专题33 圆锥曲线第三定义 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题33圆锥曲线第三定义 【练习1】已知双曲线的左、右顶点分别为，点为上异于的一点，若直线的斜率之积为，且的焦距为，则双曲线的实轴长为( ) A B C D 【练习2】已知平行四边形内接于椭圆，且斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是( ) A B C D 【练习3】已知双曲线与直线交于两点，点为右支上一动点，记直线的斜率分别为，曲线的左、右焦点分别为若，则下列说法正确的是( ) A B双曲线的渐近线方程为 C若，则的面积为2 D曲线的离心率为 【练习4】设椭圆的左、右顶点分别为是椭圆上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，椭圆的离心率为________ 【练习5】已知双曲线是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为( ) A B C D 【练习6】已知椭圆的长轴长为4. (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线相切，求椭圆焦点坐标； (2)若点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，当时，求椭圆的方程. 【练习8】已知点，动点满是直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明这是什么曲线； (2)设直线不经过点且与曲线相交于两点，若直线与的斜率之和为2，证明：过定点. 【练习7】如图，设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求的轨迹方程； (2)设点的轨迹为，点是轨迹为上不同于的两点，且满足，求证：的面积为定值. 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题33圆锥曲线第三定义 【练习1】【答案】A 【解析】设双曲线的左右顶点的坐标分别为，，则，点为双曲线上异于的一点，，即，又双曲线的焦距为，解得双曲线的实轴长为故选A. 【练习2】【答案】A 【解析】设，则，由对称性可得，则相减得：斜率积的范围为故选A. 【练习3】【答案】D 【解析】由，可得，设，则，即，设，则，即，又，即，故错误； 双曲线，双曲线的渐近线方程为，离心率为，故错误，正确； 若，则的面积为1，故错误故选D. 【练习4】【答案】 【解析】，设，则，则，，令，则. 当时，函数取得最小值. . 【练习5】【答案】A 【解析】设，，两式相减，得，，，当且仅当时取等号，又当时，三点共线不符合条件，当时取等号，的最小值为，离心率故选A. 【练习6】【答案】见解析 【解析】（1）由得，又因为，所以，又所以，两个焦点坐标为. （2）由于过原点的直线与椭圆交的两点交于坐标原点对称，不妨设因为在椭圆上，所以它们满足椭圆方程，即有，两式相减得：由题意它们的斜率存在，则，则，由得，，故所求椭圆的方程为 【练习7】【答案】见解析 【解析】（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为. （2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知，当的斜率为0时，由对称性有，所以分别为和，联立，解得或设直线的方程为，代入椭圆方程，得①，设的坐标分别为，则，，得，又，即的面积为定值. 【练习8】【答案】见解析 【解析】（1）由斜率公式可得直线的斜率分别为，化简可得，所以曲线是焦点在轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，去掉两点. （2） 证明：直线不经过点，则点不与点重合，①直线斜率不存在时，设直线的方程为，由，解得，所以，得，即直线的方程为②直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，由，消可得，由，得，则，则，恒过定点，综上所述，过定点 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$