精品解析：四川省眉山北外附属东坡外国语学校2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

26届高二下期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存 2. 已知一组数据，，，，，，则该组数据的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，分别为椭圆左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，直线，分别与轴交于点，．若为线段的中点，为线段的中点，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆被直线所截，则截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.25 D. 0.5 6. 如图在三棱锥 中，是的中点，若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 袋子中装有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的有（ ） A. 第一次摸到红球的概率是 B. 第二次摸到红球的概率是 C. 两次都摸到红球的概率是 D. 两次都摸到黄球的概率是 11. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为1，侧棱长为2，点M，N分别为侧棱CC1，DA上的动点，AM⊥平面α.则下列正确的有（　　） A. 异面直线AM与B1C可能垂直 B. ∠AMD1恒为锐角 C. AB与平面α所成角的正弦值范围为 D. 点N到直线BD1距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，则_____. 13. 若直线与直线平行，则实数=______ ． 14. 已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在平行六面体中，，，，． （1）求； （2）求线段的长． 16. 已知圆C经过三点，，． （1）求圆C的方程； （2）求过点A与圆C相切的直线方程． 17. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组：，绘制出如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数； （2）先从得分在的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率. 18. 如图甲，已知在等腰梯形中， AB∥ CD，且，，且，沿AE将折起使平面平面，如图乙． （1）求点E到平面的距离； （2）设P为棱DC上一点（不与P，C重合），当二面角为60°时，DP与DC的比值． 19. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且是抛物线E上异于O的两点. （1）求抛物线E的标准方程； （2）若直线的斜率之积为，求证：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26届高二下期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程可得出该直线的倾斜角. 【详解】直线垂直于轴，该直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 已知一组数据，，，，，，则该组数据的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的定义直接计算. 【详解】将数据从小到大排列，为，，，，，， 因为， 所以这组数据的第百分位数为第三个数据. 故选：A. 3. 已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，直线，分别与轴交于点，．若为线段的中点，为线段的中点，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行关系，列出线段的比例关系式，即可求解. 【详解】过点作轴，垂足为．由题意可得，， 即，，两式相乘，化简得， 所以，则． 故选：D. 4. 已知圆被直线所截，则截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由已知圆方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出弦长. 【详解】根据题意，圆，可变形为， 所以圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故选：D． 5. 从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.25 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 6. 如图在三棱锥 中，是的中点，若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由空间向量的运算求解即可； 【详解】是的中点，所以， 故选：A. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点到渐近线的距离为，结合垂直平分线得出，再转换可得离心率 ． 【详解】，渐近线方程为，即，点到渐近线的距离为， 又由题意，所以， 而渐近线是的垂直平分线，则， 所以，， 故选：A． 8. 已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点距离公式判断得，进而利用三角形等面积法求得内切圆的半径，再利用直线与圆相切的性质数形结合求得内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为， 所以，， 则，故， 所以， 设内切圆的圆心为，半径为， 则，解得， 又由可知轴，故，则， 由可知轴，故，则， 所以内切圆的圆心为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现是直角三角形，进而求得内切圆的半径，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先利用几何意义得到直线l与AB平行或经过AB的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线l与AB平行或经过AB的中点． 当直线l与AB平行时，由可得：， 再由直线l与AB平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得：， 整理得直线l方程为； 由可知中点坐标为，当直线l经过AB的中点和点时， 由两点式直线方程得：， 整理得直线l方程为． 故选：BD． 10. 袋子中装有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的有（ ） A. 第一次摸到红球的概率是 B. 第二次摸到红球的概率是 C. 两次都摸到红球的概率是 D. 两次都摸到黄球的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式或互斥事件的概率计算，一一计算各选项中的概率，即可判断出答案. 【详解】袋子中装有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球， 故第一次摸到红球的概率是，A正确； 若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为， 若第一次摸到黄球，则第二次摸到红球的概率为， 则第二次摸到红球的概率是，B错误； 两次都摸到红球的概率是，C正确； 两次都摸到黄球的概率是，D错误， 故选：AC 11. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点M，N分别为侧棱CC1，DA上的动点，AM⊥平面α.则下列正确的有（　　） A. 异面直线AM与B1C可能垂直 B. ∠AMD1恒为锐角 C. AB与平面α所成角的正弦值范围为 D. 点N到直线BD1距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.先证明平面，结合平面，可得；B.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法判断；C.连接，，等同于与所成角的余弦值的范围,进而可判断；设，0，，，，，，，，利用距离公式，结合二次函数性质判断. 【详解】在平面内作，交于点 在正四棱柱中， 因为平面，平面， 所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以．故说法正确； 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,1,，,0,， 则,,，,,，， 当时，，故错误； 如图：连接，，等同于与所成角的余弦值的范围，在直角三角形中，， 当点由点向移动时，逐渐增大，在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ，则,，则,，故正确， 设,0,0)，,,，,,， ，， 所以点到直线的距离为，当时，．故正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算求解即得. 【详解】由题意可得， 故 故答案为：. 13. 若直线与直线平行，则实数=______ ． 【答案】1 【解析】 【分析】运用直线平行的判定可解. 【详解】由于直线与直线平行, 且，可得，且，解得， 所以实数. 故答案为：1. 14. 已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出图形，根据题意先确定是等腰三角形，然后根据双曲线的定义可求得，然后根据离心率求得双曲线的方程，从而得到渐近线方程，然后根据点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】设半焦距为，延长交于点， 由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是中点， 根据双曲线的定义可知，即. 由于是的中点，所以是的中位线， 所以，又双曲线的离心率为， 所以，所以双曲线的方程为. 所以，双曲线的渐近线方程为. 设，点到两渐近线的距离为， 则. 又点在双曲线的右支上，所以，即. 则点到两渐近线的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在平行六面体中，，，，． （1）求； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性定理和向量的数量积定义进行求解即可. （2）根据空间向量的线性定理、向量的数量积定义和向量的模进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，，， 所以. 【小问2详解】 ， 所以线段的长为． 16. 已知圆C经过三点，，． （1）求圆C方程； （2）求过点A与圆C相切的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将三个点的坐标代入到圆的一般方程中即可求解； （2）根据切线方程与过该切点的半径垂直可得到切线的斜率，再根据点斜式可求得结果. 【小问1详解】 设圆C的方程为，， 因为圆C经过三点，，， 所以， 解得，满足， 故圆C的方程为； 【小问2详解】 由（1）知圆C的方程为， 根据圆心坐标，可得圆心， 所以的斜率为， 故切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 17. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组：，绘制出如下的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数； （2）先从得分在的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率. 【答案】（1）众数为75分；中位数为72.5分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义结合频率分布直方图运算求解；（2）根据频率分布直方图结合分层抽样求每组抽取的人数，利用列举法解决古典概型的概率问题. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：的频率最大，则众数为75分； ∵的频率分别为， 设中位数为x，则， 由题意可得：，解得， 故中位数为72.5分. 小问2详解】 因为人数之比为1：2， 所以应抽取2人，设A，B，应抽取4人，设为C，D，E，F， 这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下： AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF， 其中选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率包含6种， 故选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率. 18. 如图甲，已知在等腰梯形中， AB∥ CD，且，，且，沿AE将折起使平面平面，如图乙． （1）求点E到平面的距离； （2）设P为棱DC上一点（不与P，C重合），当二面角为60°时，DP与DC的比值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 如图甲，在等腰梯形中， AB∥ CD， ∵，，， ∴，， 如图乙，∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面， ∴以为原点，EA，EC，ED的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设为平面BDC的一个法向量， ∵，令，则，，， 又， ∴点到平面BDC的距离． 【小问2详解】 设，则 ，， 设为平面BEP的一个法向量， ， 令，则，，， 又是平面BED的一个法向量， 当二面角为60°时，则， 解得， 又，∴． 所以当二面角为60°时，DP与DC的比值为. 19. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且是抛物线E上异于O的两点. （1）求抛物线E的标准方程； （2）若直线的斜率之积为，求证：直线恒过定点. 【答案】（1）. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用抛物线焦半径公式求得p，可得答案； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合直线的斜率之积为进行化简可得的关系式，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，，点P的横坐标为1，且， 则， ∴抛物线E的方程为； 【小问2详解】 证明：当直线的斜率不存在时， 设，， 因为直线的斜率之积为 则，化简得． 所以，此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 联立，化简得，需满足， 根据根与系数的关系得， 因为直线的斜率之积为， 所以，即，即， 解得（舍去）或， 所以，即，满足，所以， 即， 综上所述，直线过定点． 【点睛】方法点睛：解决直线过定点问题，一般方法是设出直线方程，联立圆锥曲线方程，可得根与系数关系式，要结合题设进行化简得到参数之间的关系式，再结合直线方程即可证明直线过定点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$