精品解析：云南省玉溪第一中学2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（三）数学试题

玉溪一中2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. i D. 2. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知向量满足，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 4. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 5. 若，则（　　） A. 40 B. 41 C. D. 6. 已知A，B为随机事件，且，，则下列结论错误的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若相互独立， C. 若，则 D. 若相互独立，则 7. 在中，是边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知不恒为0的函数的定义域为R，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 10. 已知函数（）的图像是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 在区间内只有一个极值点 D. 曲线与直线，，，（）所围成的封闭图形的面积为 11. 正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. 当P在A1D上运动时，不一定有 B. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1－ACP的体积不变 C. PA+PC的最小值为 D. 以点B为球心，为半径的球面与平面AB1C的交线长为π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若角的终边经过点，则_____． 13. 已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为_____． 14. 已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为与图象上一点，则的最小值为_____；若将与分别向下、向上平移一个单位长度，所得的两图象都与直线l相切，则直线的斜率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是等差数列，是等比数列，，且. （1）求与的通项公式； （2）设，求的前项和． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当，恒成立，求的取值范围． 17. 某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构．下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人y数（万人）与第个月的数据： x 1 2 3 4 5 y 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 （1）根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，且回归方程中的，请计算相关系数r（精确到0.01），并判断是否可以认为y与x的线性相关性很强； （2）为更好地改进服务，景点对每位游客进行了满意度调查，已知评分X近似服从正态分布，评分低于m的游客约占15.865%，求m的值； （3）为进一步了解游客性别与满意度的关系，随机抽查200名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否推断游客是否满意与性别有关？ 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式： 相关系数：若，则认为与有较强的线性相关性． 回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为： ，其中. 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 参考数据：， 若，则， 18. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4． （1）设平面ADE∩平面BCF=l，证明：； （2）直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由； （3）若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围． 19. 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． （1）若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ （2）设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法计算，再求出虚部即得. 【详解】依题意，，所以所求虚部为1. 故选：B 2. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 3. 已知向量满足，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对两边平方求出，再对平方运算可得答案. 【详解】因为，， 所以， 可得， 则. 故选：D. 4. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 5. 若，则（　　） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法计算的值. 【详解】令，则①，令，则②， 得到. 故选：C. 6. 已知A，B为随机事件，且，，则下列结论错误的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若相互独立， C. 若，则 D. 若相互独立，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式判断A；利用概率的加法公式判断B；利用对立事件和条件概率的概率公式判断C；利用独立事件的概率公式判断D. 【详解】若互斥，则，故A正确； 若相互独立，则， 则，故B正确； 若相互独立，则相互独立， 则，故D错误； 若，则， 则，则， 则，故C错误. 故选：CD 7. 在中，是边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，在中，由余弦定理求出，利用平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案. 【详解】设，则，， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即. 故选：A. 8. 已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据椭圆的定义可得，从而得到点为椭圆的上顶点或下顶点，在中由余弦定理可得的值，最后在中由余弦定理可得结果. 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知不恒为0的函数的定义域为R，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】用赋值法计算判断AD；取，利用奇偶性的定义判断BC. 【详解】函数的定义域为R，， 对于A，令，则，解得，A正确； 对于B，，取，则， 因此，令，即有， 因此函数是奇函数，即是奇函数，B正确，C错误； 对于D，， 由选项B，得，即，因此，D正确． 故选：ABD 10. 已知函数（）的图像是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 在区间内只有一个极值点 D. 曲线与直线，，，（）所围成的封闭图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换和平移变换得到；B选项，利用导数和辅助角公式得到的最大值为；C选项，求出，由于在上只有一个极大值点，C正确；D选项，直线，，围成的矩形面积为，由对称性可知D正确. 【详解】A选项，， 图象向右平移个单位长度，得到， 结合，可得，A正确； B选项，， 其中，故的最大值为，B错误； C选项，，， 由于在上只有一个极大值点， 故在内只有一个极值点，C正确； D选项，的最小正周期为，最大值为2，最小值为-2， 而，的距离为， 直线，，围成的矩形面积为， 又在围成的矩形内部（或边界），且将此矩形平均分为全等的两部分， 故与直线，，（）所围成的封闭图形的面积为，D正确. 故选：ACD 11. 正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. 当P在A1D上运动时，不一定有 B. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1－ACP的体积不变 C. PA+PC的最小值为 D. 以点B为球心，为半径的球面与平面AB1C的交线长为π 【答案】BD 【解析】 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直判断A，由题可得平面，进而可得三棱锥的体积不变，判断B，将平面翻折到平面上，求得PA+PC的最小值判断C，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D. 【详解】对于A，连接，因为四边形为正方形，故， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以当P在A1D上运动时，一定有，A错误； 对于B，由正方体的性质可得，平面， 平面，到平面的距离为定值，     又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故B正确； 对于C，将平面翻折到平面上，如图，     连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC， 在三角形ADC中，，故C错误； 对于D，由于平面，设与平面交于点， ，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为， ，， 在以为圆心，为半径的圆上，     由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ， 故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内， 交线长为，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若角的终边经过点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的终边经过的点的坐标，结合公式计算出该角的正弦值和余弦值，再运用二倍角的正弦公式即可. 【详解】若角的终边经过点，则，，. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程，求出圆的方程，进而求出弦长. 【详解】由抛物线的焦点为，得抛物线的方程为， 直线方程为，由，消去得，设， 则，线段中点， ，则以AB为直径的圆为， 令，得，所以该圆被y轴截得的弦长为. 故答案为： 14. 已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为与图象上一点，则的最小值为_____；若将与分别向下、向上平移一个单位长度，所得的两图象都与直线l相切，则直线的斜率为_____． 【答案】 ①. ②. 1或 【解析】 【分析】先确定点到直线的距离的最小值，再利用对称性求的最小值；确定，的图象平移后所得图象对应的函数解析式，进而求两曲线公切线的斜率即可. 【详解】由函数与函数互为反函数，得与的图象关于直线对称， 函数，点到直线的距离， 设函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 由对称性，得的最小值为； 显然，与的图象平移后所得图象对应的函数分别为，， 令，则在上单调递增， ，则存在，使得，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，即任意，， 因此函数的图象总在函数的图象上方，，， 设与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，， 则的斜率为，即，则，即， 又，则，即， 因此，即，解得或， 有或，符合题意，所以直线的斜率为1或. 故答案为：；1或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是等差数列，是等比数列，，且. （1）求与的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差和公比，由题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2）分组求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法求和，得到答案. 【小问1详解】 是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则， 因为，， 所以，解得或（舍去） 所以，； 【小问2详解】 ， . 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调性，得到答案； （2）由（1）得出的最小值，得出，设，求导，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 . ，，∴当 时，，∴ 在上单调递减； 当 时，. 令 ，解得：. 由，解得：；由，解得：. 时， 单调递减，单调递增； 综上可知：当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. 【小问2详解】 由（1）知，当 时， 在 是减函数，在 是增函数， ， ∴， ∴（*）. 令，则， ∴在上单调递减， 又∵，∴不等式（*）的解集为，即的取值范围是. 17. 某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构．下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人y数（万人）与第个月的数据： x 1 2 3 4 5 y 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 （1）根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，且回归方程中的，请计算相关系数r（精确到0.01），并判断是否可以认为y与x的线性相关性很强； （2）为更好地改进服务，景点对每位游客进行了满意度调查，已知评分X近似服从正态分布，评分低于m的游客约占15.865%，求m的值； （3）为进一步了解游客性别与满意度的关系，随机抽查200名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否推断游客是否满意与性别有关？ 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式： 相关系数：若，则认为与有较强的线性相关性． 回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为： ，其中. 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 参考数据：， 若，则， 【答案】（1），可以认为与有较强的线性相关性； （2） （3）列联表 喜欢 不喜欢 总计 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 能推断游客是否满意与性别有关.【解析】 【分析】（1）根据题给数据算出平均数，再根据参考数据及，再对和进行求值，即可得到的值，再根据相关系数公式求解即可； （2）根据正态分布曲线的对称性求出，即可求出； （3）根据题给数据完成列联表，再根据公式代值求解，再与比较大小，即可得解. 【小问1详解】 由题可知，， ， 则，可得， 相关系数 ， 可以认为与有较强的线性相关性. 【小问2详解】 因，则， 因， 则. 【小问3详解】 填写下面的列联表 喜欢 不喜欢 总计 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 由表可知，， 零假设：游客是否满意与性别无关， 则 所以根据小概率值的独立性检验，能推断游客是否满意与性别有关. 18. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4． （1）设平面ADE∩平面BCF=l，证明：； （2）直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由； （3）若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围． 【答案】（1） 因为四边形为矩形， 所以，因为平面，平面。 所以平面，因为平面平面，平面， 所以； （2） 存在，为中点，使得平面，理由如下： 取的中点， 因为，所以， 因为且，所以， 因为且平面， 所以平面； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再由线面平行的性质定理，即可证得； （2）取的中点，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面平面； （3）设点为中点，取与连线交于点，以建立空间直角坐标系，设到平面的距离为，令，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角，列出关系式，利用函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设点为中点，取、和中点为， 由（2）知共面且平面， 取与连线交于点，连接， 则，可得为等腰梯形， 所以，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设到平面的距离为， 因为四边形和四边形为两个全等的等腰梯形， 所以，设， 因为， 所以，解得， 所以，可得， 令，所以， 设平面的法向量为， 则， 取，可得， 所以，设平面的法向量为， 则， 取，可得， 所以，所以， 令，则， 则， 令，则， 所以在单调递增， 当时，当时， 所以，所以， 故平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围为. 19. 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． （1）若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ （2）设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 【答案】（1），且 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得方程，由椭圆的方程形式可列出不等式； （2）先求出曲线C的方程，（i）利用点差法列方程，化简求得正确答案；（ii）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由，结合弦长公式以及来求得正确答案． 【小问1详解】 设，则到轴的距离力，，， ，，即 若曲线为椭圆，则，解得，且. 【小问2详解】 （i）因为曲线C为曲线，所以，即， 设， 因为两点在双曲线上，所以 两式相减得，得，即， 所以， 因为是的垂直平分线，有，所以， 即，化简得， 因为的中点M的横坐标为x，所以 故． （ii） 由于，故可知直线斜率存在， 设直线的方程为：，由， 消去并整理得, 则，，即， 所以， 所以， 于是点的坐标为，． 易知，所以，解得：， 代入得，得或， 由在双曲线的右支上得：，得，即， 且， 综上得，， 又 所以 因为，所以，故,所以， 所以，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $