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等，邻角互补定理的应用是解此题的关键． 6. 某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，则这个队队员年龄的众数和中位数分别（ ） 年龄（岁） 14 15 16 17 18 人数（人） 1 4 3 2 2 A. 15，16 B. 15，15 C. 15，15.5 D. 16，15 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的定义，出现最多的数据是众数；中位数是位于中间的数，即第6、7名队员，在求出这两个数的平均数即可. 【详解】∵年龄为15岁出现了4次，为最多次，故众数为15， ∵第6、7名队员的年龄分别为16、16，故中位数为16， 故选A. 【点睛】此题主要考查众数、中位数的定义. 7. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形一定是矩形 B. 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 C. 对角线互相平分且相等的四边形一定是菱形 D. 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可． 【详解】解：对角线相等的平行四边形才是矩形，故A错误； 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，故B错误； 对角线互相平分且相等的四边形一定是矩形，故C错误； 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能熟记定理的内容是解此题的关键． 8. 已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A. 若方程有一根为1，则 B. 若异号，则方程必有解 C. 若，则方程两根互为相反数 D. 若，则方程有一根为0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的定义和解法是关键. 将代入方程即可判断A，利用根的判别式可判断B，将代入方程，根据直接开平方法解方程即可判断C，将代入方程，可判断D. 【详解】A．若方程有一根为1，把x=1代入原方程，则，故A正确； B．若a、c异号，则，∴方程必有解，故B正确； C．若，方程变为，若方程有解，则，此时两根和为0，互为相反数，但若、同号，方程无实数根，故C错误； D．若，则方程变为，必有一根为0．故D正确． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，，点、、、分别在、、、上，且，，点是直线、之间任意一点，连接、、、，则图中阴影面积和面积和）等于（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线并证明出四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题目数据可以证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，同理可得，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，所以和的面积和等于平行四边形的面积的一半，再利用平行四边形的面积等于矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解． 【详解】解：连接，， 在矩形中，，，，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 同理可得，， ， 四边形是平行四边形， 和的高的和等于点到直线的距离， 和的面积和平行四边形的面积， 平行四边形的面积 ， ， ， 和的面积和． 故选：A． 10. 如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设，则（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据上图可知正方形的边长为a+b，下图长方形的长为a+b+b，宽为b，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b）2=b(a+b+b)，解方程即可求得结论． 【详解】解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b， 则（a+b）2=b(a+b+b)，即a2﹣b2+ab=0， ∴， 解得：， ∵＞0， ∴， ∴当a=1时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当 ________________ 时，二次根式 有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴x+2≥0，解得x≥-2． 故答案为≥-2． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，注意二次根式中的被开方数是非负数． 12. 已知一元二次方程x2-7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________. 【答案】12 【解析】 【分析】先解出一元一次方程，再根据解得情况来求△ABC的周长. 【详解】解x2-7x+10=0，得x1=2,x2=5, ∵两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长， 当△ABC的边长为2,5,5时，周长为12.当边长为2，2，5时不能构成三角形， 故周长为12. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用. 13. 如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当“协调边”为3时，这个平行四边形的周长为_________． 【答案】8或10 【解析】 【详解】解：如图所示：①当AE=1，DE=2时， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=3，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=1， ∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=8； ②当AE=2，DE=1时，同理得：AB=AE=2， ∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=10； 故答案为8或10． 14. 如图，小明要给正方形桌子买一块正方形桌布． 铺成图1时，四周垂下的桌布长度均为20cm；铺成图2时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是 _________cm. 【答案】（80+40） 【解析】 【分析】设桌面的边长为xcm,根据图1可知桌布的边长等于桌面加上202，根据图2可知桌布的边长等于桌面的对角线的长度，故可列出方程，再求出桌布的边长即可. 【详解】设桌面的边长为xcm,则桌布的边长可表示为x+202=x+40， 也可以表示为=x， ∴可列方程x= x+40， 解得x=40+40， 故桌布的边长为x=（40+40）=80+40（cm）. 【点睛】此题主要考查正方形的性质. 15. 如图，在边长为2的正方形中，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形折叠，熟练掌握正方形性质，折叠性质，勾股定理，线段性质，是解题关键． 连接，根据正方形边的中点性质，运用勾股定理可得，根据，知点在以点M为圆心，长为半径的圆上运动，当点在上时，有最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为2，M是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴点在以点M为圆心，长为半径的圆上运动， ∴当点在上时，有最小值， ∴最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_______（把所有正确结论的序号都填在横线上） （1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF 【答案】①②④ 【解析】 【详解】解：①∵F是AD的中点 ∴AF=FD ∵在▱ABCD中，AD=2AB ∴AF=FD=CD ∴∠DFC=∠DCF ∵ ∴∠DFC=∠FCB ∴∠DCF=∠BCF ∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确 延长EF，交CD延长线于M ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴∠A=∠MDF ∵F为AD中点 ∴AF=FD 在△AEF和△DFM中 ∴△AEF≌△DMF（ASA） ∴FE=MF，∠AEF=∠M ∵CE⊥AB ∴∠AEC=90° ∴∠AEC=∠ECD=90° ∵FM=EF ∴FC=FM，故②正确 ③∵EF=FM ∴S△EFC=S△CFM ∵MC＞BE ∴S△BEC＜2S△EFC 故S△BEC=2S△CEF错误 ④设∠FEC=x，则∠FCE=x ∴∠DCF=∠DFC=90°-x ∴∠EFC=180°-2x ∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ∵∠AEF=90°-x ∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确． 三、解答题（本题有8小题，期中17，18，19，20，21小题每题8分，22，23小题每题10分，24小题12分，共72分） 17. 计算： （1）（-）2-+； （2）（-）÷+（1-）2. 【答案】（1）4；（2）2-. 【解析】 【详解】分析：(1)根据二次根式的性质化简后合并即可;(2)根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算. 详解：（1）原式=6-5+3=4； （2）原式==2-. 点睛：本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式. 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）用因式分解法求出解即可； （2）用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴，． 【小问2详解】 解：． ∴或， ∴，． 19. 甲乙两人在相同条件下各射靶10次，甲10次射靶的成绩的情况如图所示，乙10次射靶的成绩依次是：3环、4环、5环、8环、7环、7环、8环、9环、9环、10环． （1）请在图中画出乙的射靶成绩的折线图． （2）请将下表填完整： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上次数 甲 7 1.2 乙 48 3 （3）请从两个不同角度对这次测试结果进行分析． 【答案】（1）见解析 （2），1，，7.5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题是一道统计题，考查了中位数、平均数、方差以及折线统计图，是基础知识要熟练掌握． （1）根据所给数据画折线统计图即可； （2）根据已知数据，平均数、中位数的求法进行计算，然后再填表即可； （3）分别从表中的数据可得平均数相同，S甲2＜S乙2，则甲的成绩比乙稳定． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：甲10次射靶成绩从小到大排列依次是：5环、6环、6环、7环、7环、7环、7环、8环、8环、9环． 中位数为环， 甲命中9环及以上次数有1次， 乙的平均数为：， 乙10次射靶的成绩从小到大排列依次是：3环、4环、5环、7环、7环、8环、8环、9环、9环、10环． 中位数为：环， 填表如下： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 4.8 7.5 3 【小问3详解】 ∵平均数相同，甲的方差小于乙的方差， ∴甲的成绩比乙的成绩稳定． 20. 如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）直接写出边的长为 ； （2）在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质． 过点作于点，构造直角，利用勾股定理可以求出； 作格点使且，连接，四边形是平行四边形；连接、交于点，连接并延长，交于点，则有． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作于点， 由网格图可知，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如下图所示， 作格点使且， 连接， 四边形是平行四边形； 连接、交于点， 连接并延长，交于点， 则有， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ． 21. 如图1，，过点作交于点，连结． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，为的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形判定和性质，勾股定理等知识点， （1）根据已知可得，，进而由可得，由此证明，即可得出四边形是平行四边形，是菱形； （2）连接交于点，由菱形的性质可得，，利用勾股定理列方程即可求解. 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 如图，连接交于点， 四边形是菱形， 和互相垂直且平分，即：，， 设，则，， ， ， ， ， 22. 定义：有一条对角线平分一组对角的四边形叫做筝形． 探究：（1）如图1，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，求证：四边形ABCD是筝形； （2）下列关于筝形的性质表述正确的是 ；（把你认为正确的序号填在横线上） ①筝形的对角线互相垂直平分； ②筝形中至少有一对对角相等； ③筝形是轴对称图形； ④筝形的面积等于两条对角线长的积的一半． 应用： （3）如图2，在筝形ABCD中，AB≠AD，若∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，请求出对角线BD的长． 【答案】（1）详见解析；（2）②③④；（3）4 【解析】 【分析】（1）利用SSS证明△ABD≌△CBD即可；（2）①筝形的对角线只互相垂直，没有平分，故错误；②筝形中有一条对角线平分一组对角，所以至少有一对对角相等，正确；③筝形是轴对称图形；④筝形的面积被一条对角线平分，且两条对角线互相垂直，所以筝形的面积等于两条对角线长的积的一半，正确；（3）过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，求得 ∠ABD＝30°，∠ADB＝15°，∠DAE＝45°，即△ABE为等腰直角三角形，则可求出DE，然后再求出BD即可. 【详解】（1）∵AB＝BC，AD＝DC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，∴四边形ABCD是筝形． （2）②③④ （3）过D作DE⊥BA交BA延长线于点E. 在筝形ABCD中，AB≠AD，∴BD平分∠ABC，平分∠ADC，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∠ADB＝∠ADC＝15°，∴∠DAE＝45°. 在等腰直角△ABE∵AD＝4，∴DE＝2， 故在Rt△BDE中BD＝4. 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的应用. 23. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： （1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利___________元． （2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ （3）该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1）14000 （2）降价30元 （3）不能达到，见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程是解题的关键： （1）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出算式进行计算即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可； （3）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：14000； 【小问2详解】 要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价元，依据题意列方程得， ， 整理得， 解得； 要求每箱饮料获利大于80元， ， 答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元； 【小问3详解】 ， 整理得， ， 方程无解， 答：每天销售饮料获利不能达到15000元． 24. 已知：在中，分别是边的中点， （1）若图1，求证：与互相平分． 【探索应用】 （2）如图2，点为的中点，连接交于点，设与交于点． ①求证：； ②求的值； （3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3） 【解析】 【分析】（1）连接，，由三角形中位线的性质得，，推出四边形是平行四边形，即可证明与互相平分． （2）①先由是的中位线，得出，，再证，即可证明；②由，可得答案； （3）先证，推出．再分和两种情况，由菱形的性质及相似三角形的性质求出和 ，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 分别是边的中点， 是的中位线， ， 同理可证， 四边形是平行四边形， 与互相平分． （2）①证明：由（1）得与互相平分， ． 分别是边的中点， 是的中位线， ，， ，， 点E是的中点，点为的中点， ， ， 在和中， ， ； ②由①得，， ， ， ； （3）解：菱形中，，，与交于点， ，， ， ， ， 菱形中，， ，， ， ． 分两种情况，当时，如图： 则， ， ， ， ， ； 当时，如图： 则， ， ， ， ， ； 综上可知，的值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$