精品解析：上海市科技大学附属学校制2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

上海科技大学附属学校2024−2025学年第二学期期中测评 八年级数学学科 （测试时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列函数中，为一次函数的是（ ） A. B. C. D. （是任意常数）． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如（，是常数）的函数，叫做一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义对各项进行分析即可得到答案． 【详解】解：A．中，自变量在分母上，不是一次函数，故此选项不符合题意； B．是一次函数，故此选项符合题意； C．中，自变量的次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； D．（是任意常数），当时，是一次函数，时，不是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 在下列方程中，有实数解的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了无理方程的解，根据二次根式和平方的非负性，解分式方程和一元二次方程的判别式逐项求解判断即可． 逐一分析各选项是否存在实数解． 【详解】选项A：∵ ∴，无法等于0，无实数解； 选项B：∵． ∴，平方数非负，无实数解； 选项C：． 去分母得，，解得或． 将代入，符合题意； 将代入，不符合题意，舍去； ∴是唯一实数解，方程有解； 选项D：． 判别式，无实数解． 故选：C． 3. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据k和b的符号判断图象所经过的象限． 【详解】∵，说明图象从左向右上升， ，说明图象与y轴交于负半轴． ∴图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限． 故选B． 4. 甲队为小区安装台热水器，乙队为小区安装台热水器，两队同时开工恰好同时完工，乙队比甲队每天多安装台，设乙队每天安装，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙队每天安装台，则甲队每天安装台，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙队每天安装台，则甲队每天安装台， 根据题意得：， 故选：． 5. 已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　） A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形 B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形 C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案． 【详解】解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定是矩形也就不一定是平行四边形，故A选项错误，符合题意； B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形ABCD是矩形，故B选项正确，不符合题意； C、如果AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形，故C选项正确，不符合题意； D、如果AD∥BC，OA=OC，则可以证得四边形ABCD是平行四边形，又AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形，故D选项正确，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各图形的判定方法是解题的关键． 6. 如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 故选：C． 【点睛】此题考查的是折叠的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 方程的解是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查解二次根式方程、二次根式有意义的条件，先求得，再进行移项，再把等号两边平方转化成一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 移项得，， 两边平方得，， ∴， 故答案为：5． 8. 如果把直线向下平移4个单位，那么得到的直线的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．根据上下移动改变的是，左右移动改变的是，规律是上加下减，左加右减，即可求解． 【详解】解：由题意得，直线向下平移4个单位， 则所得新直线的表达式为：，即为． 故答案为：． 9. 如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形内角和与外角和及一元一次方程的应用，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．根据多边形内角和公式和外角和为可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点，那么当时，自变量的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据直线与轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，直线与轴的交点坐标为， 当是，． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，能利用函数图象直接得出的取值范围是解答此题的关键． 11. 如图，已知平行四边形的对角线、交于点，，，且的周长为19，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形得到，，再根据周长得到． 【详解】解：∵平行四边形的对角线、交于点，，， ∴，，， ∵的周长为19， ∴, 故答案为：． 12. 直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查在直角坐标系中求三角形的面积、一次函数与坐标轴的交点问题，分别令、求得、，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：把代入得，，解得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 13. 换元法是把方程中某些量看作一个整体，再整体代入方程的一种方法．用换元法解方程时，若设，则原方程变形后可以表示为关于的一元二次方程的一般式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了换元法解方程．根据题意将直接换元即可得到答案． 【详解】解：设，则， 则可将原方程变形为， 化为一般形式为． 故答案为：． 14. 梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，三角形三边关系．作辅助线：平移一腰，构造一个三角形，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．从而求得答案． 【详解】解：如图，梯形中，，，，，， 过D作，交于E点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据题意得：，即． 故答案为：． 15. 菱形的边长为，两条对角线之比为，则菱形一边上的高的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，如图，令，则，先利用菱形的性质及勾股定理求出，，设菱形一边上的高的长度为，再根据菱形的面积公式和平行四边形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图：菱形中，， 令，则， ∴，， ∵为菱形，边长为， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，， 设菱形一边上的高的长度为， ∴菱形的面积， ∴， 解得， 即菱形一边上的高的长度为， 故答案为：． 16. 已知点在直线上，到的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查两点之间的距离公式，设，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设， ∴到的距离为，到直线的距离为， ∵到的距离和到直线的距离相等， ∴， 整理得， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 17. 如图：边长为1的等边的中心为（垂直平分线的交点），将正绕中心旋转到，使得．则两三角形的公共部分（即六边形）的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质．连接，根据O为等边三角形的中心，得出，求出，根据证，推出，推出，设，根据，求出，推出，，，同理，，依题意列方程，求x的值，根据求解． 【详解】解：连接， ∵O为等边三角形的中心， ∴， ∴都减去得：， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵，， ， ， ∵， ∴， ∴，，， 同理，， 依题意， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，，为射线上一点，将沿着翻折，点的对应点为点，且落在的对称轴上，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，连接，过作直线交于，过作交于，根据折叠和轴对称的性质得到，则是等边三角形，得到，，在根据与边的位置关系分情况讨论，分别求出，，，得，最后根据图形求出即可． 【详解】解：连接，过作直线交于，过作交于， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴直线是的对称轴，，， ∵将沿着翻折，点的对应点为点， ∴，， ∵落在的对称轴上， ∴落在上，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， 当在边上时，如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在边外时，如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 三、简答题（本大题共4题，每题8分，满分32分） 19. 解方程: 【答案】x＝3 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以得：x−5＋x2−1＝3x−3， 整理得：（x−3）（x＋1）＝0， 解得：x1＝3，x2＝−1， 经检验x＝−1是增根， ∴分式方程的解为x＝3． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 20. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解无理方程，先把原方程变形为，再把方程两边同时平方得到，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∵， ∴且， ∴或． 21. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】先对x2-3xy+2y2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可． 【详解】将方程 的左边因式分解，得或． 原方程组可以化为或 解这两个方程组得 所以原方程组的解是 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键． 22. 已知一次函数的图像经过点和点． （1）若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是_____． （2）在轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理． （1）先利用待定系数法，用m表示出k，b，再根据一次函数的性质得出，解不等式即可； （2）由已知，根据勾股定理得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像经过点和点， ∴， 解得， ∵一次函数的函数值随着的增大而增大， ∴， 解得， 即若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵在轴上有一点，且， ∴在中，， ∵，，， ∴，，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 四、解答题（本大题共3题，每题各12分，满分36分） 23. 如图，在等腰梯形中，，，，．点、分别在边、上运动，并保持，，，垂足分别为、． （1）求梯形的面积； （2）若、分别是、的中点，连接、，求的面积． 【答案】（1）16 （2）8 【解析】 【分析】本题考查梯形的性质，勾股定理，梯形的中位线； （1）分别过D，C两点作于点G，于点H．得到四边形为矩形，，再证明，得到，利用勾股定理求出，最后根据梯形面积公式计算即可； （2）由、分别是、的中点得到，是梯形中位线，则，，根据直角三角形斜边中线得到，再根据等腰三角形三线合一得到，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：分别过D，C两点作于点G，于点H． ∵， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴梯形的面积为：； 【小问2详解】 解：如图，连接、，过点D作于点Q，连接， ∵、分别是、的中点， ∴是梯形中位线， ∴，, ∵， ∴，, ∴， ∴ ． 24. 如图，线段AB，CD分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量y1（升）、y2（升）关于行驶时间x（小时）的函数图象． （1）分别求y1、y2关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）如果两车同时从相距300千米的甲、乙两地出发，相向而行，匀速行驶，已知轿车的行驶速度比客车的行驶速度快30千米/小时，且当两车在途中相遇时，它们油箱中所剩余的油量恰好相等，求两车的行驶速度． 【答案】(1) y1=-15x+60，定义域为0≤x≤4． y2=-30x+90，定义域为0≤x≤3;(2)客车60千米/小时，轿车90千米/小时． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意设出函数关系式y=kx+b，再根据图象所经过的点利用待定系数法代入可以直接求出函数关系式； （2）设客车的速度为xkm/时，则小轿车的速度为（x+30）km/时，先根据相遇问题表示出相遇时间，再由图象可以求出客车和小轿车每小时的耗油量，再根据剩余的油相等建立方程求出其解就可以了． 试题解析:（1）设y1=k1x+60，y2=k2x+90． 由题意，得4k1+60=0， 3k2+90=0． 解得 k1=-15，k2=-30． 所以y1=-15x+60，定义域为0≤x≤4． y2=-30x+90，定义域为0≤x≤3． （2）设客车的速度为xkm/时，则小轿车的速度为（x+30）km/时， 所以两车的相遇时间为：， 轿车每小时的耗油量为60÷4=15升，客车每小时耗油量为90÷3=30升． ∵相遇时，它们油箱中所剩余的油量恰好相等， ∴90-30×=60-15×， 解得：x=60， 经检验，x=60是原方程的解， 轿车的速度为：60+30=90千米/时． 答：客车60千米/小时，轿车90千米/小时． 考点: 一次函数的应用. 25. 如图，平行四边形中，为对角线上任一点． （1）连接、，若，求证：四边形是菱形； （2）若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【答案】（1） 证明：分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点、点和点重合，即于点， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2） 四边形是矩形，理由如下： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点，利用平行四边形的性质求得，再证明和全等，得到，说明点、点和点重合，据此即可证明四边形是菱形； （2）利用平行四边形的性质求得，由已知得到，由三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得，，结合求得，据此即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质． 五、综合题（本大题共2题，每题各11分，满分22分） 26. 定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是 （1）将“特征数”是的函数图像向下平移5个单位，得到一个新函数，求这个新函数的解析式． （2）在（1）中，平移前的函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，平移后的函数与y轴交于C点，D、C两点关于平移前的函数对称，若四边形是正方形，求D、E的坐标． （3）若“特征数”是的函数与y轴交于A，“特征数”是的函数与“特征数”是的函数的交点P，点G在x轴上，M在“特征数”是的函数图像上，A、P、G、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M坐标． 【答案】（1） （2）、或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意得“特征数”是的函数解析式为，再根据一次函数图象的平移规律求解即可； （2）根据正方形的性质和平行线定理得点E在一次函数的图象上，分别令、求得、、、，过点C作轴，则轴，证得，进而求得， 再利用的面积求得，过点G作轴于点N，利用面积公式和勾股定理求得，，设，再利用中点坐标公式求解即可，设，利用两点间的距离公式求解即可； （3）由题意求得，，设，，分类讨论：是平行四边形的对角线或是对角线时或为对角线时，利用中点坐标公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，“特征数”是的函数解析式为， ∵将此函数图像向下平移5个单位，得到新函数的解析式； 【小问2详解】 解：如图，∵垂直平分，一次函数的图象与一次函数的图象平行， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴点E在一次函数的图象上， ∵点D、C关于一次函数图象对称， ∴垂直平分， 把代入得，， ∴， 把代入得，，解得， ∴， 把代入得，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ， 过点C作轴，则轴， ∴，， ∴， 又∵， ， ∵垂直平分，四边形是正方形， ∴， 又， ， ∴， ， ， ∵， ， ∴， 过点G作轴于点N， ∵， ∴， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， 设， ∴， 解得或， 当时，， 满足， ∴或； 【小问3详解】 解：如图，由题意得，“特征数”是的函数解析式为， ∴， ∵“特征数”是的函数解析式为，“特征数”是的函数解析式为， ∴联立方程组得，解得， ∴， 由题意得，点P与点M在一次函数的图象上， 设，， ∴当是平行四边形的对角线时， ∴，解得， ∴， 当为对角线时， ∴，解得， ∴， 当为对角线时，，解得，， ， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查新定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点间的距离公式、一次函数与二元一次方程组、平行四边形的性质、平行线的性质、正方形的性质、一次函数的平移规律，理解新定义是解题的关键． 27. 如图，在中，，，平分，点、分别为边和射线上的点（与，不重合），且，连接交于点． （1）若，求． （2）若为等腰三角形，求的长． （3）过点A作交于，取中点为，中点为，若四边形为梯形，直接写出的长． 【答案】（1）的长为4 （2）的长为3或 （3）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的性质与判定等，根据题中条件，灵活运用所学知识，分类讨论，是解题的关键． （1）根据题中条件证明，推出，再利用等腰三角形三线合一的结论求值； （2）根据为等腰三角形，分或或讨论，利用三角形全等的性质和判定，勾股定理列方程求解，综合得出所有可能的值； （3）在上截取，连接交于N，过点作，交或延长线于I，证明，说明与的交点为的中点，再由四边形为梯形，分或讨论，综合得出所有可能的值． 【小问1详解】 平分， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， 若，则， ， ， 又， ． 【小问2详解】 由（1）知，， ，， ， 又， ， 若为等腰三角形，则或或， 又， ， 当时，如图1， ， ， 又， ， ， ， 当时，如图2， ， ， ， ， 过点A作于H，则，又， ，， 设，则，， 由勾股定理得，， ，解得， ， 综上可知，若为等腰三角形，则的长为3或． 【小问3详解】 在上截取，连接交于N，过点作，交或延长线于I，如图3所示： 由（1）知，可得， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ，即与的交点为的中点， 若四边形为梯形，则或， 当时，结合，可知点N在上， ，N为的中点， ， 又， ，， ，G为的中点， ，， ， ， 易证四边形为矩形，可得，， 设，则，， 在中，，由勾股定理得，， ，解得， ， 当时，，如图5所示： ， ， 又 ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， ， 由（2）可知． 综上可知，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海科技大学附属学校2024−2025学年第二学期期中测评 八年级数学学科 （测试时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列函数中，为一次函数的是（ ） A. B. C. D. （是任意常数）． 2. 在下列方程中，有实数解的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 甲队为小区安装台热水器，乙队为小区安装台热水器，两队同时开工恰好同时完工，乙队比甲队每天多安装台，设乙队每天安装，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　） A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形 B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形 C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 6. 如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 方程的解是_____． 8. 如果把直线向下平移4个单位，那么得到的直线的表达式为_____． 9. 如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 10. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点，那么当时，自变量的取值范围是_________． 11. 如图，已知平行四边形的对角线、交于点，，，且的周长为19，则的长为_____． 12. 直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是_____． 13. 换元法是把方程中某些量看作一个整体，再整体代入方程的一种方法．用换元法解方程时，若设，则原方程变形后可以表示为关于的一元二次方程的一般式是_____． 14. 梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长的取值范围是_____． 15. 菱形的边长为，两条对角线之比为，则菱形一边上的高的长度为_____． 16. 已知点在直线上，到的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____． 17. 如图：边长为1的等边的中心为（垂直平分线的交点），将正绕中心旋转到，使得．则两三角形的公共部分（即六边形）的面积为_____． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，，为射线上一点，将沿着翻折，点的对应点为点，且落在的对称轴上，则_____． 三、简答题（本大题共4题，每题8分，满分32分） 19. 解方程: 20. 解方程：． 21. 解方程组： 22. 已知一次函数的图像经过点和点． （1）若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是_____． （2）在轴上有一点，且，求点的坐标． 四、解答题（本大题共3题，每题各12分，满分36分） 23. 如图，在等腰梯形中，，，，．点、分别在边、上运动，并保持，，，垂足分别为、． （1）求梯形的面积； （2）若、分别是、的中点，连接、，求的面积． 24. 如图，线段AB，CD分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量y1（升）、y2（升）关于行驶时间x（小时）的函数图象． （1）分别求y1、y2关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）如果两车同时从相距300千米的甲、乙两地出发，相向而行，匀速行驶，已知轿车的行驶速度比客车的行驶速度快30千米/小时，且当两车在途中相遇时，它们油箱中所剩余的油量恰好相等，求两车的行驶速度． 25. 如图，平行四边形中，为对角线上任一点． （1）连接、，若，求证：四边形是菱形； （2）若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 五、综合题（本大题共2题，每题各11分，满分22分） 26. 定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是 （1）将“特征数”是的函数图像向下平移5个单位，得到一个新函数，求这个新函数的解析式． （2）在（1）中，平移前的函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，平移后的函数与y轴交于C点，D、C两点关于平移前的函数对称，若四边形是正方形，求D、E的坐标． （3）若“特征数”是的函数与y轴交于A，“特征数”是的函数与“特征数”是的函数的交点P，点G在x轴上，M在“特征数”是的函数图像上，A、P、G、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M坐标． 27. 如图，在中，，，平分，点、分别为边和射线上的点（与，不重合），且，连接交于点． （1）若，求． （2）若为等腰三角形，求的长． （3）过点A作交于，取中点为，中点为，若四边形为梯形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $