精品解析：山东省临沂市白沙埠中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

山东省临沂市白沙埠中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 若在实数范围内有意义，则x满足的条件是( ) A. x≥ B. x≤ C. x＝ D. x≠ 4. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤ 6. 如图中是实数a、b在数轴上的对应点的位置，化简的结果是（ ） A B. C. D. 7. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（　　） A. B. C. D. 8. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 9. 定义运算“@”的运算法则为：x@y＝，则（2@6）@6＝（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 24 10. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 11. 如图是用4个全等直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法： ①，②，③，④. 其中说法正确的是( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 12. 如图，E是边长为1的正方形的对角线上一点，且，P为上任一点，于点Q，于点R，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 13. 已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则的值为__． 14. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律第⑥组勾股数：__________． 15. 在△中，，且AD为BC边上的高，则BC=_____________ 16. 如图，在▱ABCD中，∠ADO＝30°，AB＝8，点A的坐标为（﹣3，0），则点C的坐标为_____． 17. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3.若l1与l2的距离为4，l2与l3的距离为6，则Rt△ABC的面积为________． 18. 如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 19. 如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC＝7，AE＝4，则CE＝_____． 20. 如图，和是两个不等的正方形，连接交于，如果面积为10，则面积为____________． 三、解答题（本大题共6小题，共60分） 21. 计算 22. 已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 在由6个大小相同的小正方形组成的方格中： （1）如图（1），A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由； （2）如图（2），连接三格和两格对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）． 24. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG， (1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由； (2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积． 25. 如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，，，，如图②． （1）求证：四边形是菱形； （2）四边形的周长为______； （3）将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市白沙埠中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A． ，原式不是最简二次根式，符合题意； B． 是最简二次根式，不符合题意； C． 是最简二次根式，不符合题意； D． ，是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 若在实数范围内有意义，则x满足的条件是( ) A. x≥ B. x≤ C. x＝ D. x≠ 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：，解得：x=， 故选C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 4. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：C． 5. 用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的形状，分别把相等的边用不同的方式重合，即可得到相应的通行，然后判断即可. 【详解】如图，可以拼成①平行四边形、②矩形、⑤等腰三角形. . 故选D. 【点睛】此题主要考查了直角三角形拼图，关键是明确两个直角三角形是全等的，然后再把相等的边用不同方式重叠即可判断，用实物拼图会更简单一些. 6. 如图中是实数a、b在数轴上的对应点的位置，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定出a+b与a-b的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简即可求出值． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b， ∴a+b＜0，a-b<0， ∴ 故答案为：D． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 7. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出． 【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∵， ∴， ∴． 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键． 8. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断，即可求解， 本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 9. 定义运算“@”的运算法则为：x@y＝，则（2@6）@6＝（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：2@6=， 4@6=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是定义新运算，严格按照运算法则进行逐步计算是解此类问题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 11. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法： ①，②，③，④. 其中说法正确的是( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【详解】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49,b2=4； 根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确； 因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确； 根据三角形面积公式可得 ，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以，化简得2xy+4=49，式③正确； 因为x2+y2=49，2xy+4=49， 所以 所以，因而式④不正确． 故答案为B． 12. 如图，E是边长为1的正方形的对角线上一点，且，P为上任一点，于点Q，于点R，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，连接，，交于O，由正方形的性质得出，，进一步求出，，再根据，代入三角形面积公式并结合已知条件可得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，，交于O，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 13. 已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则的值为__． 【答案】 【解析】 【详解】∵4＜7＜9，a，b为两个连续整数，且a＜＜b， ∴2＜＜3 ∴a=2，b=3， ∴==． 故答案是：． 点睛: 本题考查了估算无理数的大小．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 14. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________． 【答案】13，84，85 【解析】 【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13， 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x，第三个数为x+1， 根据勾股定理的逆定理，得：13的平方+x的平方=（x+1）的平方，解得x=84． 则得第6组数是：13、84、85． 故答案为：13、84、85． 【点睛】本题考查了勾股数的规律题，掌握这些勾股数的规律、勾股定理是解题的关键． 15. 在△中，，且AD为BC边上的高，则BC=_____________ 【答案】4cm 或14cm 【解析】 【详解】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论，分别依据勾股定理即可求解. 解：由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论， △ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部，BD==5， CD==9，∴BC=9+5=14cm. △ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部，方法同（1）可得到BD=5，CD=9， ∴BC=9-5=4cm. 16. 如图，在▱ABCD中，∠ADO＝30°，AB＝8，点A的坐标为（﹣3，0），则点C的坐标为_____． 【答案】（8，3） 【解析】 【分析】根据30度直角三角形的性质得到AD，由勾股定理得到DO，再根据平行线的性质即可得到答案. 【详解】∵点A坐标为（﹣3，0） ∴AO＝3 ∵∠ADO＝30°，AO⊥DO ∴AD＝2AO＝6， ∵DO＝ ∴DO＝3 ∴D（0，3） ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD＝8，AB∥CD ∴点C坐标（8，3） 故答案为（8，3） 【点睛】本题考查30度直角三角形的性质、勾股定理和平行线的性质，解题的关键是掌握30度直角三角形的性质、勾股定理和平行线的性质. 17. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3.若l1与l2的距离为4，l2与l3的距离为6，则Rt△ABC的面积为________． 【答案】26 【解析】 【详解】过点B作EF⊥l2,交l1于E,交l3于F，如图， ∵EF⊥l2,l1∥l2∥l3， ∴EF⊥l1⊥l3， ∴∠ABE+∠EAB=90°,∠AEB=∠BFC=90°， 又∵∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠FBC=90°， ∴∠EAB=∠FBC， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF， ∴BE=CF=4，AE=BF=6， 在Rt△ABE中,AB2=BE2+AE2， ∴AB2=52， ∴S△ABC=AB⋅BC=AB2=26. 故答案是26. 18. 如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，在四边形是平行四边形的前提下，可添加邻边相等、对角线相互垂直等；根据菱形的判定条件添加即可． 【详解】解：添加，则是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 19. 如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC＝7，AE＝4，则CE＝_____． 【答案】5 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∠D=90°. ∴∠AEB=∠CBE. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB. ∴CD=AE=4，DE=AD-AE=BC-AE=7-4=3. 在Rt△CDE中，根据勾股定理得CE=. 故答案为5. 20. 如图，和是两个不等的正方形，连接交于，如果面积为10，则面积为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等底等高的三角形面积相等等知识，掌握这些知识是解题的关键；连接，由正方形的性质得，；而，且，则可得，从而问题求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和是两个正方形， ∴，， ∴，； ∵， ， ∴； ∵， ∴； 故答案为：10． 三、解答题（本大题共6小题，共60分） 21. 计算 【答案】 【解析】 【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 22. 已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 23. 在由6个大小相同的小正方形组成的方格中： （1）如图（1），A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由； （2）如图（2），连接三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）． 【答案】（1）AB⊥BC且AB＝BC，理由见解析 （2）∠α+∠β＝45°，图跟证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图（1），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是直角三角形，据此判断出AB与BC的关系，并说明理由即可． （2）如图（2），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是等腰直角三角形，据此求出∠α+∠β的度数是多少即可． 【小问1详解】 如图，连接AC， 由勾股定理得，， ， ， ∴，AB＝BC， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， 综上所述，AB与BC的关系为：AB⊥BC且AB＝BC； 【小问2详解】 ∠α+∠β＝45°． 证明如下：如图， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴△ABC是直角三角形， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠α+∠β＝45°． 【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计作图，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． 24. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG， (1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由； (2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积． 【答案】 （1）四边形是菱形．理由如下： ∵四边形、是完全相同的矩形， ∴，，． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是菱形． （2）20． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），进而可得出∠ABD=∠EBD，根据矩形的性质可得AB∥CD、DF∥BE，即四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出▱DHBG是菱形； （2）设DH=BH=x，则AH=8-x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积． 【详解】解：略 由，设，则， 在中，，即， 解得：，即， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出DH=BH；（2）利用勾股定理求出菱形的边长． 25. 如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，，，，如图②． （1）求证：四边形是菱形； （2）四边形的周长为______； （3）将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）矩形周长为或 【解析】 【分析】（）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可； （）先证明四边形是菱形，再根据边长，即可得到四边形的周长； （）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长即可． 【小问1详解】 证明：∵矩形，， ∴，，， 由平移可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵为中点， ∴中，， 又∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由平移可得，，， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， 由（）可得，， ∴四边形是菱形， ∵， 则由勾股定理得： ， ∴四边形的周长为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下： ∴矩形的周长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $