精品解析：四川省眉山中学校2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

2026届高二下学期期末考试 数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中第4项的二项式系数为（ ） A. B. 1120 C. 56 D. 70 3. 某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为（ ） A. 9 B. 18 C. 21 D. 24 4. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 5. 已知函数，则的极大值为 A. 2 B. C. D. 6. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（    ） A. B. C. D. 7. 包含甲同学在内的5个学生去观看滑雪、马术、气排球3场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多有2名学生前往观看，则甲同学不去观看气排球的方案种数有（ ） A. 120 B. 72 C. 60 D. 54 8. 设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 数列的前n项和为Sn，，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，含项的系数是______（用数字表示）. 13. 数列满足，，则___________． 14. 奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 16. 已知函数，曲线在点处切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间，并求的极大值. 17. 已知等差数列，正项等比数列，其中的前n项和记为，满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)． （1）当a＞0时，求函数f(x)的单调递增区间； （2）当a＝0时，证明： (其中e为自然对数的底数)． 19. 设，函数． （1）当时，求的最大值； （2）当时，关于的方程在,上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）求证：当，时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二下学期期末考试 数学试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数的定义即可求解. 【详解】根据排列数的定义， 可得从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是. 故选：B 2. 展开式中第4项的二项式系数为（ ） A. B. 1120 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理结合二项式系数的定义即可得解. 【详解】展开式中第4项的二项式系数为. 故选：C. 3. 某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为（ ） A. 9 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】因为拔河排在最后一场，先排第一场，再排剩余三场，再根据对称性即可得结果. 【详解】因为拔河排在最后一场，且多人多足不排在第一场， 先排第一场，有种，再排剩余三场，有种， 共有种， 又因为踢毽在跳绳的前面，根据对称性可知不同的安排方案种数为. 故选：A. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值． 【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则， 解得，，故选C． 【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键． 5. 已知函数，则的极大值为 A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则,令x=1得，所以 则，所以函数在（0,2）上递增，在（2，+）上递减， 则的极大值为 故选B 6. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，可得，求导确定函数单调性即可求解. 【详解】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为， 则，可得， 令，解得，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值. 故选：B． 7. 包含甲同学在内的5个学生去观看滑雪、马术、气排球3场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多有2名学生前往观看，则甲同学不去观看气排球的方案种数有（ ） A. 120 B. 72 C. 60 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】分甲同学去去观看滑雪比赛和甲同学去观看马术比赛两种情况进行讨论，结合排列组合知识求解. 【详解】甲同学去观看滑雪比赛时，共有种； 甲同学去观看马术比赛时，也有30种； 则甲同学不去观看气排球的方案种数有种. 故选：C 8. 设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式的概念，写出数列通项公式，进而写出的通项公式，根据等比数列的前项和，求出，判断不超过2025的项的个数. 【详解】已知是以2为首项，1为公差的等差数列，则， 是1为首项，2为公比的等比数列，则， 所以， 则， 可知，， 所以不超过2025的项有10个. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 数列的前n项和为Sn，，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列. 【详解】由题得， 两式相减得，即， 当时，， 所以数列从第项起是等比数列，所以， 所以数列的通项为. 当时，；当时，符合上式， 所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，即可判断A选项；令，结合，即可判断C、D选项；写出展开式的通项，得出含的系数，即可判断B选项. 【详解】对于A项，令，可得，故A项正确； 对于B项，展开式的通项为，. 由可得，所以展开式含的项为. 由可得，所以展开式含的项为. 所以，展开式中含的项为， 所以，，故B项错误； 对于C项，令，可得. 又， 两式相加可得，，所以，故C项错误； 对于D项，由C可知， 又，所以，故D项正确. 故选：AD. 11. 若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值. 【详解】由题意可得，， 因为在直线l上，当为的切点时， 则，所以直线l的方程为， 又直线l与相切， 所以满足，得； 当不是的切点时， 设切点为， 则， 所以，得， 所以，所以直线的方程为. 由，得， 由题意得，所以. 综上得或. 故选:AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，含项的系数是______（用数字表示）. 【答案】454 【解析】 【分析】根据给定条件列出含项的系数表达式，再借助组合数的性质计算即可得. 【详解】的展开式中的系数是： 所以原展开式中的系数是. 故答案为： 13. 数列满足，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】累加法以及等差数列求和公式求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， 累加得： 故答案为：. 14. 奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】令， 则， 由条件得当时，， ∴函数在上单调递减． 又函数为偶函数， ∴函数在上单调递增． ①当时，，不等式可化为， ∴； ②当时，，，不等式可化为， ∴． 综上可得不等式的解集为． 答案： 点睛：对于给出含有导函数的不等式来解不等式或比较大小的问题，往往采用构造新函数的方法，然后判断出新函数的单调性，再结合单调性进行解题．在构造新函数时，要注意观察所给的不等式的特征，根据乘积、商的导数的求导法则进行构造，并根据条件中所给出的不等式判断出所构造的函数的单调性． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 【答案】（1）， （2）有理项有3项，分别为 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可得各项系数和，结合题意列式计算可得，由二项式系数性质可得二项式系数最大项； （2）求得展开式通项公式，令，且，计算即可. 【小问1详解】 令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为， 则，解得， 展开式有5项，二项式系数最大的为第3项; 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为， 令，且，解得， 则展开式中含的有理项有3项，分别为. 16. 已知函数，曲线在点处切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间，并求的极大值. 【答案】（1） （2）函数在单调递增；函数在单调递减；极大值为 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得实数的值； （2）利用导数的单调性和极值知识即可求解. 【小问1详解】 ， 曲线在点处的切线方程为， ，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， . 由解得，或，此时函数在单调递增； 由解得，此时函数在单调递减. 故当时，函数取得极大值，极大值为. 17. 已知等差数列，正项等比数列，其中的前n项和记为，满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式；（2）利用错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为； 利用基本量运算有， 因为为正项数列，可得， 所以； 即数列的通项公式为 数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 ① ② 得： 即数列的前n项和 18. 已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)． （1）当a＞0时，求函数f(x)的单调递增区间； （2）当a＝0时，证明： (其中e为自然对数的底数)． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调递增区间. （2）化简不等式得到，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当，即时，在递增. 当时，，在上递增. 当，即时，在上，递增. 综上所述，当时，的递增区间为， 当时，的递增区间为. 当时，，的递增区间为. 【小问2详解】 当时，由化简得， 构造函数， ，在上递增， ， 故存在，使得，即. 当时，递减； 当时，递增. 所以时取得极小值，也即是最小值. ， 所以，故. 19. 设，函数． （1）当时，求的最大值； （2）当时，关于的方程在,上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）求证：当，时． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的单调性求解即可， （2）将问题转化为在,上恰有两个不相等的实数根，利用导数求解的单调性，即可列不等式求解， （3）先证明不等式当且仅当时取等号，进而得，累加即可求解. 【小问1详解】 当时，，而, ， 令，解得：，令，解得：， 故在递增，在递减， 故 【小问2详解】 时，， 关于的方程化为， 令，,， ， 令，解得或1， 令，解得，此时函数单调递增， 令，解得，此时函数单调递减， 关于的方程在,上恰有两个不相等的实数根，则在,上恰有两个不相等的实数根 则，即，解得：， 实数的取值范围是， 【小问3详解】 设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当， 故当且仅当时取等号， 令．则， 依次取，3，，． 累加求和可得， 当时，， ， ， 故， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $