精品解析：四川省眉山市东坡区眉山映天学校等校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

东坡区22级高二下期校校期末联考 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页；满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 2. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（ ）分 A. 84 B. 85 C. 86 D. 87 3. 从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ） A B. C. D. 4. 下列说法中正确的有（ ） ①在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好 ②已知相关变量满足回归方程，则该方程对应于点的残差为1.1 ③已知随机变量，若，则 ④以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 函数在处有极小值，则的值等于（ ） A. 0 B. C. D. 6 6. 若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 28 D. 40 7. 某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 随机变量服从二项分布，若，，则 B. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关 成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 C. 设随机变量服从正态分布，若， D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当且仅当 时概率最大 10. 某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X（单位：厘米）服从正态分布，则（附：，，）（ ） A. B. C. D. 11. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________.（用数字作答） 13. 某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为:抢答3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为，记事件A为“答第一道题，甲选手得分”，则______，记甲选手的得分为（单位，分），________． 14. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）求函数在上的值域． 16. 通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生． （1）求该学生为肥胖学生的概率； （2）在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率． 17. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； （2）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200 （3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关． 没有进步 有进步 合计 参与周末校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：， ． 0.10 0.05 0.010 0005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 18. 已知函数（其中），. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，若恒成立，求取值范围. 19. 2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗击疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课，每天共280分钟，请学生自主学习.区教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了100名学生进行问卷调查，为了方便表述把学习时间在分钟的学生称为类，把学习时间在分钟的学生称为类，把学习时间在分钟的学生称为类，随机调查的100名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示：以频率估计概率回答下列问题： （1）求100名学生中，，三类学生分别有多少人？ （2）在，，三类学生中，按分层抽样的方法从上述100个学生中抽取10人，并在这10人中任意邀请3人电话访谈，求邀请的3人中是类的学生人数的分布列和数学期望； （3）某校高三（1）班有50名学生，某天语文和数学老师计划分别在19:00—19:40和20:00—20:40在线上与学生交流，由于受校园网络平台的限制，每次只能30个人同时在线学习交流.假设这两个时间段高三（1）班都有30名学生相互独立地随机登录参加学习交流.设表示参加语文或数学学习交流的人数，当为多少时，其概率最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东坡区22级高二下期校校期末联考 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页；满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇偶性，再利用原函数增减性与导数的正负情况对比即可. 【详解】先由原函数是偶函数，可知导函数是奇函数，故排除， 再由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负， 故选：． 2. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（ ）分 A. 84 B. 85 C. 86 D. 87 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数定义，结合数据求解即可. 【详解】由，解得：， 所以前4组频率之和为，前5组频率之和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得：， 故选：C 3. 从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解. 【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球. 从而，，故. 故选：A. 4. 下列说法中正确有（ ） ①在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好 ②已知相关变量满足回归方程，则该方程对应于点的残差为1.1 ③已知随机变量，若，则 ④以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由决定系数与拟合效果的关系求解；对于②，根据残差的定义求解；对于③，根据二项分布的期望和方差公式求解；对于④，根据回归方程进行代数计算求解. 【详解】对于A，在回归分析中，决定系数越大，残差平方和越小，说明回顾模型拟合的效果越好，故①正确； 对于B，当时，，则该方程对应于点的残差为，故②正确； 对于C，随机变量，则，解得，故③错误； 对于D，因为，所以，令，所以，又因为，所以，解得，故④正确. 故选：C. 5. 函数在处有极小值，则的值等于（ ） A. 0 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案． 【详解】由题意得，因为在处有极小值， 所以，解得， 所以， 令，解得或， 故函数在和上为增函数， 令，解得， 故函数在上为减函数， 所以在处有极小值，符合题意， 所以， 故选：A. 6. 若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 28 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况. 【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有种； 分为每组各3人，有种，分组方法共有种. 第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有种. 所以，总的分配方案有种. 故选：C 7. 某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出该地区中学生每天睡眠时间的平均数，再利用分层抽样方差的计算方法求得结果. 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：. 故选：D. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，数形结合可得，可得，进而令，，利用导数可求的取值范围. 【详解】设，如图所示： 由的图象知，，则，从而，， 所以． 令，，则， 当时，，当且仅当时，， 所以在上为减函数，所以， 得，即的取值范围是． 故选：A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 随机变量服从二项分布，若，，则 B. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关 成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 C 设随机变量服从正态分布，若， D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当且仅当 时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望方差公式计算，求得p,q的值，从而判断A； 利用间接法计算，可以判定B； 利用正态分布的对称性计算，可以判定C； 利用二项分布的性质可以判定D. 【详解】A：，可得，A错； B：利用间接法有，B对； C：，C对； D：，所以，当时概率最大，所以D对. 故选 BCD. 10. 某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X（单位：厘米）服从正态分布，则（附：，，）（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合正态分布的对称性利用原则即可求解. 【详解】由题意得，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D. 【详解】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，在中用替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出的值，写出二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由于的展开式只有第项的二项式系数最大， 则展开式中共有项，故，解得， 所以，的展开式通项为， 令，解得，因此所求即为. 故答案为：. 13. 某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为:抢答3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为，记事件A为“答第一道题，甲选手得分”，则______，记甲选手的得分为（单位，分），________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可知：事件包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况，进而可求；若，可知抢答3道题，其中有2道题甲得分，进而可求. 【详解】由题意可知：事件包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况， 所以； 若，可知抢答3道题，其中有2道题甲得分， 所以. 故答案为：；. 14. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数零点的定义，结合单调性可得，构造函数，求出直线与函数的图象有两个公共点的范围. 【详解】函数，令， 则，显然函数在R上单调递增，而， 由，得，于是，即，令， 依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根， 亦即直线与函数的图象有两个公共点，由，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，且，当时，恒成立， 从而当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）求函数在上的值域． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可得函数在上的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点函数值，即可求出函数的值域. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又， 由，解得或；由，解得. 故函数单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值，所以， 又，，所以， 所以函数在上的值域为. 16. 通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生． （1）求该学生为肥胖学生的概率； （2）在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过全概率公式求解即可得； （2）通过条件概率公式求解即可得． 小问1详解】 记“任取1名中小学生是肥胖学生”，“学生为小学生”， “学生为初中生”，“学生为高中生”． 则，且，，两两互斥， 由题意得，，， ，，， 则 ， 即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025． 【小问2详解】 “抽取的学生是肥胖学生且为高中生”， 则， 所以， 即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24. 17. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； （2）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200 （3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关． 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：， ． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）0.996 （2），140.5分 （3）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关 【解析】 【分析】（1）根据公式计算即可； （2）利用最小二乘法求出回归方程，再令即可得解； （3）根据公式求出，再对照临界值表即可得解. 【小问1详解】 ，， 又的方差为， ； 【小问2详解】 由（1）知接近1，故与之间具有极强的线性相关关系， 可用线性回归直线方程模型进行拟合， ， ， 故，当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分； 【小问3详解】 零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关． 根据数据，计算得到： 因为， 所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关． 18. 已知函数（其中），. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，二次求导得到单调性和最小值，求出，得到答案. 【小问1详解】 时，，， ，故， 故函数在点的切线方程为，即 【小问2详解】 时，恒成立， 故， 令，定义域为， 则，令， 则在恒成立， 故在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ， 所以，取值范围是. 19. 2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗击疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课，每天共280分钟，请学生自主学习.区教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了100名学生进行问卷调查，为了方便表述把学习时间在分钟的学生称为类，把学习时间在分钟的学生称为类，把学习时间在分钟的学生称为类，随机调查的100名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示：以频率估计概率回答下列问题： （1）求100名学生中，，三类学生分别有多少人？ （2）在，，三类学生中，按分层抽样的方法从上述100个学生中抽取10人，并在这10人中任意邀请3人电话访谈，求邀请的3人中是类的学生人数的分布列和数学期望； （3）某校高三（1）班有50名学生，某天语文和数学老师计划分别在19:00—19:40和20:00—20:40在线上与学生交流，由于受校园网络平台的限制，每次只能30个人同时在线学习交流.假设这两个时间段高三（1）班都有30名学生相互独立地随机登录参加学习交流.设表示参加语文或数学学习交流的人数，当为多少时，其概率最大. 【答案】（1）30；（2）分布列见解析，；（3）42. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图即可求出结果； （2）根据分层抽样可知从类中抽2人，类中抽5人，类中抽3人，再根据超几何分布列出分布列，求出期望； （3）学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为，当时，由韦恩图可知，事件所包含的基本事件的总数为， 所以最大，列出不等式组，可得，由此即可求出结果. 【详解】（1）类学生有：人， 类学生有：人， 类学生有：人. （2）， 故从类中抽2人，类中抽5人，类中抽3人. 设邀请的三人中是类的学生人数为，则可取0，1，2，3. ，，，. 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. （3）学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为， 当时，由韦恩图可知，只参加语文辅导的人数为， 只参加数学辅导的人数为， 语文和数学都参加辅导的人数为. 事件所包含的基本事件的总数为， 所以最大. 则， 所以. 又因为，所以. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图、分层抽样、超几何分布，以及古典概型的应用，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$