《1.3全等三角形的判定（五）--HL》导学案 暑假预习手册8-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册8-《1.3全等三角形的判定（五）--HL》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握直角三角形全等的判定定理 “ HL ” （斜边、直角边），能够准确表述其内容。 2.经历探索 “ HL ” 判定定理的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法 ，培养观察、分析、概括及逻辑推理能力。 3.能够运用 “ HL ” 定理判定两个直角三角形全等，解决相关的证明和计算问题，提高综合运用知识的能力。 ) ( 一、 预习内容 （一）知识回顾 有一个角为90 o （直角）的三角形叫做直角三角形 ，可表示为Rt △ （如Rt △ ABC，其中 ∠ C = 90 o 。它是三角形的一种特殊类型。 直角三角形的两个锐角互余，即直角三角形中除直角外的两个角 ∠ A和 ∠ B，满足 ∠ A + ∠ B = 90 o ， ∠ C = 90 o ， 直角的对边是斜边，其他两边称为直角边。 我们 已学的全等三角形判定方法，如 “ SAS（边角边） ”“ ASA（角边角） ”“ AAS（角角边） ” “ SSS（边边边） ” ， 直角三角形是特殊的三角形，判断两个直角三角形全等 ， 除 了 “ SAS ”“ SSS ” “ ASA ”“ AAS ” ，还有没有特殊的方法? （二） 探索 “ HL ” 判定定理 【探究】如左图给定直角三角形ABC，简为 “ Rt △ ABC ” ，用直尺和圆规作 Rt △ A'B'C' 使得 ∠ C'=90 ° ,A'B'=AB, AC=A ' C ' 、这两个三角形全等吗? 作法 ： （ 1 ） 、作 ∠ PCQ = 90 ° （ 2 ） 、在射线 CP 上截取A'C ’ =AC， （ 3 ） 、作A'B'=AB、交射线CQ于点B ’ ， Rt △ A'B'C' 即为所求, 如上右图。 我们可以证明 △ ABC ≌△ A'B'C'; 如图在Rt △ ABC 和 Rt △ A'B' C ’ 中， ∠ C= ∠ C=90 ° , AB=A'B ’ , AC=A'C'. ) ( 将 △ ABC和 △ A'B'C'分别沿BC 和B'C'翻折，得到 △ ABP 和 △ A'B'Q.通过 “ SSS ” ，可证 △ ABP ≌△ A'B'Q，由此可知 ∠ A= ∠ A'.通过 “ SAS ” ，可证Rt △ ABC ≌ Rt △ A'B' ℃ ' . 于是，我们得到如下定理: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成 “ HL ” ). 【 用几何语言表述 】 在Rt △ ABC和Rt △ A ′ B ′ C ′ 中， ∠ C＝ ∠ C ′ ＝90 ° ，如果 ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A ′ B ′ C ′ （HL）． 【拓展思考】 思考 “ HL ” 定理与一般三角形全等判定方法的区别和联系。 区别在于 “ HL ” 定理是直角三角形特有的判定方法，一般三角形不具备； 联系是直角三角形是特殊的三角形，在满足 “ HL ” 定理的同时，也可能满足一般三角形全等的判定方法。 ) ( 三．经典例题 例1 .如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF. 求证:Rt△ABE≌Rt△CBF. 证明:∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). 例2 .如图,AB,CD相交于点O,AC=BD,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,且CE=DF.求证:AC∥BD. 证明:∵AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,∴∠AEC=∠BFD=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中, ∴Rt△AEC≌Rt△BFD(HL),∴∠C=∠D,∴AC∥BD. 例3. 如图, AB = AD , CB AB , CD AD , E 、 F 分别是 BC 、 DC 的中点,连接 AE 、 AF .求证: AE = AF . 证明：如图,连接 AC ​ ∵ CB AB , CD AD , B = D = . ABC 和 ADC 均是直角三角形. 在 Rt ABC 和 Rt ADC 中, Rt ABC Rt ADC ( HL ). BC = DC . E 、 F 分别是 BC 、 DC 的中点, BE = BC , DF = DC . BE = DF .在 ABE 和 ADF 中, ABE ADF ( SAS ). AE = AF . ) ( 例4 ．如图，AC ⊥ BC，AD ⊥ BD，AD＝BC．AD，BC交于点O． 求证：OC＝OD． 证明： ∵ AC ⊥ BC，AD ⊥ BD， ∴∠ C＝ ∠ D＝90 ° ．在Rt △ ABD和Rt △ BAC中， ， ∴ Rt △ ABD ≌ Rt △ BAC（HL）， ∴ BD＝AC，在 △ AOC和 △ BOD中， ， ∴△ AOC ≌△ BOD（AAS）， ∴ OC＝OD． 例5. 如图，已知 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CA ＝ CB ， D 是 AC 上一点， E 在 BC 的延长线上，且 AE ＝ BD ， BD 的延长线与 AE 交于点 F ．试通过观察、测量、猜想等方法来探索 BF 与 AE 有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性． 解：猜想： BF ⊥ AE ．理由：∵∠ ACB =90°，∴∠ ACE =∠ BCD =90°．∴在 Rt △ BDC 和 Rt △ AEC 中， ，∴ Rt △ BDC ≌ Rt △ AEC （ HL ）．∴∠ CBD =∠ CAE ．又∠ CAE +∠ E =90°． ∴∠ EBF +∠ E =90°．∴∠ BFE =90°，∴ BF ⊥ AE ． 例6. 证明命题“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程.下面是小颖根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证. 已知:在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AD,A'D'分别为BC与B'C'边上的中线且 　 . 求证: 　　　　　　　　　　　 .  请补全已知和求证部分,并写出证明过程. 解 ： AD=A'D';Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(或△ABC≌△A'B'C'). 证明:∵∠C=∠C'=90°,AD=A'D',AC=A'C',∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL),∴CD=C'D'. ∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线,∴D和D'分别是BC和B'C'的中点, ∴BC=2CD,B'C'=2C'D',∴BC=B'C'.在△ABC和△A'B'C'中, ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS). 例7. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE BD,CF BD,垂足分别为E、F. (1)求证: ADE CBF; (2)若AC与BD相交于点O,  求证:AO=CO. 解 ： (1) 证明： BE=DF, BE-EF=DF-EF,即BF=DE. AE BD,CF BD, AED= CFB= . AD=BC, Rt ADE Rt CBF(HL). (2)如图, Rt ADE Rt CBF, AE=CF.又 AE BD,CF BD, AEO= CFO= . AOE= COF, AEO CFO(AAS), AO=CO. ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 一个锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等 【 答案】C 【 解析】A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS， B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS; C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与; D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定 HL.故选: C. 2 如图， BE ＝ CF ， AE ⊥ BC ， DF ⊥ BC ，要根据“ HL ”证明 Rt △ ABE ≌ Rt △ DCF ，则还需要添加一个条件是（ ） A. AE=DF B. ∠ A= ∠ D C. ∠ B= ∠ C D. AB=DC 【 答案】D 【 解析】条件是AB=CD,理由是: ∵ AE ⊥ BC，DF ⊥ BC,: ∴ . ∠ CFD= ∠ AEB=90 ° , 在 Rt △ ABE 和 Rt △ DCF 中， ∴ . Rt △ ABE ≌ Rt △ DCF (HL)，故选 D. 3. 如图 CE AB , DF AB ,垂足分别为 E 、 F , AF = BE ,且 AC = BD ,则下列结论不一定正确的是（  ） ​ A. B. C. D. 【 答案】C 【 解析】 ∵ CE ⊥ AB,DF ⊥ AB, ∠ AEC= ∠ DFB=90 ° , ∵ AF=BE,AE=BF,在Rt △ ACE和Rt △ BDF中， Rt △ ACE ≌ Rt △ BDF(HL),:. ∠ A= ∠ B, AC ‖ BD, ∠ A+ ∠ C=90 ° ,:. ∠ B+ ∠ C=90 ° ,选项A，B，D正确，选项C错误.故选:C. 4. 如图，PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，垂足分别为 D，E，且 PD=PE，则 △ APD 与 △ APE 全等的理由是 （ ）    A. HL B． AAS C． SSS D． SAS 【 答案】A 【 解析】 ∵ PD ⊥ AB，PE ⊥ AC， ∴∠ ADP= ∠ AEP =90 ° , 在Rt △ ADP和 △ AEP中 Rt △ ADP= △ AEP(HL),故选:D. 5. 如图，AC ⊥ BD 于点 P，AP=CP，增加下列一个条件： ① BP=DP； ② AB=CD； ③ ∠ A= ∠ C．其中能判定 △ABP ≌ △CDP 的条件有 ( )    A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D． 3 个 ) ( 【 答案】D 【 解析】 ∵ AC ⊥ BD于点P，AP=CP，在 △ ABP和 △ CDP中, △ ABP △ ≌ CDP(HL).增加的条件是BP=DP或AB=CD或 ∠ A= ∠ C或 ∠ B = ∠ D.故添加BP=DP或AB=CD或 ∠ A= ∠ C或 ∠ B= ∠ D.故选:D. （二）填空题 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC上一点,连接BE,过点E作DE⊥AB,垂足为D,BD=BC,若AC=6,则AE+DE的值为 __________ 【答案】6 【 解析】 ∵ DE ⊥ AB于D,:. ∠ BDE=90 ° ,在Rt △ BDE和Rt △ BCE中， :.Rt △ BDE ≌ Rt △ BCE(HL),: ∴ .ED=CE,AE +ED = AE+CE = AC=6cm 7.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C,D均在格点(小正方形的顶点)上,则∠ACD+∠BDC= 　 °.  【 答案】90 【解析】如图,在Rt △ AEC和R △ DAB中， Rt △ AEC ≌ Rt △ DAB (HL),:. ∠ ACE= LABD.:LEAC+LACE=90 ° , ∠ EAC + ∠ ABD = 90 °∠ AFB =90 °∴∠ CFD=90 ° ,: ∠ ACD+ ∠ BDC=90 ° .故答案为 90. 8.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 　 时,△ABC与△APQ全等.  【答案】5或10 【解析】 ∵ AX ⊥ AC, ∴ .LPAQ=90 ° . ∠ C= ∠ PAO=90 ° .分两种情况: ① 当AP=BC=5 时， 在 Rt Δ ABC和Rt Δ QPA 中, :.Rt Δ ABC ≌ Rt △ QPA(HL); ② 当 AP=CA=10 时，在 △ ABC 和 △ PQA 中， Rt △ ABC ≌ Rt △ POA(HL). 综上所述:当点P运动到AP=5或10时， △ BC与 △ APQ全等. （三）解答题 9 .在学习了全等三角形的判定方法(“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 【初步思考】将问题用符号语言表示:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,然后对∠ABC进行分类,可分为“∠ABC是锐角、直角、钝角”三种情况进行探究. 第一种情况:当∠ABC是锐角时,AB=DE不一定成立. 第二种情况:当∠ABC是直角时,根据“HL”,可得△ABC≌△DEF,则AB=DE. ) ( 第三种情况:当∠ABC是钝角时,则AB=DE. 如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,且∠ABC是钝角.求证:AB=DE. 【方法归纳】化归是一种有效的数学思维方式,一般是将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题,观察发现第三种情况可以转化为第二种情况,如图,过点C作CG⊥AB交延长线于点G. (1)在△DEF中用尺规作出DE边上的高FH,不写作法,保留作图痕迹. (2)请你在完成(1)中作图的基础上,加以证明AB=DE. 解 : (1)如图,FH即所求. (2)证明:∵∠ABC=∠DEF,∴∠CBG=∠FEH.∵CG⊥AB,FH⊥DE,∴∠BGC=∠EHF=90°. ∵BC=EF,∴△CBG≌△FEH(AAS),∴BG=EH,CG=FH.∵AC=DF,∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),∴AG=DH,∴AG-BG=DH-EH,即AB=DE. 10 ．（1）如图1， ∠ CAB＝ ∠ DAB，BC＝BD．求证： △ ABC ≌△ ABD． （2）如图2， ∠ ABC＝ ∠ ABD，AC＝AD．求证： △ ABC ≌△ ABD． 证明：（1）作BE ⊥ AD于E，BF ⊥ AC于F，如图1， ∵∠ CAB＝ ∠ DAB， ∴ BF＝BE，在Rt △ BCF和Rt △ BDE中， ， ∴ Rt △ BCF ≌ Rt △ BDE（HL）， ∴∠ C＝ ∠ D，在 △ ABC和 △ ABD中， ， ∴△ ABC ≌△ ABD（AAS）； （2）如图2，作AE ⊥ CB交CB的延长线于E，作AF ⊥ DB交DB的延长线于F， ∵∠ ABC＝ ∠ ABD， ∴∠ ABE＝ ∠ ABF， ∵ AE ⊥ CE，AF ⊥ DF， ∴ AE＝AF， ∵∠ E＝ ∠ F＝90 ° ， 在Rt △ ADF和Rt △ ACE中， ， ∴ Rt △ ADF ≌ Rt △ ACE（HL）， ∴∠ D＝ ∠ C， 在 △ ABC和 △ ABD中， ， ∴△ ABC ≌△ ABD（AAS）． ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 ．如图，可直接用 “ HL” 判定 Rt△ABC 和 Rt△DEF 全等的条件是 ( ) A ． AC ＝ DF ， BC ＝ EF B ． ∠ A ＝ ∠ D ， AB ＝ DE C ． AC ＝ DF ， AB ＝ DE D ． ∠ B ＝ ∠ E ， BC ＝ EF 【答案】C 【 解析】 ∵ 在两个三角形中AB、DE是斜边.只有C中，AC=DF、AB = DE符合.故选:C. 2 ．如图， ∠ C ＝ ∠ D ＝ 90° ，添加一个条件，可使用 “HL” 判定 △ ACB ≌△ ADB 的合适条件是 ( ) A ． AC ＝ AD B ． AB ＝ AB C ． ∠ ABC ＝ ∠ ABD D ． ∠ BAC ＝ ∠ BAD 【答案】A 【 解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为:若添加的条件为BC = BD，在Rt △ ABC与Rt △ ABD中， Rt △ ABC ≌ Rt △ ABD(HL);若添加的条件为AC =AD,在Rt △ ABC与Rt △ ABD中， :.Rt △ ABC ≌ Rt △ ABD(HL)。故选:A。 3 ．如图所示，已知 AB ＝ CD ， AE ⊥ BD 于点 E ， CF ⊥ BD 于点 F ， AE ＝ CF ，则图中的全等三角形有 ( 　　 ) A ． 1 对 B ． 2 对 C ． 3 对 D ． 4 对 【答案】C 【 解析】 由已知可以推导出 △ ABE ≌△ CDF ， △ AED ≌△ CFB ， △ ABD ≌△ CDB. 4 ．如图所示， H 是 △ ABC 的高 AD ， BE 的交点，且 DH ＝ DC ，则下列结论： ① BD ＝ AD ， ② BC ＝ AC ， ③ BH ＝ AC ， ④ CE ＝ CD 中，正确的有 ( 　 B 　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 【答案】B 【 解析】 ①∵ BE ⊥ AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ AEH ＝ ∠ ADB ＝ 90 ° . ∵∠ HBD ＋ ∠ BHD ＝ 90 ° ， ∠ EAH ＋ ∠ AHE ＝ 90 ° ， ∠ BHD ＝ ∠ AHE ， ∴∠ HBD ＝ ∠ EAH. ∵ DH ＝ DC ， ∴△ BDH ≌△ ADC(AAS) ． ∴ BD ＝ AD ， BH ＝ AC. 故 ①③ 正确；结论 ②④ 错误．故选 B. 5. 下列说法中，错误的是 ( 　　 ) A ．一般三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用 B ．已知两个锐角能确定一个直角三角形 C ．已知两条直角边能确定一个直角三角形 D ．已知一条斜边和一条直角边能确定一个直角三角形 【答案】B ) ( 【 解析】A.一般三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用说法正确，因为一般三角形全等的判定方法对任何三角形都适用;B.已知两个锐角能确定一个直角三角形 说法错误，因为三个角不能确定一个三角形; C.已知两条直角边能确定一个直角三角说法正确，理由是 “ SAS ” ;D.已知一条斜边和一条直角边能确定一个直角三角形说法正确。理由是 “ HL ” ，故选:B 6 ．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是 ( ) A ．两个锐角分别对应相等 B ．两条直角边分别对应相等 C ．一条直角边和斜边分别对应相等 D ．一个锐角和一条斜边分别对应相等 【答案】A 【 解析】A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意;B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意;C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意;D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意.故选: A. 7. 如图小敏用三角尺按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，其作图原理是：△OMP≌△O NP，这样就有∠AOP＝∠BOP，则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.AAS D.HL 【答案】D 【 解析】 ：由题意知OM＝ON，∠OMP＝∠ONP＝90°，OP＝OP，在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵ ，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，故选D． 8 .如图，在四边形ABCD中∠A＝∠C ＝90°，AB＝CD＜AD，则下列说法中不正确的是( ) A.AD∥BC B.BC＝CD C.AD＝BC D.AB∥CD 【答案】B 【 解析】 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，∴AD＝BC，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∴AB∥CD，AD∥BC；所以A、C、D三项是正的，错误的是B项.故选B. 9. 如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=8，BD=3，则DE的长是( B ) A.7 B.5 C.3 D.2 【答案】B 【 解析】 ∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，∴∠AEC=∠D=90°，在Rt△AEC与Rt△CDB中 ，∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），∴CE=BD=3，CD=AE=8， [来源:学,科 ∴DE=CD-CE=8-3=5，故选B． ) ( 10 . 如图 , 已知 AC ⊥ BC,BD ⊥ AD,AC,BD 相交于点 O, 如果 AC=BD, 那么下列结论 :①Rt △ ABD ≌ Rt △ BAC;②AD=BC;③ ∠ ABC= ∠ BAD;④ ∠ DAC= ∠ CBD. 其中正确的是 (　　) A.①②③④　 B.①②③　　 C.①②　　 D.②③ 【答案】A 【 解析】AC ⊥ BC，BD ⊥ AD，AC=BD，AB=BA，:.Rt △ ABD=Rt △ BAC(HL)，:.AD = BC， ∠ ABC= ∠ BAD， ∠ BAC= ∠ ABD, ∠ DAC= ∠ BAD - ∠ BAC， ∠ CBD= ∠ ABC- ∠ ABD,:. ∠ DAC= ∠ CBD. 二．填空题（30分） 11 ．如图所示，已知 AC ⊥ BD ， BC ＝ EC ， AB ＝ DE ，则 ∠ B ＋ ∠ D ＝ ________ ° . 【 答案 】 90 【 解析 ] 】 根据 “HL” 得出 Rt △ ABC ≌ Rt △ DEC ，所以 ∠ A ＝ ∠ D ，所以 ∠ B ＋ ∠ D ＝ ∠ B ＋ ∠ A ＝ 90 ° . 12 ．小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角尺，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知 ∠ AOB 的两边上 ( 如图 ) 分别取点 M ， N ，使 OM ＝ ON ，再分别过点 M ， N 作 OA ， OB 的垂线，交点为 P ，画射线 OP ，则 OP 平分 ∠ AOB. 其中运用的数学道理是 ________________________________________________________________________ ． 【 答案 】 利用 “ 斜边、直角边 ” 证明两个直角三角形全等，全等三角形的对应角相等 13 ．如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ BAC ＝ 90 ° ， AB ＝ AC ，分别过点 B ， C 作过点 A 的直线的垂线 BD ， CE ，若 BD ＝ 5 cm ， CE ＝ 3 cm ，则 DE ＝ ________ cm. 【 答案 】 8 【 解析 】 ∵ 在 Rt △ ABC 中， ∠ BAC ＝ 90 ° ， ∠ ADB ＝ ∠ AEC ＝ 90 ° ， ∴∠ BAD ＋ ∠ EAC ＝ 90 ° ， ∠ BAD ＋ ∠ B ＝ 90 ° . ∴∠ EAC ＝ ∠ B. ∵ AB ＝ AC ， ∴△ ABD ≌△ CAE.(AAS) ∴ AD ＝ CE ， BD ＝ AE ，则 DE ＝ AD ＋ AE ＝ CE ＋ BD ＝ 8 cm. 故答案为 8. 14 .如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则△ABC≌△DEF，理由是______． 【答案】HL 【 解析 】证明：根据题意知，AC⊥AB、ED⊥DF，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（HL）．故答案为HL. ) ( 15 ．如图， AB ＝ AC ， CD ⊥ AB 于点 D ， BE ⊥ AC 于点 E ， BE 与 CD 相交于点 O ，则图中有 ________ 对全等的直角三角形． 【 答案 】 3 【 解析 】 ∵ CD ⊥ AB ， BE ⊥ AC ， ∴∠ AEB ＝ ∠ ADC ＝ 90 ° . 在 Rt △ ABE 和 △ Rt △ ACD 中 ∵ ∴ Rt △ ABE ≌△ Rt △ ACD.(AAS) ∴ AD ＝ AE. 在 Rt △ AOD 和 Rt △ AOE 中， ∴ Rt △ AOD ≌ Rt △ AOE.(HL) ∴ OD ＝ OE. 在 Rt △ BOD 和 Rt △ COE 中， ∴ Rt △ BOD ≌ Rt △ COE.(ASA) ∴ 全等的直角三角形共有 3 对．故为 3. 16 .如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是_____． 【答案】AC＝BD（或者AD＝BC）． 【 解析 】①条件是AC＝BD，∵∠C＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ABD中∵ ，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）， ②条件若为AD＝BC，与①同理可证.故答案为AC＝BD（或者AD＝BC）． 17 .在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠ACB=25°，则∠DAC=____°． 【答案】65 【 解析 】在Rt△ABC与Rt△ADC中 ，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠ACD=∠ACB=25°，∴∠DAC=90°-25°=65°，故答案为65． 18 .如图,已知E为AC上一点,BC⊥CA,ED⊥AB,垂足分别为C,D,BD=BC,AE=8 cm,DE=6 cm,则AC等于 ________. 【答案】.14 cm . 【 解析 】 ∵BC⊥CA,ED⊥AB,∴∠BDE=∠BCE=90°.在Rt△DEB和Rt△CEB中,∵BE=BE,BD=BC,∴Rt△DEB≌Rt△CEB,∴DE=CE,∴AC=AE+CE=AE+DE=8+6=14cm ) ( 1 9 .如图.在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，则∠BAD=_________. 【答案】40° 【 解析 】∵D是BC的中点， ∴BD=CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，又∵∠B=∠C=50°∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴ED=FD； 又∵∠AED=∠AFD=90°，AD为公共边，∴△AED≌△AFD（HL），∴∠EAD=∠FAD，即AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD= (180°−∠B−∠C)= ×(180°−50°−50°)=40°. 故答案填：40° . 20 . 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中， ,∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确； ③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC， ∴③错误；④过E作EG⊥BC于G点， ∵E是BD上的点，∴EF=EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中， ,∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG=BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中， ,∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF=CG ∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，∴④正确．故答案为①②④． ) ( 三．解答题（60分） 21 ．如图， AC ⊥ BC ， AD ⊥ BD ， AD ＝ BC ， CE ⊥ AB ， DF ⊥ AB ，垂足分别是点 E ， F ， 求证： CE ＝ DF. 证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴S △ABC ＝S △BAD ，∴ AB·CE＝ AB·DF.∴CE＝DF. 22 ．如图， AB ＝ CD ， AE ⊥ BC ， DF ⊥ BC ，垂足分别为 E ， F ， BF ＝ CE. 求证： AB ∥ CD. 证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.∵BF＝CE，∴BF＋EF＝CE＋EF，∴BE＝CF.在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)， ∴∠C＝∠B，∴AB∥CD. 23 ．如图，已知 Rt△ABC≌Rt△ADE ， ∠ ABC ＝ ∠ ADE ＝ 90° ， BC 与 DE 相交于点 F ，连接 CD ， EB. (1) 图中还有几对全等三角形？请你一一列举； (2) 求证： CF ＝ EF. 解： (1)△ADC≌△ABE ， △ CDF≌△EBF (2) 连接 AF ， ∵ Rt△ABC≌Rt△ADE ， ∴ AB ＝ AD ， BC ＝ DE ， ∠ ABC ＝ ∠ ADE ＝ 90° ， 又 ∵ AF ＝ AF ， ∴ Rt△ABF≌Rt△ADF(HL) ， ∴ BF ＝ DF ，又 ∵ BC ＝ DE ， ∴ BC － BF ＝ DE － DF ，即 CF ＝ EF 24 ．在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， DE 是过点 A 的直线， BD ⊥ DE 于点 D ， CE ⊥ DE 于点 E. (1) 若点 B ， C 在 DE 的同侧如图 ① 所示，且 AD ＝ CE. 求证： AB ⊥ AC ； (2) 若点 B ， C 在 DE 的两侧如图 ② 所示，且 AD ＝ CE ，其他条件不变， AB 与 AC 仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△CAE中， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠BAD＝∠ECA.∵∠CAE＋∠ECA＝90°， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°，∴AB⊥AC. (2)AB⊥AC.证明：同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠BAD＝∠ECA. ∵∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC. ) ( 25 ．如图，AB＝AC，AD ⊥ BC于点D，AD＝AE，AB平分 ∠ DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． 解：（1） △ ADB ≌△ ADC、 △ ABD ≌△ ABE、 △ AFD ≌△ AFE、 △ BFD ≌△ BFE、 △ ABE ≌△ ACD （写出其中的三对即可）． （2）以 △ ADB ≌△ ADC为例证明．证明： ∵ AD ⊥ BC， ∴∠ ADB＝ ∠ ADC＝90 ° ． ∵ 在Rt △ ADB和Rt △ ADC中， ∴ Rt △ ADB ≌ Rt △ ADC（HL）． 26. 如图 10 ，在 △ ABC 中， AB ＝ CB ， ∠ ABC ＝ 90 ° ， F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE ＝ CF. (1) 求证： △ ABE ≌△ CBF ； (2) 若 ∠ CAE ＝ 30 ° ，求 ∠ ACF 的度数． 解： (1) 证明： ∵∠ ABC ＝ 90 ° ， ∴∠ CBF ＝ ∠ ABE ＝ 90 ° . 在 Rt △ ABE 和 Rt △ CBF 中， ∵ ∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ CBF.(HL) (2) ∵ AB ＝ BC ， ∠ ABC ＝ 90 ° ， ∴∠ CAB ＝ ∠ ACB ＝ 45 ° . ∴∠ BAE ＝ ∠ CAB － ∠ CAE ＝ 45 ° － 30 ° ＝ 15 ° . 由 (1) 知 Rt △ ABE ≌ Rt △ CBF ， ∴∠ BCF ＝ ∠ BAE ＝ 15 ° . ∴∠ ACF ＝ ∠ BCF ＋ ∠ ACB ＝ 15 ° ＋ 45 ° ＝ 60 ° . 27 ．(1) 如图 ① ，A，E，F，C四点在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE ⊥ AC，BF ⊥ AC，连接BD交AC于点G，若AB=CD，试说明FG=EG． (2) 若将 △ DCE沿AC方向移动变为如图 ② 的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立? 请说明理由． 解：(1) ∵ DE ⊥ AC，BF ⊥ AC， ∴∠ DEG= ∠ BFG=90 ° ． ∵ AE=CF， ∴ AE+EF=CF+EF，即AF=CE在Rt △ ABF和Rt △ CDE中， ， ∴ Rt △ ABF ≌ Rt △ CDE (HL)． ∴ BF=DE在 △ BGF和 △ DGE中， ， ∴△ BGF ≌△ DGE (AAS)． ∴ FG=EG． (2)结论仍成立．理由如下： ∵△ DCE只是作了平移， ∴ 仍有Rt △ ABF ≌ Rt △ CDE， ∴ BF=DE， ∴△ BGF ≌△ DGE (AAS)． ∴ FG=EG．故结论仍成立． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册8-《1.3全等三角形的判定（五）--HL》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握直角三角形全等的判定定理 “ HL ” （斜边、直角边），能够准确表述其内容。 2.经历探索 “ HL ” 判定定理的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法 ，培养观察、分析、概括及逻辑推理能力。 3.能够运用 “ HL ” 定理判定两个直角三角形全等，解决相关的证明和计算问题，提高综合运用知识的能力。 ) ( 一、 预习内容 （一）知识回顾 有一个角为90 o （直角）的三角形叫做直角三角形 ，可表示为Rt △ （如Rt △ ABC，其中 ∠ C = 90 o 。它是三角形的一种特殊类型。 直角三角形的两个锐角互余，即直角三角形中除直角外的两个角 ∠ A和 ∠ B，满足 ∠ A + ∠ B = 90 o ， ∠ C = 90 o ， 直角的对边是斜边，其他两边称为直角边。 我们 已学的全等三角形判定方法，如 “ SAS（边角边） ”“ ASA（角边角） ”“ AAS（角角边） ” “ SSS（边边边） ” ， 直角三角形是特殊的三角形，判断两个直角三角形全等 ， 除 了 “ SAS ”“ SSS ” “ ASA ”“ AAS ” ，还有没有特殊的方法? （二） 探索 “ HL ” 判定定理 【探究】如左图给定直角三角形ABC，简为 “ Rt △ ABC ” ，用直尺和圆规作 Rt △ A'B'C' 使得 ∠ C'=90 ° ,A'B'=AB, AC=A ' C ' 、这两个三角形全等吗? 作法 ： （ 1 ） 、作 ∠ PCQ = 90 ° （ 2 ） 、在射线 CP 上截取A'C ’ =AC， （ 3 ） 、作A'B'=AB、交射线CQ于点B ’ ， Rt △ A'B'C' 即为所求, 如上右图。 我们可以证明 △ ABC ≌△ A'B'C'; 如图在Rt △ ABC 和 Rt △ A'B' C ’ 中， ∠ C= ∠ C=90 ° , AB=A'B ’ , AC=A'C'. ) ( 将 △ ABC和 △ A'B'C'分别沿BC 和B'C'翻折，得到 △ ABP 和 △ A'B'Q.通过 “ SSS ” ，可证 △ ABP ≌△ A'B'Q，由此可知 ∠ A= ∠ A'.通过 “ SAS ” ，可证Rt △ ABC ≌ Rt △ A'B' ℃ ' . 于是，我们得到如下定理: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成 “ HL ” ). 【 用几何语言表述 】 在Rt △ ABC和Rt △ A ′ B ′ C ′ 中， ∠ C＝ ∠ C ′ ＝90 ° ，如果 ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A ′ B ′ C ′ （HL）． 【拓展思考】 思考 “ HL ” 定理与一般三角形全等判定方法的区别和联系。 区别在于 “ HL ” 定理是直角三角形特有的判定方法，一般三角形不具备； 联系是直角三角形是特殊的三角形，在满足 “ HL ” 定理的同时，也可能满足一般三角形全等的判定方法。 ) ( 三．经典例题 例1 .如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF. 求证:Rt△ABE≌Rt△CBF. 例2 .如图,AB,CD相交于点O,AC=BD,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,且CE=DF.求证:AC∥BD. 例3. 如图, AB = AD , CB AB , CD AD , E 、 F 分别是 BC 、 DC 的中点,连接 AE 、 AF .求证: AE = AF . ) ( 例4 ．如图，AC ⊥ BC，AD ⊥ BD，AD＝BC．AD，BC交于点O． 求证：OC＝OD． 例5. 如图，已知 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CA ＝ CB ， D 是 AC 上一点， E 在 BC 的延长线上，且 AE ＝ BD ， BD 的延长线与 AE 交于点 F ．试通过观察、测量、猜想等方法来探索 BF 与 AE 有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性． 例6. 证明命题“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程.下面是小颖根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证. 已知:在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AD,A'D'分别为BC与B'C'边上的中线且 　 . 求证: 　　　　　　　　　　　 .  请补全已知和求证部分,并写出证明过程. 例7. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE BD,CF BD,垂足分别为E、F. (1)求证: ADE CBF; (2)若AC与BD相交于点O,  求证:AO=CO. ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 一个锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等 2 如图， BE ＝ CF ， AE ⊥ BC ， DF ⊥ BC ，要根据“ HL ”证明 Rt △ ABE ≌ Rt △ DCF ，则还需要添加一个条件是（ ） A. AE=DF B. ∠ A= ∠ D C. ∠ B= ∠ C D. AB=DC 3. 如图 CE AB , DF AB ,垂足分别为 E 、 F , AF = BE ,且 AC = BD ,则下列结论不一定正确的是（  ） ​ A. B. C. D. 4. 如图，PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，垂足分别为 D，E，且 PD=PE，则 △ APD 与 △ APE 全等的理由是 （ ）    A. HL B． AAS C． SSS D． SAS 5. 如图，AC ⊥ BD 于点 P，AP=CP，增加下列一个条件： ① BP=DP； ② AB=CD； ③ ∠ A= ∠ C．其中能判定 △ABP ≌ △CDP 的条件有 ( )    A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D． 3 个 （二）填空题 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC上一点,连接BE,过点E作DE⊥AB,垂足为D,BD=BC,若AC=6,则AE+DE的值为 __________ 7.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C,D均在格点(小正方形的顶点)上,则∠ACD+∠BDC= 　 °.  ) ( 8.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 　 时,△ABC与△APQ全等.  （三）解答题 9 .在学习了全等三角形的判定方法(“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 【初步思考】将问题用符号语言表示:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,然后对∠ABC进行分类,可分为“∠ABC是锐角、直角、钝角”三种情况进行探究. 第一种情况:当∠ABC是锐角时,AB=DE不一定成立. 第二种情况:当∠ABC是直角时,根据“HL”,可得△ABC≌△DEF,则AB=DE. 第三种情况:当∠ABC是钝角时,则AB=DE. 如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,且∠ABC是钝角.求证:AB=DE. 【方法归纳】化归是一种有效的数学思维方式,一般是将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题,观察发现第三种情况可以转化为第二种情况,如图,过点C作CG⊥AB交延长线于点G. (1)在△DEF中用尺规作出DE边上的高FH,不写作法,保留作图痕迹. (2)请你在完成(1)中作图的基础上,加以证明AB=DE. 10 ．（1）如图1， ∠ CAB＝ ∠ DAB，BC＝BD．求证： △ ABC ≌△ ABD． （2）如图2， ∠ ABC＝ ∠ ABD，AC＝AD．求证： △ ABC ≌△ ABD． ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 ．如图，可直接用 “ HL” 判定 Rt△ABC 和 Rt△DEF 全等的条件是 ( ) A ． AC ＝ DF ， BC ＝ EF B ． ∠ A ＝ ∠ D ， AB ＝ DE C ． AC ＝ DF ， AB ＝ DE D ． ∠ B ＝ ∠ E ， BC ＝ EF 2 ．如图， ∠ C ＝ ∠ D ＝ 90° ，添加一个条件，可使用 “HL” 判定 △ ACB ≌△ ADB 的合适条件是 ( ) A ． AC ＝ AD B ． AB ＝ AB C ． ∠ ABC ＝ ∠ ABD D ． ∠ BAC ＝ ∠ BAD 3 ．如图所示，已知 AB ＝ CD ， AE ⊥ BD 于点 E ， CF ⊥ BD 于点 F ， AE ＝ CF ，则图中的全等三角形有 ( 　　 ) A ． 1 对 B ． 2 对 C ． 3 对 D ． 4 对 4 ．如图所示， H 是 △ ABC 的高 AD ， BE 的交点，且 DH ＝ DC ，则下列结论： ① BD ＝ AD ， ② BC ＝ AC ， ③ BH ＝ AC ， ④ CE ＝ CD 中，正确的有 ( 　 B 　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 5. 下列说法中，错误的是 ( 　　 ) A ．一般三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用 B ．已知两个锐角能确定一个直角三角形 C ．已知两条直角边能确定一个直角三角形 D ．已知一条斜边和一条直角边能确定一个直角三角形 6 ．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是 ( ) A ．两个锐角分别对应相等 B ．两条直角边分别对应相等 C ．一条直角边和斜边分别对应相等 D ．一个锐角和一条斜边分别对应相等 7. 如图小敏用三角尺按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，其作图原理是：△OMP≌△O NP，这样就有∠AOP＝∠BOP，则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.AAS D.HL ) ( 8 .如图，在四边形ABCD中∠A＝∠C ＝90°，AB＝CD＜AD，则下列说法中不正确的是( ) A.AD∥BC B.BC＝CD C.AD＝BC D.AB∥CD 9. 如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=8，BD=3，则DE的长是( B ) A.7 B.5 C.3 D.2 10 . 如图 , 已知 AC ⊥ BC,BD ⊥ AD,AC,BD 相交于点 O, 如果 AC=BD, 那么下列结论 :①Rt △ ABD ≌ Rt △ BAC;②AD=BC;③ ∠ ABC= ∠ BAD;④ ∠ DAC= ∠ CBD. 其中正确的是 (　　) A.①②③④　 B.①②③　　 C.①②　　 D.②③ 二．填空题（30分） 11 ．如图所示，已知 AC ⊥ BD ， BC ＝ EC ， AB ＝ DE ，则 ∠ B ＋ ∠ D ＝ ________ ° . 12 ．小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角尺，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知 ∠ AOB 的两边上 ( 如图 ) 分别取点 M ， N ，使 OM ＝ ON ，再分别过点 M ， N 作 OA ， OB 的垂线，交点为 P ，画射线 OP ，则 OP 平分 ∠ AOB. 其中运用的数学道理是 ________________________________________________________________________ ． 13 ．如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ BAC ＝ 90 ° ， AB ＝ AC ，分别过点 B ， C 作过点 A 的直线的垂线 BD ， CE ，若 BD ＝ 5 cm ， CE ＝ 3 cm ，则 DE ＝ ________ cm. 14 .如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则△ABC≌△DEF，理由是______． ) ( 15 ．如图， AB ＝ AC ， CD ⊥ AB 于点 D ， BE ⊥ AC 于点 E ， BE 与 CD 相交于点 O ，则图中有 ________ 对全等的直角三角形． 16 .如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是_____． 17 .在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠ACB=25°，则∠DAC=____°． 18 .如图,已知E为AC上一点,BC⊥CA,ED⊥AB,垂足分别为C,D,BD=BC,AE=8 cm,DE=6 cm,则AC等于 ________. 1 9 .如图.在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，则∠BAD=_________. 20 . 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 三．解答题（60分） 21 ．如图， AC ⊥ BC ， AD ⊥ BD ， AD ＝ BC ， CE ⊥ AB ， DF ⊥ AB ，垂足分别是点 E ， F ， 求证： CE ＝ DF. 22 ．如图， AB ＝ CD ， AE ⊥ BC ， DF ⊥ BC ，垂足分别为 E ， F ， BF ＝ CE. 求证： AB ∥ CD. ) ( 23 ．如图，已知 Rt△ABC≌Rt△ADE ， ∠ ABC ＝ ∠ ADE ＝ 90° ， BC 与 DE 相交于点 F ，连接 CD ， EB. (1) 图中还有几对全等三角形？请你一一列举； (2) 求证： CF ＝ EF. 24 ．在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， DE 是过点 A 的直线， BD ⊥ DE 于点 D ， CE ⊥ DE 于点 E. (1) 若点 B ， C 在 DE 的同侧如图 ① 所示，且 AD ＝ CE. 求证： AB ⊥ AC ； (2) 若点 B ， C 在 DE 的两侧如图 ② 所示，且 AD ＝ CE ，其他条件不变， AB 与 AC 仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 25 ．如图，AB＝AC，AD ⊥ BC于点D，AD＝AE，AB平分 ∠ DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． 26. 如图 10 ，在 △ ABC 中， AB ＝ CB ， ∠ ABC ＝ 90 ° ， F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE ＝ CF. (1) 求证： △ ABE ≌△ CBF ； (2) 若 ∠ CAE ＝ 30 ° ，求 ∠ ACF 的度数． 27 ．(1) 如图 ① ，A，E，F，C四点在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE ⊥ AC，BF ⊥ AC，连接BD交AC于点G，若AB=CD，试说明FG=EG． (2) 若将 △ DCE沿AC方向移动变为如图 ② 的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立? 请说明理由． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$