精品解析：上海市张江集团中学2025学年第二学期阶段练习七年级数学学科 试卷

2025学年第二学期阶段练习 七年级数学学科试卷 一、选择题（每题3分） 1. 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．如图，这是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题的是（ ） ①钝角大于直角；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行； ④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 3. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. ， C. ， D. 4. 如图，下列说法正确的有（ ）． ①若，则； ②若，，则； ③和是同旁内角； ④若，则． A. ①②④ B. ①②③④ C. ①②③ D. ②③④ 5. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，锐角中，D、E分别是、边上的点，，，且，、交于点F．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分） 7. 已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，则x的值是______． 8. 在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 9. 命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 10. 如图，在与中，，，，则的度数为________． 11. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数． 12. 如图所示，在中，，，，，则点到的距离是________． 13. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是_________． 14. 珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度． 15. 如图，中，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则_____度． 16. 如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则________度． 17. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 18. 如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 19. 如图中，，平分交于D，点E在的延长线上，满足，若，，则线段的长为_____________ 20. 如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒． 21. 如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为________． 三、解答题（第22、23、24、25题每题8分，第26、27题每题10分） 22. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，2026年是农历丙午马年，“马”字的书法形态飘逸灵动．如图1是一幅“马”字书法作品，图2是其抽象的几何图形，其中，．若，试判断和的数量关系，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整． 解：，理由如下： ，（已知） （依据： ） （已知） ，（等式的基本事实） ，（依据： ） （已知） ，（依据： ） （依据： ） 23. 如图，平分交于点交于点． （1）试说明； （2）若，求的周长． 24. 为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． （1）小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若米，米，求旗杆高度． 25. 综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． （1）猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． （2）问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 26. 在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，且，若是等腰三角形，， （1）求证． （2）求证． 27. 如图，在中，，，（），是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期阶段练习 七年级数学学科试卷 一、选择题（每题3分） 1. 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．如图，这是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用两直线平行、同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即选项C符合题意． 2. 下列命题中，真命题的是（ ） ①钝角大于直角；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行； ④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵钝角是大于且小于的角，直角为， ∴钝角大于直角，①是真命题； ②∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴②是真命题。 ③同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理， ∴③是真命题。 ④只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，同旁内角的平分线才互相垂直，命题未说明被截的两条直线平行， ∴④是假命题 综上，真命题为①②③ 3. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【详解】解：A、，则，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、，，则，满足条件，但，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、，，，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 4. 如图，下列说法正确的有（ ）． ①若，则； ②若，，则； ③和是同旁内角； ④若，则． A. ①②④ B. ①②③④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，同旁内角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：①∵ （对顶角相等）， 若， ∴ ， ∴ （同位角相等，两直线平行），故①正确； ②∵，， ∴ ，故②正确； ③由图可知，和是直线、被直线所截形成的同旁内角，故③正确； ④∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴，  ， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④． 5. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 6. 如图，锐角中，D、E分别是、边上的点，，，且，、交于点F．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，由全等三角形的性质可得，，，，由三角形外角的定义及性质结合平行线的性质可得，，求出，再利用三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，，，， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 二、填空题（每题2分） 7. 已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，则x的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点，根据全等三角形的对应边相等即可得到答案，熟练掌握全等三角形对应边相等是解决此题的关键． 【详解】解：两个三角形全等， ，， 解得：， 故答案为：． 8. 在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，进而根据为整数即可求解． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ 即 ， ∴， 为整数， ． 9. 命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 【答案】 ①. 两个角的和为 ②. 这两个角互为补角 【解析】 【详解】解：命题“和为的两个角互为补角”的条件是：两个角的和为，结论是：这两个角互为补角． 10. 如图，在与中，，，，则的度数为________． 【答案】##62度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和等边对等角，证明三角形全等是解决本题的关键． 根据题意可得，进而证明，则，可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，且， ， 又，， ， ， ． ， ， 故答案为：． 11. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数． 【答案】25° 【解析】 【分析】使用平行线的性质得到，再根据得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键． 12. 如图所示，在中，，，，，则点到的距离是________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了求三角形的高，点B到的距离是h，根据等面积法得到，据此代值计算即可． 【详解】解：设点B到的距离是h， ∵， ∴， ∴， ∴点B到的距离是． 故答案为：． 13. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 14. 珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度． 【答案】20 【解析】 【分析】由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF． 【详解】解：过点C作CF∥AB， 已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同， ∴AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC=180°， ∴∠BCF=60°， ∴∠DCF=20°， ∴∠CDE=∠DCF=20°． 故答案为：20． 【点睛】此题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解． 15. 如图，中，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则_____度． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了折叠，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质是关键． 根据折叠，平行线的性质得到，结合题意得到，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80 ． 16. 如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则________度． 【答案】138 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据得出，，再根据三角形内角和定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵，，且， ∴， ∴． 故答案为：138． 17. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格的特点证明三角形全等是解题的关键．取格点E、F，连接，根据网格的特点，利用易证，得到，结合，即可解答． 【详解】解：如图，取格点E、F，连接， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 18. 如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得 ， ，再根据 及 进行等量代换即可求解． 【详解】解：平分，  ，  平分，  ，  ，  ，  ． 19. 如图中，，平分交于D，点E在的延长线上，满足，若，，则线段的长为_____________ 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，补角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．过点D作于H，由可证，可得，，由可证，可得，根据即可可求解． 【详解】解：如图，过点D作于H，如图所示： ∵平分， ∴， ， ，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：10． 20. 如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可. 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵， ∴，解得． ②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵，， ∴，解得． 综上，或． 21. 如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题． 【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第22、23、24、25题每题8分，第26、27题每题10分） 22. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，2026年是农历丙午马年，“马”字的书法形态飘逸灵动．如图1是一幅“马”字书法作品，图2是其抽象的几何图形，其中，．若，试判断和的数量关系，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整． 解：，理由如下： ，（已知） （依据： ） （已知） ，（等式的基本事实） ，（依据： ） （已知） ，（依据： ） （依据： ） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；平行于同一条直线的两直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】根据平行线的性质及判定结合所给的推理过程逐一填空即可． 【详解】解：，理由如下： ，（已知） （依据：两直线平行，同位角相等） （已知） ，（等式的基本事实） ，（依据：内错角相等，两直线平行） （已知） （依据：平行于同一条直线的两直线互相平行） （依据：两直线平行，同旁内角互补） 23. 如图，平分交于点交于点． （1）试说明； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质，关键是灵活应用这些知识点解题； （1）利用角角边证明三角形全等即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【小问1详解】 解：， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 24. 为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． （1）小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若米，米，求旗杆高度． 【答案】（1）认同，理由见解析 （2）米 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形判定定理证明和全等，进而判断线段相等． （2）因为已知、的长度，且，可求的长度，且由第（1）问的结论可知，即可得解． 【小问1详解】 认同小明的观点，理由如下： 由题意可知： ，，，， ，，，  ． 在和中， ， ，  ， 因此认同小明的观点． 【小问2详解】 ∵， ∴米， 又∵米，  米， 由（1）已证，  米． 25. 综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． （1）猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． （2）问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 【答案】（1） （2）①②见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质及判定论证即可； （2）①过点作，利用平行线的性质及判定论证即可；②利用，可得，再结合平行线的性质及等量代换得到，即可得出结论. 【小问1详解】 答：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； ②证明：∵，， ∴， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：平分． 26. 在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，且，若是等腰三角形，， （1）求证． （2）求证． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出结论； （2）通过论证可得 ，结合 ，，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ，， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴. 27. 如图，在中，，，（），是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②根据题意得出，，，再由直角三角形两锐角互余即可证明； （2）延长至点H，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【小问1详解】 ①解：如图，即为所求； ； ②证明：连接， ∵，，是的中点， ∴，， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明如下： 延长至点H，使得，连接，如图所示： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $