精品解析：广东省湛江市雷州市新南方学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

24-25学年雷州市新南方学校八年级期中测试 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对边平行即可求解． 【详解】解：因为平行四边形中，， ∴， ∴． 则的度数是． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法、化简方法逐项判断即可． 【详解】A、与不可合并，此项错误 B、，此项错误 C、，此项错误 D、，此项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法及化简，熟记各运算法则是解题关键． 4. 菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质和勾股定理，求出另一条对角线的长． 【详解】∵一条对角线长是6cm， ∴这条对角线的一半长是3cm， 由勾股定理得，另一条对角线的一半长4cm， ∴另一条对角线的长为8cm， 故选A． 【点睛】本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决． 5. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴； 利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故选：C． 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．，，符合两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B．，，符合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C．，，符合对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D．，，是一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是菱形 C. 当时，是矩形 D. 当时，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项． 【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意； D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意； 故选D． 8. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出． 【详解】解：，点是的中点，， ， ， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 9. 如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（ ） A B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图—作角平分线，等角对等边，全等三角形的判定和性质，根据作图得到平分，平行四边形的性质，推出，证明，得到即可． 【详解】解：∵平行四边形，，， ∴，， ∴，， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，和正方形，其中，点在边上．若，，则的大小是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由∠DGF＝15°及∠BGF＝90°求得∠AGB的度数，再利用三角形的内角和求得∠A的度数，最后根据平行四边形的对角相等即可求得∠C的大小． 【详解】解：∵四边形BEFG为正方形， ∴∠BGF＝90°， 又∵∠DGF＝15°， ∴∠AGB＝180°－∠BGF －∠DGF ＝180°－90°－15° ＝75°， 又∵∠ABG＝35°， ∴∠A＝180°－∠ABG －∠AGB ＝180°－35°－75° ＝70°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠C＝∠A＝70°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及平行四边形和正方形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件_____________使四边形是矩形．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】解：添加条件， 理由是：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 13. 已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是菱形的面积，解题关键是熟练掌握菱形面积的求解方法． 菱形面积求法：①底乘以高；②对角线积的一半．据此即可得解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积． 故答案为：． 14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简根式和同类二次根式的定义，根据最简根式和同类二次根式的定义即可求解，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：． 15. 如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，，则数轴上点A所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段BC的长度，然后根据AB=CB即可求出BC的长度，接着可以求出数轴上点A所表示的数． 【详解】解：∵BC=， 则AB=BC=， ∵A在原点右侧． 则点A所表示的数是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号，再根据运算法则进行判断． 16. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长最小值为． 故答案为：． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的减法运算，零指数幂和负整数指数幂，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 先化简绝对值，求负整数指数幂和零指数幂以及化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】解： ． 18. 已知，，求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：，， ，． ∴． 19 先化简，再求值：÷，其中x=． 【答案】，． 【解析】 【分析】各分式的分子分母分别分解因式，约分后再利用分式的除法运算法则进行化简，然后将的值代入计算即可． 【详解】解：原式 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、二次根式的分母有理化，熟练掌握分式除法的运算法则是解题关键． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 如图，四边形是平行四边形． （1）利用尺规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，请标明字母）； （2）在（1）条件下，过点A作交于点O，交于点F，连接（无需尺规作图），求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，作角的平分线，，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①以为圆心，适当长为半径画弧，交于，于，②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，③作射线，交于即可； （2）由平行四边形的性质证明，可得，结合作图可得，得到，根据等腰三角形的性质求得，同理求得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求， 【小问2详解】 证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 21. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米． （1）求这块空地的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 【答案】（1）24平方米 （2）总共需投入4800元 【解析】 【分析】（1）连接，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据三角形面积公式计算即可； （2）用总面积乘以每平方米草皮需要的钱数即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵米，米，， ∴米， ∵米，米，且， ∴， ∴是直角三角形，， ∴这块空地的面积（平方米）； 【小问2详解】 （元）， 答：总共需投入4800元． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是掌握：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为2 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简______； （2）参照（2）式化简______； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化方法计算即可； （2）根据分母有理化的方法进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 故答案为：； 【小问3详解】 ． 24. 正方形中，，E是中点，M为线段上一点（不与D，E重合），连接． （1）如图，将线段绕点C逆时针旋转得，连接．求证：； （2）若M为的中点，在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可证明； （2）作交的延长线于点，取的中点，连接，先求得，由，求得，证明，求得，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作交的延长线于点，取的中点，连接，如图， ∵正方形，，E是中点， ∴，， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24-25学年雷州市新南方学校八年级期中测试 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 5. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形是（   ） A ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是菱形 C. 当时，是矩形 D. 当时，是正方形 8. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 10. 如图，和正方形，其中，点在边上．若，，则的大小是(　　) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数中自变量的取值范围是______． 12. 如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件_____________使四边形是矩形．（写一个即可） 13. 已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是_________． 14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 _____． 15. 如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，，则数轴上点A所表示的数为______． 16. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算：． 18. 已知，，求的值． 19. 先化简，再求值：÷，其中x=． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 如图，四边形平行四边形． （1）利用尺规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，请标明字母）； （2）在（1）的条件下，过点A作交于点O，交于点F，连接（无需尺规作图），求证：四边形为菱形． 21. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米． （1）求这块空地面积． （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简______； （2）参照（2）式化简______； （3）化简：． 24. 正方形中，，E是中点，M为线段上一点（不与D，E重合），连接． （1）如图，将线段绕点C逆时针旋转得，连接．求证：； （2）若M为的中点，在（1）的条件下，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $