精品解析：江西省南昌市江西科技学院附属中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

江科附中2024—2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 卷面分数：150分 考试时间：120分钟 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念，即可求得答案. 【详解】因为与互为共轭复数，所以 ，， 所以， 故选：C. 2. 设，是两个不同的平面，直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个选项进行判断可得答案. 【详解】对于A，若，则与平行或相交，故A错误； 对于B，若，又，则，故B正确； 对于C，若，则 与 平行或相交或异面，故C错误； 对于D，若，则与平行或相交，不一定垂直，故D错误. 故选：B. 3. 若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 4. 在△ABC中，若，则△ABC是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果． 【详解】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又 为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 5. 在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求，结合 的范围判断解的个数. 【详解】A：由，则，而，无解； B：由，则，而，有唯一解； C：由，则，而，有两解； D：由，则，而，有两解； 故选：B 6. 八一起义纪念碑是南昌的标志性建筑，也是游客的日常打卡地．为测量八一起义纪念碑的高度，某中学研究学习小组选取 ， 两处作为测量点，测得 的距离为，，，在 处测得纪念碑顶端 的仰角为75°，则测量的八一起义纪念碑的高度 约为（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得，再运用正切和角公式得到，结合代入计算取近似值即可. 【详解】在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为在直角 中，，所以， 又因为， 所以， 即八一起义纪念碑的高度OC约为52m. 故选：B 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由三角函数的基本关系式和倍角公式，可得 因为，所以， 整理得，即， 因为，可得，所以， 则，所以. 故选：A. 8. 如图1，直角梯形 中，，取 中点 ，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球 （ 为球心）.是球 上一动点，当直线 与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到球心 在的中点，然后当与球 相切时直线 与直线所成角的最大，过作垂足为 ，当平面时四面体体积取得最大值，即可求出答案. 【详解】由题意可知，均为等腰直角三角形，所以四面体的外接球的球心 在的中点， 因为是球 上的动点，若直线 与直线所成角的最大，则与球 相切，，此时，最大， 因为，，所以， 过作垂足为 ，则在以 为圆心，为半径的圆上运动. 所以当平面时四面体的体积取得最大值. 因为，所以， 所以， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正六边形的边长为1，下列说法正确的是（ ） A. 向量与可以作为平面内一组基底 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正六边形的几何性质，利用平面向量的基底定义、线性运算、数量积以及模长，结合余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 对于A，在正六边形中，，则与不共线，故A正确； 对于B，在正六边形中，且， 则，故B错误； 对于C，设正六边形的内角大小为，则， 在中，，则，， 则 ，故C正确； 对于D，在 中，，同理可得：， 由C选项易知，则， 则，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（ ） A. 图像关于 轴对称 B. 图像关于中心对称 C. 在最小值为 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像得出，由过，两点，代入函数式，即可确定，进而得出，即可根据正弦函数图象和性质判断选项. 【详解】由图知,可得，又， 解得：或，又 若无解；若，则，所以，向右平移得到， 对于A：因为，所以是奇函数，关于原点对称，故A错误； 对于B：令，故对称中心,故B错误； 对于C:因为，则，所以在区间的最小值为：，故C正确； 对于D：因为，所以，所以在此区间不单调，故D错误； 故选：ABD 11. 如图，四棱锥的底面 是正方形，平面ABCD，， 是线段的中点， 是线段 上的动点，则以下结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线 与平面所成角正切值的最大值为 C. 二面角余弦值的最小值为 D. 线段 上不存在点 ，使得平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可；对于BC，利用线面角与面面角的定义，结合的取值范围求解即可；对于D，找特殊点 与 重合时，证得平面，由此得解. 【详解】对于A，因为底面 ， 平面 ，所以． 因为 为正方形，所以， 又，平面，平面，所以 平面． 因为平面，所以． 因为， 为线段的中点，所以， 又因为，平面， 平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，由选项A可知 平面， 所以为直线 与平面所成角，则， 不妨设，则在中，， 在中，， 因为 是线段 上的动点，故，则， 所以直线 与平面所成角正切值的最大值为，故B正确； 对于C，由选项A可知平面，平面， 所以，则为二面角的平面角， 因为， 所以二面角余弦值的最小值为，故C正确； 对于D，当 与 重合时，连接，连接，如图， 因为底面 是正方形，所以 是 的中点， 又 为线段的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 即线段 上存在点 ，使得平面，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用线面垂直的判定定理证得 平面与平面，从而得到直线 与平面所成角与二面角的平面角，由此得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和3，高为，则该正四棱台的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式求出几何体体积即可. 【详解】由题意可得该正四棱台的体积为． 故答案为：． 13. 在 中，角 、 、 的对边分别为、、 ，点 在边 上，，，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由及三角形面积公式求 ，进而求 即可. 【详解】 由题设，，又， 所以， 则，可得，故. 故答案为：2 14. 已知，，若对，恒有，且点 满足， 为的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到对恒成立，即可得到对恒成立，根据求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为 ， ， 因为对，恒有， 所以对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 所以， 即，所以， 又， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面ACE； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角其即为异面直线和所成角，从而得解； （2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，即可得到，从而得证. 【小问1详解】 连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； 【小问2详解】 连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO， 因为在正方体中，底面ABCD是正方形，所以O为BD中点， 又因为E为的中点，所以， 又因为平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE． 16. 记 的内角的对边分别是，已知. （1）求 的大小； （2）若边上的高等于，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）根据题目条件求得，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，即， 所以， 又，可知. 【小问2详解】 如图，在 中，设 边上的高为 ，则， 在中，， 所以 又因为，可得， 所以，， 所以. 17. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ， ， 分别为 ， 的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，平面 ，平面 ， ∴ 在正方形 中，易知 ∴ 而， ∴∴ ∵，∴平面 ∵平面， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为二面角的平面角，可得底面 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （3）由平面可得为直线与平面所成的角，计算其正弦值即可. 【小问1详解】 解：∵是边长为2的正三角形， 为 中点，∴， 又∵平面平面 ，平面平面 ∴平面 又平面 ，∴ ∴为二面角的平面角， ∴ 又，∴∴底面 为正方形. ∴四棱的体积. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，连接， . ∵平面. ∴为直线与平面所成的角 ∵，∴， ∴ 又， ∴ ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 18. 如图，四边形 中，已知， ，． （1）若 中点为 ，求 的长； （2）若，设， ①用表示 ，并写出的取值范围；②若，求的值． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）将整体代入余弦定理可得 （2）① 中，由正弦定理化简可得；②把表示出来，得到，再用正弦定理计算，建立等式解出答案 【小问1详解】 因为， ，向量点积 所以 ， ， 【小问2详解】 ①， ②在中，，，. ， ， ,即， 因为，所以． 19. 已知E，F分别为 的重心和外心，D是BC的中点，，． （1）求BE； （2）如图，P为平面ABC外一点，平面ABC，二面角的正切值为4． ①求证：； ②求三棱锥的外接球的体积． 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量加法法则、结合向量共线确定 ，再利用余弦定理求解作答. （2）①根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理作答；②利用二面角的大小求出，再利用球的截面小圆性质求出球半径即可求解作答. 【小问1详解】 由，且D是BC的中点，得，则，共线， 又 为 的重心，则，， 又 为 的外心，连接，，而 是 的中点，因此 ， 在中，，由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 ①由平面, 平面，得,又 ， 平面，则 平面，而平面， 所以. ②由①知，，则为二面角的平面角， 而二面角的正切值为4，即，解得， 又 的外心为 ，令三棱锥外接球的球心为 ，则平面， 有，四边形是直角梯形，设外接球的半径为， 于是，， 因此，解得，， 所以三棱锥的外接球的体积为. 【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江科附中2024—2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 卷面分数：150分 考试时间：120分钟 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 设，是两个不同的平面，直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 7 C. D. 6 4. 在△ABC中，若，则△ABC是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 5. 在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ） A. B. C. D. 6. 八一起义纪念碑是南昌的标志性建筑，也是游客的日常打卡地．为测量八一起义纪念碑的高度，某中学研究学习小组选取 ， 两处作为测量点，测得 的距离为 ，，，在 处测得纪念碑顶端 的仰角为75°，则测量的八一起义纪念碑的高度 约为（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，直角梯形 中，，取 中点 ，将 沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球 （ 为球心）.是球 上一动点，当直线 与直线 所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正六边形的边长为1，下列说法正确的是（ ） A. 向量与可以作为平面内一组基底 B. C. D. 10. 已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（ ） A. 图像关于 轴对称 B. 图像关于中心对称 C. 在最小值为 D. 在上单调递增 11. 如图，四棱锥的底面 是正方形，平面ABCD，， 是线段的中点， 是线段 上的动点，则以下结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线 与平面所成角正切值的最大值为 C. 二面角余弦值的最小值为 D. 线段 上不存在点 ，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和3，高为，则该正四棱台的体积为______． 13. 在 中，角 、 、 的对边分别为、、 ，点 在边 上，，，，，则______． 14. 已知，，若对，恒有，且点 满足， 为的中点，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面ACE； 16. 记 的内角的对边分别是，已知. （1）求 的大小； （2）若边上的高等于，求 的面积. 17. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ， ， 分别为 ， 的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，四边形 中，已知， ，． （1）若 中点为 ，求 的长； （2）若，设， ①用表示 ，并写出的取值范围；②若，求的值． 19. 已知E，F分别为 的重心和外心，D是BC的中点，，． （1）求BE； （2）如图，P为平面ABC外一点，平面ABC，二面角的正切值为4． ①求证：； ②求三棱锥的外接球的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $