专题35 圆锥曲线中非对称韦达定理问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题35圆锥曲线中非对称韦达定理问题 【练习1】【答案】见解析 【解析】（1）点与椭圆的上顶点重合时，又椭圆离心率为，即可得椭圆方程为：. （2）证明：设直线的方程为，联立得，设，，则，又，，即为定值. 【练习2】【答案】见解析 【解析】（1）因为点在椭圆上，若的周长为6，面积为，则有，结合，解得，故椭圆的标准方程为； （2）证明：设直线的方程为，设，又，联立方程组，可得，由，可得，所以为定值，故为定值. 【练习3】【答案】见解析 【解析】（1）依题意，椭圆过点，则，而，于是，椭圆的方程为； （2）设，因为，故直线的方程为，联立直线与椭圆方程有，消去并整理可得直线的方程为，联立直线与椭圆方程有，消去并整理可得，解得又， （3）在中，令，则，从而，又，，即，由（2）知，，故得，，整理可得，解得或（舍），又，故. 【练习4】【答案】见解析 【解析】（1）因为椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，所以可设椭圆方程为短轴长为，即，又椭圆的离心率，，椭圆的标准方程为； （2）由（1）得，，又直线的斜率不为零，故可设的方程为，联立直线方程与椭圆方程化简可得，设，又直线的方程为，则，由直线的方程为，且线的方程为，故直线恒过定点. （3）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，直线与椭圆的交点为，此时或，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程化简可得，由已知方程两个不同的解，，即，设，则，，又，，设，则，设，则，且的取值范围为，综上的取值范围为. 【练习5】【答案】见解析 【解析】（1）设，由得，由已知，又，即，符合题意所求直线的方程为或. （2），平方得，又，同理，代入上式，计算得，即，所以，解得或，，所以异号，故舍去，所以. 【练习6】【答案】见解析 【解析】（1）根据题意， ， 椭圆的方程； （2）由题意得 为等腰三角形； 的内切圆的圆心在轴上设圆心； 直线的方程为，内切圆与直线相切，圆心到的距离，解得 内切圆方程为 （3）证明：将直线代入椭圆的方程，并整理得： 直线过恒成立； 设直线与椭圆的交点，由根与系数的关系，得； 直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，同理可得直线与直线的交点坐标为，下面证明两点重合，即证明两点的纵坐标相等：； ，因此结论成立； 综上可知直线与直线的交点在直线上. 【练习7】【答案】见解析 【解析】（1）的周长是，即，又由离心率是，故，故，故椭圆的方程为. （2）证明：①由（1）知的坐标为，设直线的方程是：，代入椭圆的方程，整理得：，记，则，则，的方程为①，的方程：②，联立两方程得：，故直线与的交点在一条定直线上； ②由直线为椭圆的右准线，为椭圆的右顶点，故 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题35圆锥曲线中非对称韦达定理问题 【练习1】已知椭圆的左、右顶点分别为，离心率为，过点作直线交椭圆于点(与均不重合)当点与椭圆的上顶点重合时，. (1)求的方程. (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值. 【练习2】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若的周长为6，面积为________ (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的左、右顶点分别为，过直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，证明：为定值. 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆经过点，且，经过点作斜率为的直线交椭圆与两点(在轴下方). (1)求椭圆的方程； (2)过点且平行于的直线交椭圆于点，求的值； (3)记直线与轴的交点为，若，求直线的斜率的值. 【练习4】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左，右焦点分别为，离心率，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标； (3)过点做另一直线，与椭圆分别交于、两点，求的取值范围. 【练习5】椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，交椭圆于两点. (1)若，求直线的方程； (2)设直线的斜率分别为，若，求的值. 【练习6】椭圆的左、右顶点的坐标分别为，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的两焦点分别为，点是椭圆的上顶点，求内切圆方程； (3)若直线与椭圆交于两点，求证：直线与直线的交点在直线上. 【练习7】已知椭圆的左、右焦点匙分别，左右顶点分别是，离心率是，过的直线与椭圆交于两点(不是左、右顶点)，且的周长是，直线马交于点. (1)求椭圆的方程； (2)(1)求证直线与的交点在一条定直线上； (2)是定直线上的一点，且平行于轴，证明：是定值. 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $$