专题31 圆锥曲线中定点问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题31圆锥曲线中定点问题 【练习1】在平面直角坐标系中，已知双曲线为正数)的右顶点为，右焦点到渐近线的距离为4，直线与双曲线交于两点，且均不是双曲线的顶点，为的中点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线与直线的斜率均存在时，设斜率分别为，求的值； (3)若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由. 【练习2】椭圆过点，其上，下顶点分别为点，且直线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左顶点作两条直线，分别交椭圆于另一点若，求证：直线过定点. 【练习3】设为坐标原点，椭圆与轴的正半轴分别交于两点，且的面积为，点均不与重合)是椭圆上两个动点，且当时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线和的斜率之积为，试探究：直线是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 【练习4】已知曲线和曲线都过点，且曲线所在的圆锥曲线的离心率为. (1)求曲线和曲线的方程； (2)设点分别在曲线上，分别为直线的斜率，当时，问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【练习5】(2017新课标)已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为1，证明：过定点. 【练习6】如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线(与坐标轴不重合)与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点. (1)若直线斜率为时，，求椭圆的标准方程； (2)在(1)条件下，试问以为直径的圆是否经过定点(与直线的斜率无关)？请证明你的结论. 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题31圆锥曲线中定点问题 【练习1】【答案】见解析 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，即，所以，该双曲线的右焦点到渐近线的距离为，因为，则，因此，双曲线的方程为. （2）设点，则点，所以，，由已知可得，两式作差可得，因此，. （3）证明：因为，则，又因为为的中点，故是直角三角形，且，设. ①若直线轴，设直线的方程为，则，易知点因为，解得； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，可得所以，韦达定理得，则化简可得，即若，则直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意； 若，则直线的方程为，此时直线过定点综上所述，直线过定点. 【练习2】【答案】见解析 【解析】（1）由题意可得，所以，可得，将点的坐标代入可得，解得，所以椭圆的方程为（2）证明：由（1）可得，设，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，整理可得，，可得，即，整理可得即，化简可得：，即，当，直线的方程为：，恒过左顶点，不合题意，当，直线的方程为，所以可证得直线恒过定点. 【练习3】【答案】见解析 【解析】（1）由题意得，，则①，在椭圆上，代入可得②，联立①②，解得椭圆的方程为. （2）由（1）知，，若直线的斜率不存在，设，此时，与题设矛盾，故直线的斜率必存在设直线的方程为，联立，得将（*）式代入上式，整理得，解得或（舍去），即直线过定点. 【练习4】【答案】见解析 【解析】（1）由已知曲线和曲线都过点，得曲线所在的圆锥曲线的离心率为曲线的方程为曲线的方程为. （2）将代入，得设，则所以将代入，得设，则. 因为，则直线的斜率，所以直线的方程为，即故过定点. 【练习5】【答案】见解析 【解析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上把代入椭圆，得，得出，由此椭圆的方程为（2）证明：①当斜率不存在时，设，直线与直线的斜率的和为1，解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. ②当斜率存在时，设，，联立，整理得，①，直线与直线的斜率的和为②，①代入②得：，又，，此时，存在，使得成立，直线的方程为，当时，过定点. 【练习6】【答案】见解析 【解析】（1）设，直线斜率为时，，，化为. 联立. 椭圆的标准方程为. （2） 以为直径的圆过定点下面给出证明：设，则，且，即，直线方程为：，，直线方程为：，，以为直径的圆为即，，令，解得以为直径的圆过定点 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$