精品解析：四川大学附属中学西区学校2024-2025学年八年级下学期 半期小结数学试题 A卷

四川大学附属中学西区学校 2024～2025学年八年级下学期半期小结 数学试题 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，两边都除以，得（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 5. 点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长等于12，则的长度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，以点A为中心，把逆时针旋转，得到（点B、C的对应点分别为点、），连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，现将沿着射线的方向平移2个单位得到，则的周长是（ ） A. 15 B. 21 C. 17 D. 19 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本小题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 关于的不等式的解集为，则的值为______． 10. 已知，则的值是______． 11. 若关于的二次三项式的因式是和，则的值是____． 12. 若关于x的多项式x2﹣（k﹣2021）x+9是完全平方式，则k的值为________． 13. 如图，将置于直角坐标系中，边，分别在x轴，y轴上，将绕点A旋转，点D落在边上．若，，则点C的坐标为 ___________________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）分解因式： ①； ②． （2）解不等式组：，把不等式组的解集在数轴上表示出来． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，，． （1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的；并写出坐标； （2）将绕点O旋转，画出旋转后的，并写出坐标； （3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为__________． 17. 如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． （1）直接根据图像写出关于x的不等式的解集； （2）求出m、n的值； （3）求出的面积． 18. 如图，在等边△ABC中，点D与点E分别在BC与AC上，且BD＝CE，连接AD与BE于点F，连接CF． （1）求证：∠AFE＝60°； （2）延长BE到N，使AF＝FN，连接AN，CN． ①判断CN与AD的位置关系并证明； ②当S△ACF，AB＝2时，求BF的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若分式的值为零，则x的值是______． 20. 已知，则代数式的值为 _____． 21. 若点A（4－m，5－2m）在第四象限，m为整数，则点A的坐标是______． 22. 如图，在中，，，点P是内一动点，连接，，，则的最小值为________． 23. 已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值． 25. 平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为3，直线：经过点，两点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标； （3）如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数． 26. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，点E是点D关于AC的对称点，连接AE、CE． （1）CD= ，AD= ； （2）若将△ACE沿射线AB方向平移，设平移的距离为m，当点E平移到线段AC上时，求m的值； （3）如图，△ACE线点A顺时针旋转一个角（0°<<180°），记旋转中的△ACE为△AC′E′，在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q，若存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形，直接写出此时AQ的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川大学附属中学西区学校 2024～2025学年八年级下学期半期小结 数学试题 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的定义，掌握中心对称图形的概念是解题的关键，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式． 3. 若，两边都除以，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可解决问题． 【详解】解：， 两边都除以，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 4. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键．由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故选：B． 5. 点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标． 【详解】点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点的坐标是， 即． 故选：D． 【点睛】考查了点的平移规律，解题关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长等于12，则的长度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再利用的周长为12即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 7. 如图，以点A为中心，把逆时针旋转，得到（点B、C的对应点分别为点、），连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，；根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质由得，然后利用进行计算． 【详解】∵以点A为中心，把逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． 8. 如图，中，，现将沿着射线的方向平移2个单位得到，则的周长是（ ） A. 15 B. 21 C. 17 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质，明确题意，求出的边长是解题的关键．根据平移的性质和等边三角形的判定和性质，求得的边长，即可求解． 【详解】解：∵，，，将沿着射线的方向平移2个单位得到， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长是：， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本小题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 关于的不等式的解集为，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先整理不等式，用表示出不等式的解集，然后与比较，就可以得出的值． 【详解】解：解不等式， 得， 又此不等式的解集是， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的解法，利用表示出不等式的解集是解题关键，需要掌握解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． 10. 已知，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可得． 【详解】解：可化为， 则， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 11. 若关于的二次三项式的因式是和，则的值是____． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可． 【详解】解：由题意得：， ． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键． 12. 若关于x的多项式x2﹣（k﹣2021）x+9是完全平方式，则k的值为________． 【答案】2027或2015 【解析】 【分析】多项式x2-（k-2021）x+9可化为x2-（k-2021）x+32，应用完全平分公式可化为（x±3）2，当-（k-2021）=±6时，多项式x2-（k-2021）x+9是完全平方式，求出k的值即可得出答案． 【详解】解：∵原式=x2-（k-2021）x+32=（x±3）2， ∴当-（k-2021）=±6时，多项式x2-（k-2021）x+9是完全平方式， 解得k=2027或k=2015． 故答案为：2027或2015． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式进行计算是解决本题的关键． 13. 如图，将置于直角坐标系中，边，分别在x轴，y轴上，将绕点A旋转，点D落在边上．若，，则点C的坐标为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题过点C作轴于点E，先在中求出，再根据旋转的性质求得，进而可证和全等，从而得，，据此即可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点E， ， 由旋转的性质得：，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 点C的坐标为． 故答案为：． 【点睛】考查旋转的性质，以及全等三角形的性质和判定，30度所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）分解因式： ①； ②． （2）解不等式组：，把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）①② （2），把不等式组的解集在数轴上表示出来， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①先去括号，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． ②先提取公因式，再运用两次平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：（1）①； ②； （2） 由得； 由得； ∴不等式组的解集为 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式= ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，，． （1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的；并写出坐标； （2）将绕点O旋转，画出旋转后的，并写出坐标； （3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为__________． 【答案】（1） 画图如下： （2）画图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移，确定变化后的坐标，描点画图即可； （2）根据绕点O旋转，即关于点O中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特点，纵坐标，横坐标都变成各自的相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （3）根据对称中心是对应线段中点的交点，借助中点坐标公式解答即可． 本题考查了坐标的平移，中心对称，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：由，，，平移，使得点A的对应点的坐标为，即向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度， 故，， 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，得，，，，其中心对称坐标分别为， 则即为所求． 【小问3详解】 解：根据作图，得，， 根据中点坐标公式，得． 故 故答案为：． 17. 如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． （1）直接根据图像写出关于x的不等式的解集； （2）求出m、n的值； （3）求出的面积． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象即可直接得出答案； （2）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后根据即可求出的面积． 【小问1详解】 解：根据图像可以看出，关于x的不等式的解集为： ； 【小问2详解】 解：将代入直线，得： ， 解得：， ， 将代入直线，得： ， 解得：， ，； 【小问3详解】 解：对于直线，令，则， 解得：， ， 对于直线，令，则， 解得：， ， 对于直线，令，则， ， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，从函数的图象获取信息，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，求一次函数的函数值，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 18. 如图，在等边△ABC中，点D与点E分别在BC与AC上，且BD＝CE，连接AD与BE于点F，连接CF． （1）求证：∠AFE＝60°； （2）延长BE到N，使AF＝FN，连接AN，CN． ①判断CN与AD的位置关系并证明； ②当S△ACF，AB＝2时，求BF的长． 【答案】（1） ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°， 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠BAD， ∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=∠ABD=60°； （2）①CN∥AD；②-1 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABD≌△BCE，得∠CBE=∠BAD，再利用三角形外角的性质可得答案； （2）①由（1）可知△AFN是等边三角形，再利用SAS证明△BAF≌△CAN，得∠ANC=∠AFB，利用同旁内角互补，两直线平行，可得结论；②作AH⊥FN于H，利用平行线之间的距离处处相等得S△AFC=S△AFN=，则AF=2，再利用勾股定理求出BH的长，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①CN∥AD，理由如下： ∵AF=AN，∠AFN=60°， ∴△AFN是等边三角形， ∴∠FAN=∠BAC=60°， ∴∠BAD=∠CAN， ∵AB=AC，AF=AN， ∴△BAF≌△CAN（SAS）， ∴∠ANC=∠AFB， ∵∠AFB=120°， ∴∠ANC=120°， ∴∠FAN+∠ANC=180°， ∴CN∥AD； ②作AH⊥FN于H， ∵AD∥CN， ∴S△AFC=S△AFN=， ∴AF=2， ∵△AFN是等边三角形， ∴FH=1，AH=， 在Rt△ABH中，由勾股定理得， BH=， ∴BF=BH-FH=-1． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 20. 已知，则代数式的值为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】由已知可得，然后将所求代数式利用完全平方公式变形为，再将已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ． ∵， ∴． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了代数式的求值、完全平方公式，熟练运用完全平方公式与“整体代入”的思想是解答此题的关键． 21. 若点A（4－m，5－2m）在第四象限，m为整数，则点A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标得出不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数m，最后求出答案即可． 【详解】解：∵点A（4-m，5-2m）在第四象限， ∴， 解得：2.5＜m＜4， ∵m为整数， ∴m=3， 当m=3时，4-m=1，5-2m=-1， ∴点A的坐标是（1，-1）， 故答案为：（1，-1）． 【点睛】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的整数解和解一元一次不等式组，能根据题意得出关于m的不等式组是解此题的关键． 22. 如图，在中，，，点P是内一动点，连接，，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以B为旋转中心，将顺时针旋转到，连接，判定都是等边三角形，继而得到， 故当四点共线时，取得最小值，设与的交点为Q， 根据线段的垂直平分线，勾股定理，解答即可． 【详解】解：以B为旋转中心，将顺时针旋转到，连接， 根据旋转的全等性质，得， ∵， ∴都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴当四点共线时，取得最小值， 设与的交点为Q， ∵，， ∴是线段的垂直平分线，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 23. 已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据题目描述将y轴绕某个点顺时针旋转得到x轴，判断符合要求的点即可；由可知B点旋转后落在点C处，作出A点旋转后落在点处，得到、都为等边三角形，得到，进而得到结论． 【详解】：根据定义，绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”， 将y轴绕点顺时针旋转90°得到x轴，故y轴关于x轴的“90°顺合点”为点． ， 点B绕点P旋转后落在点C上，则BP=PC， 又， ， 点P在CD的垂直平分线上， 又点A在上， 则点A的对应点在上， 、都为等边三角形 ，， ∵，， ， ∴， 设，则，， ，， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“顺合点”是解题关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值． 【答案】（1）的值为10，的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）当时，取得最大值为元 【解析】 【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，根据总价单价数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各购买方案； （3）设超市获得的利润为元，根据总利润每千克的利润销售数量可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润的最大值． 【详解】解：（1）依题意，得： ， 解得：． 答：的值为10，的值为14． （2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ，59，60， 有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克． （3）设超市获得的利润为元，则． ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，得出利润的最大值． 25. 平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为3，直线：经过点，两点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标； （3）如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用，两点坐标代入，解方程组即可解决问题． 设，根据，解方程即可． 过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，证明≌，可得，，设，可得 ，求出，，由得，则 ， 可得，，根据勾股定理的逆定理得，则，即可得． 【小问1详解】 解：直线：分别与轴，轴交于点，， ，， 点在直线上，且点的横坐标为． ， 直线：经过点，两点， 则， 解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 ∵直线的解析式为， ， ，， ， 设， ， ，解得， 点的坐标为 ． 【小问3详解】 如图，过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、， ，， ， ， ， ， ≌， ，， 设， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 26. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，点E是点D关于AC的对称点，连接AE、CE． （1）CD= ，AD= ； （2）若将△ACE沿射线AB方向平移，设平移的距离为m，当点E平移到线段AC上时，求m的值； （3）如图，△ACE线点A顺时针旋转一个角（0°<<180°），记旋转中的△ACE为△AC′E′，在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q，若存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形，直接写出此时AQ的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）的长为或或或3． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）根据题意画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图1，连接交于，设点平移到线段上于点， 点是点关于的对称点， ，，，， 将沿射线方向平移， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知：，， ①旋转的过程中，和线段相交，的延长线相交时， 如图2， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， 为等腰三角形，且是钝角， ， ， ， ， 在△中，，， ； ②如图3， 为等腰三角形， ， ，， ， 由旋转得，，，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ； ③如图4， 旋转的过程中，和线段，相交时， Ⅰ、当时， ，， ， ， Ⅱ、当时， ， ， ， ， 根据勾股定理得，， 即满足条件的的长为或或或3． 【点睛】本题是几何变换综合题，勾股定理、三角形全等、主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是用等腰三角形的性质求，根据题意画出图形是本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $